This thesis is about how to interpret metric data with topological tools, such as homology. We show how to go from a metric space to a topological space via Vietoris-Rips complexes. We use the usual approach to Topological Data Analysis (TDA), and transform our metric space into tame parametrised vector spaces. It is then shown how to simplify tame parametrised vector spaces. We also present another approach to TDA, where we transform our metric space into a filtrated tame parametrised chain complex. We then show how to simplify chain complexes over fields in order to simplify tame parametrised filtrated chain complexes. / Denna uppsats handlar om att tolka metrisk data med hjälp utav topologiska verktyg, som exempelvis homologi. Vi visar hur man går från ett metriskt rum till ett topologiskt rum via Vieteris-Rips komplex. Vi använder den vanliga metoden till Topologisk Data Analys (TDA), och transformerar vårat metriska rum till tama parametriserade vektorrum. Det visas sedan hur vi kan förenkla tama parametriserade vektorrum. Vi presenterar även en annan metod för TDA, där vi går från ett metriskt rum till ett filtrerat tamt parametriserat kedjekomplex. Sedan visar vi hur man förenklar kedjekomplex över kroppar för att kunna förenkla filtrerade tama parametriserade kedjekomplex.

Detta examensarbete använder ett systematiskt tillvägagångssätt för att omkonstruera ett växellådshus till ett elektriskt fordon med avsikt att förbättra prestanda med avseende på hållfasthet, livslängd och styvhet. I examensarbetet ges även en kort beskrivning av hur växellådan fungerar, vilken roll den spelar i de elektriska fordonen, samt grundläggande teori som används  vid konstruktion av liknande växellådor. Den huvudsakliga arbetsmetoden som använts för att nå målen är topologioptimering och olika lösningar har simulerats för att förenkla den framtida omkonstruktionen. Analyser av de olika resultaten har lett fram till ett grovt förslag på hur växellådshuset kan utformas. Det resultatet förkastades efter det att några extra simuleringar gjorts. Även om inget slutgiltigt förslag hittades, har detta examensarbete tagit fram en bra grund och vägvisning för att senare lyckas med uppdraget. / This thesis targets a systematic approach for redesign of the gearbox housing for an electrical vehicle, with an intention to improve its performance in terms of structural integrity, durability and compliance. Throughout the work, a brief overview of gearbox purpose, position and significance in context of electric vehicles has been presented, some theoretical background concerning design of similar gearboxes is presented and underlying theoretical fundamentals are reviewed. Topology optimization has been utilized as the main method for achieving the goals and various solving runs were performed in order to ease the subsequent redesign. Interpretations of multiple result sets led to a rough outline guess of a possible solution candidate. After supplementary studies, that solution was later discarded. In the end, although no final redesign was generated, clear and comprehensive directions for achieving the targeted goal have been formulated.

Topological states in photonic systems are described by qualitative discrete quantum numbers and feature unique combinations of properties such as robustness to perturbations and dissipationless surface transport of energy and information. Due to the many easily accessible platforms in photonics, topological photonics is one of the spearheads of topological physics that has offered exciting possibilities for investigations of novel topological phenomena and numerous promising technological uses. This master thesis aims at investigating from a theoretical and experimental perspective the properties of topological states of interacting light modes in arrays of coupled waveguides. First, we present a review of recent advances in the recently emerged field of topological physics. Then we review recent work on lattice models that feature topological edge states, and subsequently, we identify the existence of robust corner states on the edge of honeycomb lattices. These states display, similarly to the corner states known in 1D SSH and 2D Kagome lattices, exponential localisation with naturally occurring total destructive interference. Additionally, the corner states share properties with the dynamic transport modes of photonic Floquet topological insulators. However, the origin of the corner localisation is different from the previously studied examples: instead of dimerised coupling strength, the asymmetric and dimerised number of neighbours in the direction of the corner generates the intensity gradient. Motivated by our numerical study, we outline an experimental realisation of the novel honeycomb corner states, by means of waveguide lattices written in glass. The waveguides are 3D written in the bulk of a glass sample, with the lattice pattern orthogonal to the main direction of propagation which acts as a time coordinate in the experiments. Femtosecond direct laser writing enables fabricating truly 3D waveguides. Our experimental preparations cover a study of the effects of fabrication parameters for the relevant structures. We discuss how the localisation and robustness properties of the honeycomb corner states would next be investigated in the prepared experimental setting. / Topologiska tillstånd i fotoniska system beskrivs av särskilda topologiska diskreta kvanttal och har unika kombinationer av egenskaper såsom robusthet mot fluktuationer och förlustfri yttransport av energi och information. Tack vare de många lättillgängliga plattformarna inom fotonik är topologisk fotonik en av spjutspetsarna inom topologisk fysik och har erbjudit unika möjligheter för undersökningar av nya topologiska fenomen och med många lovande tekniska användningsområden. Denna masteruppsats syftar till att undersöka, ur ett teoretiskt och experimentellt perspektiv, egenskaperna hos topologiska tillstånd av interagerande ljusmoder i gitter av kopplade vågledare. Först presenterar vi en översikt av de senaste framstegen inom det nyligen uppkomna området topologisk fysik. Sedan sammanfattar vi det senaste arbetet med gittermodeller som har topologiska kanttillstånd, och därefter identifierar vi förekomsten av robusta hörntillstånd på kanten av bikakegitter. Dessa tillstånd uppvisar, på samma sätt som hörntillstånden som är kända i 1D SSH- och 2D Kagome-gitter, hög kantlokalisering med naturligt förekommande total destruktiv interferens. Dessutom delar hörntillstånden egenskaper med de kända fotoniska Floquet-topologiska isolatorerna som uppvisar topologisk transport. Ursprunget till hörnlokaliseringen skiljer sig dock från de tidigare studerade exemplen: istället för en dimeriserad kopplingsstyrka genererar det asymmetriska och dimeriserade antalet grannar i hörnets riktning intensitetsgradienten. Med motivering i den numeriska studien inleder vi en experimentell realisering av de nya bikakehörntillstånden, med hjälp av vågledargitter skrivna i glas. Vågledarna är 3D-skrivna på insidan av ett glasprov, med gittermönstret ortogonalt mot huvudutbredningsriktningen som fungerar som en tidskoordinat i experimenten. Direkt laserskrivning med femtosekundlaser gör det möjligt att tillverka vågledare i tre dimensioner. Våra experimentella förberedelser omfattar en studie av effekterna av tillverkningsparametrar för de relevanta strukturerna. Vi diskuterar hur lokaliserings- och robusthetsegenskaperna för bikakehörntillstånden sedan skulle undersökas med den experimentella metoden.

This report discusses higher differential forms with applications in the study of topological phenomena. The integer quantum Hall effect is first discussed, demonstrating a connection between models on a lattice and quantum field theories bridged by a topological invariant, namely the Chern number. Next, for parametrized models on a lattice, the higher Berry curvature is described. This is a rank-(d + 2) differential form on a (d + 2)-dimensional parameter manifold which provides a relation between models in a bulk and on a lower-dimensional interface. Finally, a family of quantum field theories connected to a (d + 1)-dimensional manifold, termed a target space, is constructed. This connection is realized through the incorporation of a set of classical fields, and the effective action of the full field theories all contain a Wess-Zumino-Witten term given by the pullback of a rank-(d + 1) differential form from the target space to spacetime. By performing an extension of spacetime, a (d + 2)-form on a (d + 2)-dimensional target space is constructed in a similar way. Extending a theory in d dimensions thus yields a form on a target space of the same dimension as that of a (d + 1)-dimensional theory without extension, defining a dimensional hierarchy. The dimensional relations inherent in the two higher forms studied indicate the possibility of a relation between them. / Denna rapport beskriver högre ordningens differentialformer med tillämpningar inom topologiska fenomen. Den heltaliga kvantmekaniska Halleffekten beskrivs först, som ett exempel på ett samband mellan modeller på ett gitter och kvantfältteorier som förbindas av topologiska invarianter, specifikt Chern-talet. För parametriserade modeller på ett gitter beskrivs därefter den högre Berrykrökningen. Detta är en differentialform av ordning (d + 2) definierad på en (d + 2)-dimensionell parametermångfald som ger en koppling mellan modeller i en kropps inre och på dens gränsskikt, som är i en lägre dimension. Slutligen konstrueras en familj av kvantfältteorier som är kopplade till en (d + 1)-dimensionell mångfald kallad modellens målrum. Denna koppling realiseras genom introduktionen av ett antal klassiska fält, och den effektiva verkan för den fullständiga teorin innehåller en Wess-Zumino-Witten-term som ges av en tillbakadragen (d + 1)-form från målrummet till rumtiden. Genom att utvidga rumtiden kan även en (d + 2)-form på en (d + 2)-dimensionellt målrum konstrueras på ett motsvarande sätt. Utvidgningen av en teori i d dimensioner ger därmed en differentialform på ett målrum med samma dimension som målrummet för en (d + 1)-dimensionell teori utan utvidning, vilket definierar en dimensionell hierarki. Dimensionsrelationerna inbyggda i dessa två differentialformer indikerar den möjliga existensen av en relation mellan dem.

This thesis explores a new way to analyze spatiotemporal data. By combining topology, the path signature and machine learning a robust model to analyze swarming behavior over time is created. Using persistent homology a representation of spatial data is obtained and the path signature gives us a representation for how this changes over time. This representation allows us to compare samples even if they have different amounts of time steps and different length of the sequence. It is also resistant to noise in the spatial representation. Using this data is then used to train a gaussian process regressor to extract parameters that govern the movement of swarms. Our analysis shows that the tested method is a good candidate for analyzing spatiotemporal data and that it warrants further studies. / Detta examensarbete utforskar ett nytt sätt att analysera spatiotemporal data. Genom att kombinera topologi, vägsignaturer och maskininlärning skapas en robust modell för att analysera svärmar beter sig över tid. Genom persistent homology erhålls en representation av spatial data och dess vägsignatur ger oss en representation för hur detta förändras över tiden. Denna representation gör det möjligt för oss att jämföra data även om de har olika antal tidssteg och sekvenserna är olika långa. Den är också motståndskraftig mot brus i den spatiala representationen. Denna data används sedan för att träna en gaussisk process-regressor för att extrahera parametrar som styr svärmarnas rörelse. Vår analys visar att den testade metoden är en bra kandidat för att analysera spatiotemporal data och att den är värd att studera ytterligare.

Stable rank has recently been proposed as an invariant to encode the result of persistent homology, a method used in topological data analysis. In this thesis we develop methods for statistical analysis as well as machine learning methods based on stable rank. As stable rank may be viewed as a mapping to a Hilbert space, a kernel can be constructed from the inner product in this space. First, we investigate this kernel in the context of kernel learning methods such as support-vector machines. Next, using the theory of kernel embedding of probability distributions, we give a statistical treatment of the kernel by showing some of its properties and develop a two-sample hypothesis test based on the kernel. As an alternative approach, a mapping to a Euclidean space with learnable parameters can be conceived, serving as an input layer to a neural network. The developed methods are first evaluated on synthetic data. Then the two-sample hypothesis test is applied on the OASIS open access brain imaging dataset. Finally a graph classification task is performed on a dataset collected from Reddit. / Stable rank har föreslagits som en sammanfattning på datanivå av resultatet av persistent homology, en metod inom topologisk dataanalys. I detta examensarbete utvecklar vi metoder inom statistisk analys och maskininlärning baserade på stable rank. Eftersom stable rank kan ses som en avbildning i ett Hilbertrum kan en kärna konstrueras från inre produkten i detta rum. Först undersöker vi denna kärnas egenskaper när den används inom ramen för maskininlärningsmetoder som stödvektormaskin (SVM). Därefter, med grund i teorin för inbäddning av sannolikhetsfördelningar i reproducing kernel Hilbertrum, undersöker vi hur kärnan kan användas för att utveckla ett test för statistisk hypotesprövning. Slutligen, som ett alternativ till metoder baserade på kärnor, utvecklas en avbildning i ett euklidiskt rum med optimerbara parametrar, som kan användas som ett ingångslager i ett neuralt nätverk. Metoderna utvärderas först på syntetisk data. Vidare utförs ett statistiskt test på OASIS, ett öppet dataset inom neuroradiologi. Slutligen utvärderas metoderna på klassificering av grafer, baserat på ett dataset insamlat från Reddit. / <p>QC 20200523</p>

The theory of multidimensional persistence was introduced in a paper by G. Carlsson and A. Zomorodian as an extension to persistent homology. The central object in multidimensional persistence is the persistence module, which represents the homology of a multi filtered space. In this thesis, a novel algorithm for computing the persistence module is described in the case where the homology is computed with coefficients in a field. An algorithm for computing the feature counting invariant, introduced by Chachólski et al., is investigated. It is shown that its computation is in general NP-hard, but some special cases for which it can be computed efficiently are presented. In addition, a generalization of the barcode for persistent homology is defined and conditions for when it can be constructed uniquely are studied. Finally, a new topology is investigated, defined for fields of characteristic zero which, via the feature counting invariant, leads to a unique denoising of a tame and compact functor. / Teorin om multidimensionell persistens introduserades i en artikel av G. Carlsson och A. Zomorodian som en generalisering av persistent homologi. Det centrala objektet i multidimensionell persistens är persistensmodulen, som representerar homologin av ett multifilterat rum. I denna uppsats beskrivs en ny algoritm för beräkning av persistensmodulen i fallet där homologin beräknas med koefficienter i en kropp. En algoritm för beräkning av karaktäristik-räknings-invarianten, som introducerade av Chachólski et al., utforskas och det visar sig att dess beräkning i allmänhet är NP-svår. Några specialfall för vilka den kan beräknas effektivt presenteras. Vidare definieras en generalisering av stäckkoden för persistent homologi och kraven för när den kan konstrueras unikt studeras. Slutligen undersöks en ny topologi, definierad för kroppar av karaktäristik noll, som via karaktäristik-räknings-invarianten leder till en unik avbränning.

Topological Photonics is a rapidly growing field which explores the ideas of topological invariants adapted from condensed matter physics to optical systems. Thanks to integrated photonics platforms, the evolution of light in nanoscale photonic lattices can enable direct measurement of topological properties of the band-structure. In this degree project, we study the topological Anderson phase transition in disordered one-dimensional lattices, and probe distinct topological phases in photonic superlattices. In first part, we fabricate photonic lattices with different disorder strength, and observe the topological transition from trivial topological Anderson phase to non-trivial topological Anderson phase as the system disorder is increased. In second part, we focus on probing the Zak phase in photonic superlattices. We fabricate a superlattice system that utilizes either bulk excitation or edge excitation. We identify the trivial and non-trivial Zak phase using two methods: first, through reconstructing the intensity evolution in the edge waveguide, second, through calculating the beam displacement in the case of bulk excitation .  In order to study the evolution of the light in the nano-scaled photonic lattices, we develop a novel technique: Loss-Induced Scattering Approach (LISA), which enables high fidelity reconstruction of the photonic state evolving in the lattice. / Topologisk fotonik är ett snabbt växande område som utforskar idéerna om topologiska invarianter anpassade från kondenserad materiens fysik till optiska system. Tack vare integrerade fotonikplattformar kan ljusutvecklingen i fotoniska gitter i nanoskala möjliggöra direkt mätning av topologiska egenskaper hos bandstrukturen. I detta examensarbete studerar vi den topologiska Anderson-fasövergången i oordnade endimensionella gitter, och undersöker distinkta topologiska faser i fotoniska supergitter. I den första delen tillverkar vi fotoniska gitter med olika störningsstyrka och observerar den topologiska övergången från trivial topologisk Anderson-fas till icke-trivial topologisk Anderson-fas när systemstörningen ökar. I den andra delen fokuserar vi på att sondera Zak-fasen i fotoniska supergitter. Vi tillverkar ett supergittersystem som använder antingen bulkexcitering eller kantexcitering. Vi identifierar den triviala och icke-triviala Zak-fasen med två metoder: för det första genom att rekonstruera intensitetsutvecklingen i kantvågledaren, för det andra genom att beräkna strålens förskjutning vid bulkexcitation. För att studera utvecklingen av ljuset i de nanoskalade fotoniska gittren, utvecklar vi en ny teknik: Loss-Induced Scattering Approach (LISA), som möjliggör högtrohetsrekonstruktion av det fotoniska tillståndet som utvecklas i gittret.

With the multi-layered flocking system it is possible to simulate flocks that contain different types of agents that can be of various different sizes (variations in bounding radius and height). In the original implementation, the multi-layered flocking system uses a metric distance to find the nearest-neighbours of agents. However, results from real life field studies suggest that animals interact with each other in a flock using a topological distance. The goal of this thesis is therefore to implement a version of the multi-layered flocking system that uses a topological distance for interaction between agents. This is done by adapting two methods that are used to find the k-nearest neighbours (kNN), namely the original spatial partitioning method (OSP method) and the enhanced spatial partitioning method (ESP method), to work with the multi-layered flocking system. The aim is to compare the performance of these methods in terms of query time for four different flocking scenarios (standard, obstacle, follow and steer away). The implementation contains two types of agents of two different sizes. In the standard scenario all agents move together as a flock. The obstacle scenario is similar to the standard scenario with the addition that the simulation space contains stationary obstacles. In the follow scenario the smaller sized agents follow the bigger sized agents, and in the steer away scenario the smaller sized agents steer away from the bigger sized agents. An evaluation of how different numbers of kNN affect the collective motion (polarization, extension and frequency of collisions) of the flock in the four different scenarios is also done. The evaluation was performed by implementing the multi-layered flocking system in the Unity game engine, and running simulations with flocks of different sizes (125-3125 agents) and using different numbers of interacting kNN (k=5,10,15,20) for each of the scenarios. The results show that the ESP method on average is at least twice as fast compared to the OSP method in all four flocking scenarios, and the improvement in performance in query time did not differ much between the scenarios. Moreover, a value of k=10 was shown to be a good compromise between having fast kNN query times for the ESP method, but still having flocks of agents moving in a collective manner. / Med ett flerskiktigt flockningssystem är det möjligt att simulera flockar som innehåller olika typer av agenter som kan vara av olika storlekar (variation i begränsningsradie och längd). I den ursprungliga implementeringen av det flerskiktigt flockningssystem används ett metriskt avstånd för att hitta de närmaste grannarna till agenterna. Resultat från fältstudier tyder dock på att i verkligheten interagerar djur i en flock med varandra genom ett topologiskt avstånd. Målet med denna avhandling är därför att implementera en version av det flerskiktigt flockningssystem som använder ett topologiskt avstånd för att hitta de närmaste grannarna till agenterna. Detta görs genom att anpassa två metoder som kan användas för att hitta en agents k-närmaste grannar till det flerskiktigt flockningssystem. Dessa två metoder kallas den ursprungliga spatiala partitioneringsmetoden (OSP metoden) och den förbättrade spatiala partitioneringsmetoden (ESP metoden). Syftet är att jämföra prestandan mellan dessa två metoder, vilket mäts i tid som det tar att hitta de k-närmaste grannarna för varje metod. Jämförelser genomförs för fyra olika typer av scenarion (standard, hinder, följ och styr ifrån). I standard scenariot rör sig alla agenter tillsammans som en flock. Hinder scenariot liknar standard scenariot med tillägget att simuleringsmiljön består av ett antal stationära hinder. I följ scenariot så följer de mindre agenterna de större agenterna, och i styr ifrån scenariot så försöker de mindre agenterna fly från de större agenterna. Vidare görs en utvärdering av hur olika antal k-närmaste grannar påverkar den totala flockens samlade rörelse (polarisering, förlängning och frekvens av kollisioner) för de olika scenarierna. Utvärderingen görs genom att implementera det flerskiktiga flockningssystemet med de ovan nämnda k-närmaste grannar metoderna i spelmotorn Unity. Ett flertal simuleringar genomförs sedan för de fyra scenarierna och dessa består av olika flockstorlekar (125-3125 agenter) och använder olika värden på k (k=5,10,15,20). Resultaten visar att ESP metoden i genomsnitt är dubbelt så snabb jämfört med OSP metoden. Dessutom visades ett värde på k=10 vara en bra kompromiss mellan att snabbt hitta de k-närmaste grannarna när ESP metoden används, men också ha flockar av agenter som rör sig kollektivt.

This thesis aims to give insight into a novel approach for quantifying car traffic in developing cities. This is necessary to improve efficiency in resource allocation for improvements in infrastructure. The project took form of a case study of neighborhoods in the city of Nairobi, Kenya. The approach consists of a method which relies on topics from the field of Topological Data Analysis, together with the use of large data sources from taxi services in the city. With this, both qualitative and quantitative insight can be given about the traffic. The method was proven useful for understanding how traffic spreads, and to differentiate between levels of congestion: quantifying it. However, it failed to detect the effect of previous improvements of infrastructure. / Målet med rapporten är att ge insikt i en innovativ ansats för att kvantifiera biltrafik i utvecklingsstäder. Detta kommer som en nödvändighet för att kunna förbättra resursfördelning i utvecklandet av infrastruktur. Projektet utspelade sig som en fallstudie där stadsdelar i Nairobi, Kenya studerades. Ansatsen innefattar en metod som bygger på tekniker från topologisk dataanalys (eng. \textit{Topological Data Analysis}), tillsammans med stora datakällor från taxitjänster i staden. Detta hoppas ge både kvalitativ och kvantitativ information om trafiken i staden. Metoden visade sig vara användbar för att förstå hur trafik sprider sig och att differentiera mellan nivåer av trafik, alltså att kvantifiera den. Tyvärr så misslyckades metoden visa sig användbar för att mäta förbättringar i infrastruktur.