This thesis concerns the topological features of plane geometric shapes and financial transaction data. Topological properties of the data such as homology groups and their stable ranks are analysed. It is investigated how to mathematically describe differences between data sets and it is found that stable ranks can be used to capture these differences. Sub sampling is introduced as a way to apply stochastic methods to geometric structures. It is found that the average stable rank can be used to differentiate data sets. Furthermore, the sensitivity of average stable ranks to random noise is explored and it is studied how a single point changes the average stable ranks of geometric shapes and financial transaction data. A method to incorporate categorical data within the analysis is introduced. The theory is applied to financial transaction data with the objective to understand if there are topological differences between fraudulent and legit transactions which can be used to classify them. / I denna uppsats analyseras finansiell transaktionsdata samt plana geometriska objekt med hjälp av verktyg inom Topologisk Dataanalys. Topologiska egenskaper såsom homologi samt stabil rang analyseras och det undersöks hur en matematiskt kan beskriva skillnaden mellan geometriska objekt. Det visar sig att simplistiska komplex och dess motsvarande stabila rang kan användas för att beskriva dessa skillnader. Det undersöks även hur stokastiska metoder kan appliceras på geometrisk data och begreppet genomsnittlig stabil rang introduceras. Känsligheten för brus hos den genomsnittliga stabila rangen undersöks för plana objekt och det undersöks hur den genomsnittliga stabila rangen av en datamängd ändras om en datapunkt läggs till. En metod för att beskriva avstånd på kategorisk data introduceras eftersom analysen av stabil rang kräver ett definierat avstånd mellan datapunkter. Det undersöks huruvida det finns topologiska skillnader mellan bedrägliga och icke-bedrägliga transaktioner, samt om det finns skillnader mellan olika typer av bedrägliga transaktioner.

<p>In this overview I describe the simplest models for the quantum Hall and quantum spin Hall effects, and give some general indications as to the description of topological insulators. As a background to the theoretical models I will first trace the development leading up to the description of topological insulators . Then I will present Laughlin's original model for the quantum Hall effect and briefly discuss its limitations. After that I will describe the Kane and Mele model for the quantum spin Hall effect in graphene and discuss its relation to a general quantum spin Hall system. I will conclude by giving a conceptual description of topological insulators and mention some potential applications of such states.</p>

In this overview I describe the simplest models for the quantum Hall and quantum spin Hall effects, and give some general indications as to the description of topological insulators. As a background to the theoretical models I will first trace the development leading up to the description of topological insulators . Then I will present Laughlin's original model for the quantum Hall effect and briefly discuss its limitations. After that I will describe the Kane and Mele model for the quantum spin Hall effect in graphene and discuss its relation to a general quantum spin Hall system. I will conclude by giving a conceptual description of topological insulators and mention some potential applications of such states.

Topological insulators are materials with their electronic band structure in bulk resembling that of an ordinary insulator, but the surface states are metallic. These surface states are topologically protected, meaning that they are robust against impurities. The topological phenomena of three dimensional topological insulators can be expressed within topological field theories, predicting axion electrodynamics and the topological magnetoelectric effect. An experiment have been suggested to measure the topological phenomena. In this thesis, the underlying theory and details around the experiment are explained and more detailed derivations and expressions are provided.

Det har blivit mer och mer vanligt med ny, datoriserad teknik i hemmen. Fler människor har ett allt stressigare liv och inte längre samma tid att ta hand om det egna hemmet. Behovet av en hjälpande hand med hushållsarbete har blivit allt större. Tänk själv att komma hem från jobbet eller skolan och så har golvet blivit skinande rent utan att Ni knappt har behövt göra någonting! Det finns idag flera olika robotar på marknaden för detta ändamål. En av dessa är den autonoma dammsugaren, som är det vi inriktat vår uppsats på. I huvudsak är uppsatsen inriktad på mjukvaran, som kan användas i en autonom dammsugare. Vi har valt att titta närmare på två stycken sökalgoritmer, som kan användas av autonoma mobila robotar, exempelvis en autonom dammsugare, som har i uppdrag att täcka en hel obekant yta. Dessa algoritmer är Spanning Tree Covering (STC) och ”A Topological Coverage Algorithm”, också kallad ”Landmark-based World Model” (fritt översatt till Topologisk Täckande Algoritm, TTA). Vi har också undersökt hur ett av Sveriges största märken på marknaden för autonoma dammsugare, nämligen Electrolux Trilobite ZA1, klarar sig i test. Vi har även analyserat testet med Trilobiten och jämfört detta med antaget beteende hos Trilobiten ifall den hade varit implementerad med sökalgoritmerna STC eller TTA. Hur fungerar sökalgoritmerna? Hur kan en autonom dammsugare hitta på en hel obekant yta? Hur beter sig Electrolux Trilobite ZA1? Täcker de alla en obekant yta? Är de effektiva?

Parkinson’s Disease (PD) is the fastest growing neurodegenerative disease, currently affecting two to three percent of the population over 65. Studying functional connectivity (FC) in PD patients may provide new insights into how the disease alters brain organization in different subjects. We explored persistent homology (PH) as a method for studying FC based on the functional magnetic resonance imaging (fMRI) recordings of 63 subjects, of which 56 were diagnosed with PD.  We used PH to translate each set of fMRI recordings into a stable rank. Stable ranks are homological invariants that are amenable for statistical analysis. The pipeline has multiple parameters, and we explored the effect of these parameters on the shape of the stable ranks. Moreover, we fitted functions to reduce the stable ranks to points in two or three dimensions. We clustered the stable ranks based on the fitted parameter values and based on the integral distance between them. For some of the parameter combinations, not all clusters were located in the space covered by controls. These clusters correspond to patients with a topologically distinct connectivity structure, which may be clinically relevant. However, we found no relation between the clusters and the medication status or cognitive ability of the patients. It should be noted that this study was an exploration of applying persistent homology to PD data, and that statistical testing was not performed. Consequently, the presented results should be considered with care. Furthermore, we did not explore the full parameter space, as time was limited and the data set was small. In a follow-up study, a measurable desired outcome of the pipeline should be defined and the data set should be expanded to allow for optimizing over the full parameter space. / Parkinsons sjukdom är den snabbast växande neurodegenerativa sjukdomen och drabbar för närvarande två till tre procent av befolkningen över 65 år. Att studera funktionell konnektivitet (FC) hos patienter med Parkinson kan ge nya insikter om hur sjukdomen förändrar hjärnans uppsättning i olika områden. Vi använde oss av persistent homologi (PH) som en metod för att studera FC baserat på inspelningar av funktionell magnetresonanstomografi (fMRI) av 63 försökspersoner varav 56 hade diagnosen PD. Vi använde oss av persistent homologi (PH) som en metod för att studera FC baserat på inspelningar av funktionell magnetresonanstomografi (fMRI) av 63 försökspersoner varav 56 hade diagnosen PD. Vi använde PH för att översätta varje uppsättning fMRI-prov vardera till en stable rank. Stable ranks är homologiska invarianter som är lämpliga för statistisk analys. Pipelinen har flera parametrar och vi undersökte effekten av dessa parametrar på formen av dessa stable ranks. Vi anpassade funktioner för att reducera alla stable ranks till punkter i två eller tre dimensioner. Vi grupperade alla stable ranks utifrån de anpassade parametervärdena och utifrån det integrala avståndet mellan dem. För vissa parameterkombinationer kunde inte alla kluster inom det område som täcks av kontrollerna bli funna. Dessa kluster motsvarar patienter med en topologiskt distinkt konnektivitetsstruktur, vilket kan vara kliniskt relevant. Vi fann dock inget samband mellan klustren och patienternas läkemedelsstatus eller kognitiva förmåga.  Det bör noteras att den här studien var en undersökning på tillämpningen av persistent homologi på PD-data och att statistiska tester inte utfördes. Följaktligen bör de presenterade resultaten betraktas med försiktighet. Dessutom undersökte vi inte hela parameterutrymmet eftersom tiden var begränsad och datamängden liten. I en uppföljningsstudie bör man definiera ett mätbart önskat resultat av pipelinen och datamängden bör utökas för att möjliggöra optimering av hela parameterutrymmet.

This thesis explores the possibility of using session-based customers data from Svenska Handelsbanken AB to detect fraudulent sessions. Tools within Topological Data Analysis are employed to analyse customers behavior and examine topological properties such as homology and stable rank at the individual level. Furthermore, a RNN-LSTM model is, on a general behaviour level, trained to predict the customers next event and investigate its potential to detect anomalous behavior. The results indicate that simplicial complexes and their corresponding stable rank can be utilized to describe differences between genuine and fraudulent sessions on individual level. The use of a neural network suggests that there are deviant behaviors on general level concerning the difference between fraudulent and genuine sessions. The fact that this project was done without internal bank knowledge of fraudulent behaviour or historical knowledge of general suspicious activity and solely by data handling and anomaly detection shows great potential in session-based detection. Thus, this study concludes that the use of Topological Data Analysis and Neural Networks for detecting fraud and anomalous events provide valuable insight and opens the door for future research in the field. Further analysis must be done to see how effectively one could detect fraud mid-session. / I följande uppsats undersöks möjligheten att använda sessionbaserad kunddata från Svenska Handelsbanken AB för att detektera bedrägliga sessioner. Verktyg inom Topologisk Dataanalys används för att analysera kunders beteende och undersöka topologiska egenskaper såsom homologi och stabil rang på individnivå. Dessutom tränas en RNN-LSTM modell på en generell beteende nivå för att förutsäga kundens nästa händelse och undersöka dess potential att upptäcka avvikande beteende. Resultaten visar att simpliciella komplex och deras motsvarande stabil rang kan användas för att beskriva skillnader mellan genuina och bedrägliga sessioner på individnivå. Användningen av ett neuralt nätverk antyder att det finns avvikande beteenden på en generell nivå avseende skillnaden mellan bedrägliga och genuina sessioner. Det faktum att detta projekt genomfördes utan intern bankkännedom om bedrägerier eller historisk kunskap om allmäna misstänksamma aktiviteter och enbart genom datahantering och anomalidetektion visar stor potential för sessionbaserad detektion. Därmed drar denna studie slutsatsen att användningen av topologisk dataanalys och neurala nätverk för att upptäcka bedrägerier och avvikande händelser ger värdefulla insikter och öppnar dörren för framtida fortsätta studier inom området. Vidare analyser måste göras för att se hur effektivt man kan upptäcka bedrägerier mitt i sessioner.

Variational Auto-Encoders (VAEs) are one of the most famous deep generative models. After showing that standard VAEs may not preserve the topology, that is the shape of the data, between the input and the latent space, we tried to modify them so that the topology is preserved. This would help in particular for performing interpolations in the latent space. Our main contribution is two folds. Firstly, we propose successfully the InvMap-VAE which is a simple way to turn any dimensionality reduction technique, given its embedding, into a generative model within a VAE framework providing an inverse mapping, with all the advantages that this implies. Secondly, we propose the Witness Simplicial VAE as an extension of the Simplicial Auto-Encoder to the variational setup using a Witness Complex for computing a simplicial regularization. The Witness Simplicial VAE is independent of any dimensionality reduction technique and seems to better preserve the persistent Betti numbers of a data set than a standard VAE, although it would still need some further improvements. Finally, the two first chapters of this master thesis can also be used as an introduction to Topological Data Analysis, General Topology and Computational Topology (or Algorithmic Topology), for any machine learning student, engineer or researcher interested in these areas with no background in topology. / Variations autokodare (VAE) är en av de mest kända djupa generativa modellerna. Efter att ha visat att standard VAE inte nödvändigtvis bevarar topologiska egenskaper, det vill säga formen på datan, mellan inmatningsdatan och det latenta rummet, försökte vi modifiera den så att topologin är bevarad. Det här skulle i synnerhet underlätta när man genomför interpolering i det latenta rummet. Denna avhandling består av två centrala bidrag. I första hand så utvecklar vi InvMap-VAE, som är en enkel metod att omvandla vilken metod inom dimensionalitetsreducering, givet dess inbäddning, till en generativ modell inom VAE ramverket, vilket ger en invers avbildning och dess tillhörande fördelar. För det andra så presenterar vi Witness Simplicial VAE som en förlängning av en Simplicial Auto-Encoder till dess variationella variant genom att använda ett vittneskomplex för att beräkna en simpliciel regularisering. Witness Simplicial VAE är oberoende av dimensionalitets reducerings teknik och verkar bättre bevara Betti-nummer av ett dataset än en vanlig VAE, även om det finns utrymme för förbättring. Slutligen så kan de första två kapitlena av detta examensarbete också användas som en introduktion till Topologisk Data Analys, Allmän Topologi och Beräkningstopologi (eller Algoritmisk Topologi) till vilken maskininlärnings student, ingenjör eller forskare som är intresserad av dessa ämnesområden men saknar bakgrund i topologi.

With the arrival of 5G networks, telecommunication systems are becoming more intelligent, integrated, and broadly used. This thesis focuses on predicting the upcoming traffic to efficiently promote resource allocation, guarantee stability and reliability of the network. Since networks modeled as graphs potentially capture more information than tabular data, the construction of the graph and choice of the model are key to achieve a good prediction. In this thesis traffic prediction is based on a time-evolving graph, whose node and edges encode the structure and activity of the system. Edges are created by dynamic time-warping (DTW), geographical distance, and $k$-nearest neighbors. The node features contain different temporal information together with spatial information computed by methods from topological data analysis (TDA). To capture the temporal and spatial dependency of the graph several dynamic graph methods are compared. Throughout experiments, we could observe that the most successful model GConvGRU performs best for edges created by DTW and node features that include temporal information across multiple time steps. / Med ankomsten av 5G nätverk blir telekommunikationssystemen alltmer intelligenta, integrerade, och bredare använda. Denna uppsats fokuserar på att förutse den kommande nättrafiken, för att effektivt hantera resursallokering, garantera stabilitet och pålitlighet av nätverken. Eftersom nätverk som modelleras som grafer har potential att innehålla mer information än tabulär data, är skapandet av grafen och valet av metod viktigt för att uppnå en bra förutsägelse. I denna uppsats är trafikförutsägelsen baserad på grafer som ändras över tid, vars noder och länkar fångar strukturen och aktiviteten av systemet. Länkarna skapas genom dynamisk time warping (DTW), geografisk distans, och $k$-närmaste grannarna. Egenskaperna för noderna består av dynamisk och rumslig information som beräknats av metoder från topologisk dataanalys (TDA). För att inkludera såväl det dynamiska som det rumsliga beroendet av grafen, jämförs flera dynamiska grafmetoder. Genom experiment, kunde vi observera att den mest framgångsrika modellen GConvGRU presterade bäst för länkar skapade genom DTW och noder som innehåller dynamisk information över flera tidssteg.

This Master's Thesis delves into the application of topological regularization techniques and relative latent representations within the realm of zero-shot model stitching. Building upon the prior work of Moschella et al. (2022) that introduces relative latent representations to enhance the similarities between latent spaces of different models, we incorporate the approach of Hofer et al. (2021), which combines Topological Data Analysis (TDA) and Machine Learning techniques for topological densification of class distributions in the latent space. The main research objective is to investigate the impact of topological regularization on zero-shot stitching performance when employing relative latent representations. Theoretical foundations for the relative transformation are established based on the intertwiner groups of activation functions. Empirical analyses are conducted to validate the assumptions underlying the construction of the relative transformation in the latent space. Moreover, experiments are performed on a Large Language Model trained on multilingual Amazon Reviews datasets to evaluate the effectiveness of zero-shot stitching while using the topological densification technique and the relative transformation. The findings indicate that the proposed methodologies can enhance the performance of multilingual model stitching. Specifically, enforcing the relative transformation to preserve the H0 homology death times distributions proves beneficial. Additionally, the presence of similar topological features plays a crucial role in achieving higher model compatibility. However, a more in-depth exploration of the geometric properties of the post-relative transformation latent space is necessary to further improve the topological densification technique. Overall, this work contributes to the emerging field of Topological Machine Learning and provides valuable insights for researchers in transfer learning and representation learning domains. / Denna masteruppsats undersöker tillämpningen av topologiska regleringstekniker och relativa latenta representationer inom området för zero-shot model stitching. Genom att bygga vidare på tidigare arbete av Moschella et al. (2022), som introducerade relativa latenta representationer för att förbättra likheterna mellan latenta rummet hos olika modeller, inkorporerar vi tillvägagångssättet av Hofer et al. (2021), som kombinerar topologisk dataanalys (TDA) och maskininlärningstekniker för topologisk ``förtätning'' av klassfördelningar i det latenta utrymmet. Den huvudsakliga forskningsuppgiften är att undersöka effekten av topologisk reglering på zero-shot model stitching-prestanda när man använder relativa latenta representationer. Teoretiska grunder för den relativa transformationen etableras baserat på intertwinergrupperna för aktiveringsfunktioner. Empiriska analyser genomförs för att validera antagandena som ligger till grund för konstruktionen av den relativa transformationen i det latenta rummen. Dessutom utförs experiment på en stor språkmodell tränad på multilinguella Amazon Reviews-dataset för att utvärdera effektiviteten hos zero-shot model stitching med Hofer's topologiska reglering och relativa transformation. Resultaten visar att de föreslagna metoderna kan förbättra prestationen hos zero-shot model stitching för flerspråkiga modeller. Specifikt är det fördelaktigt att tvinga den relativa transformationen att bevara H0 homologins dödstidsfördelningar. Dessutom spelar närvaron av liknande topologiska egenskaper en avgörande roll för att uppnå högre modellkompatibilitet. Dock krävs en mer ingående utforskning av de geometriska egenskaperna hos det latenta utrymmet efter den relativa transformationen för att ytterligare förbättra Hofer's topologiska reglering. Sammanfattningsvis bidrar detta arbete till det framväxande området Topologisk Maskininlärning och ger värdefulla insikter för forskare inom ``transfer-inlärning'' och representationsinlärningsdomäner.