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The largest and most difficult numerical approximation error to estimate is discretization error. Residual-based discretization error estimation methods are a category of error estimators that use an estimate of the source of discretization error and information about the specific application to estimate the discretization error using only one grid level. The higher-order terms are truncated from the discretized equations and are the local source of discretization error. The accuracy of the resulting discretization error estimate depends solely on the accuracy of the estimated truncation error. Residual-based methods require only one grid level compared to the more commonly used Richardson extrapolation which requires at least two. Reducing the required number of grid levels reduces computational expense and, since only one grid level is required, can be applied to unstructured grids where multiple quality grid levels are difficult to produce. The two residual-based discretization error estimators of interest are defect correction and error transport equations. The focus of this work is the development, improvement, and evaluation of various truncation error estimation methods considering the accuracy of the truncation error estimate and the resulting discretization error estimates. The minimum requirements for accurate truncation error estimation is specified along with proper treatment for several boundary conditions. The methods are evaluated using various Euler and Navier-Stokes applications. The discretization error estimates are compared to Richardson extrapolation. The most accurate truncation error estimation method was found to be the k-exact method where the fine grid with a correction factor was considerably reliable. The single grid methods including the k-exact require that the continuous operator be modified at the boundary to be consistent with the implemented boundary conditions. Defect correction showed to be more accurate for areas of larger discretization error; however, the cost was substantial (although cheaper than the primal problem) compared to the cost of solving the ETEs which was essential free due to the linearization. Both methods showed significantly more accurate estimates compared to Richardson extrapolation especially for smooth problems. Reduced accuracy was apparent with the presence of stronger shocks and some possible modifications to adapt to singularies are proposed for future work. / Ph. D.

Numerical solutions obtained through the use of Computational Fluid Dynamics (CFD) are subject to discretization error, which is locally generated by truncation error. The discretization error is extremely difficult to properly estimate and this in turn leads to uncertainty over the quality of the numerical solutions obtained via CFD methods and the engineering functionals computed using these solutions. Adjoint error estimation techniques specifically seek to estimate the error in functionals, but are dependent upon accurate truncation error estimates. This work examines the application of new, single-grid, truncation error estimation procedures to the problem of adjoint error estimation for both the quasi-1D and 2D Euler equations. The new truncation error estimation techniques are based on local reconstructions of the computed solutions and comparisons are made for the quasi-1D study in order to determine the most appropriate solution variables to reconstruct as well as the most appropriate reconstruction method. In addition, comparisons are made between the single-grid truncation error estimates and methods based on uniformally refining or coarsening the underlying numerical mesh on which the computed solutions are obtained. A method based on an refined grid error estimate is shown to work well for a non-isentropic flow for the quasi-1D Euler equations, but all truncation error estimations methods ultimately result in over prediction of functional discretization error in the presence of a shock in 2D. Alternatives to adjoint methods, which can only estimate the error in a single functional for each adjoint solution obtained, are examined for the 2D Euler equations. The defection correction method and error transport equations are capable of locally improving the entire computed solution, allowing for error estimates in multiple functionals. It is found that all three functional discretization error estimates perform similarly for the same truncation error estimate, although the defect correction method is the most costly from a computational viewpoint. Comparisons are made between truncation error and adjoint weighted truncation error based adaptive indicators. For the quasi-1D Euler equations it is found that both methods are competitive, however the truncation error based method is cheaper as a separate adjoint solve is avoided. For the 2D Euler equations, the truncation error estimates on the adapted meshes suffer due to a lack of smooth grid transformations which are used in reconstructing the computed solutions. In order to complete this work, a new CFD code incorporating a variety of best practices from the field of Computer Science is developed as well as a new method of performing code verification using the method of manufactured solutions which is significantly easier to implement than traditional manufactured solution techniques. / Ph. D.

In this thesis we design and study a particle method that can be used to numericallyapproximate solutions to the quadratic porous medium equation. The idea consists offirst approximating the porous medium equation using a non-local transport equation,to which we approximate the solution with a particle method. We prove that theparticle method converges, in a suitable norm, to the solution to the non-localtransport equation. We provide numerical simulations to illustrate this convergenceand estimate the order of convergence. In particular, we use the particle method toapproximate the Barenblatt solutions to the quadratic porous medium equation. Theanalysis of the partial differential equations is to a large extent carried out in the senseof integrable functions, while the analysis of the particle method relies on a dualityapproach on the space of finite signed Radon measures. / Vi konstruerar och undersöker en partikelmetod som kan användas för att lösaden kvadratiska porös-medium-ekvationen numeriskt. Huvudidén är att förstapproximera ekvationen med en icke-lokal transportekvation, som vi sedan lösernumeriskt med en partikelmetod.Vi bevisar att partikelmetoden konvergerar, i en passande norm, till lösningen tillden icke-lokala transport-ekvationen. Vi presenterar numeriska simulationer föratt illustera denna konvergens och estimera hur snabb konvergensen är. För attgöra detta försöker vi använda partikelmetoden för att approximera Barenblattslösningar till den kvadratiska porös-medium-ekvationen. Vår analys av de partielladifferentialekvationerna görs till stor del i rummet av Lebesgue-integrerbarafunktioner, medan vår analys av partikelmetoden är baserad på att se rummet avändliga Radon-mått som ett underrum till ett dualrum.

In this study, a qualitative and comparative investigation on sediment transport equations used in prediction of rserevoir sedimentation is presented. 32 sediment transport equations, which are selected by literature review on sand and gravel size ranges, grouped according to the median particle sizes on which their derivation based. In order to compare these equations computer program DELTA, which is a one dimensional simulation program developed by Graf and Altinakar (1998) for the prediction of delta formation in resrvoirs, is used. Computer simulation is performed within each group of sediment transport equations in order to determine the most suitable equation for corresponding median diameter of sediment particles. 8 of the equations gave simulation results that are in good agreement with average values related to delta deposition extent, height and location in the reservoir. The effects of river slope change and median diameter change on delta deposition also investigated and simulation results are compared with previous model studies.

Un coeur de pile à combustible est un système multi-physique couplant des phénomènes de transport de matière et de charges (dans les électrodes et l'électrolyte), et de cinétique électrochimique (au niveau des sites réactionnels) ; phénomènes auxquels s'ajoutent des problèmes de thermique et de distribution des gaz réactifs. De nombreux modèles permettent de décrire localement ces phénomènes, par le biais d'équations aux dérivées partielles faisant intervenir l'espace et le temps. Ces modèles, aussi précis soient-ils, ne sont en pratique guère utilisables dans une approche système, dès lors que l'on cherche à étudier un ensemble complexe dans lequel le coeur de pile n'est qu'un élément parmi d'autres. Il existe bien des modèles dynamiques semi-empiriques pour lesquels la cellule électrochimique est représentée par un circuit électrique équivalent dont certains paramètres sont déterminés expérimentalement, par des mesures spectroscopiques en particulier. L'inconvénient de cette approche vient de ce que les modèles obtenus, de type "petits signaux", ne sont en toute rigueur valables qu'autour d'un point de fonctionnement. Les travaux présentés dans ce mémoire traite du développement, de la validation expérimentale et de l'exploitation d'un modèle électrique local 1D de cellule de pile à combustible PEM, de type circuit pour une implantation directe dans les logiciels de simulation des systèmes électriques (Saber® dans notre cas), et dont les éléments sont calculés par analogie électrique à partir des phénomènes physiques dont la pile est le siège. Ce modèle est dynamique, il rend compte du phénomène de couche double électrique, et de l'influence des conditions opératoires, notamment l'alimentation en gaz (sur-alimentation, sous-alimentation transitoire), sur le comportement électrique et les performances de la cellule. Le premier chapitre fait un état des lieux des modèles de pile existants, et permet de situer notre travail dans ce contexte. Le chapitre 2 est consacré à la mise en équation traduisant les phénomènes : transport des gaz dans les couches de diffusion et de l'eau dans la membrane, transport des charges dans les électrodes et la membrane, cinétique électrochimique aux interfaces membrane-électrode, couche double électrique, conditions aux limites. Nous y détaillons également la représentation analogique permettant de traiter les équations de transport dans un environnement de calcul dédié à la simulation des systèmes électriques, ainsi que le modèle électrique complet. Une comparaison avec un modèle similaire implanté dans un logiciel utilisant la méthode des éléments finis, est proposée, de même qu'une validation expérimentale, en régime stationnaire et en régime transitoire. Le dernier chapitre traite de l'exploitation du modèle à des fins d'étude paramétrique (conditions opératoires, paramètres physiques), et de simulation "systèmes" (fonctionnements particuliers, mise en série, association avec un convertisseur) / A heart of a fuel cell is a multi-physics system that couples mass and charge transport phenomena (in electrodes and electrolyte), and electrochemical kinetics at reactive sites ; to these phenomena, are added thermal transfer, and gas distribution problems. Many mathematical models have already been developed in order to describe locally these phenomena, through partial differential equations involving space and time. Theses models are often accurate, but they are hardly used in a system approach, since one aims to study a complex system in which the fuel cell is only one element among others. Many semi-empirical dynamics models have also been developed, with an electrochemical cell represented by an equivalent electrical circuit, the parameters of which are often determined experimentally, by spectroscopy measurements in particular. The main drawback of this approach is that it results in small signal models, which are theoretically only available around an operating point. The works presented in this thesis deals with the development, the experimental validation and the use of a 1D local PEM fuel cell model, of circuit type for a direct implementation in simulation software commonly used in electrical engineering (Saber® in our case). The elements of the model are determined by using electrical analogy of physical phenomena that occur in the fuel cell. The model is dynamic, and takes into account electric double layer, and influence of operating conditions (notably gas supply effects, such as over-feeding or transient gas starvation) on fuel cell performances. The first chapter presents literature review on existing fuel cell models, and enable to situate our work in this context. We give in chapter 2 local equations on which our model is based: gas transport in diffusion layers, water transport in the membrane, charge transport in electrodes and membrane, electrochemical kinetics at the membrane-electrode interfaces, electric double layer, boundary conditions. Then we detail the analogy representation that allows to compute transport equations by means of electrical engineering simulation software, as well as to complete electrical model. A comparison with a similar model implemented in a software using the finite element method is proposed, then an experimental validation in steady and transient state is carried out. The last chapter deals with the exploitation of the model for parametric study purposes (operating conditions, physical parameters), and for system simulation purposes (specific operations of a single cell, multi-cells in series, association with a power electronic converter)

La communauté scientifique, en relation avec les gestionnaires forestiers, travaille depuis trente ans à l'élaboration d'outils d'aide à la décision. Cependant, aucune approche de modélisation ne permet une évaluation simultanée de l'impact sur la forêt des changements globaux et de la gestion des services écosystémiques. L'élaboration d'une nouvelle génération de modèles dédiés au couplage sol-plante est indispensable pour aider les gestionnaires forestiers à adapter leurs pratiques sylvicoles face aux changements globaux. Les modèles phénoménologiques issus de la dendrométrie proposent des estimations de croissance et de production tenant compte des pratiques sylvicoles. Leur utilisation est limitée par leur dépendance à un indice de fertilité combinant de manière indifférenciée l'influence du climat et des cycles biogéochimiques. La remise en jeu de la notion d'indice de fertilité nécessite de tirer avantage des concepts issus des modèles à base écophysiologiques et biogéochimiques. La modélisation de la dynamique mensuelle du renouvellement foliaire par le modèle Stand Leaf Canopy Dynamics a permis d'estimer: i) la dynamique de l'indice foliaire, ii) la production de litière foliaire. Ce modèle probabiliste tient compte de l'influence du climat, de la disponibilité en eau de l'écosystème et repose sur des hypothèses écologiques fortes sur les mécanismes impliqués dans la longévité des feuilles. Ce modèle pose les bases de l'intégration du cycle de l'eau aux modèles dendrométriques par couplage avec un modèle écophysiologique. Le modèle de décomposition de la matière organique le long d'un profil de sol vertical proposé par Bosatta et Ågren (1996) a été analysé mathématiquement afin d'étudier le devenir des chutes de litières dans le sol forestier. Nous avons proposé: i) une preuve d'existence et l'unicité de solutions à l'équation de transport intégro-différentielle du modèle, ii) des schémas de différences finies implicites-explicites convergents estimant les solutions du modèle et iii) une discussion autour des hypothèses sous-jacentes à une troncature du modèle proposée par Bosatta et Ågren. Ces deux étapes sont des leviers indispensables à l'étude des cycles biogéochimiques dans une approche à base dendrométrique. L'influence du climat et de la phénologie sur le cycle de l'eau, la décomposition des litières foliaires et la chimie du sol constituera une prochaine étape de modélisation. / The scientific community, in collaboration with forestry managers, developed decision support tools since thirty years. However, current modelling approaches do not allow simultaneous estimations of global changes impact management policies on forests. The design of a new generation of models dedicated to soil-plant coupling is necessary to help forest managers to adapt forestry practices to face global changes. Phenomenological models arising from dendrometry estimate forest growth \& yield and take into account of silvicultural practices. Their use is limited by their dependence to a fertility index, which combines implicitly the influence of climate and biogeochemical cycles. A re-examination of fertility index concept is necessary to take advantage of concepts developed in ecophysiological and biogeochemical models. Modelling the monthly dynamics of foliar renewal with the Stand Leaf Canopy Dynamics model permited: i) to estimate leaf area index dynamics, ii) to model foliar litter production. This probabilistic model takes into account climate influence, ecosystem water availability and lies on strong ecological hypothesis on mechanisms involved in leaf longevity. This model, associated with an ecophysiological model, permits to integrate water cycle to dendrometric models. The soil organic matter decomposition along a vertical soil profile model introduced by Bosatta et Ågren (1996) was analyzed to study the future of litterfall in forest soil. We proposed: i) a proof of existence and uniqueness of solutions to the integro-differential transport equation of the model, ii) convergent implicit-explicit finite differences schemes estimating model solutions and iii) a discussion on hypothesis underlying a model truncation introduced by Bosatta et Ågren. These two modelling steps are essential to consider biogeochemical cycle with a dendrometric approach. Climate and phenology influence on water cycle, litterfall decomposition and soil chemistry are the elements of a future modelling phase.

L'objectif de cette thèse est de décrire le comportement asymptotique des solutions à données petites du système de Vlasov-Maxwell. En particulier, on s'attachera à étudier tant le champ électromagnétique que le champ de Vlasov par des méthodes de champs de vecteurs, nous permettant ainsi d'éviter toute contrainte de support sur les données initiales. La structure isotrope du système de Vlasov-Maxwell est d'une importance capitale pour compenser le phénomène de résonance causé par les particules approchant la vitesse de propagation du champ électromagnétique. De ce fait, plusieurs parties de ce manuscrit sont dédiées à sa description. Ajoutons également que les méthodes de champs de vecteurs sont connues pour être robustes et s'adapter relativement bien à d'autres situations telles que l'étude des solutions de l'équation des ondes sur un espace-temps courbé. Cette souplesse nous a notamment permis, contrairement aux travaux précédents sur ce sujet, de considérer des plasmas avec des particules sans masse.Notre étude débute par le cas des grandes dimensions d ≥ 4 où les effets dispersifs sont plus importants et permettent ainsi d'obtenir de meilleurs taux de décroissance sur les solutions du système et leurs dérivées. Une nouvelle inégalité de décroissance pour les solutions d'une équation de transport relativiste constitue d'ailleurs un élément central de la démonstration. Afin d'établir un résultat analogue dans le cas où les particules sont sans masse, nous avons dû imposer que le champ de Vlasov s'annule initialement pour les petites vitesses puis nous avons ensuite montré que cette hypothèse était nécessaire. Dans un second temps, nous nous intéressons au cas tridimensionnel avec des particules sans masse, où une étude plus poussée de la structure des équations sera nécessaire afin d'obtenir les taux de décroissance optimaux pour les composantes isotropes du champ électromagnétique, les moyennes en vitesse de la fonction de distribution et leurs dérivées. Nous nous concentrons ensuite sur l'étude du comportement asymptotique des solutions à données petites du système de Vlasov-Maxwell massif en dimension 3. Des difficultés spécifiques nous forcent à modifier les champs de vecteurs utilisés précédemment pour l'équation de transport dans le but de compenser les pires termes d'erreurs des équations commutées. Enfin, on considère le même problème en se restreignant à l'étude des solutions à l'extérieur d'un cône de lumière. Les fortes propriétés de décroissance vérifiées par la moyenne en vitesse de la densité de particules dans cette région nous permettent d'affaiblir les hypothèses sur les données initiales et d'avoir une démonstration considérablement plus simple. / The purpose of this thesis is to study the asymptotic properties of the small data solutions of the Vlasov-Maxwell system using vector field methods for both the electromagnetic field and the particle density. No compact support asumption is required on the initial data. Instead, we make crucial use of the null structure of the equations in order to deal with a resonant phenomenon caused by the particles approaching the speed of propagation of the Maxwell equations. Due to the robustness of vector field methods and contrary to previous works on this topic, we also study plasmas with massless particles.We start by investigating the high dimensional cases d ≥ 4 where dispersive effects allow us to derive strong decay rate on the solutions of the system and their derivatives. For that purpose, we proved a new decay estimate for solutions to massive relativistic transport equations. In order to obtain an analogous result for massless particles, we required the velocity support of the distribution function to be initially bounded away from $0$ and we then proved that this assumption is actually necessary. The second part of this thesis is devoted to the three dimensional massless case, where a stronger understanding of the null structure of the Vlasov-Maxwell system is essential in order to derive the optimal decay rate of the null components of the electromagnetic field, the velocity average of the particle density and their derivatives. We then focus on the asymptotic behavior of the small data solutions of the massive Vlasov-Maxwell system in 3d. Specific problems force us to modify the vector fields used previously to study the Vlasov field in order to compensate the worst error terms in the commuted transport equations. Finally, still for the massive system in 3d, we restrict our study of the solutions to the exterior of a light cone. The strong decay properties satisfied by the velocity average of the particle density in such a region permit us to relax the hypothesis on the initial data and lead to a much simpler proof.

Cette thèse porte sur le comportement en temps long de solutions d’équations de type Vlasov, principalement le modèle Vlasov-HMF. On s’intéresse en particulier au phénomène d’amortissement Landau, prouvé mathématiquement dans divers cadres, pour plusieurs équations de type Vlasov, comme l’équation de Vlasov-Poisson ou le modèle Vlasov-HMF, et présentant certaines analogies avec le phénomène d’amortissement non visqueux pour l’équation d’Euler 2D. Les résultats qui y sont décrits sont les suivants. Le premier est un théorème d’amortissement Landau pour des solutions numériques du modèle Vlasov-HMF, obtenues par discrétisation en temps de ce dernier via des méthodes de splitting. Nous prouvons en outre la convergence des schémas numériques. Le second est un théorème d’amortissment Landau pour des solutions du modéle Vlasov-HMF linéarisé autour d’états stationnaires inhomogènes. Ce théorème est accompagné de nombreuses simulations numériques destinées à étudier numériquement le cas non-linéaire, et semblant mettre en lumière de nouveaux phénomènes. Enfin, le dernier résultat porte sur la discrétisation en temps de l’équation d’Euler 2D par un intégrateur de Crouch-Grossman symplectique. Nous prouvons la convergence du schéma. / This thesis concerns the long time behavior of certain Vlasov equations, mainly the Vlasov- HMF model. We are in particular interested in the celebrated phenomenon of Landau damp- ing, proved mathematically in various frameworks, foar several Vlasov equations, such as the Vlasov-Poisson equation or the Vlasov-HMF model, and exhibiting certain analogies with the inviscid damping phenomenon for the 2D Euler equation. The results described in the document are the following.The first one is a Landau damping theorem for numerical solutions of the Vlasov-HMF model, constructed by means of time-discretizations by splitting methods. We prove more- over the convergence of the schemes. The second result is a Landau damping theorem for solutions of the Vlasov-HMF model linearized around inhomogeneous stationary states. We provide moreover a quite large amount of numerical simulations, which are designed to study numerically the nonlinear case, and which seem to show new phenomenons. The last result is the convergence of a scheme that discretizes in time the 2D Euler equation by means of a symplectic Crouch-Grossmann integrator.

Due to failure of the continuum hypothesis for higher Knudsen numbers, rarefied gases and microflows of gases are particularly difficult to model. Macroscopic transport equations compete with particle methods, such as the direct simulation Monte Carlo method (DSMC) to find accurate solutions in the rarefied gas regime. Due to growing interest in micro flow applications, such as micro fuel cells, it is important to model and understand evaporation in this flow regime. To gain a better understanding of evaporation physics, a non-steady simulation for slow evaporation in a microscopic system, based on the Navier-Stokes-Fourier equations, is conducted. The one-dimensional problem consists of a liquid and vapor layer (both pure water) with respective heights of 0.1mm and a corresponding Knudsen number of Kn=0.01, where vapor is pumped out. The simulation allows for calculation of the evaporation rate within both the transient process and in steady state. The main contribution of this work is the derivation of new evaporation boundary conditions for the R13 equations, which are macroscopic transport equations with proven applicability in the transition regime. The approach for deriving the boundary conditions is based on an entropy balance, which is integrated around the liquid-vapor interface. The new equations utilize Onsager relations, linear relations between thermodynamic fluxes and forces, with constant coefficients that need to be determined. For this, the boundary conditions are fitted to DSMC data and compared to other R13 boundary conditions from kinetic theory and Navier-Stokes-Fourier solutions for two steady-state, one-dimensional problems. Overall, the suggested fittings of the new phenomenological boundary conditions show better agreement to DSMC than the alternative kinetic theory evaporation boundary conditions for R13. Furthermore, the new evaporation boundary conditions for R13 are implemented in a code for the numerical solution of complex, two-dimensional geometries and compared to Navier-Stokes-Fourier (NSF) solutions. Different flow patterns between R13 and NSF for higher Knudsen numbers are observed which suggest continuation of this work. / Graduate