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The manuscript presents my research on hyperbolic Partial Differential Equations (PDE), especially on conservation laws. My works began with this thought in my mind: ''Existence and uniqueness of solutions is not the end but merely the beginning of a theory of differential equations. The really interesting questions concern the behavior of solutions.'' (P.D. Lax, The formation and decay of shock waves 1974). To study or highlight some behaviors, I started by working on geometric optics expansions (WKB) for hyperbolic PDEs. For conservation laws, existence of solutions is still a problem (for large data, $L^\infty$ data), so I early learned method of characteristics, Riemann problem, $BV$ spaces, Glimm and Godunov schemes, \ldots In this report I emphasize my last works since 2006 when I became assistant professor. I use geometric optics method to investigate a conjecture of Lions-Perthame-Tadmor on the maximal smoothing effect for scalar multidimensional conservation laws. With Christian Bourdarias and Marguerite Gisclon from the LAMA (Laboratoire de \\ Mathématiques de l'Université de Savoie), we have obtained the first mathematical results on a $2\times2$ system of conservation laws arising in gas chromatography. Of course, I tried to put high oscillations in this system. We have obtained a propagation result exhibiting a stratified structure of the velocity, and we have shown that a blow up occurs when there are too high oscillations on the hyperbolic boundary. I finish this subject with some works on kinetic équations. In particular, a kinetic formulation of the gas chromatography system, some averaging lemmas for Vlasov equation, and a recent model of a continuous rating system with large interactions are discussed. Bernard Rousselet (Laboratoire JAD Université de Nice Sophia-Antipolis) introduced me to some periodic solutions related to crak problems and the so called nonlinear normal modes (NNM). Then I became a member of the European GDR: ''Wave Propagation in Complex Media for Quantitative and non Destructive Evaluation.'' In 2008, I started a collaboration with Bruno Lombard, LMA (Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique, Marseille). We details mathematical results and challenges we have identified for a linear elasticity model with nonlinear interfaces. It leads to consider original neutral delay differential systems.

We describe a fast method for the evaluation of an arbitrary high-dimensional multivariate algebraic polynomial in Chebyshev form at the nodes of an arbitrary rank-1 Chebyshev lattice. Our main focus is on conditions on rank-1 Chebyshev lattices allowing for the exact reconstruction of such polynomials from samples along such lattices and we present an algorithm for constructing suitable rank-1 Chebyshev lattices based on a component-by-component approach. Moreover, we give a method for the fast, exact and stable reconstruction.

Cette thèse traite de deux problèmes en géométrie hyperbolique réelle et complexe. On étudie dans un premier temps des structures géométriques sur des espaces de modules de métriques plates à singularités coniques sur la sphère. D'après des travaux de W. Thurston, l'espace de modules des métriques plates sur S^2 à n singularités coniques d'angles donnés admet une structure de variété hyperbolique complexe non complète, dont le complété métrique est une variété conique hyperbolique complexe. On étudie dans cette thèse des formes réelles de ces espaces complexes en se restreignant à des métriques invariantes par une involution. On décrit une structure hyperbolique réelle sur les espaces de modules de métriques plates symétriques à 6 (respectivement 8) singularités d'angles égaux. On décrit les composantes connexes de ces espaces comme ouverts denses d'orbifolds hyperboliques arithmétiques. On montre que les complétés métriques de ces composantes connexes admettent un recollement naturel, dont on étudie la structure.La deuxième partie de cette thèse traite des ensembles limites de groupes discrets d'isométries du plan hyperbolique complexe. On construit le premier exemple explicite de sous-groupe discret de PU(2,1) dont l'ensemble limite est homéomorphe à l'éponge de Menger / This thesis is concerned with two problems in real and complex hyperbolic geometry. The first problem is the study of geometric structures on moduli spaces of flat metrics on the sphere with cone singularities. W. Thurston proved that the moduli space of flat metrics on S^2 with n singularities of given angles forms a non complete complex hyperbolic manifold, and that its metric completion is a complex hyperbolic cone-manifold. In this thesis we study real forms of these complex spaces by restricting our attention to metrics that are invariant under an involution. We describe a real hyperbolic structure on moduli spaces of flat symmetric metrics of 6 (respectively 8) singularities of same angle. We describe explicitly the connected components of these spaces as dense open subsets of arithmetic hyperbolic orbifolds. We show that the metric completions of these components admit a natural gluing, and we study the structure of the glued space. The second part of this thesis is devoted to the study of limit sets of discrete subgroups of the isometry group of complex hyperbolic plane. We construct the first known explicit example of a discrete subgroup of PU(2,1) which admits a limit set homeomorphic to the Menger curve

Les mélanges multiphasiques en déséquilibre de vitesse sont habituellement modélisés à l'aide d'un modèle à 6 ou 7 équations (Baer and Nunziato, 1986). Ces modèles sont très efficaces pour traiter des mélanges avec effets d'interpénétration. Ils peuvent aussi être utilisés pour traiter des problèmes à interface dans lesquels il est nécessaire de respecter les conditions d'interface (continuité de la vitesse normale et de la pression). Ceci est réalisé à l'aide de solveurs de relaxation mécanique (Saurel and Abgrall, 1999). Une autre méthode consiste à utiliser un modèle à une vitesse et une pression (Kapila et al., 2001). Cependant, de nombreuses applications font intervenir des interfaces instables entre fluides. On traite habituellement ces zones de mélanges turbulents en utilisant un modèle à une vitesse et en résolvant spatialement les diverses instabilités. Dans de nombreuses applications cela devient impossible en raison du trop grand nombre de « jets » et de « bulles ». De plus, on rencontre des difficultés numériques y compris pour le calcul d'une instabilité isolée (Liska and Wendroff, 2004). Dans ce manuscrit, nous abordons le problème de la modélisation des zones de mélange avec des modèles multiphasiques. Cela pose un sérieux problème de modélisation pour des écoulements évoluant d'une situation où l'interface est bien définie (une seule vitesse) vers une configuration de mélange de fluides à plusieurs vitesses. Cette question a été abordée par Besnard and Harlow (1988), Youngs et al. (1989), Chen et al. (1996), Glimm et al. (1999), Saurel et al. (2003) par exemple. / Multiphase mixtures with velocity disequilibrium are usually modelled with 6 or 7 equations models (Baer and Nunziato, 1986). These models are very efficient to model mixtures with velocity drift effects. They can also be used to model interfacial flows where the respect of interface conditions (continuous normal velocity and pressure) is mandatory. Such aim is usually achieved with the help of stiff mechanical relaxation solvers (Saurel and Abgrall, 1999). Another option is to use single pressure and single velocity models (Kapila et al., 2001). However, many applications involve unstable fluid-fluid interfaces for which flow conditions range from well separated fluids to fully mixed ones. The usual way to deal with these turbulent mixing zones is to use a single velocity flow model and to resolve spatially the various instabilities. However, spatial resolution of these instabilities in many applications is impossible as too many ‘jets' and ‘bubbles' are present. Also, numerical difficulties and large inaccuracies are present even for an isolated instability computation (Liska and Wendroff, 2004). In this work, we address the issue of mixing zone modelling with multiphase flow models. This poses the serious difficulty of model derivation for flows conditions ranging from well defined interfaces (single velocity) to fluid mixtures evolving with several velocities. This issue has been addressed by Besnard and Harlow (1988), Youngs et al. (1989), Chen et al. (1996), Glimm et al. (1999), Saurel et al. (2003) to cite a few. In Saurel et al. (2010) an extension of the Kapila et al. (2001) model was done to deal with permeation effects through material interfaces.

Title: On the Dijkstra's algorithm in the Pedestrian Flow Problem Author: Tereza Petrášová Department: Department of Numerical Mathematics Supervisor: doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc., Department of Numerical Mathe- matics Abstract: The pedestrian flow problem is described by a coupled system of the first order hyperbolic partial differential equations with the source term and by the functional minimization problem for the desired direction of motion. The functional minimization is based on the modified Dijkstra's algorithm used to find the minimal path to the exit. The original modification of the Dijkstra's algorithm is proposed to increase its efficiency in the pedestrian flow problem. This approach is compared with the algorithm of Bornemann and Rasch for determination of the desired direction of motion based on the solution of the so- called Eikonal equation. Both approaches are numerically tested in the framework of two splitting algorithms for solution of the coupled problem. The former splitting algorithm is based on the finite volume method yielding for the given time instant the piecewise constant approximation of the solution. The latter one uses the implicit discretization by a space-time discontinuous Galerkin method based on the discontinuous piecewise polynomial approximation. The numerical examples...

ix, 111 p. / This dissertation contains the results obtained from a study of two subjects in mathematical general relativity. The first part of this dissertation is about the existence of Killing symmetries in spacetimes containing a compact Cauchy horizon. We prove the existence of a nontrivial Killing symmetry in a large class of analytic cosmological spacetimes with a compact Cauchy horizon for any spacetime dimension. In doing so, we also remove the restrictive analyticity condition and obtain a generalization to the smooth case. The second part of the dissertation presents our results on the global stability problem for a class of cosmological models. We investigate the power law inflating cosmological models in the presence of electromagnetic fields. A stability result for such cosmological spacetimes is proved. This dissertation includes unpublished co-authored material. / Committee in charge: James Brau, Chair; James Isenberg, Advisor; Paul Csonka, Member; John Toner, Member; Peng Lu, Outside Member

Dans cette thèse, on s'intéresse à deux aspects différents des systèmes dynamiques intégrables. La première partie est dévouée à l'étude de trois familles de systèmes hamiltoniens intégrables : les systèmes de pliage de Kapovich et Millson sur les espaces de modules de polygones 3D de longueurs de côtés fixées, les systèmes de Gelfand-Cetlin introduits par Guillemin et Sternberg sur les orbites coadjointes du groupe de Lie U(n), et une famille de systèmes définie par Nohara et Ueda sur la variété grassmannienne Gr(2,n). Dans chaque cas on montre que les fibres singulières de l'application moment sont des sous-variétés plongées et on en donne des modèles géométriques sous la forme de variétés quotients. La deuxième partie poursuit une étude initiée par Zung et Minh sur les actions totalement hyperboliques de Rn sur des variétés compactes de dimension n, qui apparaissent naturellement lors de l'étude des systèmes non-hamiltoniens intégrables dont toutes les singularités sont non-dégénérées. On s'intéresse au flot engendré par l'action d'un vecteur générique de Rn. On donne une définition d'indice pour ses singularités qu'on relie à la théorie de Morse classique, et on utilise ce flot pour obtenir des résultats sur le nombres d'orbites de dimension donnée. Une étude plus poussée est effectuée en dimension 2, et en particulier sur la sphère S2, où les orbites de l'action dessinent un graphe plongé dont on analyse la combinatoire. On termine en construisant explicitement des exemples d'actions hyperboliques en dimension 3 sur la sphère S3 et dans l'espace projectif RP3. / In this thesis, we are interested in two different aspects of integrable dynamical systems. The first part is devoted to the study of three families of integrable Hamiltonian systems: the systems of bending flows of Kapovich and Millson on the moduli spaces of 3D polygons with fixed side lengths, the Gelfand-Cetlin systems introduced by Guillemin and Sternberg on the coadjoint orbits of the Lie group U(n), and a family of integrable systems defined by Nohara and Ueda on the Grassmannian Gr(2,n). In each case we prove that the fibers of the momentum map are embedded submanifolds for which we give geometric models in terms of quotients manifolds. In the second part we carry on with a study initiated by Zung and Minh of the totally hyperbolic actions of R^n on compact n-dimensional manifolds that appear naturally when investigating integrable non-hamiltonian systems with nondegenerate singularities. We study the flow generated by the action of a generic vector in Rn. We define a notion of index for its singularities and we use this flow to obtain results on the number of orbits of given dimension. We investigate further the 2-dimensional case, and more particularly the case of the sphere S2, where the orbits of the action draw an embedded graph of which we analyse the combinatorics. Finally, we provide explicit examples of totally hyperbolic actions in dimension 3, on the sphere S3 and on the projective space RP3.

Le groupe de Cremona de rang 2 est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif. Le but de cette thèse est d'étudier et de construire des espaces hyperboliques sur lesquels le groupe de Cremona agit et qui permettent de mettre en œuvre des méthodes provenant de la théorie géométrique des groupes. Il est connu depuis une dizaine d'année que le groupe de Cremona agit sur un espace hyperbolique H analogue au plan hyperbolique classique mais de dimension infinie. Dans un premier temps, nous montrons que le groupe de Cremona défini sur un corps quelconque n'est pas simple en le faisant agir sur cet espace hyperbolique. Ceci prolonge un résultat déjà connu dans le cas d'un corps de base algébriquement clos. Nous nous intéressons ensuite à un graphe construit par D. Wright sur lequel agit le groupe de Cremona. Nous montrons qu'il ne possède pas la propriété que nous souhaitions, à savoir qu'il n'est pas hyperbolique au sens de Gromov. Nous construisons également un domaine fondamental pour l'action du groupe de Cremona sur H via la méthode des cellules de Voronoï. Nous caractérisons les applications du groupe de Cremona qui correspondent à un domaine adjacent au domaine fondamental. Cela nous permet de prouver que le graphe de Wright est quasi-isométrique au graphe dual à ce pavage. Nous obtenons ainsi une manière de retrouver le graphe de Wright dans H. Nous montrons enfin qu'en modifiant ce graphe dual, nous obtenons un graphe hyperbolique au sens de Gromov. Dans une dernière partie, nous nous intéressons à une autre propriété naturelle qui est la propriété CAT(0). Nous construisons un complexe cubique CAT(0) de dimension infinie muni d'une action naturelle du groupe de Cremona. / The Cremona group of rank 2 is the group of birational transformations of the projective plane. The aim of this thesis is to study and build some hyperbolic spaces with a natural action of the Cremona group. We want these spaces to have good geometric properties in order to use methods coming from geometric group theory. It is known that the Cremona group acts on a hyperbolic space H which is similiar to the classical hyperbolic plane but in infinite dimension. First, using this action, we show that the Cremona group is not simple over any field. This extends previous results over an algrebraic closed field. Then we study the Wrigth's graph. We show that it doesn't have the property we are looking for, in the sense that it is not Gromov hyperbolic. We build a fundamental domain for the action of the Cremona group on H 8 via Voronoï's cells. We characterize birational tranformations that correspond to adjacent domains of the fundamental domain. This allows us to prove that the Wright's graph is quasi-isometric to the dual graph of this tessellation. It's give us a way of realizing the Wright's graph inside H. Finally, we show that by modifying the dual graph we obtain a Gromov hyperbolic graph. In the last part, we are interested in another classical property which is the CAT(0) property. We build an infinite dimensional CAT(0) cubical complex which comes with a natural action of the Cremona group.

Neste trabalho mostramos que dado um domínio exterior de classe C0 contido em uma superfície umb lica de H3; com curvatura média constante H 2 [0; 1); existe uma família de gracos de Killing com curvatura média constante H: O bordo de cada um destes gracos está contido nesta superfície umbílica e a norma do gradiente da função no bordo pode ser prescrita por um certo valor s 0. / In this paper we show that given an exterior domain of class C0 contained in an umbilical surface of H3; with constant mean curvature H 2 [0; 1); there exists a family of Killing graphs with constant mean curvature H: The boundary of each of these graphs is contained in this umbilical surface and the norm of the gradient of the function in the boundary can be prescribed by a certain value s 0: