[pt] Este trabalho surgiu da seguinte observação: os clássicos algoritmos de busca em 2d-tree começam da raiz para acessar dados armazenados nas folhas. Entretanto, como as folhas são os nós mais distantes da raiz, por que começar as buscas pela raiz? Com representações clássicas de 2d-trees, não existe outra forma de acessar uma folha. Existem 2d- trees, porém, que permitem acessar em tempo constante qualquer nó, dado sua posição e seu nível. Para o algoritmo de busca, a posição é conhecida, mas o nível não. Para estimar o nível de um nó qualquer, um método de otimização estatística do custo médio das buscas é proposto. Como os piores custos de busca são obtidos quando se começa da raiz, este método melhora ambos: o consumo de memória pelo uso de 2d-trees que permitem acessar em tempo constante qualquer nó, e o tempo de execução através da otimização proposta. / [en] This work emerged from the following observation: usual search procedures for 2d-trees start from the root to retrieve the data stored at the leaves. But since the leaves are the farthest nodes to the root, why start from the root? With usual 2d-trees representations, there is no other way to access a leaf. However, there exist 2d-trees which allow accessing any node in constant time, given its position in space and its depth in the 2d-tree. Search procedures take the position as an input, but the depth remains unknown. To estimate the depth of an arbitrary node a statistical optimization of the average cost for the search procedures is introduced. Since the highest costs of these algorithms are obtained when starting from the root, this method improves on both, the memory footprint by the use of 2d-trees which allow accessing any node in constant time, and execution time through the proposed optimization.

[pt] O letramento financeiro do indivíduo é condição fundamental para seu planejamento financeiro e para a tomada de decisões financeiras conscientes. O conhecimento de Matemática Financeira é uma das plataformas necessárias ao letramento financeiro. Nesse sentido, consideramos que o ensino de Matemática Financeira deve ser iniciado o mais cedo possível, de forma contextualizada e adequada à faixa etária do educando. Neste trabalho apresentaremos propostas pedagógicas e metodológicas para o efetivo ensino de Matemática Financeira Básica no segundo segmento do Ensino Fundamental, baseadas em nossa experiência de trabalho nesta etapa, há mais de dez anos. / [en] The person s financial literacy is a prerequisite for their financial planning and for making conscious financial decisions. The Financial Mathematics knowledge is one of the platforms necessary for financial literacy. In this sense, we consider that the Financial Mathematics teaching should be started as soon as possible, in context and appropriate to the student s age. In this work we present pedagogical and methodological proposals for effective teaching of basic knowledge of Financial Mathematics in Middle School, based on our experience working with this segment for more than ten years.

[pt] Este trabalho é fruto de reflexões voltadas para o incentivo do ensino crítico e significativo de matemática na educação básica e defende a utilização da tecnologia neste espaço. Em especial são tratados conteúdos relativos ao cálculo de perímetros, áreas e volumes para o público do Programa de Educação de Jovens e Adultos (PEJA). O PEJA está vigente na Prefeitura da Cidade do Rio de Janeiro desde 1984 e atende uma parcela considerável da população que, por algum motivo, não pôde concluir o ensino regular na idade escolar prevista. Pretendeu-se com as reflexões apresentadas nos capítulos iniciais, aproximar o cotidiano do aluno ao mundo da matemática, mostrar o quanto aspectos geométricos estão presentes em suas vidas e promover a criticidade através do incentivo de debates e troca de experiências e saberes. A geometria exige um olhar cuidadoso no que diz respeito à compreensão do espaço e das formas de objetos. Buscou-se, portanto, o desenvolvimento de métodos adequados ao público que estimulassem esse olhar. As reflexões desenvolvidas geraram um produto educacional constituído de uma sequência de atividades criadas e aplicadas junto a alunos do PEJA. As atividades e os resultados de suas aplicações estão expostos nos capítulos finais do trabalho. Espera-se que o presente estudo possa colaborar com outros professores interessados em criar caminhos comprometidos com o intuito de promover na educação básica, cada vez mais, uma educação crítica e significativa que incentive a autonomia para todos. / [en] This study is the result of thoughts and reflections focused on the encouragement of a critical and meaningful teaching of Mathematics on basic education level and advocates the use of technology in classroom. In particular, topics related to perimeter calculations, areas and volumes are covered, to the public of the Young and Adults Education Program. This Program is in force at the Rio de Janeiro s City Hall since 1984 and meets a considerable portion of the population which, for some reason, could not complete regular education on the predicted age. It was intended, through the thoughts and reflections presented in the first chapters to bring the students daily life closer to the Mathematics World, showing that geometrical aspects are common in their lifes. It was intended too, also, to promote criticality through the encouragement of debates and exchange of experiences and knowledge. Geometry requires a careful look with regard to the space comprehension and the objects form. Therefore, we sought the development of suitable methods that stimulate that look, to the public. The thoughts and reflections developed generated an educational product consisting in a sequence of activities created and applied to PEJA students. The activities and their results are shown in the final chapters of this study. We hope that this study can collaborate with other teachers, interested in creating compromised paths, in the Basic Education, to promote a critical and meaningful education that encourages the autonomy of all.

[pt] Este trabalho de conclusão de mestrado mostra uma forma de ensinar conceitos matemáticos, tais como frações, proporções, séries geométricas de maneira interdisciplinar, com a Música e a Física, utilizando a cultura maker. Para isso, são apresentados conceitos matemáticos existentes na Música, tais como: ritmo, harmonia, acordes e escalas musicais. Apresentam-se também conceitos matemáticos presentes nas ondas sonoras de tubos. Este trabalho interdisciplinar culminou na construção de instrumentos musicais como aplicação prática de conceitos físicos e matemáticos. O instrumento tubofone foi feito com tubos PVC, no qual conceitos aprendidos foram aplicados na sua construção com alunos do oitavo ano do Ensino Fundamental, buscando incentivar o protagonismo do aluno no ambiente escolar. O instrumento flauta de pan foi feito com conceitos de fração. Ao final, evidencia-se que a integração entre os conceitos da Matemática aplicados à Música podem ser uma oportunidade de ensino e aprendizagem com uma abordagem metodológica integrativa, uma vez que desperta a curiosidade e interesse dos alunos, além estimular situações em que professores e alunos atuam juntos em situações concretas, usando a filosofia maker, cultura faça você mesmo. / [en] This master s thesis presents a way to teach mathematical concepts, such as fractions, proportions, and geometric series, in an interdisciplinary manner with Music and Physics, using the maker culture. To this end, mathematical concepts found in Music, such as rhythm, harmony, chords, and musical scales, are presented. Additionally, mathematical concepts present in the sound waves of tubes are introduced. This interdisciplinary work culminated in the construction of musical instruments as a practical application of physical and mathematical concepts. The tubophone instrument was made with PVC pipes, in which the concepts learned were applied in its construction with eighth-grade students, aiming to encourage student protagonism in the school environment. The pan flute instrument was made using fraction concepts. In the end, it is evident that the integration of mathematical concepts applied to Music can be an opportunity for teaching and learning with an integrative methodological approach, as it arouses students curiosity and interest, besides stimulating situations where teachers and students work together in concrete situations, using the maker philosophy, a do-it-yourself culture.

[pt] Consideramos duas formas de complexidade em geometria euclidiana plana.Na primeira, problemas são descritos algebricamente, e a complexidade é cotada essencialmente pelo grau de um polinômio. Como consequência, mostramos que vários resultados gerais e familiares em geometria podem ser demonstrados a partir da simples verificação de dois ou três casos particulares. A segunda forma faz uso da descrição sintática dos teoremas, que permite uma quantificação da complexidade em termos lógicos (número de quantificadores e átomos de uma fórmula). Inspirados por esta última abordagem, são descritos alguns procedimentos de demonstração automática. Alguns grupos habituais de operções em geometria são apresentados com a intenção de simplificar as duas abordagens.Através do estudo de técnicas mais avançadas em matemática trazemos novos pontos de vista a assuntos estudados no ensino médio. / [en] Two forms of complexity in Euclidean plane geometry are considered. In the first one, problems are described algebraically, and the complexity level is measured essentially by the degree of a polynomial. As a consequence, many familiar and general results in geometry can be proved by inspecting two or three special cases. The second form uses the syntactic description of a theorem allowing for a quanti.cation of the complexity in logic terms (number of quantifiers and atoms in the formula). Inspired by this approach, some procedures in mechanized proofs are described. We also present some traditional groups of operations in geometry which simplify the two approaches. The study of more advanced techniques in mathematics sheds new light on standard high school topics.

[pt] A geometria diferencial descreve de maneira intuitiva os objetos suaves no espaço. Porém, com a evolução da modelagem geométrica por computador, essa ferramenta se tornou ao mesmo tempo necessária e difícil de se descrever no mundo discreto. A teoria de Morse ficou importante pela ligação que ela cria entre a topologia e a geometria diferenciais. Partindo de um ponto de vista mais combinatório, a teoria de Morse discreta de Forman liga de forma rigorosa os objetos discretos à topologia deles, abrindo essa teoria para estruturas discretas. Este trabalho propõe uma definição construtiva de funções de Morse geométricas no mundo discreto e do complexo de Morse-Smale correspondente, onde a geometria é definida como a amostragem de uma função suave nos vértices da estrutura discreta. Essa construção precisa de cálculos de homologia que se tornaram por si só uma melhoria significativa dos métodos existentes. A decomposição de Morse- Smale resultante pode ser eficientemente computada e usada para aplicações de cálculo da persistência, geração de grafos de Reeb, remoção de ruído e mais. . . / [en] Differential geometry provides an intuitive way of understanding smooth objects in the space. However, with the evolution of geometric modeling by computer, this tool became both necessary and difficult to transpose to the discrete setting. The power of Morse theory relies on the link it created between differential topology and geometry. Starting from a combinatorial point of view, Forman´s discrete Morse theory relates rigorously discrete objects to their topology, opening Morse theory to discrete structures. This work proposes a constructive definition of geometric discrete Morse functions and their corresponding discrete Morse-Smale complexes, where the geometry is defined as a smooth function sampled on the vertices of the discrete structure. This construction required some homology computations that turned out to be a significant improvement over existing methods by itself. The resulting Morse-Smale decomposition can then be efficiently computed, and used for applications to persistence computation, Reeb graph generation, noise removal. . .

[pt] Esta dissertação de mestrado tem como objeto de investigação as práticas pedagógicas de professores que ensinam matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental de forma a superar as práticas tradicionais hegemônicas. A partir de uma investigação qualitativa utilizando recursos inspirados na metodologia história de vida, foram realizadas entrevistas com quatro professores polivalentes que atuam nos anos iniciais do Ensino Fundamental e lecionam matemática com práticas não tradicionais. O objetivo principal da investigação foi entender de que forma suas trajetórias pessoais, formativas e profissionais foram atravessadas pelo ensino de matemática e de que maneira essas trajetórias transformaram suas práticas docentes. Em diálogo com autores como Nóvoa, Goodson, Candau e Boaler, os resultados da pesquisa, dentro de suas limitações metodológicas, apontaram que a capacidade dos professores entrevistados de romper com as práticas ditas tradicionais e apresentar práticas docentes insurgentes está ligada a sua atuação como professor pesquisador, evidenciando o caráter reflexivo de sua prática. Dessa forma, o rompimento com as práticas tradicionais está conectado com o fato desses professores não serem especialistas em matemática, mas sim conhecedores da profissão docente. / [en] This dissertation investigates the pedagogical practices of teachers who teach mathematics in the early years of elementary school to overcome hegemonic traditional practices. Based on qualitative research using resources inspired by the life history methodology, interviews were conducted with four polyvalent teachers who work in the early years of elementary school and teach mathematics using non-traditional practices. The main objective of the research was to understand how their personal, formative, and professional trajectories were influenced by the teaching of mathematics and how these trajectories transformed their teaching practices. In dialogue with authors such as Nóvoa, Goodson, Candau, and Boaler, the research results, within their methodological limitations, indicated that the ability of the interviewed teachers to break away from traditional practices and present insurgent teaching practices is linked to their role as teacher-researchers, highlighting the reflective nature of their practice. Thus, the break with traditional practices is connected to the fact that these teachers are not mathematics specialists but rather knowledgeable about the teaching profession.