[pt] O novo Modelo Energético Brasileiro trouxe um mundo de novos desafios para as Distribuidoras de Energia Elétrica. Elas têm que atender a carga através de contratos de longo prazo (cinco a quinze anos). As incertezas são enormes, desde a evolução da carga até a disponibilidade de energia, com seus preços associados. As restrições se encontram próximas a seus limites, sendo a sobrecontratação severamente punida - apenas 3% de excesso pode ser contratado na tarifa regulada e recuperado no preço ao consumidor. As distribuidoras devem então criar um portfólio de contratos sob incertezas, minimizar os custos (visando um preço competitivo) e os riscos (visando garantias a longo prazo). Este trabalho tem como objetivo ajudar o agente a construir seu portfólio ótimo, que corresponde a um problema não-linear, inteiro, misto, de larga escala, a princípio de difícil solução através de modelos atualmente disponíveis (tanto modelos econômicos como algoritmos de otimização). Neste trabalho, combinase técnicas econômicas e de otimização, num novo modelo capaz de analisar um portfólio possível e/ou encontrar um conjunto de soluções ótimas. O modelo pode ser adaptado para acomodar diferentes funções- objetivo, tais como risco mínimo, custo mínimo, VaR (Value-at-Risk), etc. Espera-se que o modelo possa oferecer uma ferramenta eficiente e flexível, além de precisa, capaz de ajudar a encontrar uma comercialização justa, mitigando riscos e minimizando custos, levando a um melhor uso da energia e a um preço melhor para toda a sociedade. / [en] The new Brazilian Energy Model brought a whole new world of challenges to Distribution Companies (DISCOS). They have to meet the load through longterm contracts (five to fifteen years). Uncertainties are enormous, from load evolution to energy availability and associated prices. Restrictions are tight - for instance overcontracting is punished - only a mere 3% excess may be included in the regulated tariff and thus recovered by consumer´s prices. DISCOS must therefore build a contract portfolio under uncertainties, minimize costs (searching for a competitive price) and risks (searching for long-term guarantees). The objective of this work is to help the agent constructing its optimum portfolio - which corresponds to a large-scale non-linear mixed integer problem, in principle difficult to solve by available models (from economic to optimization algorithms). In this model economic and optimization techniques have been combined into a new model able to both analyze a possible portfolio and/or find a set of optimal solutions. The model may be adapted to accommodate different objective functions, such as minimum risk, minimum cost, VaR (Value- at-risk), etc. This model may offer an efficient and flexible, yet precise tool, able to help finding a fair trade, mitigating risks and minimizing costs, leading to a better use of energy and a better price for whole society.

[pt] O objetivo desta dissertação de mestrado é analisar o novo marco regulatório do setor elétrico brasileiro e seus impactos para as empresas distribuidoras de energia. Para isto, foi desenvolvida uma ferramenta computacional para elaborar estratégias de atuação das distribuidoras nos leilões de compra de energia instituídos pela nova regulamentação. Desta forma, é possível simular o processo de contratação das distribuidoras no âmbito do ACR e, com os resultados, realizar análises do impacto das novas regras na alocação dos riscos as distribuidoras. O problema consiste, em um ambiente de incerteza da demanda e dado um conjunto de instrumentos de risco, determinar a estratégia de contratação das distribuidoras, fornecendo o montante de energia a ser comprado em cada leilão anteriormente descrito e resultado da melhor compra dados os contratos candidatos. A metodologia de solução é otimização estocástica multi-estágio, levando em consideração, principalmente, os diversos horizontes de contratação e preços da energia, visando minimizar uma ponderação entre tarifa para consumidor e custos para distribuidora. / [en] The objective of this work is to analyze the new regulatory framework of the Brazilian electric sector. In this sense, it was developed a computational tool in order to elaborate strategies for the distribution companies (DISCOs) in the energy auctions instituted by the new regulation. The computational tool was used to simulate the contracts acquisition process by the DISCOs and the results were analyzed to measure impact of new rules and risks allocation for the distribution companies. The problem consists, considering the demand uncertainty and the available risk management instruments, in determining the contracting strategy of the DISCOs, i.e., the amount of energy to be bought in each auction that results from the best purchase given the candidate contracts. The solution methodology is based on a multi-stage stochastic optimization algorithm, minimizing the tariff for consumer and costs for DISCO, taking into account different prices and horizons of the energy contracts.

[pt] Diversos países vêm utilizando leilões de contratos como mecanismos para induzir à expansão da oferta do sistema elétrico. Em sua grande maioria, o tipo de contrato licitado é um contrato financeiro do tipo forward. Mais recentemente, o uso de contratos de opção vem sendo utilizado. No caso do Brasil, os contratos de opção de compra de energia elétrica, também conhecidos como contratos por disponibilidade, vêm sendo licitados pelas distribuidoras. Nestes leilões, o vendedor (gerador) participante realiza ofertas simultâneas do prêmio da opção e de seu strike price. Dessa forma, um primeiro desafio é a comparação entre opções com distintos strikes e prêmios. Para um gerador termoelétrico, o desafio subseqüente é como realizar estratégias de ofertas nestes leilões que maximize o retorno do agente, que o torne competitivo e que satisfaça seu perfil de risco. O objetivo desta dissertação de mestrado é desenvolver uma metodologia para determinar a estratégia de oferta de termelétricas em leilões de venda de contratos de opção de compra de energia elétrica. Inicialmente, será apresentado o critério de comparação das opções com distintas características. Em seguida, será estudado o problema de determinar o binômio prêmio de risco e o preço de exercício que devem ser ofertados, visando maximizar a competitividade do projeto no leilão. Adicionalmente, serão analisadas a influência de incerteza no fornecimento de combustível (que introduz incerteza no custo variável de produção) e o perfil de aversão a risco do gerador. Exemplos e estudos de caso serão ilustrados para uma termelétrica bicombustível com incerteza na disponibilidade de gás natural. / [en] The use of a contract auction scheme to induce the electricity system expansion is been carried out worldwide. In most of the cases, the auctioned contract is a financial forward contract. More recently, option contracts are been implemented. In Brazil, energy call options, also known as availability contracts, are offered to distribution companies in an auction scheme. On these auctions, the seller (generator) bids both the strike price and the option premium. Consequently, the first challenge is how to compare call options with different strikes and premium. From a thermo electrical generator point of view, the second challenge is how to develop a bidding strategy which maximizes its revenue, competitiveness and taking into account the risk-averse behavior. The objective of this thesis is to develop a methodology for bidding strategies for a thermal plant in auctions for long-term electricity call options. Initially, the problem of comparing call options with different strikes, quantities and premium will be addressed and the solution adopted will be described. We then analyze the optimum bidding strategy, which determinates the premium and strike bids that maximizes the generator competitiveness, taking into account the risk aversion of the generator. Additionally, the cost uncertainty influence will be analyzed (which introduces variable cost uncertainty). Examples and case studies are presented with data from the Brazilian system for a dual-fuel generator with natural gas availability uncertainty.

[pt] O processo de manufatura de fitas adesivas geralmente envolve uma etapa de retirada dos solventes presentes na solução revestida e formação de uma camada de material semi- sólido sobre um substrato impermeável. Devido a alta espessura de adesivo requerida no produto final e a alta concentração de solventes característica da solução revestida, a secagem se torna, muitas vezes, o gargalo do processo produtivo. Ganhos de produtividade em linhas que podem produzir centenas de milhares de metros quadrados de fita adesiva por mês são importantes para viabilizar incrementos na oferta ou redução dos custos operacionais. Esta dissertação apresenta a análise do processo de secagem de soluções poliméricas revestidas sobre substratos impermeáveis através do desenvolvimento de um modelo matemático para representar os fenômenos de transferência de calor e massa. Também propõe uma metodologia para atingir ganhos de produtividade utilizando um programa computacional especialmente desenvolvido para simulação do processo de secagem. A utilidade da metodologia e da simulação é demostrada por um estudo de caso realizado na manufatura de fitas adesivas da 3M do Brasil. / [en] In the manufacturing process of adhesive tapes usually there is a step where the solvents of solution are evaporated in order to allow the formation of a semisolid layer of material over a suitable substrate. As the final product requires high coating weight and solvent concentration on adhesive solution is high as well, the drying becomes, most of the time, the constraint of the overall process. Productivity increase on machines that can produce hundred of thousands of square meters of adhesive tapes per month can represent additional sale volumes or possibility to reduce operating costs. This dissertation presents the analysis of drying process of polymeric solutions coated over impermeable substrates through the development of a mathematical model to represent the heat and mass transfer. It also proposes a methodology to achieve productivity increases using a computer code specially developed to simulate the drying process. The power of this methodology and of the computer- aided simulation is showed by a case study in the manufacturing department of adhesive tapes at 3M Brazil.

[pt] Problemas de multifluxos surgem como modelos básicos no contexto de várias aplicações de fluxos em redes, tais como redes de telecomunicações, redes de transporte e logística. Em tais aplicações, os fluxos que atravessam a rede compartilham simultaneamente os mesmos recursos disponíveis e são definidos por suas próprias restrições. A cada uma das arestas ligando os pontos da rede está associado um custo, fixo ou proporcional à sua utilização. Este trabalho trata problemas de projeto de redes multifluxos, em que os custos estão associados às capacidades instaladas nas arestas. Particularmente, será estudado o caso em que a função de custo nas arestas possui o comportamento de uma função escada crescente e descontínua, para o qual métodos exatos de resolução são ineficientes. Métodos heurísticos são propostos para a resolução aproximada do problema e sintetizados em um algoritmo de multi-partida com memória adaptativa. Um mecanismo de intensificação, conhecido na literatura como construção de vocabulário, é também explorado e aplicado. Finalmente, experimentos computacionais são realizados e o método de resolução proposto é analisado quanto aos seus resultados e os resultados obtidos pelo método de resolução proposto são analisados. O método obtém as melhores soluções conhecidas para algumas instâncias da literatura. / [en] Multicommodity flow problems arise widely as basic models in the context of network flows applications such as telecommunication networks, transportation problems, and logistic. In these applicatons, the flows that cross the networks share the same avaiable resources simultaneously and are defined by their own constraints. Each edge connecting two nodes in the network has an associated cost that is either fixed or proportional to its use. This work focuses on a network design problem in which the cost are associated with the capacities installed in the edges. Particularly, the network design problem studied has discrete and step increasing cost functions on the edges, for which exact methods are inefficient. Heuristics are proposed for the approximate memory algorithm. An intensification mechanism, known in the literature as vocabulary building, is also explored and applied. Finally, computational experiments are performed and the results obtained with the proposed solution method are evaluated. The method obtains the best known solutions for some instances in the literature.

[pt] Atualmente as Unidades de Saúde, em um grande número de países do mundo, apresentam demandas de serviços que superam suas capacidades reais. Por esta razão, o surgimento das listas de espera é inevitável. Preparar o planejamento das mesmas, de modo otimizado resulta, portanto, em um grande desafio, devido à quantidade de recursos que devem ser considerados. O caso particular dos procedimentos cirúrgicos é particularmente crítico pela quantidade de recursos que se precisam para a realização do mesmo. Poucos projetos têm sido desenvolvidos para a gestão completa dessas listas. O trabalho desenvolvido nesta Dissertação propõe o uso de um modelo, baseado em algoritmos genéticos com inspiração quântica, para a automatização e otimização do planejamento de procedimentos cirúrgicos eletivos. Este modelo, denominado Algoritmo Evolucionário com Inspiração Quântica para a Área de Saúde (AEIQ-AS), além de alocar os pacientes e os recursos necessários para que o processo cirúrgico seja exitoso, procura reduzir o tempo total para que todas as cirurgias sejam realizadas. Este trabalho apresenta também uma ferramenta que permite a modelagem, de modo simplificado, de uma Unidade Cirúrgica de Saúde. Esta ferramenta possibilita a realização de simulações com o objetivo de ver o efeito de diferentes configurações dos recursos nas Unidades de Saúde. Para a validação do modelo proposto foi criada, de modo artificial e fazendo uso da ferramenta de simulação, uma lista de espera de 2000 cirurgias. Caso as cirurgias fossem realizadas seguindo a ordem de chegada, seriam necessárias pouco mais de 37 semanas e teria 1066 operações fora do prazo. Foram feitos vários experimentos onde se buscava a otimização destes valores. Esta busca foi feita, primeiramente, tomando em consideração só um dos parâmetros e a continuação eles em conjunto. Na primeira abordagem o AEIQ-AS consegue a realização das mesmas cirurgias em aproximadamente 31 semanas. Assim, observa se que há uma redução de aproximadamente 16,25 porcento do tempo. O número de operações fora do prazo, por sua vez, foi reduzido pelo modelo para 927 (13,04 porcento). Na abordagem simultânea, o AEIQ-AS, consegue uma diminuição do tempo total de alocação em 16,22 porcento e o número de operações fora do prazo em 9,76 porcento. Foram feitas, também, várias simulações da Unidade de Saúde mantendo as caraterísticas da lista de cirurgias para ver seu efeito no tempo total de alocação de todos os processos cirúrgicos. / [en] Currently, Health Units in a large number of countries in the world present service demand that exceed their real capacities. For this reason, is inevitable the emergence of the waiting lists. To prepare the planning of this in an optimized manner results in a substantial challenge due to the number of resources that should be considered. The case of chirurgical procedures is particularly critical by the number of resources needed for their realization. A small quantity of projects has been developed to fully manage these lists. The work developed in this Dissertation proposes the use of a model based on evolutionary algorithms with quantum inspiration for the automation and optimization of the planning of elective chirurgical procedures. This model, denominated Evolutionary Algorithm with Quantum Inspiration for the Health Field (AEIQ-AS), beyond patients and necessary resources for the successful completion of the chirurgical procedure allocation, pursue the reduction of the total time of realization of all the surgeries. The work presents also a tool that allows the modeling, in a simplified manner, of a Chirurgical Health Unit. This tool enables the realization of simulations with the objective of seeing the effect of different configurations of the resources in the Health Units. To validate the proposed model was created, in artificial mode and employing the simulation tool, a waiting list of 2000 surgeries. In case that the surgeries were realized following the arrival order, will be needed a little more than 37 weeks and will have 1066 surgeries out of time. Several experiments were conducted in order to optimize these values. This search was executed, firstly, considering only one of the parameters and, in continuation, all together. In the first approach, the AEIQ-AS obtains the realization of the same surgeries in approximately 16,25 percent of the time. The number of operations out of time was reduced by the model to 927 (13,04 percent). In the simultaneous approach, the AEIQAS achieves a decrease of the allocation total time in 16,22 percent and the number of operations out of time in 9,76 percent. It were done, also, several simulations of the Health Unit maintaining the characteristics of the surgeries list in order to look the effect in the allocation total time of all the chirurgical procedures.

[pt] O mercado brasileiro de combustíveis apresenta uma nova realidade com a mudança na política de preços praticados por sua principal empresa de petróleo, onde até o ano de 2016 foi caracterizado pelo monopólio devido aos preços artificiais impostos por esta de modo a controlar a inflação no país. Atualmente os preços dos produtos nas refinarias nacionais estão alinhados ao mercado internacional de commodities, viabilizando a entrada de novos competidores para atender a demanda do país. Com este cenário, surgem questões relativas a utilização do refino e níveis de preços a serem adotados no mercado interno de forma a trazer maior competitividade no mercado de forma duradoura e sustentável. Modelos de otimização são utilizados para suportar a tomada de decisão no planejamento da cadeia de downstream e definir a melhor utilização dos recursos disponíveis. Clientes e fornecedores possuem objetivos e custos diferentes, e a necessidade de integrar modelos que dialoguem entre as cadeias de abastecimento destes grupos faz-se necessária, onde os resultados da empresa são impactados de acordo com suas decisões de produção e participação no mercado. O experimento consistiu na construção uma modelagem de rede para a cadeia de distribuição de combustíveis no Brasil a partir de duas ferramentas de otimização existentes, uma delas utilizando-se SIG. Assim, esta modelagem traz uma aplicação eficaz para a empresa, pois a auxilia na quantificação de seus resultados em um cenário de competição em que a mesma se encontra inserida, considerando as singularidades do mercado e indústria no país. / [en] A recent change in the national Brazilian oil company price policy introduced a new market reality as the imposed artificial prices scheme used in order to control inflation was abandoned. Currently, refined products prices in the national territory are matched to the international commodities market, allowing the entry of new competitors to meet national demands. According to this scenario issues relating to infrastructure and a new set of prices to be adopted by the Brazilian domestic market aiming for increased competitiveness on the national market on a long-lasting and sustainable basis begin to appear. Optimization models are used to support the downstream supply chain planning decisionmaking and to ensure the best use of available production resources. Customers and suppliers have different objectives and costs, and it is necessary to integrate models which allow supply chain groups to dialogue among themselves, where the company s result are affected according to their production decisions and market share. The experiment described here consists of the building of a network modelling for the Brazilian fuel distribution chain starting from two optimization tools already available, one of them using GIS. Thus, this modelling brings an effective application to the company, as it assists in the quantification of its results in a competition scenario in which it is inserted, considering the singularities of the Brazilian market and industry.

[pt] Consideramos dois problemas de otimização combinatória: o problema de transporte em redes de dutos (PTD) e o problema de busca com custos de acesso variados (PBC). No PTD, é dado um grafo orientado G = (N,A) onde cada arco tem um duto associado. Também é dado um conjunto de bateladas, onde cada batelada está inicialmente em um nó ou arco do grafo e tem um nó de destino. Algumas bateladas são chamadas de proteláveis. O objetivo do PTD é encontrar uma sequência de operações que transporte todas as bateladas não-proteláveis aos seus respectivos nós de destino. Primeiro, demonstramos o PTD é NP-difícil, mesmo que o grafo G seja acíclico. Em seguida, apresentamos um algoritmo polinomial chamado de BPA. Este algoritmo resolve o PTDS, uma variação do PTD, para qualquer grafo G. Para grafos acíclicos, o BPA minimiza uma função de custo genérica. Para minimizar o makespan no PTDS, demonstramos que não existe algoritmo polinomial n1-e - aproximado para nenhum E>0, a menos que P = NP, onde n é o tamanho da instância. Este resultado também vale se G é acíclico e planar. No PBC, são dados um vetor ordenado e o custo de acessar cada um de seus n elementos. O objetivo do problema é encontrar uma estratégia de busca que minimize o custo médio com probabilidades uniformes (PBCM) ou o custo do pior caso (PBCN). Em ambos os casos, o melhor algoritmo exato conhecido executa em tempo O(n3) e espaço O(n2). Para o PBCN, apresentamos o algoritmo da razão, que executa em tempo O(n2) e espaço O(n). Este algoritmo sempre obtém uma solução de custo menor ou igual a 41n(n+1)/n, assumindo que a soma dos custos é 1. Além disso, desenvolvemos dois algoritmos aproximados: um para o PBCM e outro para o PBPC. Ambos constroem soluções (2+E+0(1)) - aproximadas, para qualquer E>0, em tempo e espaço O(n). / [en] We consider two combinatorial optimization problems the pipeline transportation problem (PTD) and the problem of searching with different access costs (PBC). In PTD, we are given a directed graph G = (N,A) where each arc corresponds to a pipeline. We are also given a set of batches, each batch being initially located at an arc or node and having a destination node. A subset of these batches are considered as further batches. Our aim is to find a sequence of pipeline operations leading all non-further batches to their corresponding destination nodes. First, we show that PDT is NP-hard, even for the case where G is acyclic. Next, we present a polynomial algorithm called BPA. This algorithm solves PTDS, a variation of PTD, for general graphs. For acyclic graphs, BPA also minimizes a general cost function. For the case of makespan minimization for PTDS, we prove that there is no n1-e - approximate algorithm for any E]0, unless P = NP, where n is the instance size. The previous result also holds if G is both ayclic and planar. In PBC, we are given an ordered vector with n elements and the corresponding access costs. Our aim is to find a search strategy that minimizes either the average cost (PBPC). In both cases, the best known exact algorithm requires in O(n3) time and O(n2) space. For PBCM, we present the ratio algorithm, that requires O(n2) time and O(n3)space. This algorithm always obtains a search strategy with average cost at most 41n(n+1)/n, assuming the sum of all access costs to be 1. Furthermore, we introduce approximation algorithms for both PBCM and PBPC. Both of them give (2+E+0(1)) - approximate solutions, for any E}0, in O(n) time and space.

[pt] O presente trabalho representa um estudo realizado sobre a gestão da produção e operações, tendo em vista o planejamento da produção de um conjunto de itens independentes num horizonte de curto prazo de uma empresa de varejo do setor eletrônico, via minimização de custos. O estudo iniciou-se a partir da necessidade de uma interface entre o setor de produção e o de vendas, e é focado na otimização da produção de luminárias da empresa Energia, a qual abastece o mercado de emissoras de televisão e produtores cinematográficos, em sua maioria. Para o planejamento, é necessário conhecer a série histórica da demanda dos itens dos últimos períodos. Porém, somente os dados históricos disponíveis – os dados de vendas dos itens - foram manipulados no software de previsão Forecast Pro, com o intuito de simular a previsão de demanda desses produtos no horizonte de planejamento de curto prazo. Em seguida, a modelagem matemática do problema de planejamento da produção desagregado – o modelo MPS para itens acabados - foi realizada a partir de entrevistas com responsáveis por setores distintos na empresa estudada. Por fim, utilizou-se o software de otimização AIMMS 3.10, capaz de solucionar problemas difíceis, para encontrar o plano ótimo de produção desagregado. Os resultados obtidos pelo software para o planejamento de curto prazo são as quantidades de luminárias a serem produzidas e estocadas em cada período, assim como decisões de produzir ou não em cada período. Esses resultados foram usados como base para analisar novos cenários, gerando informações suficientes para auxiliar a tomada de decisão por parte dos gerentes da empresa, como por exemplo, expandir os recursos produtivos. / [en] This work represents a study on the production and operations management, in order to plan the production of a set of independent items in a short-term horizon of a retail company of the electronics industry, by minimizing costs. As a necessity of understanding between sales and production the study is focused on optimizing production of lamps of the company Energia, which supplies to mostly the market for television and film producers. For planning, it is necessary to know the historical series of product demands of the items in recent past periods. However, the only available data – the product sales data -were handled in prediction Forecast Pro software to simulate the demand sales of the items for the short-term planning horizon. Then, the mathematical modeling of disaggregate production planning problem - the MPS model for finished items - was built, from interviews with managers of different sectors of the studied company. Finally, the optimization software AIMMS 3.10, capable of solving complex problems, was used to find the optimal production plan. The obtained results for short-term planning are the quantities of items to be produced and to be stocked in each period, as well as the decision to produce or not in each period. These results were used as the basis to analyze new scenarios, generating sufficient information to assist decision makers of the company, as for example, expand the productive resources.

[pt] A parte mais difícil de modelar os problemas de tomada de decisão do mundo real, é a incerteza associada a realização de eventos futuros. A programação estocástica se encarrega desse assunto; o objetivo é achar soluções que sejam factíveis para todas as possíveis realizações dos dados, otimizando o valor esperado de algumas funções das variáveis de decisão e de incerteza. A abordagem mais estudada está baseada em simulação de Monte Carlo e o método SAA (Sample Average Appmwimation) o qual é uma formulação do problema verdadeiro para cada realização da data incerta, que pertence a um conjunto finito de cenários uniformemente distribuídos. É possível provar que o valor ótimo e a solução ótima do problema SAA converge a seus homólogos do problema verdadeiro quando o número de cenários é suficientemente grande.Embora essa abordagem seja útil ali existem fatores limitantes sobre o custo computacional para obter soluções mais precisas aumentando o número de cenários; no entanto o fato mais importante é que o problema SAA é função de cada amostra gerada e por essa razão é aleatório, o qual significa que a sua solução também é incerta, e para medir essa incerteza e necessário considerar o número de replicações do problema SAA afim de estimar a dispersão da solução, aumentando assim o custo computacional. O propósito deste trabalho é apresentar uma abordagem alternativa baseada em um método de partição que permite obter cotas para estimar deterministicamente a solução do problema original, com aplicação da desigualdade de Jensen e de técnicas de otimização robusta. No final se analisa a convergência dos algoritmos de solução propostos. / [en] The hardest part of modelling decision-making problems in the real world, is the uncertainty associated to realizations of futures events. The stochastic programming is responsible about this subject; the target is finding solutions that are feasible for all possible realizations of the unknown data, optimizing the expected value of some functions of decision variables and random variables. The approach most studied is based on Monte Carlo simulation and the Sample Average Approximation (SAA) method which is a kind of discretization of expected value, considering a finite set of realizations or scenarios uniformly distributed. It is possible to prove that the optimal value and the optimal solution of the SAA problem converge to their counterparts of the true problem when the number of scenarios is sufficiently big. Although that approach is useful, there exist limiting factors about the computational cost to increase the scenarios number to obtain a better solution; but the most important fact is that SAA problem is function of each sample generated, and for that reason is random, which means that the solution is also uncertain, and to measure its uncertainty it is necessary consider the replications of SAA problem to estimate the dispersion of the estimated solution, increasing even more the computational cost. The purpose of this work is presenting an alternative approach based on robust optimization techniques and applications of Jensen s inequality, to obtain bounds for the optimal solution, partitioning the support of distribution (without scenarios creation) of unknown data, and taking advantage of the convexity. At the end of this work the convergence of the bounding problem and the proposed solution algorithms are analyzed.