On s'interesse aux problèmes elliptiques avec coéficients variables à travers des interfaces intérieures. La solution et ses dérivées normales peuvent subir des variations significatives à travers les frontières intérieures. On présente une méthode compacte aux différences finies sur des maillages adaptés de type octree conçues pour une résolution en parallèle. L'idée principale est de minimiser l'erreur de troncature sur la discretisation locale, en fonction de la configuration du maillage, en rapprochant une convergence à l'ordre deux. On montrera des cas 2D et 3D des résultat liés à des applications concrètes. / We consider problems governed by a linear elliptic equation with varying coéficients across internal interfaces. The solution and its normal derivative can undergo significant variations through these internal boundaries. We present a compact finite-difference scheme on a tree-based adaptive grid that can be efficiently solved using a natively parallel data structure. The main idea is to optimize the truncation error of the discretization scheme as a function of the local grid configuration to achieve second order accuracy. Numerical illustrations relevant for actual applications are presented in two and three-dimensional configurations.

Dans cette thèse, nous étudions l'équation de la chaleur couplée avec la loi de Darcy à travers de la viscosité non-linéaire qui dépend de la température pour les dimensions d=2,3 (Hooman et Gurgenci ou Rashad). Nous analysons ce problème en introduisant la formulation variationnelle équivalente et en la réduisant à une simple équation de diffusion-convection pour la température où la vitesse dépend implicitement de la température.Nous démontrons l'existence de la solution sans la restriction sur les données par la méthode de Galerkin et du point fixe de Brouwer. L'unicité globale est établie une fois la solution est légèrement régulière et les données se restreignent convenablement. Nous introduisons aussi une formulation variationnelle alternative équivalente. Toutes les deux formulations variationnelles sont discrétisées par quatre schémas d'éléments finis pour un domaine polygonal ou polyédrique. Nous dérivons l'existence, l'unicité conditionnée, la convergence et l'estimation d'erreur a priori optimale pour les solutions des trois schémas. Par la suite, ces schémas sont linéarisés par des algorithmes d'approximation successifs et convergentes. Nous présentons quelques expériences numériques pour un problème modèle qui confirme les résultats théoriques de convergence développées dans ce travail. L'estimation d'erreur a posteriori est établie avec deux types d'indicateurs d'erreur de linéarisation et de discrétisation. Enfin, nous montrons des résultats numériques de validation. / In this thesis, we study the heat equation coupled with Darcy's law by a nonlinear viscosity depending on the temperature in dimension d=2,3 (Hooman and Gurgenci or Rashad). We analyse this problem by setting it in an equivalent variational formulation and reducing it to an diffusion-convection equation for the temperature where the velocity depends implicitly on the temperature.Existence of a solution is derived without restriction on the data by Galerkin's method and Brouwer's Fixed Point. Global uniqueness is established when the solution is slightly smoother and the dataare suitably restricted. We also introduce an alternative equivalent variational formulation. Both variational formulations are discretized by four finite element schemes in a polygonal or polyhedral domain. We derive existence, conditional uniqueness, convergence, and optimal a priori error estimates for the solutions of the three schemes. Next, these schemes are linearized by suitable convergent successive approximation algorithms. We present some numerical experiments for a model problem that confirm the theoretical rates of convergence developed in this work. A posteriori error estimates are established with two types of errors indicators related to the linearisation and discretization. Finally, we show numerical results of validation.

L’objectif de cette thèse est de proposer deux approches complémentaires de modélisation et de simulation numériques des procédés de mise en forme de structures minces. La première est une approche inverse multi-pas, délibérément simplifiée, pour simuler et "optimiser" rapidement et à moindre coût des procédés d’emboutissage de tôles minces, tout en maintenant une bonne précision dans le calcul des contraintes. Un solveur statique implicite est développé en introduisant plusieurs configurations intermédiaires construites efficacement en utilisant une technique de programmation quadratique avec projection. La deuxième approche, de nature incrémentale, repose sur (i) une formulation d’équations de bilan et d’équations de comportement multi-physiques fortement couplés formulées dans le cadre des milieux micromorphes ; (ii) une discrétisation spatiale par EF et temporelle par DF avec un solveur global dynamique explicite et une intégration locale itérative implicite. Une attention particulière est accordée aux aspects thermiques avec l’introduction d’une microtempérature et ses premiers gradients conduisant à l’obtention de deux équations thermiques fortement couplées généralisant de nombreux modèles non locaux proposés dans la littérature. L'approche inverse multi-pas a été implémentée dans le code maison KMAS et l’approche incrémentale non locale a été implémentée dans ABAQUS/Explicit. Des études paramétriques sont menées et des validations sur des exemples simples et sur des procédés d’emboutissage sont réalisées / The aim of this thesis is to propose two complementary approaches for modeling and numerical simulations of thin sheet metal forming processes. The first one is a deliberately simplified multi-step inverse approach to simulate and "optimize" rapidly and inexpensively thin-sheet stamping processes while maintaining good accuracy in the stress calculation. An implicit static solver is developed by introducing several efficiently constructed intermediate configurations using a quadratic programming technique with projection. The second approach, which is of an incremental nature, is based on (i) a formulation of equilibrium equations and strongly coupled multiphysical behavior equations formulated in the context of micromorphic continua; (ii) spatial discretization by FEM and time discretization by FD with an explicit dynamic global solver and implicit iterative local integration scheme. Particular attention is paid to the nonlocal thermal aspects with the introduction of a micro-temperature and its first gradients leading to two strongly coupled thermal equations generalizing several thermal nonlocal models proposed in the literature. The multi-step inverse approach was implemented in the KMAS in house code while the nonlocal incremental approach was implemented in ABAQUS/Explicit. Parametric studies are performed and validations are carried out on simple examples and on deep drawing processes

Ce mémoire s'organise autour de deux cadres d'étude : d'une part, celui des espaces symétriques riemanniens non compacts X = G/K, pour lesquels nous prouvons un encadrement optimal et global en les variables d'espace et de temps, du noyau de la chaleur associé à l'opérateur de Laplace-Beltrami L ; d'autre part, dans le cas d'un groupe de Lie semi-simple G, nous montrons que tous les sous-laplaciens sur G qui induisent l'action de L sur X = G/K présentent des analogies avec L vis-à-vis de l'équation de la chaleur : le bas de leur spectre L^2 est le même, les distances de Carnot-Carathéodory associées sont comparables à la métrique riemannienne sur X et, surtout, les noyaux de la chaleur sont tous comparables (en temps grand) au noyau de la chaleur sur X. Nous en déduisons en particulier des encadrements très précis des noyaux de la chaleur dans ce cadre, ainsi que des fonctions de Green correspondantes.

l'équation de Schrödinger associée au laplacien de Dunkl trigonométrique unidimensionnel . Cette étude commence par des estimations optimales du noyau de la chaleur et de Schrödinger. A l'aide de ces résultats, ainsi que les outils d'analyse harmonique dévellopée dans le chapitre 2, on montre des éstimées de type Strichartz qui permettent de trouver des conditions d'admissibilité pour des équations de Schrödinger semi-linéaires.

Ce travail se compose de deux parties. Dans la première, nous considérons l'équation de Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov (KZK) $(u_t - u u_x -\beta u_{xx})_x -\gamma \Delta_y u =0$ dans les espaces de Sobolev des fonctions p\ériodiques sur $x$ de valeur moyenne nulle. La déivation de l'\équation KZK à partir des équations de Navier-Stokes isentropiques non linéaires et de l'approximation de leurs solutions (pour les cas visqueux et non visqueux), les résultats de l'existence, de l'unicité, de la stabilité et du blow-up de la solution de KZK sont obtenus ainsi qu'un résultat sur l'existence d'une solution régulière du syst\éme de Navier-Stokes dans le demi espace avec conditions aux limites péiodiques en temps et de valeur moyenne nulle. Dans la deuxième partie, nous prouvons la contrôabilitélocale des moments de deux systèmes décrits par une équation non-linéaire d'evolution dans un espace de Banach et par une équation non-linéaire de la chaleur quand le contrôle est un multiplicateur du membre de droite. Pour les deux systémes avec une surdétermination intégrale nous obtenons des conditions suffisantes sur la taille du voisinage duquel nous pouvons prendre la fonction de la condition de surdétermination de sorte que le problème inverse ait une solution unique. Nous prouvons également le résultat de contrôlabilité pour l'équation KZK linéarisée.

Dans cette thèse, nous étudions l’équation parabolique non linéaire ∂ t u = ∆u + a |x|⎺⥾ |u|ᵅ u, t > 0, x ∈ Rᴺ \ {0}, N ≥ 1, ⍺ ∈ R, α > 0, 0 < Ƴ < min(2,N) et avec une donnée initiale u(0) = φ. On établit l’existence et l’unicité locale dans Lq(Rᴺ) et dans Cₒ(Rᴺ). En particulier, la valeur q = N ⍺/(2 − γ) joue un rôle critique. Pour ⍺ > (2 − γ)/N, on montre l’existence de solutions auto-similaires globales avec données initiales φ(x) = ω(x) |x|−(2−γ)/⍺, où ω ∈ L∞(Rᴺ) homogène de degré 0 et ||ω||∞ est suffisamment petite. Nous montrons ainsi que si φ(x)∼ω(x) |x| ⎺(²⎺⥾)/⍺ pour |x| grande, alors la solution est globale et asymptotique dans L∞(Rᴺ) à une solution auto-similaire de l’équation non linéaire. Tandis que si φ(x)∼ω(x) |x| (x)|x|−σ pour des |x| grandes avec (2 − γ)/⍺ < σ < N, alors la solution est globale, mais elle est asymptotique dans L∞(Rᴺ) à eᵗ∆(ω(x) |x|−σ). L’équation avec un potentiel plus général, ∂ t u = ∆u + V(x) |u|ᵅ u, V(x) |x |⥾ ∈ L∞(Rᴺ), est également étudiée. En particulier, pour des données initiales φ(x)∼ω(x) |x| ⎺(²⎺⥾)/⍺, |x| grande, nous montrons que le comportement à grand temps est linéaire si V est à support compact au voisinage de l’origine, alors qu’il est non linéaire si V est à support compact au voisinage de l’infini. Nous étudions également le système non linéaire ∂ t u = ∆u + a |x|⎺⥾ |v|ᴾ⎺¹v, ∂ t v = ∆v + b |x|⎺ ᴾ |u|q⎺¹ u, t > 0, x ∈ Rᴺ \ {0}, N ≥ 1, a,b ∈ R, 0 < y < min(2,N)? 0 < p < min(2,N), p,q > 1. Sous des conditions sur les paramètres p, q, γ et ρ nous montrons l’existence et l’unicité de solutions globales avec données initiales petites par rapport à certaines normes. En particulier, on montre l’existence de solutions auto-similaires avec donnée initiale Φ = (φ₁, φ₂), où φ₁, φ₂ sont des données initiales homogènes. Nous montrons également que certaines solutions globales sont asymptotiquement auto-similaires. Comme deuxième objectif, nous considérons l’équation de la chaleur non linéaire ut = ∆u + |u|ᴾ⎺¹u - |u| q⎺¹u, avec t ≥ 0 et x ∈ Ω, la boule unité de Rᴺ, N ≥ 3, avec des conditions aux limites de Dirichlet. Soit h une solution stationnaire à symétrie radiale avec changement de signe de (E). On montre que la solution de (E) avec donnée initiale λh explose en temps fini si |λ − 1| > 0 est suffisamment petit et si 1 < q < p < Ps = N+2/N−2 et p suffisamment proche de Ps. Ceci prouve que l’ensemble des données initiales pour lesquelles la solution est globale n’est pas étoilé au voisinage de 0. / In this thesis, we study the nonlinear parabolic equation ∂ t u = ∆u + a |x|⎺⥾ |u|ᵅ u, t > 0, x ∈ Rᴺ \ {0}, N ≥ 1, ⍺ ∈ R, α > 0, 0 < Ƴ < min(2,N) and with initial value u(0) = φ. We establish local well-posedness in Lq(Rᴺ) and in Cₒ(Rᴺ). In particular, the value q = N ⍺/(2 − γ) plays a critical role.For ⍺ > (2 − γ)/N, we show the existence of global self-similar solutions with initial values φ(x) = ω(x) |x|−(2−γ)/⍺, where ω ∈ L∞(Rᴺ) is homogeneous of degree 0 and ||ω||∞ is sufficiently small. We then prove that if φ(x)∼ω(x) |x| ⎺(²⎺⥾)/⍺ for |x| large, then the solution is global and is asymptotic in the L∞-norm to a self-similar solution of the nonlinear equation. While if φ(x)∼ω(x) |x| (x)|x|−σ for |x| large with (2 − γ)/α < σ < N, then the solution is global but is asymptotic in the L∞-norm toe t(ω(x) |x|−σ). The equation with more general potential, ∂ t u = ∆u + V(x) |u|ᵅ u, V(x) |x |⥾ ∈ L∞(Rᴺ), is also studied. In particular, for initial data φ(x)∼ω(x) |x| ⎺(²⎺⥾)/⍺, |x| large , we show that the large time behavior is linear if V is compactly supported near the origin, while it is nonlinear if V is compactly supported near infinity. we study also the nonlinear parabolic system ∂ t u = ∆u + a |x|⎺⥾ |v|ᴾ⎺¹v, ∂ t v = ∆v + b |x|⎺ ᴾ |u|q⎺¹ u, t > 0, x ∈ Rᴺ \ {0}, N ≥ 1, a,b ∈ R, 0 < y < min(2,N)? 0 < p < min(2,N), p,q > 1. Under conditions on the parameters p, q, γ and ρ we show the existence and uniqueness of global solutions for initial values small with respect of some norms. In particular, we show the existence of self-similar solutions with initial value Φ = (φ₁, φ₂), where φ₁, φ₂ are homogeneous initial data. We also prove that some global solutions are asymptotic for large time to self-similar solutions. As a second objective we consider the nonlinear heat equation ut = ∆u + |u|ᴾ⎺¹u - |u| q⎺¹u, where t ≥ 0 and x ∈ Ω, the unit ball of Rᴺ, N ≥ 3, with Dirichlet boundary conditions. Let h be a radially symmetric, sign-changing stationary solution of (E). We prove that the solution of (E) with initial value λ h blows up in finite time if |λ − 1| > 0 is sufficiently small and if 1 < q < p < Ps = N+2/N−2 and p sufficiently close to Ps. This proves that the set of initial data for which the solution is global is not star-shaped around 0.

Cette thèse porte sur l’étude des propriétés qualitatives des solutions des équations des ondes et de la chaleur semi-linéaires. Les résultats qui y sont décrits sont les suivants. Les deux premiers concernent l’existence et la description de dynamiques explosives de concentration en temps fini de l’état stationnaire à symétrie radiale dans le régime dit énergie surcritique ; en outre, pour l’équation des ondes la stabilité de ces phénomènes est étudiée dans le cas radial, et pour l’équation de la chaleur le cas plus général d’un domaine borné avec conditions de Dirichlet au bord est considéré. Le troisième porte sur la classification des dynamiques possibles près de l’état stationnaire radial pour l’équation de la chaleur dans le régime dit énergie critique, trois scénarios ayant lieu : la stabilisation, l’instabilité par explosion auto-similaire à profil explosif constant en espace, et l’instabilité par dissipation vers la solution nulle. Enfin, le quatrième a pour objet l’existence et la stabilité de profils explosifs auto-similaires non constants en espace pour l’équation de la chaleur dans le cas énergie surcritique / This thesis is devoted to the study of qualitative properties for solutions to the semilinear heat and wave equations. The results that are described are the following. The first two concern the existence and description of blow-up dynamics in which the radially symmetric stationary state is concentrated in finite time in the so-called energy supercritical regime; in addition, for the wave equation the stability of these phenomena is studied in the radial case, and for the heat equation the more general case of a bounded domain with Dirichlet condition at the boundary is considered. The third one deals with the classification of the possible dynamics near the radial stationary state for the heat equation in the so-called energy critical regime, where three scenarii occur: stabilization, instability by blow-up with the constant in space blow-up profile, and instability by dissipation to the null solution. Eventually, in the forth result we investigate the existence and the stability of self-similar blow-up profiles that are not constant in space, for the heat equation in the energy supercritical case