Présentation de différentes méthodes de calcul du nombre de racines des polynômes dans le disque-unité, utilisant les transformations de Schur, de Sturn et de Schelin. Mise en évidence du rôle des polynômes à facteurs autoréciproques. Etude de la complexité des algorithmes et développement d'une méthode générale dépendant d'un paramètre. Applications à la commande automatique et à la biochimie

Dans la première partie de ce travail on présente des méthodes numériques pour résoudre l'équation de convection-diffusion et on propose une méthode qui ramène le problème à une formulation symétrique qui permet de traiter les cas de faible viscosité. Les problèmes unidimensionnel, bidimensionnel stationnaires et unidimensionnel non stationnaire sont abordes. La deuxième partie est consacrée à la résolution d'un modèle test de circulation océanique aux latitudes moyennes dont le mouvement est du au vent. On introduit une condition d'adhérence aux parois est et ouest qui représentent les cotes terrestres. On utilise une méthode d'éléments finis qui permet de résoudre le modèle comme une "cascade" des problèmes très simples. On compare avec des méthodes de différences finies du point de vue de la précision, du cout de calcul et de l'applicabilité.

La théorie des domaines de D. Scott est le fondement mathématique de la sémantique dénotationnelle des langages de programmation. On présente les éléments de cette théorie, Ainsi que la flacon de réaliser un calcul des retracts (i.e. des fonctions qui caractérisent les domaines). On donne les solutions des équations de domaines dans des domaines universels, en utilisant le formalisme des connexions de Galois. Ensuite, on aborde le probleme de la satisfaction des axiomes qui font partie de la définition des types abstraits génériques, en présentant ainsi une sémantique pour ce nouveau concept des langages de programmation

Cette recherche porte sur l'apprentissage et l'enseignement de l'objet d'enseignement « démarche de modélisation » en classes de Physique et de Mathématiques en Terminale S au lycée, en France. Les nouveaux programmes mis en place en 2002 pour ces deux classes mettent en relief le rôle des objets mathématiques en tant qu'outil de modélisation pour d'autres sciences. L'analyse des manuels habituellement utilisés en classes de Physique et de Mathématiques, a permis de caractériser la démarche de modélisation censée être enseignée à ce niveau scolaire. Ces analyses permettent de mettre en évidence la transposition de l'objet « démarche de modélisation » de référence vers une démarche plus scolaire (celle des élèves). La mise en place d'une situation expérimentale conçue avec des tâches inhabituelles (hors contrat) pour les élèves de la classe de Terminale S a permis d'identifier l'influence exercées par les praxéologies existantes dans ces classes sur les démarches des élèves. Mais cette situation a mis également en évidence les rôles du modèle « pseudo-concret » de la situation réelle de départ et du modèle physique construits par les élèves sur leurs démarches de modélisation. L'influence d'interventions externes pour aider l'élève à surmonter ses difficultés, et le rôle des rétroactions d'une tâche sur une autre, figurent aussi parmi les résultats que nous discutons dans cette étude. Le type de modélisation qui est enseigné en classe de Physique et de Mathématiques présente un écart important par rapport à la démarche de modélisation pratiquée par les experts (savoir savant). Des difficultés liées à la mise en place de cette démarche transposée sont mises en relief dans le présent travail.

L'objectif de cette thèse est de décrire et de hiérarchiser les processus à l'origine du ruissellement sur les parcelles artificiellement drainées, en prenant en compte non seulement les fluctuations de la nappe superficielle, mais aussi la dégradation éventuelle de la structure du sol en surface. A cet effet, trois axes complémentaires de recherche ont été développés. <br />Le premier axe est consacré à l'étude de l'évolution de la structure de l'horizon travaillé du sol au cours d'une pluie en présence de nappe superficielle, grâce à des simulations de pluie en laboratoire. Les profils de masse volumique mesurés par radiographie aux rayons X indiquent que l'effondrement et le changement de masse volumique lié à la croûte de battance sont plus marqués en conditions initiales très humides. Le modèle proposé d'évolution de la masse volumique avec la profondeur et au cours de la pluie, reproduit correctement cet effet.<br />Le deuxième axe a pour objectif de déterminer les propriétés hydrodynamiques de la croûte de battance à partir de données issues de nouvelles simulations de pluie associées à un modèle s'appuyant sur la distribution de la masse volumique du sol avec la profondeur. Les paramètres de ce modèle, estimés par méthode inverse, sont comparables aux mesures de masse volumique effectuées par rayons X, et permettent de correctement reproduire le comportement hydraulique du système, confirmant la forte baisse de la conductivité hydraulique en surface due à la croûte de battance.<br />Enfin, le troisième axe s'appuie sur le suivi expérimental d'une parcelle agricole drainée du bassin versant de Mélarchez (Seine et Marne) associé à une modélisation (logiciel HYDRUS 2D). Les observations durant l'hiver 2003-2004 confirment que le ruissellement est globalement limité en raison de la présence du drainage. L'affleurement de la nappe reste le facteur prédominant à l'origine du ruissellement, même si la croûte de battance, créée notamment par ce premier type de ruissellement, est susceptible d'augmenter les quantités ruisselées. La modélisation permet d'étudier le comportement du système sous d'autres conditions pluviométriques. En particulier, les périodes de retour des pluies conduisant à l'affleurement de la nappe et les conditions d'écoulement lors de ces affleurements sont analysées.

On étudie plusieurs problèmes aux limites non linéaires. On établit des résultats d'existence, d'unicité, de multiplicité ou de bifurcation. Notre analyse porte sur le principe du maximum et la théorie du point critique dans le sens de Clarke.

Cette thèse porte sur la résolution numérique, par la méthode des équations intégrales de frontière de problèmes de diffraction d'ondes acoustiques et électromagnétiques, en régime fréquentiel.<br />La méthode de Galerkin avec des éléments finis (scalaires ou vectoriels) de surface conduit à des systèmes matriciels mal conditionnés. Dans une première partie, pour accélérer la convergence d'algorithmes itératifs, on propose et étudie théoriquement et numériquement des préconditionneurs basés sur<br />les relations de Calderon qui lient les opérateurs intégraux apparaissant dans les équations. En électromagnétisme on utilise de plus des analogues discrets de la décomposition de Helmholtz des champs tangents. Dans une deuxième partie on utilise des estimations sur ces décompositions pour effectuer une nouvelle analyse numérique de l'équation intégrale de champ électrique. Cette analyse est étendue au cas de la diffraction par les<br />surfaces ouvertes (écrans), modélisant les conducteurs parfaits minces.

La première partie de la thèse est consacrée à l'étude de la diffraction d'ondes électro­ma­gné­ti­ques par des objets bornés recouverts de couches minces de diélectriques non linéaires. Un développement asymptotique de l'onde fondamentale et de la seconde harmonique est donné en utilisant des techniques d'équations intégrales.<br /><br />Dans la deuxième partie de la thèse, on s'intéressé à la méthode dite de la (\em supercell) qui est utilisée par les physiciens afin de donner une approximation des modes introduits par un défaut à support compact dans un cristal photonique. On étudie la convergence de cette méthode donnant un sens à la convergence du spectre de l'opérateur approché. La convergence exponentielle des valeurs propres dues au défaut est démontrée.<br /><br />La troisième partie de la thèse est consacrée à l'étude de la propagation d'ondes électromagnétiques dans les fibres optiques photoniques. On dérive une modélisation mathématique de ces fibres dont l'enveloppe est constituée d'un cristal photonique bidimensionnel invariant selon l'axe de la fibre. Les modes guidés par la fibre sont caractérisés comme étant les valeurs propres d'opérateurs intégraux.

Cette thèse s'inscrit dans le domaine de physique théorique appelé systèmes intégrables, qui mêle fructueusement physique et mathématiques et se caractérise par la possibilité d'obtenir des résultats exacts (i.e. non perturbatifs) guidant les prédictions physiques qui en découlent. <br />Dans ce contexte, l'équation de Schrödinger non-linéaire (à 1+1 dimensions) est un système privilégié. On la retrouve comme modèle de phénomènes variés tant classiques (optique non-linéaire, mécanique des fluides...) que quantiques (gaz ultra-froids, condensation de Bose-Einstein...). En outre, elle a contribué à la mise au point de techniques de résolution des systèmes intégrables : méthode de diffusion inverse, ansatz de Bethe, identification et utilisation de symétries (groupes quantiques, Yangiens). En utilisant ce système à la fois comme support de test et comme modèle de prédiction, mon travail de thèse tourne autour de deux points principaux : <br />- Inclusion de degrés de liberté bosoniques et fermioniques.<br />- Inclusion d'un bord ou d'une impureté.<br />Dans un premier temps, j'ai étudié une version « supersymétrique » de cette équation pour laquelle j'ai montré la validité de tous les résultats d'intégrabilité, de symétrie et de résolution explicite classiques et quantiques connus pour la version scalaire originelle. La question de l'inclusion d'un bord a été traitée d'un autre point de vue. L'idée est de partir d'une algèbre de symétrie caractéristique des systèmes intégrables avec bord, l'algèbre de réflexion, et de construire un Hamiltonien général intégrable et possédant cette algèbre comme structure de symétrie. Un cas particulier de l'Hamiltonien intégrable obtenu n'est autre que l'Hamiltonien de Schrödinger non-linéaire en présence d'un bord. Un autre cas particulier est l'Hamiltonien de Sutherland en présence d'un bord pour lequel la symétrie n'était pas connue.<br />Le problème de l'inclusion d'une impureté dans un système intégrable a constitué la plus grosse partie de mon travail. J'ai pu montrer qu'il est possible de préserver l'intégrabilité d'un système avec interaction lorsqu'on introduit un défaut qui transmet et réfléchit (une impureté) grâce à une nouvelle structure algébrique, l'algèbre de Réflexion-Transmission, appliquée à l'équation de Schrödinger non-linéaire. Cela permet de trouver la forme explicite du champ, de calculer de façon exacte les éléments de la matrice de diffusion et les fonctions de corrélation à N points et d'identifier la symétrie du problème. <br />Suite à ce travail, les équations exactes qui régissent le spectre d'énergie d'un gaz de particules en interaction de contact et en présence d'une impureté contrôlée par quatre paramètres ont été établies. Ces résultats ouvrent des perspectives d'applications en physique de la matière condensée.

Ce travail est consacré à l'étude de perturbations adiabatiques de l'équation de Schrödinger périodique en dimension 1. Précisément, on considère l'opérateur $H_(\varphi,\varepsilon)=-\Delta+[V(x)+W(\varepsilon x+\varphi)]$ lorsque $V$ est périodique, $W$ tend vers $0$ à l'infini, $\varepsilon$ et $\varphi$ sont des paramètres réels. On se place dans le cadre de la limite adiabatique où le paramètre $\varepsilon$ est petit. On s'intéresse aux valeurs propres de $H_(\varphi,\varepsilon)$ dans les lacunes de l'opérateur périodique $-\Delta+V$ ; sous des hypothèses adéquates sur $W$, ces valeurs propres sont créées par les extrema de $W$. Lorsque $W$ a un unique extremum, on montre que ces valeurs propres oscillent autour de certaines énergies quantifiées par une condition de type Bohr-Sommerfeld. L'amplitude des oscillations est exponentiellement petite et déterminée par un coefficient tunnel. Lorsque deux extrema sont en jeu, ils créent chacun une suite de valeurs propres ; celles-ci peuvent être résonantes. Dans ce cas, on met en évidence un phénomène d'éclatement ; ce phénomène est l'analogue de celui bien connu de splitting dans le cas du double puits.