Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Cette thèse traite de l'étude d'un modèle mathématique de croissance tumorale métastatique et de ses éventuelles applications en clinique. Il y est développé en particulier une étude théorique et numérique des modèles présentés. La première partie du manuscrit traite de l'étude d'un modèle de croissance métastatique non traitée où il est introduit un nouvel outil in silico: l'Index Métastatique qui pourrait permettre de quantifier l'état métastatique métastatique d'un patient donné et qui pourrait ainsi venir renforcer les classifications tumorales déjà existantes. La deuxième partie traite de l'étude du modèle enrichi de manière à prendre en compte l'action d'un traitement par chimiothérapie. Il y est présenté une étude théorique et numérique du modèle modifié ainsi que des exemples de simulation visant à étudier l'évolution de l'index métastatique infléchi par l'action du traitement. La dernière partie de ce manuscrit est consacrée à l'étude des potentialités du modèle en termes d'applications cliniques. Il y est décrit en particulier une manière de rendre compte de la fiabilité du modèle en confrontant les simulations avec des résultats provenant d'une étude clinique. Enfin il est étudié quelques pistes pour raffiner la classification de l'état de la maladie d'un patient et de comment déterminer les traitements les plus efficaces afin de minimiser la survenue de récidives.

Les travaux présentés dans cette thèse concernent des résultats d'homogénéisation et de correcteur pour des problèmes hyperboliques dans des milieux hétérogènes avec des conditions aux bords mixtes. Les problèmes de ce type modélisent la propagation des ondes dans des milieux hétérogènes. Dans le premier chapitre on rappelle une partie de l'ensemble des outils permettant l'étude asymptotique de problèmes posés dans un milieu hétérogène. Le second chapitre est consacré à l'étude de l'équation des ondes dans un domaine perforé de façon non périodique. Pour cela, on effectue une hypothèse de H^0-convergence sur la partie elliptique de l'opérateur. Cette notion introduite par M. Briane, A. Damlamian et P. Donato généralise la notion de H-convergence introduite quelques années auparavant par F. Murat et L. Tartar pour des domaines perforés. On démontre deux résultats principaux, un résultat d'homogénéisation et un second de correcteur qui permet d'améliorer la convergence de la solution du problème sous des hypothèses légèrement plus fortes. Pour cela on reprend le correcteur de G. Cardone, P. Donato et A. Gaudiello et on explicite quelques unes de ces propriétés. Dans le troisième chapitre, on considère une équation des ondes non-linéaire posée dans un domaine périodiquement perforé dont la non-linéarité porte sur la dérivée en temps de la solution. On suppose que la non-linéarité est majorée par une fonction polynomiale monotone dont l'exposant permet d'avoir une injection de Sobolev convenable. On étudie d'abord l'existence et l'unicité de la solution de ce problème à l'aide d'une méthode de Galerkin, puis on montre un résultat d'homogénéisation de ce problème. Dans le quatrième chapitre, on étudie le problème de l'équation des ondes dans un domaine non perforé. Dans un premier temps, on retrouve le résultat classique d'homogénéisation en utilisant la méthode de l'éclatement périodique introduite par D. Cioranescu, A. Damlamian et G. Griso. Ensuite, sous des hypothèses un peu plus fortes des données initiales on montre un résultat de correcteur faisant intervenir l'opérateur de moyennisation qui est l'adjoint de l'opérateur d'éclatement.

La classification spectrale consiste à créer, à partir des éléments spectraux d'une matrice d'affinité gaussienne, un espace de dimension réduite dans lequel les données sont regroupées en classes. Cette méthode non supervisée est principalement basée sur la mesure d'affinité gaussienne, son paramètre et ses éléments spectraux. Cependant, les questions sur la séparabilité des classes dans l'espace de projection spectral et sur le choix du paramètre restent ouvertes. Dans un premier temps, le rôle du paramètre de l'affinité gaussienne sera étudié à travers des mesures de qualités et deux heuristiques pour le choix de ce paramètre seront proposées puis testées. Ensuite, le fonctionnement même de la méthode est étudié à travers les éléments spectraux de la matrice d'affinité gaussienne. En interprétant cette matrice comme la discrétisation du noyau de la chaleur définie sur l'espace entier et en utilisant les éléments finis, les vecteurs propres de la matrice affinité sont la représentation asymptotique de fonctions dont le support est inclus dans une seule composante connexe. Ces résultats permettent de définir des propriétés de classification et des conditions sur le paramètre gaussien. A partir de ces éléments théoriques, deux stratégies de parallélisation par décomposition en sous-domaines sont formulées et testées sur des exemples géométriques et de traitement d'images. Enfin dans le cadre non supervisé, le classification spectrale est appliquée, d'une part, dans le domaine de la génomique pour déterminer différents profils d'expression de gènes d'une légumineuse et, d'autre part dans le domaine de l'imagerie fonctionnelle TEP, pour segmenter des régions du cerveau présentant les mêmes courbes d'activités temporelles.

Cette thèse présente d'une part, la construction d'approximations parcimonieuses de champs acoustiques, d'autre part l'utilisation de ces approximations pour la résolution de problèmes inverses. L'approximation de solutions de l'équation d'Helmholtz est étendue à des modèles de vibration de plaques, ce qui, entre autres, permet également de concevoir une méthode de calcul de mode propres alternative aux méthodes de référence. Différents problèmes inverses sont ensuite étudiés, en se basant sur ces résultats d'approximation. Le premier est l'holographie acoustique en champ propre, pour laquelle nous développons une nouvelle méthode de régularisation, ainsi qu'une antenne aléatoire permettant de réduire le nombre de mesures nécessaires à la reconstruction de déformées opérationnelles de plaques. Le deuxième problème inverse étudié est l'interpolation spatiale de réponses impulsionnelles de plaques, où nous montrons qu'en mesurant le champ vibratoire sur un ensemble d'échantillons bien choisi (justifié par une analyse théorique), les réponses impulsionnelles d'une plaque peuvent être obtenues avec moins de mesures que demandées par le théorème d'échantillonnage de Shannon. Enfin, le problème de la localisation de sources dans un espace clos réverbérant est étudié. Nous montrons qu'en utilisant des modèles parcimonieux d'ondes, la localisation est possible sans connaissances a priori sur les conditions aux limites du domaine de propagation des ondes.

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Dans cette thèse on s'est intéressé à différents phénomènes d'instabilités pour des équations de Schrödinger non-linéaires.<br /> Dans la première partie on met en évidence un mécanisme de décohérence de phase pour l'équation (semi-classique) de Gross-Pitaevski en dimension 3. Ce phénomène géométrique est dû à la présence du potentiel harmonique, qui permet de construire -via une méthode de minimisation- des solutions stationnaires se concentrant sur des cercles de R^{3}.<br /> Dans la deuxième partie, on obtient un résultat d'instabilité géométrique pour NLS cubique posée sur une surface riemannienne possédant une géodésique périodique, stable et non-dégénérée. Avec une méthode WKB, on construit des quasimodes non-linéaires, qui permettent d'obtenir des solutions approchées pour des temps pour lesquels l'instabilité se produit. On généralise ainsi des travaux de Burq-Gérard-Tzvetkov pour la sphère.<br /> Enfin, dans la dernière partie on considère des équations sur-critiques sur une variété de dimension d. Grâce à une optique géométrique non-linéaire dans un cadre analytique on peut montrer un mécanisme de perte de dérivées dans les espaces de Sobolev, et une instabilité dans l'espace d'énergie.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.