La première partie de la thèse est dédiée à la contrôlabilité exacte globale de l'équation de Schrödinger bilinéaire (BSE).Nous montrons comment construire un voisinage de toute fonction propre du Laplacien Dirichlet où la contrôlabilité exacte locale est satisfaite à un temps explicit. Ensuite, pour tout couple de telles fonctions propres, nous étudions comment construire des contrôles et des temps tels que le flot de (BSE) envoie la première sur un voisinage de la seconde arbitrairement petit. Finalement, en regroupant les deux résultats précédents, nous définissons une dynamique entre états propres et nous fournissons un temps explicite requis pour atteindre l'état propre ciblé.Dans la deuxième partie, nous étudions la contrôlabilité exacte globale en projection d'une infinité d'équation de type (BSE) et nous prouvons la contrôlabilité exacte locale en projection à des termes dephases près pour tout temps positif. Dans la démonstration, nous adoptons différentes techniques provenant de la méthode du retour de Coron habituellement utilisée pour ces types de résultats. La principale nouveauté de ce travail est le fait que nous fournissons un ensemble de conditions en le champ de contrôle, impliquant la validité du résultat. Pour un champs de contrôle donné, nous pouvons vérifier si ces hypothèses sont satisfaites.La troisième partie du travail traite de la contrôlabilité de l'équation de Schrödinger bilinéaire (BSE) sur des graphiques compactes. Considérer (BSE) sur un telle structure est utile quand nous devons étudier la dynamique des paquets d'ondes sur un modèle de type graphes. Nous étudions les hypothèses sur le graphe et le champ de contrôle implique que (BSE) soit bien posée dans des espaces appropriés que nous caractérisons en utilisant les méthodes d'interpolation. Ensuite, nous fournissons la contrôlabilité exacte globale dans ces espaces en étudiant comment la structure du graphe et des conditions de bords affectent le résultat. Nous donnons également des exemples de graphes et de champ de contrôle, tels que les hypothèses spectrales de la contrôlabilité exacte globale soient vérifiées, par exemple les graphes en étoile, graphe dit « têtard » et graphe à double anneau. Enfin, quand nos hypothèses de la contrôlabilité exacte globale ne sont pas vérifiées, nous définissons une notion plus faible de contrôlabilité appelée « contrôlabilité énergétique » qui assure l'existence d'un ensemble d'états liés pour lesquels la contrôlabilité exacte est vérifiée. En d'autres termes, nous prouvons l'existence de niveaux d'énergie pour lesquelles il est possible de changer l'état du système. Cette technique permet de traiter un grand nombre de problèmes intéressants. En effet, pour des graphes complexes, il n'est pas possible de vérifier les hypothèses spectrales donnant la contrôlabilité exacte globale. Cependant, la contrôlabilité énergétique permet d'obtenir des résultats intéressants en regardant seulement des sous-graphes particuliers. / The first part of the research is dedicated to the global exact controllability of the bilinear Schrödinger equation (BSE).We show how to construct a neighborhood of some eigenfunctions of the Dirichlet Laplacian where the local exact controllability is satisfied in a specific time. Then, for any couple of those eigenfunctions, we study how to construct controls and times such that the relative dynamics of (BSE) drives the first close to the second as much desired. Third, by gathering the two previous results, we define a dynamics steering eigenstates in eigenstates and we provide an explicit time required to reach the target.In the second part, we study the simultaneous global exact controllability in projection of infinitely many (BSE) and we prove the simultaneous local exact controllability in projection up to phases for any positive time. In the proof, we use different techniques from the Coron's return method usually adopted for those types of results. The main novelty of the work is the fact that it provides a set of conditions implying the validity of the result. Given any control field, one can verify if those assumptions are satisfied.The third part of the work treats the controllability of the bilinear Schrödinger equation (BSE) on compact graph. Considering (BSE) on such a complex structure is useful when one has to study the dynamics of wave packets on graph type model. We investigate assumptions on the graph and on the control field implying the well-posedness of (BSE) in suitable spaces that we characterize by providing peculiar interpolation features.Then, we provide the global exact controllability in those spaces by studying how the structure of the graph and the boundary conditions affect the result. We also provide examples of graphs and control fields so that the spectral assumptions of the global exact controllability are satisfied, e.g. star graphs, tadpole graphs and double-ring graphs.Afterwards, when the hypothesis for the global exact controllability fail, we define a weaker notion of controllability, the so-called “energetic controllability" which ensures the existence of a set of bounded states for which the exact controllability is verified. In other words, we prove the existence of energy levels in which it is possible to change the energy of the system.This technique allows to treat a large number of interesting problems. Indeed, for complex graphs, it is not possible to verify the spectral hypothesis of the global exact controllability. However, the energetic controllability allows to obtain interesting results only by looking for particular substructure contained in the graph.

L’objectif principal de cette thèse est divisée en deux parties. La première partie est consacrée à l’étude du problème, { −Δu + u = 0 dans Ω, ∂u/∂n + g(u) = μ sur ∂Ω, (0.1) où Ω est un ouvert régulier borné de ℝᴺ, g(·) est une fonction continue qui vérifie la condition du signe s · g(s) ≥ 0, dans certains modèles on ajoute l’hypothèse g(·) croissante, et finalement μ est une mesure bornée sur ∂Ω. Certains de nos résultats sont valables lorsque Ω := ℝᴺ+ . On commencera par montrer l’existence de solution de (0.1) lorsque μ est une fonction de L1(∂Ω), et cela sans ajouter une hypothèse supplémentaire sur g(·). Puis, on étudiera (0.1) lorsque μ est une mesure de Radon sur ∂Ω, dans ce contexte, le problème (0.1) pourra ne pas admettre une solution, et des conditions apparaissent sur g(·) et sur μ pour assurer l’existence d’une solution. On montrera l’existence de solutions lorsque, g(·) est une non-linéarité sous-critique en dimension N supérieure ou égale à trois, et lorsque g(·) satisfait l’hypothèse de singularité faible sur le bord en dimension N égale à deux (voir Chapitre 2 pour définitions). / The main aim of this thesis is divided into two parts. The first part is devoted to the study of the problem, { −Δu + u = 0 in Ω, ∂u/∂n + g(u) = μ on ∂Ω, (0.3) where Ω is a bounded regular domain of ℝᴺ, g(·) is a continuous function that satisfies the sign condition s · g(s) ≥ 0, in some model case we will assume that g(·) is increassing, and finally μ is a bounded measure on ∂Ω. Some of our results remain true when Ω := ℝᴺ+ . We will start by proving the existence of a solution of (0.3) when μ is an L1(∂Ω) function, and this independently of the nonlinearity g(·) that satisfies the previous hypothesis. Then, we will study (0.3) when μ is a Radon measure on ∂Ω. In such a context, some new conditions appear on g(·) and μ that assure the existence of a solution. We will prove the existence of a solution when g(·) is a sub-critical nonlinearity in dimension N larger or equal to three, and when g satisfies the weak singularity assumption on the boundary in case N equals two (see Chapter 2 for the definitions).

Le développement d’une couche limite turbulente sur des structures entraîne des vibrations et des nuisances sonores. Celles-ci sont estimées par des calculs vibro-acoustiques qui nécessitent le spectre de pression pariétale turbulente en fréquence-nombre d’onde. Ce spectre est généralement calculé via des modèles empiriques. Or ces modèles ont un domaine de validité très restreint et ne sont pas adaptés pour des écoulements complexes, avec notamment des gradients de pression. Dans ces travaux, une méthode est proposée pour calculer les corrélations spatio-temporelles de pression pariétale à partir d’une solution sous forme intégrale de l’équation de Poisson. Le spectre de pression est obtenu à partir de la transformation de Fourier de ces corrélations. L’expression retenue pour ces dernières fait intervenir les dérivées d’une fonction de Green ainsi que les champs de la vitesse moyenne et des tensions de Reynolds qui sont obtenus par simulation RANS. Elle fait aussi intervenir des coefficients de corrélation de vitesse spatio-temporelle qui doivent être modélisés. Pour cela, un nouveau modèle de coefficient de corrélation spatiale a été développé : l’Extended Anisotropic Model. Le calcul des corrélations et du spectre de pression est réalisé en utilisant une méthode numérique basée sur une stratégie d’échantillonnage adaptatif combinée à du krigeage. Elle permet de réduire le nombre de valeurs de corrélation de pression nécessaires pour obtenir le spectre de pression pariétale et donc de réduire le temps de calcul. La méthode est appliquée à des écoulements de couche limite turbulente sur une plaque plane et sur un profil NACA-0012 avec un gradient de pression adverse. / Turbulent boundary layer flows over structures induce vibrations and noise. The latter are estimated by vibro-acoustic studies which require the wavenumber-frequency turbulent wall-pressure spectrum. This spectrum is generally computed via empirical models. However, these models have a very narrow domain of validity and are not adapted for complex flows, in particular with pressure gradients. In this work, a method is proposed to compute space-time wall-pressure correlations from an integral solution of the Poisson equation. The pressure spectrum is obtained by the Fourier transform of these correlations. The expression retained for the pressure correlations involves the derivatives of a Green function as well as the mean velocity field and the Reynolds stresses which are obtained by RANS solutions. It also involves space-time velocity correlation coefficients that have to be modelled. To achieve this, a new model was developed for the spatial correlation coefficients: the Extended Anisotropic Model. To compute the wall-pressure correlations and spectrum, a numerical method based on a self adaptive sampling strategy combined with Kriging is used. It reduces the number of pressure correlation values required to compute the wall-pressure spectrum and thus reduces the computation time. The method is applied to turbulent boundary layer flows over a flat plate and over a NACA-0012 profile with an adverse pressure gradient.

Cette thèse a pour objectif d'étudier la dynamique spatio-temporelle des atomes refroidis par laser dans un piège magnéto-optique (PMO). Il a été montré qu'un nuage d'atomes froids dans le régime de diffusion multiple peut présenter un comportement instable sans modulation externe du système. Cependant, ces instabilités n'ont pas encore été modélisées de façon satisfaisante. Une nouvelle configuration du PMO a été mise en oeuvre pour tenter d'étudier des instabilités dans une seule direction. Ce PMO, qualifié d'anisotrope, n'utilise pas des lasers de mêmes fréquences dans chaque direction de l'espace. Il met en évidence les forts couplages existants entre les directions du piège, si bien qu'il n'est pas possible de l'utiliser pour réduire le nombre de dimensions dans lesquelles les instabilités s'établissent. Toutefois, cette étude constitue un premier pas vers une meilleure description tridimensionnelle du piège. Elle nous a notamment permis de mesurer la probabilité pour qu'un photon diffusé soit réabsorbé à l'intérieur du nuage. Cette quantité est caractéristique du PMO mais elle n'avait jusqu'à là jamais été mesurée. Nous avons également établi un modèle spatio-temporel unidimensionnel du PMO. Il est constitué d'un système d'équations non-linéaires couplées reliant la densité atomique et les intensités des faisceaux lasers. Ce système contient notamment une équation de Vlasov-Fokker-Planck, rencontrée dans de nombreux domaines de la physique. Des simulations numériques ont été effectuées dans un cas simple. D'un point de vue expérimental, l'utilisation d'une caméra rapide nous a permis de mettre en évidence la structure spatiale d'instabilités de type stochastique. / The aim of this thesis is to study the spatio-temporal dynamics of laser cooled atoms in a magneto-optical trap (MOT). Recent works have shown that in the multiple scattering regime, an atomic cloud can have an unstable behavior without external modulation of the system. Nevertheless, these instabilities have not yet been modeled in a satisfactory way. A new configuration of the MOT has been built up as a possible way to study instabilities in only one direction. This trap, called anisotropic MOT, is not made of laser beams with the same laser frequencies along each direction of space. It exhibits the strong couplings between the directions of the trap, with the result that it cannot be used to reduce the number of directions in which instabilities grow up. However, this study can be considered as a new step to a better 3D description of the MOT physics. In particular, it gives us a way to measure the probability that a scattered photon is reabsorbed inside the atomic cloud. This quantity is a characteristic of the MOT but it has never been measured so far. We also develop a 1D spatio-temporal model of the MOT. It consists in a set of coupled nonlinear equations linking the atomic density and the laser intensities. This set contains a Vlasov-Fokker-Planck equation which is used to model a lot of systems in various fields and not only in physics. Numerical simulations have been done in a simple case. In the experiment, the use of a fast video camera allows us to observe the spatial structure of one type of instabilities, the so-called stochastic instabilities.

La thèse se compose de 3 parties. Dans la partie I, nous considérons des problèmes à lafrontière pour une EDP de Laplace dans un domaine simplement connexe de bordLispschitz continu. Depuis des données Dirichlet et Neumann suffisamment régulièresdisponibles sur une partie de la frontière, nous développons une méthode non-itérative derésolution de ce problème de Cauchy, régularisé par une contrainte en norm L2 portantsur la solution sur la partie complémentaire du bord. Notre approche par les fonctionsanalytiques de la variable complexe permet d'imposer des contraintes ponctuellessupplémentaires possédant un intêret pratique pour incorporer des mesures corrompues.La partie II concerne la structure spectrale d'un opérateur de Poisson tronqué intervenantdans diverses applications physiques. Nous établissons d'importantes propriétés dessolutions, des connexions avec d'autres problèmes, ainsi que, pour des valeursasymptotiques d'un paramètre, des formulations sous forme d'autres équations intégralesou EDO solubles. Dans la partie III, nous traitons un problème inverse particulier issud'expériences pratiques effectuées avec un microscope SQUID. Depuis des mesurespartielles de la composante verticale du champ magnétique, le but est de retrouvercertaines propriétés de l'aimantation d'un échantillon de roche. Nous présentons denouvelles méthodes utilisant les transformations de Kelvin et de Fourier pour l'estimationdu moment magnétique. / The thesis consists of three parts. In Part I, we consider partially overdeterminedboundary-value problemS for Laplace PDE in a planar simply connected domain withLipschitz boundary. Assuming Dirichlet and Neumann data available on its part to be realvaluedfunctions of certain regularity, we develop a non-iterative method for solving thisill-posed Cauchy problem choosing as a regularizing parameter L2 bound of the solutionon complementary part of the boundary. The present complex-analytic approach alsonaturally allows imposing additional pointwise constraints on the solution which, onpractical side, can help incorporating outlying boundary measurements without changingthe boundary into a less regular one. Part II is concerned with spectral structure of atruncated Poisson operator arising in various physical applications. We deduce importantproperties of solutions, discuss connections with other problems and pursue differentreductions of the formulation for large and small values of asymptotic parameter yieldingsolutions by means of solving simpler integral equations and ODEs. In Part III, we dealwith a particular inverse problem arising in real physical experiments performed withSQUID microscope. The goal is to recover certain magnetization features of a sample frompartial measurements of one component of magnetic field above it. We develop newmethods based on Kelvin and Fourier transformations resulting in estimates of netmoment components.

Le projet HYPMOBB vise à évaluer un procédé de mise en œuvre de matière végétale par thermo-compression. Dans le cadre de ce projet, les travaux présentés ont pour objectif d’étudier le comportement des polysaccharides sous haute contrainte mécanique (0-300 MPa) et thermique (25-200°C). Trois variétés de biopolymères ont été choisies : la cellulose, l’amidon natif de pomme de terre et ce même amidon après gélatinisation. Elles représentent trois modèles différents d’organisation: hautement cristalline sans fusion, semi-cristalline avec fusion et complétement amorphe. La démarche employée consiste dans un premier temps à analyser les données Pression-Volume-Température (PVT) obtenues à l’aide d’un dilatomètre. Les diagrammes PVT fournissent des indications précieuses sur les effets combinés de la température et de la pression. A ces deux paramètres a été ajouté l’impact de la teneur en eau sur les comportements lors de la compression. Des méthodes ont été mises au point afin d’extraire des mesures PVT, les différentes transformations thermiques (fusion, transition vitreuse) des trois polymères modèles. Pour chaque situation, l’objectif était de déterminer une tendance nette en fonction de l’humidité et de la pression puis de prédire par extrapolation les valeurs à pression nulle. Les résultats obtenus ont été comparés aux analyses classiques DSC et la bonne concordance des mesures a permis de valider les méthodes mises au point. Dans un second temps, les diagrammes PVT ont été modélisés à l’aide de l’équation de Tait. Pour les polymères cristallins, l’ajustement des courbes expérimentales à l’aide de ce modèle n’a pas été concluant. Néanmoins, la bonne modélisation du comportement PVT de l’amidon amorphe et la cohérence des paramètres déterminés a permis de valider le modèle de Tait. Pour finir, dans le but d’étudier l’effet du traitement thermique et mécanique sur la morphologie et les propriétés des compacts mis en forme, des études AMD et DRX ont été réalisées. Bien que les échantillons aient été conditionnés dans des conditions identiques, les études ont montré que la matière gardait en mémoire les conditions de leur traitement. De plus, en accord avec les analyses PVT, les matières les plus organisées, ont présenté lors de la mise en forme à chaud, la formation de liaisons/fusions inter-particulaires qui permettent d’assurer leur cohésion. / The HYPMOBB project aims to evaluate a vegetable material molding process by hot high pressure compression. In the context of this project, the objective of this work is to study the behaviour of carbohydrates under thermal and pressure constraints. Three biopolymer varieties have be chosen: cellulose, native potato starch and gelatinized starch which represented three different models of organisation: highly crystalline without fusion, semi-crystalline with fusion and totally amorphous. The approach used consists first into analysing the Pressure-Volume-Temperature data obtained by a dilatometer. PVT diagrams provide good indications of combined effects of temperature and pressure. In addition of these two parameters, the moisture content impact on the behaviour of these carbohydrates during thermal and mechanical treatment has been studied. Methods have been established in order to retrieve different thermal events (fusion, glass transition) of the three polymers from PVT measurements. For each situation, the objective was to determine a clear trend according to moisture content and pressure and then to predict by extrapolation these transition temperatures at atmospheric pressure. The obtained results have been compared to classical DSC analysis and the close concordance of the measurements allowed the validation of the established methods Secondly, diagrams have been modelled with Tait equation. For crystalline polymers, the experimental curves adjustment with this model hasn’t been concluant. However the good modelling of amorphous starch behaviour and the good concordance of the determined parameters has permitted to validate the Tait model. Finally, in order to study the effect of the compression treatment on compacts properties and morphologies, DMA and XRD analyses have been carried out. Even if the samples have been conditioned in the same conditions, the studies have shown that the materials keep the memory of the treatment conditions. Moreover, in accordance with the PVT analysis, the most organised raw materials have presented after compression molding the formation of interparticles necks/fusions allowing their cohesion.

Cette thèse a pour objet l’étude des solutions à l’équation des vagues en régime dit toit rigide lorsque l’amplitude des vagues tend vers zéro. Plus précisément, l’équation des vagues modélise le mouvement d’un fluide à surface libre borné en dessous par un fond fixe. Les équations dépendent de plusieurs paramètres physiques, notamment du rapport epsilon entre l’amplitude des vagues et la profondeur. Le modèle asymptotique toit rigide consiste à changer l’échelle de temps d’un rapport epsilon, puis de faire tendre ce paramètre, et donc l’amplitude des vagues, vers zéro. L’étude mathématique de cette limite correspond à un problème de perturbation singulière d’une équation dispersive. Dans cette thèse, on commence par utiliser des outils de résolution d’équations aux dérivées partielles de type hyperbolique pour démontrer un résultat d’existence locale pour l’équation des vagues en temps long. Ceci est suivi par un résultat de dispersion sur l’équation des vagues, utilisant des techniques de type phase stationnaire et décomposition de Paley-Littlewood pour l’étude des intégrales oscillantes. Enfin, la dernière partie de la thèse utilise les résultats obtenus ci-dessus pour étudier un défaut de compacité dans la convergence faible (mais non forte) des solutions de l’équation des vagues lorsque l’amplitude tend vers 0. / In this thesis, we study the behavior of the solutions of the Water-Waves equations in the rigid lid regime as the amplitude of the waves goes to zero. More precisely, the Water-Waves equations investigate the dynamic of a free surface fluid, bounded from below by a fixed bottom. The equations depends on many physical parameters, as the ratio epsilon between the wave amplitude and the deepness of the water. The rigid lid model consists in scaling the time by an epsilon factor and taking the limit epsilon goes to zero, simulating a situation where the amplitude of the waves goes to zero. The mathematical study of this limit correspond to a singular perturbation problem of a dispersive equation. In this thesis, we first use classical tools of hyperbolics equations to prove a long time existence result for the Water-Waves equations. We then prove a dispersion result for these equations, using stationary phase methods and Paley-Littlewood decomposition. We then combine these results to highlight the lack of compactness in the weak (but non strong) convergence of the solutions of the Water-Waves equations as the amplitude goes to zero.

Cette thèse est un recueil de constructions et de résultats variés autour de problèmes de résonances et de stabilités. Premièrement, on s'intéresse à la conception et à l'analyse de méthodes numériques pour des problèmes académiques tels que le problème de Dirichlet sur un segment ou l'équation de transport associée à une rotation du plan. Ensuite, on étend l'analyse linéaire classique des équations de Vlasov-Poisson autour d'états d'équilibre homogènes pour décrire des phénomènes multidimensionnels et non linéaires. Enfin, une large partie est consacrée à l'étude d'équations de Schrödinger non linéaires en dimension 1. D'une part, on étudie l'impact d'une semi-discrétisation naturelle sur les ondes solitaires progressives et la croissance des normes de Sobolev. D'autre part, on développe une nouvelle famille de formes normales permettant de décrire la dynamique des petites solutions régulières pendant des temps très longs. / This manuscript deals with many problems about resonance and stability. First, we design and analyse numerical methods for academic problems like the Dirichlet problem on a segment line or the transport equation associated with a two dimensional rotation. Then, we extend the classical linear analysis of Vlasov-Poisson equations near homogeneous equilibria to describe nonlinear and multidimensional phenomena. Finally, a large part of this thesis is devoted to nonlinear Schrödinger equations in dimension 1. On the one hand, we study the impact of a natural semi-discretisation on the solitary traveling waves and on the growth of the high order Sobolev norms. On the other hand, we develop a new family of normal forms to describe the dynamic of small and smooth solutions for very long times.

Dans cette thèse, on se propose de participer à la popularisation des méthodes de résolution de problèmes de propagation d'onde basées sur des formulations intégrales en fournissant des indicateurs d'erreur a posteriori utilisable dans le cadre d'algorithmes de raffinement autoadaptatif. Le développement de tels indicateurs est complexe du fait de la non-localité des normes associées aux espaces de Sobolev et des opérateurs entrant en jeu. Des indicateurs de la littérature sont étendus au cas de la propagation d'une onde acoustique. On étend les preuves de convergence quasi-optimale (de la littérature) des algorithmes autoadaptatifs associés dans ce cas. On propose alors une nouvelle approche par rapport à la littérature qui consiste à utiliser une technique de localisation des normes, non pas basée sur des inégalités inverses, mais sur l'utilisation d'un opérateur Λ de localisation bien choisi.On peut alors construire des indicateurs d'erreur a posteriori fiables, efficaces, locaux et asymptotiquement exacts par rapport à la norme de Galerkin de l'erreur. On donne ensuite une méthode pour la construction de tels indicateurs. Les applications numériques sur des géométries 2D et 3D confirment l'exactitude asymptotique ainsi que l'optimalité du guidage de l'algorithme autoadaptatif.On étend ensuite ces indicateurs au cas de la propagation d'une onde électromagnétique. Plus précisément, on s'intéresse au cas de l'EFIE. On propose des généralisations des indicateurs de la littérature. On effectue la preuve de convergence quasi-optimale dans le cas d'un indicateur basé sur une localisation de la norme du résidu. On utilise le principe du Λ pour obtenir le premier indicateur d'erreur fiable, efficace et local pour cette équation. On en propose une seconde forme qui est également, théoriquement asymptotiquement exacte. / The aim of this work is to participate to the popularization of methods for the resolution of wave propagation problems based on integral equations formulations by developping a posteriori error estimates in the context of autoadaptive mesh refinement strategies. The development of such estimates is difficult because of the non-locality of the norms associated to the Sobolev spaces and of the involved integral operators. Estimates from the literature are extended in the case of the propagation of an acoustic wave. The proofs of quasi-optimal convergence of the autoadaptive algorithms are established. We then introduce a new approach with respect to the literature which is based on a new norm-localization technique based on the use of a well-chosen Λ operator and not on inverse inequalities as it was the case previously.We then establish new a posteriori error estimates which are reliable, efficient, local and asymptotically exact with respect to the Galerkin norm of the error. We give a method for the construction of such estimates. Numerical applications on 2D and 3D geometries confirm the asymptotic exactness and the optimality of the autoadaptive algorithm.These estimates are extended in the case of the propagation of an electromagnetic wave. More precisely, we are interested in the EFIE. We suggest generalization of the estimates of the literature. A proof for quasi-optimal convergence is given for an estimate based on a localization of the norm of the residual. The principle of Λ is used to construct the first reliable, efficient, local error estimate for this equation. We give a second forme which is eventually theoretically asymptotically exact.

Ce travail est consacré à l'étude du couplage des équations de Navier-Stokes et de la chaleur posées dans un domaine polygonal non convexe. Après avoir analysé le comportement singulier des solutions de ces équations près des coins du domaine considéré, nous présentons une formulation mixte duale de ces équations basée sur l'introduction de deux nouvelles inconnues : a qui est le tenseur gradient de la vitesse et le champ vectoriel ^ qui désigne le gradient de la température. Ensuite, en considérant une famille de maillage Th du domaine fi, nous analysons une méthode d'éléments finis mixte duale basée sur cette dernière formulation en utilisant l'élément fini de Raviart-Thomas de plus bas degré pour approximer les nouvelles inconnues cr et <^ sur chaque triangle K de la triangulation Th. Tandis que les variables n, p et T seront approximées par des polynômes de degré zéro sur chaque triangle K. En particulier, nous montrons que l'on peut retrouver l'ordre de convergence quasi-optimal si le maillage est raffiné suivant certaines règles qui sont essentiellement celles introduites par G. Raugel et basées sur le fait que les solutions sont régulières dans des espaces de Sobolev à poids. Nous discutons les aspects d'implémentation de la méthode d'éléments finis mixte duale raffinée pour ces équations en utilisant un algorithme de point fixe combiné à une formulation hybride de deux systèmes issus du découplage du problème discret : l'un correspondant aux équations de Navier-Stokes et l'autre à l'équation de la chaleur. Nos résultats numériques obtenus, en plus de confirmer l'ordre de convergence optimal pour un problème test posé dans un domaine polygonal non convexe, sont tout-à-fait comparables avec ceux existants dans la littérature pour la convection naturelle dans une cavité carrée.