Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας με τίτλο «Εκπαιδευτικό -Υπολογιστικό Πακέτο για Αριθμητική Επίλυση μη Γραμμικών Εξισώσεων, μη Γραμμικών και Γραμμικών συστημάτων και του Προβλήματος της Βελτιστοποίησης», είναι η δημιουργία ενός υπολογιστικού πακέτου για σημαντικά επιλεγμένα θέματα αριθμητικής ανάλυσης, αξιοποιώντας το προγραμματιστικό περιβάλλον της Matlab. Με δεδομένη την ύπαρξη οργανωμένου εργαστηρίου στο Tμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών και την εύκολη πρόσβαση των φοιτητών σε αυτό, η δημιουργία ενός τέτοιου υπολογιστικού πακέτου θα μπορούσε άμεσα να αξιοποιηθεί από προπτυχιακούς φοιτητές έτσι ώστε: • να αποτελέσει για κάθε φοιτητή ένα συμπληρωματικό εργαλείο, εύκολα προσβάσιμο ακόμα και έξω από την αίθουσα διδασκαλίας, για την ενίσχυση της κατανόησης εννοιών και μεθόδων που δουλεύονται κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας, σε χρόνο που θα επιλέξει και με την επανάληψη που επιθυμεί. • να συνδέσει ο φοιτητής τη θεωρία με δικά του παραδείγματα και με άμεσα αποτελέσματα αξιοποιώντας τα υποδείγματα και το βοηθητικό - φιλικό περιβάλλον που έχουμε δημιουργήσει για την υλοποίηση των επιλεγμένων θεμάτων. • να αποτελέσει το κίνητρο για εξάσκηση στον προγραμματισμό μέσω της Matlab, η οποία δεν διδάσκεται και χρησιμοποιείται μόνο προαιρετικά σε επίπεδο εργασιών. / The aim of this work entitled “Educational Software Package for Numerical Solution of Nonlinear Equations, Nonlinear and Linear Systems and for Optimization Problem” is the creation of a software package which could deal with important issues of the field of mathematics called numerical analysis. This is achieved by using the Matlab computational environment. Taking into account the fact that there is a well equipped lab and easily accessible from students, in the Department of Mathematics of the University of Patras, the presented software package could be used by undergraduates students in order to: • be used by each student as a supplemental “tool” which can be easily accessible, even outside the classroom, for the better understanding of meanings and methods which are introduced during of courses, in time that each student may be selected. • combine theory with his examples and have direct results just by using the “models” of the friendly- assistant environment for the specified issues that are analyzed below. • be the motive for exercising the Matlab environment which could be a useful tool for solving many mathematical, and not only, issues.

Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουμε μεθόδους για την κατασκευή συναρτήσεων Lyapunov για δυναμικά συστήματα αλλά και για τον καθορισμό του ελκτικού συνόλου ενός σημείου ισορροπίας. Η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων έχει ως κίνητρο τις πολλαπλές εφαρμογές τους στη Φυσική, τη Χημεία, τα Οικονομικά, τη Βιολογία, κ.λ.π.. Εστιάζουμε στις αυτόνομες διαφορικές εξισώσεις της μορφής οι οποίες ορίζουν ένα δυναμικό σύστημα. Οι πιο απλές λύσεις μίας τέτοιας εξίσωσης καλούνται σημεία ισορροπίας. Πολύ σημαντικός είναι επίσης και ο καθορισμός του ελκτικού συνόλου. Ο καθορισμός του ελκτικού συνόλου επιτυγχάνεται μέσω υποεπίπεδων συνόλων μίας συνάρτησης Lyapunov, δηλαδή μίας συνάρτησης με αρνητική παράγωγο κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή ισορροπίας. Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουμε μεθόδους κατασκευής συναρτήσεων Lyapunov για ένα σημείο ισορροπίας. Υπάρχει πλούσια βιβλιογραφία πάνω στις συναρτήσεις Lyapunov. Το 1893, ο Lyapunov εισήγαγε την άμεση ή δεύτερη μέθοδό του, όπου κατάφερε να εξασφαλίσει αποτελέσματα για την ευστάθεια ενός σημείου ισορροπίας χωρίς να γνωρίζει τη λύση της διαφορικής εξίσωσης, αλλά χρησιμοποιώντας μόνο την ίδια τη διαφορική εξίσωση. Από τότε έχει δοθεί πλήθος αντίστροφων θεωρημάτων, που εξασφαλίζουν την ύπαρξη μίας συνάρτησης Lyapunov, από διάφορους συγγραφείς. Το πρώτο κύριο θεώρημα για ασυμπτωτική ευστάθεια δόθηκε από τον Massera το 1949 και από τότε έχει βελτιωθεί από πολλούς συγγραφείς προς διάφορες κατευθύνσεις. Ωστόσο, κανένα από τα θεωρήματα ύπαρξης δεν παρέχει μία μέθοδο σαφούς κατασκευής μίας συνάρτησης Lyapunov. Για γραμμικά συστήματα μπορεί κάποιος να κατασκευάσει μία τετραγωνικής μορφής συνάρτηση Lyapunov της μορφής με ένα συμμετρικό, θετικά ορισμένο πίνακα , όπου συμβολίζει το σημείο ισορροπίας. Ο Hahn περιγράφει πως μπορεί κάποιος, ξεκινώντας από ένα μη-γραμμικό σύστημα, να χρησιμοποιήσει την τετραγωνικής μορφής συνάρτηση Lyapunov του γραμμικοποιημένου συστήματος σα μία συνάρτηση Lyapunov για το μη-γραμμικό σύστημα. Πολλές προσεγγίσεις θεωρούν ειδικές συναρτήσεις Lyapunov, όπως τετραγωνικής μορφής, πολυωνυμικές, κατά τμήματα γραμμικές, ή κατά τμήματα τετραγωνικής μορφής. Οι μέθοδοι όμως αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνο σε συγκεκριμμένες διαφορικές εξισώσεις. Σε αυτή την εργασία θα ασχοληθούμε με δύο μεθόδους κατασκευής συναρτήσεων Lyapunov. Για τη πρώτη μέθοδο κατασκευής συναρτήσεων Lyapunov για ένα σημείο ισορροπίας, ξεκινούμε με ένα θεώρημα που εξασφαλίζει την ύπαρξη μίας συνάρτησης Lyapunov η οποία ικανοποιεί την ισότητα , όπου είναι μία γνωστή σταθερά. Βασικός στόχος της μεθόδου είναι να προσεγγίσει τη λύση αυτής της μερικής διαφορικής εξίσωσης με τη χρήση συναρτήσεων ακτινωτής βάσης. Τότε και η προσέγγιση είναι μία συνάρτηση Lyapunov και έτσι, μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε για να καθορίσουμε το ελκτικό σύνολο. Επειδή η συνάρτηση δεν ορίζεται στο , μελετούμε και μία δεύτερη κλάση συναρτήσεων Lyapunov , οι οποίες ορίζονται και είναι ομαλές στο . Αυτές ικανοποιούν την ισότητα , όπου είναι μία δοθείσα συνάρτηση με συγεκριμμένες ιδιότητες, μία εκ των οποίων είναι ότι . Για την προσέγγιση χρησιμοποιούμε συναρτήσεις ακτινωτής βάσης. Στη δεύτερη μέθοδο κατασκευάζουμε μια κατά τμήματα γραμμική συνάρτηση Lyapunov για το αρχικό μη-γραμμικό σύστημα χρησιμοποιώντας γραμμικό προγραμματισμό. / In this diploma work we present methods for the construction of Lyapunov functions for dynamical systems but also we determine the basin of attraction of an equilibrium. The study of differential equations is motivated from numerous applications in physics, chemistry, economics, biology, etc. We focus on autonomous differential equations x’ = f(x), x ∈ Rn which define a dynamical system. The simplest solutions x(t) of such an equation are equilibria, i.e. solutions x(t) = x0 which remain constant. An important and non-trivial task is thedetermination of their basin of attraction. The determination of the basin of attraction is achieved through sublevel sets of a Lyapunov function, i.e. a function with negative orbital derivative. The orbital derivative V ‘(x) of a function V (x) is the derivative along solutions of the differential equation. In this book we present a method to construct Lyapunov functions for an equilibrium. There is a rich literature on the functions of Lyapunov. In 1893, Lyapunov introduced the direct method, where he managed to secure results for the stability of an equilibrium point without knowing the solution of the differential equation, but using only the same differential equation. Since then many inverse theorems have been given that ensure the existence of a function Lyapunov, by various authors. The first main theorem on asymptotic stability given by Massera in 1949 and since then has been improved by many authors in different directions. However, none of the theorem of existence does not provide a clear method of manufacturing a Lyapunov function. For linear systems, one can construct a quadratic form of a Lyapunov function with a symmetric positive definite table. The Hahn describes how people, starting from a non-linear system, use the like it were a Lyapunov function for the nonlinear system. Many approaches consider special functions Lyapunov, such as quadratic form, polynomial. These methods can be used only in specific differential equations. In this book we present a method to construct Lyapunov functions for an equilibrium. We start from a theorem which ensures the existence of a Lyapunov function T which satisfies the equation T’(x) = −c, where -c > 0 is a given constant. This equation is a linear first-order partial differential equation. The main goal of this method is to approximate the solution T of this partial differential equation using radial basis functions. Then the approximation itself is a Lyapunov function, and thus can be used to determine the basin of attraction. Since the function T is not defined at x0, we also study a second class of Lyapunov functions V which are defined and smooth at x0. They satisfy the equation V ‘(x) = −p(x), where p(x) is a given function with certain properties, in particular p(x0) = 0. For the approximation we use radial basis functions, a powerful meshless approximation method. In the second method we construct a linear Lyapunov function for the original non-linear system using linear programming.

- / -

Σ΄αυτή τη διπλωματική εργασία μελετάμε κάποιους αλγορίθμους συμπίεσης δεδομένων και τους υλοποιούμε. Αρχικά, αναφέρονται βασικές αρχές της κωδικοποίησης και παρουσιάζεται το μαθηματικό υπόβαθρο της Θεωρίας Πληροφορίας. Παρουσιάζονται, επίσης διάφορα είδη κωδικών. Εν συνεχεία αναλύονται διεξοδικά η κωδικοποίηση Huffman και η αριθμητική κωδικοποίηση. Τέλος, οι δύο προαναφερθείσες κωδικοποιήσεις υλοποιούνται σε υπολογιστή με χρήση γλώσσας προγραμματισμού C και χρησιμοποιούνται για τη συμπίεση αρχείων κειμένου. Τα αρχεία που προκύπτουν συγκρίνονται με αρχεία που έχουν συμπιεστεί με χρήση προγραμμάτων του εμπορίου, αναλύονται τα αίτια των διαφορών στην αποδοτικότητα και εξάγονται χρήσιμα συμπεράσματα. / In this thesis we study some data compression algorithms and implement them. The basic principles of coding are mentioned and the mathematical foundation of information theory is presented. Also different types of codes are presented. Then the Huffman coding and arithmetic coding are analyzed in detail. Finally, the two codings are implemented on a computer using the C programming language in order to compress text files. The resulting files are compared with files that are compressed using commercial programmes, the causes of differences in the efficiency are analyzed and useful conclusions are drawn.

In the present thesis a novel numerical approach for the optimization of composite structures fabricated from woven composite materials is developed. The aim is to increase the ultimate strength of the structure while at the same time decreasing its weight. The numerical approach is based on a combination of the numerical algorithm of progressive damage modelling (PDM), along with shape optimization (SO) in an iterative subroutine. PDM, which is comprised of three steps, namely stress analysis, failure analysis and material property degradation, is used to predict the initiation and propagation of failure in the structure. During the phase of SO certain geometrical parameters are varied within limits in order to minimize the stresses that lead the structure to ultimate failure as indicated by PDM results. Finally the resulting geometry is solved with PDM to ensure the enhancement in the ultimate strength and the decrease in ultimate weight. Within the frame of this approach, a new methodology for the numerical modeling and the simulation of mechanical behavior of woven composite materials is proposed. The highly inhomogeneous nature of woven composite materials in the micro-scale is taken under consideration to create accurate representative volume element (RVE) FE models which represent the actual material. Then PDM is used for the simulation of their mechanical response. The calculated properties, in terms of stiffnesses and strengths, are then inserted as inputs in the global FE model of the composite structure. Additionally, the reliability and applicability of a continuum damage model (CDM), in comparison with cohesive zone model (CZM), are assessed in order to use the CDM for the modeling of the adhesive’s mechanical behavior. The mentioned numerical approach is applied in an H-shaped joining element fabricated from two different woven composite materials for the loading case of tension. In the first case NCF composite is used while in the second case the joint is made of 3D fully interlaced weave (FIW) composite. The purpose of the H-shaped element is the joining of two composite plates via the method of adhesive bonding. / Στην παρούσα διατριβή αναπτύχθηκε μια νέα μέθοδος αριθμητικής βελτιστοποίησης δομικών στοιχείων από σύνθετα υλικά με σκοπό την αύξηση της αντοχής τους. Η μέθοδος βασίζεται σε έναν αριθμητικό αλγόριθμο Προοδευτικής Εξέλιξης της Βλάβης (ΠΕΒ) και τη Βελτιστοποίηση Σχήματος (ΒΣ) τα οποία συνδυάζονται σε μια επαναληπτική υπό-ρουτίνα. Στην ΠΕΒ περιλαμβάνονται τα βήματα της ανάλυσης τάσεων, ανάλυσης αστοχίας και υποβάθμιση των ιδιοτήτων των στοιχείων. Η χρησιμότητα της έγκειται στην πρόβλεψη της έναρξης και εξέλιξης της αστοχίας στο δομικό στοιχείο κάτι απαραίτητο για την κατανόηση της μηχανικής συμπεριφοράς. Η ΒΣ έχει ως σκοπό την μεταβολή συγκεκριμένων γεωμετρικών παραμέτρων για να επιτευχθεί ελαχιστοποίηση των κρίσιμών τάσεων που προκύπτουν από τα αποτελέσματα της ΠΕΒ και οδηγούν στην αστοχία του στοιχείου. Παράλληλα, για την μοντελοποίηση και τον υπολογισμό των μηχανικών ιδιοτήτων πρωτότυπων πλεγμένων σύνθετων υλικών προτείνεται καινούργια μια μεθοδολογία η οποία λαμβάνει υπ’ όψιν την υψηλή ανομοιογένεια των υλικών στην μικρό-κλίμακα για να υπολογίσει τις ιδιότητες τους. Η μεθοδολογία εφαρμόστηκε σε ένα νέο συνδετικό στοιχείο σχήματος H κατασκευασμένο από δύο διαφορετικά πλεγμένα σύνθετα υλικά, τα μη πτυχωτά και τα τρισδιάστατα πλεγμένα σύνθετα υλικά, για την περίπτωση του εφελκυσμού. Σκοπός του συνδέσμου είναι η ένωση δύο πλακών από σύνθετα υλικά χρησιμοποιώντας κόλλα. Αρχικά το μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων του συνδέσμου δημιουργείται και επιλύεται με την μέθοδο ΠΕΒ. Για την προσομοίωση της μη-γραμμικής συμπεριφοράς της κόλλας αναπτύσσεται ένα δι-γραμμικό μοντέλο. Για την προσομοίωση της πλήρης μηχανικής συμπεριφοράς των μη πτυχωτών και τρισδιάστατα πλεγμένων συνθέτων υλικών, αναπτύσσεται μια διαδικασία η οποία περιλαμβάνει τα βήματα της γεωμετρικής μοντελοποίησης, της κατασκευής του μοντέλου πεπερασμένων στοιχειών και την επίλυση αυτού με την μέθοδο ΠΕΒ. Τα αποτελέσματα, σε όρους διαγραμμάτων τάσεων-παραμορφώσεων, χρησιμοποιούνται ως δεδομένα στο μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων του συνδέσμου το οποίο επιλύεται και υπολογίζεται το διάγραμμα δύναμης-μετατόπισης. Στην συνέχεια, λαμβάνει μέρος η γεωμετρική βελτιστοποίηση βασιζόμενη στα αποτελέσματα της επίλυσης της αρχικής γεωμετρίας. Σε αυτό το σημείο επιλέγεται η μεταβλητή προς ελαχιστοποίηση στην διαδικασία της βελτιστοποίησης. Το μέγεθος αυτό ονομάζεται Συνάρτηση Σκοπού (ΣΣ) και ορίζεται ως ο συντελεστή βλάβης που ευθύνεται για την τελική αστοχία του δομικού στοιχείου. Ως ένα επιπλέον κριτήριο για την επιλογή της βέλτιστης γεωμετρίας επιλέγεται η μείωση βάρους δεδομένου ότι πρόκειται για αεροπορική κατασκευή. Η γεωμετρία που ελαχιστοποιεί την συνάρτηση σκοπού και ταυτόχρονα είναι ελαφρύτερη από την αρχική, επιλέγεται ως η τελική γεωμετρία. Τέλος, γίνεται η επιτυχής επικύρωση της βελτιστοποίησης με την σύγκριση των αριθμητικών αποτελεσμάτων μεταξύ της αρχικής και τελικής γεωμετρίας. Η μεθοδολογία της ΠΕΒ εφαρμόζεται στην τελική γεωμετρία και τα διαγράμματα δύναμης μετατόπισης συγκρίνονται για να διαπιστωθεί η αύξηση στο μέγιστο φορτίο που μπορεί να φέρει το συνδετικό στοιχείο πριν την τελική αστοχία.

Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται τα βασικά στοιχεία της θεωρίας των συνεχιζόμενων κλασμάτων και στη συνέχεια αναπτύσσονται οι αλγόριθμοι που επιτρέπουν την εκτέλεση πράξεων μεταξύ συνεχιζόμενων κλασμάτων και ρητών αριθμώ,αλλά και μεταξύ συνεχιζόμενων κλασμάτων. / In this thesis we describe the basic theory of continued fractions and describe the algorithms that enable us to perform arithmetic operations with continued fractions and rational numbers,as well as with continued fractions.

Η μετάβαση των μαθητών από την Πρωτοβάθμια στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση κατά γενική ομολογία, δημιουργεί πολλές δυσκολίες στους μαθητές, οι οποίες είναι ιδιαίτερα έντονες στο μάθημα των Μαθηματικών. Αυτό συμβαίνει γιατί οι παραπάνω έρχονται αντιμέτωποι με έναν καινούριο χώρο όπου έχει έναν διαφορετικό τρόπο σκέψης και γραφής από αυτόν που είχαν συναντήσει στην Αριθμητική κατά τη φοίτηση τους στις τάξεις του Δημοτικού. Ο χώρος αυτός δεν είναι άλλος από τον ‘όμορφο’ χώρο της Άλγεβρας. Οι μαθητές λοιπόν, στο μάθημα της Άλγεβρας έρχονται αντιμέτωποι με σωρεία καινούριων πληροφοριών παρατηρώντας πολλές διαφορές αλλά και αρκετές ομοιότητες με τις γνώσεις που είχαν λάβει από την Αριθμητική, γεγονός που πολλές φορές τους δημιουργεί σύγχυση. Ιδιαίτερα έντονες είναι οι δυσκολίες τους στην κατανόηση βασικών εννοιών όπως της μεταβλητής αλλά και στην επίλυση μιας πρωτοβάθμιας εξίσωσης που παρουσιάζονται στην Άλγεβρα. Η παρούσα διπλωματική εργασία αποτελείται από μια μελέτη της υπάρχουσας βιβλιογραφίας και των ερευνών που έχουν γίνει προς αυτή τη κατεύθυνση από πλήθος Ελλήνων και ξένων ερευνητών καθώς και παράθεση ερωτηματολογίου σε μαθητές Γ’ Γυμνασίου, εντοπισμός των βασικών λαθών τους και συνήθων συγχύσεων. Αναλυτικότερα, η δομή της εργασίας έχει ως εξής: • Στο κεφάλαιο 1 γίνεται μια ιστορική αναδρομή για το πώς φτάσαμε από τα πρώτα πρώιμα μαθηματικά, στην χρήση αγνώστων και στην επίλυση εξισώσεων έως τα σύγχρονα χρόνια καθώς και τη μετάβαση από την Αριθμητική στην Άλγεβρα. • Στο κεφάλαιο 2 επισημαίνεται η δυσκολία που συναντούν οι μαθητές από τη μετάβασή τους στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Παραθέτονται ενδεικτικά οι έρευνες ομάδων ερευνητών Ελλήνων και μη και επισήμανση συγκεκριμένων κοινών χαρακτηριστικών. Στο σημείο αυτό περιγράφουμε το σκοπό της έρευνας μας καθώς και την επιλογή των μαθητών που παραθέτουμε το ερωτηματολόγιο, τη μέθοδο συλλογής και καταγραφής των αποτελεσμάτων. • Στο κεφάλαιο 3 παραθέτουμε το ερωτηματολόγιο που δώσαμε στους μαθητές χωρισμένο σε Α και Β ομάδα και εξηγούμε το στόχο κάθε ερώτησης που θέσαμε. Κατόπιν, αναλύουμε εκτενώς τις απαντήσεις των παιδιών, παραθέτοντας και αυτούσιους διαλόγους που είχαμε μαζί τους. Εντοπίζουμε έτσι τα πιθανά λάθη και παρερμηνεύσεις που αναμέναμε αλλά και ό,τι επιπλέον προέκυψε από τις απαντήσεις τους. • Τέλος, στο κεφάλαιο 4 καταστρώνουμε ένα διδακτικό σχέδιο βασισμένο στα λάθη των μαθητών και τις λοιπές παρατηρήσεις που είδαμε νωρίτερα. Δίνουμε ένα πλάνο διδασκαλίας της άλγεβρας στις μαθητικές αίθουσες, με ποιους τρόπους θα πρέπει να μεταλαμπαδεύουμε τις γνώσεις και την «όρεξη» μας για την άλγεβρα και με ποια τεχνολογικά μέσα. Έπειτα συνδέουμε την διδασκαλία αυτή με ένα ερωτηματολόγιο ελέγχου επιτυχίας της προηγούμενης διαδικασίας. Κλείνουμε με τα συμπεράσματα της έρευνάς μας. / -

Στην παρούσα εργασία μελετάται η συμπεριφορά ιζήματος σε αιώρηση που προκαλείται λόγω θραύσης κύματος σε πυθμένα σταθερής κλίσης. Η αριθμητική προσομοίωση επιτυγχάνεται με παράλληλη επίλυση των εξισώσεων κίνησης (Navier-Stokes και Συνέχειας) και της εξίσωσης Μεταγωγής-Διάχυσης για τη μεταφορά ιζήματος σε αιώρηση. Επιλέγονται οι κατάλληλες οριακές συνθήκες ελεύθερης επιφάνειας, εισόδου και εξόδου, ενώ για την οριακή συνθήκη πυθμένα χρησιμοποιούνται εμπειρικοί τύποι που συνδέουν τη διατμητική τάση πυθμένα με τη συγκέντρωση πυθμένα. Οι εξισώσεις μετασχηματίζονται κατάλληλα ώστε το υπολογιστικό πεδίο να γίνει ανεξάρτητο του χρόνου. Για τη χρονική διακριτοποίηση χρησιμοποιείται ένα σχήμα κλασματικής μεθόδου ολοκλήρωσης με σταθερό χρονικό βήμα. Για τη χωρική διακριτοποίηση χρησιμοποιείται ένα υβριδικό σχήμα, το οποίο περιλαμβάνει διακριτοποίηση των εξισώσεων με χρήση πεπερασμένων διαφορών κατά τη διεύθυνση της ροής και εφαρμογή της φασματικής μεθόδου παρεμβολής με πολυώνυμα Chebyshev για την κατακόρυφη διεύθυνση. Μελετώνται περιπτώσεις κόκκων ιζήματος με διάμετρο κανονικοποιημένη ως προς το χαρακτηριστικό βάθος ροής, =10-4, =2∙10-4 και =5∙10-4. Κατά την θραύση παρατηρείται σημαντική ανύψωση του ιζήματος πυθμένα στη στήλη του ύδατος και για τις τρεις περιπτώσεις. Η καθαρή παροχή ιζήματος σε αιώρηση παρουσιάζει τη τάση να κινείται προς τα ανάντη της ροής με τη μέγιστη τιμή να εμφανίζεται μετά τη θραύση. Τέλος, διαπιστώνεται ότι η καθαρή παροχή αιωρούμενου ιζήματος είναι σημαντικά μεγαλύτερη από αυτή του ιζήματος κλίνης. / The simulations are based on the coupled numerical solution of the flow equations (continuity and Navier-Stokes) with the transport equation for suspended sediment load subject to the fully nonlinear free-surface boundary conditions and appropriate bottom, inflow and outflow boundary conditions. The equations are properly transformed so that the computational domain becomes time-independent. A hybrid scheme is used for the spatial discretization with finite differences in the streamwise direction and a pseudospectral approximation with Chebyshev polynomials in the vertical direction. A fractional time-step scheme is used for the temporal discretization. We seek results for the behavior of the suspended sediment load induced by broken waves for different particle sizes of bed material. The aim is to identify critical particle sizes for strong uplift and transport of sediment.

This doctoral thesis approaches the problem of designing versatile architectures for cryptographic hardware. By the term versatile we define hardware architectures capable of supporting a variety of arithmetic operations and algorithms useful in cryptography, with no need to reconfigure the internal interconnections of the integrated circuit. A versatile architecture could offer considerable benefits to the end-user. By embedding a variety of crucial operations in a common architecture, the user is able to switch seamlessly the underlying cryptographic protocols, which not only gives an added value in the design from flexibility but also from practicality point of view. The total cost of a cryptographic application can be also benefited; assuming a versatile integrated circuit which requires no additional circuitry for other vital operations (for example input–output converters) it is easy to deduce that the total cost of development and fabrication of these extra components is eliminated, thus reducing the total production cost. We follow a systematic approach for developing and presenting the proposed versatile architectures. First, an in-depth analysis of the algorithms of interest is carried out, in order to identify new research areas and weaknesses of existing solutions. The proposed algorithms and architectures operate on Galois Fields GF of the form GF(p) for integers and GF(2^n) for polynomials. Alternative number representation systems such as Residue Number System (RNS) for integers and Polynomial Residue Number System (PRNS) for polynomials are employed. The mathematical validity of the proposed algorithms and the applicability of RNS and PRNS in the context of cryptographic algorithms is also presented. The derived algorithms are decomposed in a way that versatile structures can be formulated and the corresponding hardware is developed and evaluated. New cryptanalytic properties of the proposed algorithms against certain types of attacks are also highlighted. Furthermore, we try to approach a fundamental problem in Very Large Scale Integration (VLSI) design, that is the problem of evaluating and comparing architectures using models independent from the underlying fabrication technology. We also provide generic methods to evaluate the optimal operation parameters of the proposed architectures and methods to optimize the proposed architectures in terms of speed, area, and area x speed product, based on the needs of the underlying application. The proposed methodologies can be expanded to include applications other than cryptography. Finally, novel algorithms based on new mathematical and design problems for the crucial operation of modular multiplication are presented. The new algorithms preserve the versatile characteristics discussed previously and it is proved that, along with existing algorithms in the literature, they may forma large family of algorithms applicable in cryptography, unified under the common frame of the proposed versatile architectures. / Η παρούσα διατριβή άπτεται του θέματος της ανάπτυξης ευέλικτων αρχιτεκτονικών κρυπτογραφίας σε ολοκληρωμένα κυκλώματα υψηλής ολοκλήρωσης (VLSI). Με τον όρο ευέλικτες ορίζονται οι αρχιτεκτονικές που δύνανται να υλοποιούν πλήθος βασικών αριθμητικών πράξεων για την εκτέλεση κρυπτογραφικών αλγορίθμων, χωρίς την ανάγκη επαναπροσδιορισμού των εσωτερικών διατάξεων στο ολοκληρωμένο κύκλωμα. Η χρήση ευέλικτων αρχιτεκτονικών παρέχει πολλαπλά οφέλη στο χρήστη. Η ενσωμάτωση κρίσιμων πράξεων απαραίτητων στη κρυπτογραφία σε μια κοινή αρχιτεκτονική δίνει τη δυνατότητα στο χρήστη να εναλλάσσει το υποστηριζόμενο κρυπτογραφικό πρωτόκολλο, εισάγοντας έτσι χαρακτηριστικά ευελιξίας και πρακτικότητας, χωρίς επιπρόσθετη επιβάρυνση του συστήματος σε υλικό. Αξίζει να σημειωθεί πως οι εναλλαγές αυτές δεν απαιτούν τη παρέμβαση του χρήστη. Σημαντική είναι η συνεισφορά μιας ευέλικτης αρχιτεκτονικής και στο κόστος μιας εφαρμογής. Αναλογιζόμενοι ένα ολοκληρωμένο κύκλωμα που μπορεί να υλοποιεί αυτόνομα όλες τις απαραίτητες πράξεις ενός αλγόριθμου χωρίς την εξάρτηση από εξωτερικά υποσυστήματα (π.χ. μετατροπείς εισόδου–εξόδου), είναι εύκολο να αντιληφθούμε πως το τελικό κόστος της εκάστοτε εφαρμογής μειώνεται σημαντικά καθώς μειώνονται οι ανάγκες υλοποίησης και διασύνδεσης επιπρόσθετων υποσυστημάτων στο ολοκληρωμένο κύκλωμα. Η ανάπτυξη των προτεινόμενων αρχιτεκτονικών ακολουθεί μια δομημένη προσέγγιση. Διενεργείται εκτενής μελέτη για τον προσδιορισμό γόνιμων ερευνητικών περιοχών και εντοπίζονται προβλήματα και δυνατότητες βελτιστοποίησης υπαρχουσών κρυπτογραφικών λύσεων. Οι νέοι αλγόριθμοι που αναπτύσσονται αφορούν τα Galois πεδία GF(p) και GF(2^n) και χρησιμοποιούν εναλλακτικές αριθμητικές αναπαράστασης δεδομένων όπως το αριθμητικό σύστημα υπολοίπων (Residue Number System (RNS)) για ακέραιους αριθμούς και το πολυωνυμικό αριθμητικό σύστημα υπολοίπων (Polynomial Residue Number System (PRNS)) για πολυώνυμα. Αποδεικνύεται η μαθηματική τους ορθότητα και βελτιστοποιούνται κατά τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματίζουν ευέλικτες δομές. Αναπτύσσεται το κατάλληλο υλικό (hardware) και διενεργείται μελέτη χρήσιμων ιδιοτήτων των νέων αλγορίθμων, όπως για παράδειγμα νέες κρυπταναλυτικές ιδιότητες. Επιπρόσθετα, προσεγγίζουμε στα πλαίσια της διατριβής ένα βασικό πρόβλημα της επιστήμης σχεδιασμού ολοκληρωμένων συστημάτων μεγάλης κλίμακας (Very Large Scale Integration (VLSI)). Συγκεκριμένα, προτείνονται μέθοδοι σύγκρισης αρχιτεκτονικών ανεξαρτήτως τεχνολογίας καθώς και τρόποι εύρεσης των βέλτιστων συνθηκών λειτουργίας των προτεινόμενων αρχιτεκτονικών. Οι μέθοδοι αυτές επιτρέπουν στον σχεδιαστή να παραμετροποιήσει τις προτεινόμενες αρχιτεκτονικές με βάση τη ταχύτητα, επιφάνεια, ή το γινόμενο ταχύτητα x επιφάνεια. Οι προτεινόμενες μεθοδολογίες μπορούν εύκολα να επεκταθούν και σε άλλες εφαρμογές πέραν της κρυπτογραφίας. Τέλος, προτείνονται νέοι αλγόριθμοι για τη σημαντικότατη για την κρυπτογραφία πράξη του πολλαπλασιασμού με υπόλοιπα. Οι νέοι αλγόριθμοι ενσωματώνουν από τη μία τις ιδέες των ευέλικτων δομών, από την άλλη όμως βασίζονται σε νέες ιδέες και μαθηματικά προβλήματα τα οποία προσπαθούμε να προσεγγίσουμε και να επιλύσουμε. Αποδεικνύεται πως είναι δυνατή η ενοποίηση μιας μεγάλης οικογένειας αλγορίθμων για χρήση στην κρυπτογραφία, υπό τη στέγη των προτεινόμενων μεθοδολογιών για ευέλικτο σχεδιασμό.

Στα πλαίσια αυτής της διδακτορικής διατριβής μελετήθηκαν τόσο το κρυπτογραφικό σχήμα του RSA όσο και τα διαφορά σχήματα κρυπτογραφίας ελλειπτικών καμπύλων με στόχο την πρόταση μιας αποδοτικής, σε ταχύτητα και απαιτούμενους πόρους υλικού, μεθοδολογία σχεδιασμού τους. Σε αυτή τη μεθοδολογία σχεδιασμού δίνεται μεγάλο βάρος στη βελτιστοποίηση των πράξεων στα πεπερασμένα σώματα που χρησιμοποιούνται στην κρυπτογραφία δημοσίου κλειδιού. Τα πιο ευρέως χρησιμοποιούμενα σε κρυπτογραφία πεπερασμένα σώματα είναι τα GF(p) (πρώτα σώματα) και τα GF(2^k) (πεπερασμένα σώματα δυαδικής επέκτασης). Σε σχέση με την αριθμητική των GF(p), προτείνεται η χρήση του αλγόριθμου του Montgomery για modulo πολλαπλασιασμό, τροποποιημένου έτσι ώστε να χρησιμοποιεί Carry-Save πλεονάζουσα λογική καθώς και προεπεξεργασία τιμών. Η προκύπτουσα προτεινόμενη αρχιτεκτονική χρησιμοποιείται σε μονάδα ύψωσης σε δύναμη (που αποτελεί και την βασική αριθμητική πράξη του RSA). Η προτεινόμενη μονάδα επιτυγχάνει πολύ καλύτερα αποτελέσματα σε σχέση με άλλες αρχιτεκτονικές τόσο ως προς την ταχύτητα λειτουργίας αλλά και ως προς τους χρησιμοποιούμενους πόρους υλικού. Σε σχέση με την αριθμητική των GF(2^k), προτείνονται αλγόριθμοι και αρχιτεκτονικές για ευέλικτο πολλαπλασιασμό και για αντιστροφή, όταν χρησιμοποιείται πολυωνυμική βάση αναπαράστασης και μια μεθοδολογία πολλαπλασιασμού με αντίστοιχες σειριακές (SMPO) και παράλληλες αρχιτεκτονικές πολλαπλασιασμού όταν χρησιμοποιείται αναπαράσταση κανονικής βάσης. Τέλος, στα πλαίσια της αριθμητικής Ελλειπτικών Καμπύλων η οποία βασίζεται στα πεπερασμένα σώματα GF(p) ή GF(2^k) (στην κρυπτογραφία), χρησιμοποιήθηκαν προτεινόμενες αρχιτεκτονικές δομές για τα σώματα αυτά έτσι ώστε να προκύψει μια ανταγωνιστική αριθμητική μονάδα πράξεων για Ελλειπτικές Καμπύλες. Το πρόβλημα που εμφανίζεται σε μια τέτοια μονάδα έχει να κάνει με το μεγάλο κόστος της αντιστροφής σε πεπερασμένα σώματα σε πόρους υλικού αλλά και σε καθυστέρηση υπολογισμών. Χρησιμοποιώντας την αρχιτεκτονική δομή που προτείνεται στην παρούσα διδακτορική διατριβή για αντιστροφή-πολλαπλασιασμό σε GF(2^k) (μονάδα πολλαπλασιασμού/αντιστροφής) το προαναφερθέν κόστος ελαχιστοποιείται. / In this PhD dissertation the cryptographic schemes of RSA and elliptic curve cryptography were studied extensively in order to propose design methodologies for those schemes that are efficient in terms of computation speed and employed hardware resources. In the proposed methodologies special attention is given in the optimization of finite field arithmetic operations employed in public key cryptography. The most widely used such fields are the prime fields or GF(p) and the binary extension fields or GF(2^k) Concerning GF(p) arithmetic, an optimized version of Montgomery modulo multiplication algorithm is proposed for performing modular multiplication that employs Carry - Save redundant logic and value precomputation. The resulting architecture is used in a modular exponentiation unit (which is the basic arithmetic operation of RSA. The proposed unit achieves much better results in terms of computation speed and utilized hardware resources when compared to other well known similar designs. Concerning arithmetic in GF(2^k), algorithms and architectures are proposed for versatile design and inversion when polynomial basis representation of the GF(2^k)is employed. Also, a multiplication design methodology is proposed along with resulting sequential (SMPO) and parallel hardware architectures when normal basis representation of the GF(2k) is chosen. Finally, on elliptic curve arithmetic defined over GF(p) or GF(2^k) the proposed architectures for those fields were used in order to propose a competitive elliptic curve point operation arithmetic unit. The major problem of such a unit is the extensive cost in hardware resources and computation delay of finite field inversion operation. Using the architectural structure proposed in the PhD dissertation for inversion/multiplication in GF(2^k) (multiplication/inversion unit) the design cost can be minimized.