Σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η ανάπτυξη αριθμητικής μεθόδου, η οποία επιλύει προβλήματα δισδιάστατης στατικής ελαστικότητας, καθώς και δυναμικής ελαστικότητας στο πεδίο των συχνοτήτων και στο πεδίο του χρόνου. Το κύριο χαρακτηριστικό της είναι ότι η προσέγγιση του άγνωστου πεδίου γίνεται με την τοποθέτηση σημείων και όχι με τη χρήση κάποιου πλέγματος όπως γίνεται στις μέχρι τώρα κλασικές μεθοδολογίες των πεπερασμένων ή συνοριακών στοιχείων. Μέρος της παρούσας διατριβής αποτελεί και η ανάπτυξη προγράμματος ηλεκτρονικού υπολογιστή, ο οποίος υποστηρίζει πλήρως τα όσα αναφέρονται στην παρούσα εργασία. Η παρούσα διατριβή αποτελείται από δύο ενότητες. Στην πρώτη ενότητα, η οποία περιλαμβάνει τα πρώτα τρία κεφάλαια, παρατίθεται το θεωρητικό υπόβαθρο της μεθοδολογίας. Στη δεύτερη ενότητα περιγράφονται διάφορες τεχνικές λεπτομέρειες, όπως ολοκληρώσεις και προσέγγιση πεδίου και δίνονται αρκετά παραδείγματα, τα οποία πιστοποιούν την ακρίβεια και την αξιοπιστία της. / -

Η παρούσα εργασία αποτελεί μια ανασκόπηση των βασικότερων στοιχείων της θεωρίας της κλασματικής ανάλυσης, των γραμμικών συνήθων διαφορικών εξισώσεων κλασματικής τάξης, καθώς και εφαρμογές αυτών. Η εργασία αυτή αποτελείται από τρία μέρη: Στο πρώτο μέρος αναφέρουμε ειδικές συναρτήσεις (Γάμμα συνάρτηση, Βήτα συνάρτηση και συνάρτηση Mittag – Leffler) που χρησιμοποιούνται στην κλασματική ανάλυση, καθώς και ιδιότητες αυτών. Επιπλέον, ορίζεται το κλασματικό ολοκλήρωμα, οι κλασματικές παράγωγοι Riemann – Liouville και Caputo καθώς και οι σειριακές (sequential) κλασματικές παράγωγοι και δίνονται ιδιότητες αυτών. Το δεύτερο μέρος περιλαμβάνει εισαγωγικά ιστορικά στοιχεία μελέτης των συνήθων διαφορικών εξισώσεων κλασματικής τάξης. Αναφέρεται το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης ενός προβλήματος αρχικών τιμών και δίνονται κάποιοι τρόποι επίλυσης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων κλασματικής τάξης με σταθερούς συντελεστές. Το τρίτο μέρος αφορά σε εφαρμογές των συνήθων διαφορικών εξισώσεων κλασματικής τάξης. Αρχικά, παραθέτουμε κάποιες εφαρμογές σε διάφορους κλάδους των επιστημών και προσεγγίζουμε τη γραμμική βισκοελαστικότητα διαμέσου της κλασματικής ανάλυσης. Στη συνέχεια πιο αναλυτικά με τη βοήθεια των κλασματικών διαφορικών εξισώσεων μελετάμε το πρόβλημα του Basset και ταλαντωτικές διαδικασίες με κλασματική απόσβεση. / This dissertation is a review of the fractional analysis theory for linear ordinary differential equations (ODE)of fractional order. The first part of our work is a review of some special functions (Gamma, Beta and Mittag - Leffler) which are used in the fractional analysis as well as their properties. We also define the fractional integral, the Riemann - Liouville and Caputo fractional derivatives, the sequential derivative of fractional order and their properties. In the second part, we introduce the basic theory of fractional order ODE's. We present the theorem of existence and uniqueness of the solution of an initial values problem and we give some algorithms for solving linear fractional order ODE's with constant coefficients. In the last part we present some applications of fractional order ODE's. Some of these are: viscoelasticity, Basset's problem and oscillatory processes of fractional damping.

- / -

Η παρούσα εργασία ασχολείται με μεθόδους εύρεσης κυματικών λύσεων καθώς και λύσεων οδευόντων κυμάτων επί σειράς πολύ γνωστών μερικών διαφορικών εξισώσεων καθώς και με θεωρήματα μελέτης της ύπαρξης και της μοναδικότητας, ευστάθειας, ασυμπτωτικής συμπεριφοράς και μονοτονίας των ανωτέρω λύσεων. Θα περιοριστούμε σε μερικές ansatze μεθόδους εύρεσης κυματικών λύσεων, καθώς και στην ύπαρξη και μοναδικότητα ειδικών κατηγοριών κυματικών λύσεων. / --

Στην παρούσα διατριβή παρουσιάζεται η μελέτη μιας οικογένειας εξισώσεων διαφορών (ή διακριτών εξισώσεων) χρησιμοποιώντας μεθόδους συμμετριών. Τέτοιες μέθοδοι είναι καλά θεμελιωμένες για την μελέτη και κατασκευή λύσεων διαφορικών εξισώσεων. Στόχος είναι η χρήση συμμετριών για τη σύνδεση διαφορικών και διακριτών εξισώσεων, καθώς και η κατασκευή λύσεων των τελευταίων από συμμετρικές λύσεις των πρώτων. Συγκεκριμένα, μελετάμε διακριτές εξισώσεις που είναι αφινικά γραμμικές, έχουν τις συμμετρίες του τετραγώνου και εμπλέκουν τέσσερεις τιμές μιας άγνωστης συνάρτησης δύο ακέραιων μεταβλητών, οι οποίες σχηματιζούν ένα στοιχειώδες τετράπλευρο στο επίπεδο των ανεξάρτητων μεταβλητών. Η διεξοδική μελέτη αυτής της οικογένειας οδηγεί στην κατασκευή ενός νόμου διατήρησης καθώς και σε συνθήκες γραμμικοποιήσης. Μέλη αυτής της οικογένειας είναι και οι ολοκληρώσιμες εξισώσεις της ταξινόμησης των Adler, Bobenko, Suris (ABS). Η ολοκληρωσιμότητα των εξισώσεων ABS προκύπτει από την πολυδιάστατη συμβατότητά τους. Αυτό σημαίνει ότι μπορούν να επεκταθούν κατάλληλα σε εξισώσεις πολλών ανεξάρτητων μεταβλητών. Η ιδιότητα αυτή μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε άμεσα έναν αυτομεταχηματισμό Bäcklund και ένα ζευγάρι Lax χρησιμοποιώντας τις ίδιες τις εξισώσεις, στοιχεία που αποτελούν άλλη μια ένδειξη της ολοκληρωσιμότητάς τους. Η εξάρτηση των εξισώσεων ABS από δύο συνεχείς παραμέτρους μας επιτρέπει να μελετήσουμε επιπλέον και τις επεκταμένες συμμετρίες τους, δηλαδή τις συμμετρίες που δρουν και στις παραμέτρους. Αυτές οι συμμετρίες αποτελούν το βασικό εργαλείο για τη σύνδεσή τους με ολοκληρώσιμα συστήματα διαφορικών εξισώσεων. Την ολοκληρωσιμότητα αυτών των συμβατών διαφορικών συστημάτων την αποδεικνύουμε κατασκευάζοντας έναν αυτομετασχηματισμό Bäcklund και ένα ζευγάρι Lax. Η σύνδεση αυτή μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε λύσεις των διακριτών εξισώσεων από λύσεις του συμβατού συστήματος διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες συνδέονται με λύσεις των συνεχών εξισώσεων Painlevé. Από την άλλη, παρουσιάζεται η σύνδεση αυτών των συστημάτων διαφορικών εξισώσεων με τις γεννήτριες εξισώσεις. Οι τελευταίες παρουσιάστηκαν αρχικά από τους Nijhoff, Hone, Joshi χρησιμοποιώντας άλλη προσέγγιση. Ωστόσο, η προσέγγιση μέσω συμμετρικών αναγωγών που παρουσιάζουμε εδώ είναι πιο άμεση και οδηγεί στα ίδια συμπεράσματα. Συνοψίζοντας, η παρούσα διατριβή παρουσιάζει μια καινοτομική χρήση των συμμετριών των διακριτών εξισώσεων για την κατασκευή λύσεων, αλλά και την σύνδεσή τους με συστήματα διαφορικών εξισώσεων. / In the present dissertation, we present the study of a family of discrete equations using symmetry-based techniques. Such methods are well established for the study of differential equations. We use the symmetries of discrete equations to establish new connections between discrete and differential equations, as well as to construct new solutions of the former in terms of similarity solutions of the latter. Specifically, we study discrete equations which are affine linear, possess the symmetries of the square and involve four values of an unknown function of two independent discrete variables forming a quadrilateral. The extensive study of this class leads to a conservation law, as well as to linearization conditions. Members of this family are the integrable equations of the Adler, Bobenko, Suris (ABS) classification. The integrability of the ABS equations follows from their multidimensional consistency. The latter implies that, the equation may be extended in a multidimensional lattice. This property allows us to derive directly an auto– Bäcklund transformation and a Lax pair, using the function defining these equations. These are another evidence of the integrability of the ABS equations. The dependence of these equations on two continuous parameters permits us to study their extended symmetries, i.e. symmetries acting on the parameters as well. These symmetries are our main tool in connecting the ABS equations to integrable systems of differential equations. The integrability of the latter is proved by the construction of an auto–Bäcklund transformation and a Lax pair. This connection provides us the means to construct solutions of the discrete equations from solutions of the compatible differential system, which are related to solutions of the continuous Painlevé equations. On the other hand, we present how these systems lead naturally to generating differential equations, which were presented by Nijhoff, Hone and Joshi starting from another point of view. However, our construction through symmetry reductions is more straightforward. Thus, in the present thesis is presented a novel usage of the symmetries of discrete equations in the construction of solutions and the connection between discrete and differential equations.

Όπως φαίνεται και από τον τίτλο της, ο σκοπός της Διπλωματικής αυτής Εργασίας είναι διπλός. Αφ’ ενός διαπραγματεύεται ένα κλασικό μαθηματικό πρόβλημα, το πρόβλημα Riemann-Hilbert (RH), που παρουσιάζεται και επιλύεται σε μια σειρά περιπτώσεων. Αφ’ ετέρου παρουσιάζεται η εφαρμογή του προβλήματος αυτού στη μελέτη προβλημάτων αρχικών ή αρχικών-συνοριακών τιμών για γραμμικές και μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις. Η εργασία διαρθρώνεται σε τεσσερα (4) κεφάλαια. Ακριβέστερα, η δομή των κεφαλαίων είναι η ακόλουθη. Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί την εισαγωγή της εργασίας και περιέχει, εκτός από μια εποπτική παρουσίαση του προβλήματος, μια σύντομη ιστορική αναδρομή καθώς και παράθεση των εφαρμογών του προβλήματος. Το δεύτερο κεφάλαιο τιτλοφορείται ‘Ολοκληρώματα τύπου Cauchy’ και είναι αφιερωμένο στην παρουσίαση του αναγκαίου υποβάθρου, με σκοπό να είναι η ακόλουθη παρουσίαση αυτάρκης. Τα θέματα που διαπραγματεύεται είναι: Oλοκληρώματα τύπου Cauchy, συναρτήσεις τύπου Hölder, ολοκληρώματα κύριας τιμής του Cauchy, θεώρημα των Plemelj-Sokhotski, ολοκληρωτικός τελεστής του Cauchy, ολοκληρώματα τύπου Cauchy στην πραγματική ευθεία. Το τρίτο κεφάλαιο, ‘Το πρόβλημα Riemann-Hilbert’, παρουσιάζει το πρόβλημα καθώς και την επίλυσή του σε μια σειρά περιπτώσεων. Στην πιο απλή διατύπωσή του, το πρόβλημα ζητά τον προσδιορισμό μιας τμηματικά ολόμορφης μιγαδικής συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής η οποία παρουσιάζει δοσμένο άλμα κατά μήκος δοσμένης καμπύλης του μιγαδικού επιπέδου. Εστιαζόμαστε αποκλειστικά σε βαθμωτά προβλήματα. Επίσης, εργαζόμαστε με συνοριακές καμπύλες που έχουν την ιδιότητα να χωρίζουν το μιγαδικό επίπεδο σε δύο τμήματα: κλειστές καμπύλες, καθώς και την πραγματική ευθεία. Ειδικότερα, αναλύονται τα ακόλουθα προβλήματα: (i) Πρόβλημα Riemann-Hilbert (RH) για κλειστές καμπύλες: (1) Aθροιστικό (additive) πρόβλημα RH. (2) Πρόβλημα παραγοντοποίησης (factorization) RH. (3) Γενικό μη ομογενές πρόβλημα RH. (ii) Πρόβλημα RH επί της πραγματικής ευθείας: (1) Aθροιστικό (additive) πρόβλημα RH. (2) Πρόβλημα παραγοντοποίησης (factorization) RH. (3) Γενικό μη ομογενές πρόβλημα RH. Το τέταρτο κεφάλαιο τιτλοφορείται ‘Προβλήματα Αρχικών-Συνοριακών Τιμών για Γραμμικές και μη Γραμμικές Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις’. Εδώ διαπραγματευόμαστε μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΜΔΕ), τόσο γραμμικές όσο και μη γραμμικές, που έχουν την ιδιότητα να διαθέτουν ζεύγος Lax (Lax pair formulation): Aυτό σημαίνει ότι κάθε μία από αυτές τις ΜΔΕ μπορεί να γραφεί σαν η συνθήκη συμβατότητας (ολοκληρωσιμότητας) ενός ζεύγους γραμμικών ΜΔΕ, που περιέχει και μια ελεύθερη μιγαδική παράμετρο (φασματική παράμετρος). Τέτοιες ΜΔΕ χαρακτηρίζονται και σαν ολοκληρώσιμες (integrable) με τη μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης (inverse scattering method). Η τελευταία αποτελεί μια μέθοδο επίλυσης του προβλήματος αρχικών τιμών, ή Cauchy, για εξελικτικές ΜΔΕ αυτού του είδους. Η νεότερη μέθοδος του ενοποιημένου φασματικού μετασχηματισμού (unified transform method), ή της ταυτόχρονης φασματικής ανάλυσης (simultaneous spectral analysis) του ζεύγους Lax, γενικεύει την προηγούμενη μέθοδο με τρόπο που να μπορεί να εφαρμοστεί και σε προβλήματα αρχικών-συνοριακών τιμών τέτοιων ΜΔΕ (και όχι μόνο). Στο κεφάλαιο αυτό της εργασίας μελετιούνται τα ακόλουθα προβλήματα. (i). Το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΠΑΤ) για τη (γραμμική) ΜΔΕ της διάχυσης (ή θερμότητας) (heat (or diffusion) equation). Εδώ παρουσιάζεται η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης στην απλούστερή της μορφή. (ii). Ένα αρκετά γενικό φασματικό πρόβλημα, που μπορεί να αποτελέσει το χωρικό μέρος του ζευγαριού Lax για μια πλειάδα μη γραμμικών ΜΔΕ. Στη συνέχεια, η προσοχή μας εστιάζεται στο λεγόμενο φασματικό πρόβλημα των Zakharov-Shabat. Σαν εφαρμογή, μελετάται το ΠΑΤ για τη μη γραμμική Εξίσωση Schrodinger (Nonlinear Schrodinger, NLS). (iii). Το πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών (ΠΑΣΤ) για την εξίσωση της διάχυσης ορισμένη στην ημιευθεία της χωρικής μεταβλητής. Εδώ περιγράφεται η μέθοδος του ενοποιημένου φασματικού μετασχηματισμού στην απλούστερή της μορφή, εφαρμοζόμενη δηλαδή σε ένα γραμμικό πρόβλημα. H εργασία καταλήγει με την παράθεση της βιβλιογραφίας, σύμφωνα με τις αναφορές που προκύπτουν από το κείμενο. / As it is shown in its title, the purpose of this M.Sc.thesis is twofold. First, we discuss a classical mathematical problem, called the Riemann-Hilbert problem. This problem is presented and solved in a series of cases. Afterwards, we present the applications of this problem to the study of initial value problems and initial-boundary value problems for linear and nonlinear partial differential equations. The thesis is organized in four (4) chapters. More accurately, the structure of the four chapters is as follows. The first chapter constitutes of the Introduction to the thesis. It contains the presentation of the problem, a short historical retrospection of the problem, as well as a list of applications of the problem. The second chapter, entitled “Cauchy Type Integrals”, is dedicated to the presentation of the necessary background, so as to make the following presentation self-contained. The topics negotiated are: Cauchy type integrals, Hölder type functions, Cauchy principal value integrals, the Plemelj-Sokhotski theorem, the Cauchy integral operator, Cauchy type integrals on the real line. The third chapter, “The Riemann-Hilbert Problem”, presents the problem, as well s its solution, in a series of cases. The problem’s simplest formulation seeks for a sectionally holomorphic, complex valued function of a single complex variable, which undergoes a given (predetermined) jump along a given curve of the complex plane. We focus our attention exclusively on scalar Riemann-Hilbert problems. We work exclusively with discontinuity curves that have the property to divide the complex plane into two sections, and, in particular, with closed curves, as well as with the real line. In particular, we analyse the following problems: (i). The Riemann-Hilbert (RH) problem for closed curves: (1). Additive RH problem. (2). Factorization RH problem. (3). General non-homogeneous RH problem. (ii). RH problem on the real line. (1). Additive RH problem. (2). Factorization RH problem. (3). General non-homogeneous RH problem. The fourth chapter is entitled “Initial-Boundary Value Problems for Linear and Nonlinear Partial Differential Equations”. Here we negotiate with patial differential equations (PDE), linear as well as nolinear, which have the distinguishing property of possessing a so-called Lax pair formulation. By this we mean that, any of these PDEs is equivalent to the compatibility (integrability) condition of a proper pair of linear differential equations, the so-called Lax pair, that also contains a free complex parameter, termed to the spectral parameter. Such PDEs are also characterized as integrable by the inverse scattering method. The last method, also called the inverse spectral method, is a method for solving the initial value problem, or Cauchy problem, for evolutionary PDEs of this kind. The new method of simultaneous spectral analysis of the Lax pair, also called the unified transform method, generalizes the previous one in a manner that renders it applicable also to initial-boundary value problems for such PDEs. In this, fourth, chapter we study the following problems: (i). The initial value problem for the (linear) heat (or diffusion) equation. Here is presented the inverse scattering method in its simplest form. (ii). An adequately general spectral problem, which may constitute the spatial part of the Lax pair for many integrable nonlinear PDEs. We afterwards focus our attention to a specific case of this problem, the so-called Zakharov-Shabat spectral problem. As an application, we study the initial value problem for the so-called Nonlinear Schrodinger (NLS) equation. (iii). The initial-boundary value problem for the heat (or diffusion) equation posed on a semi-infinite interval of the spatial variable. Here we present the unified transform method in its simplest form, i.e., applied on a linear problem. The thesis terminates with the presentation of the bibliography, in accordance with the references that appear in the text.

Η παρούσα διδακτορική διατριβή πραγματεύεται το θέμα της αποδοτικής και με βεβαιότητα εύρεσης όλων των ριζών της παραμετρικής εξίσωσης f(x;[p]) = 0, μιας συνεχώς διαφορίσιμης συνάρτησης f με [p] ένα διάνυσμα που περιγράφει όλες τις παραμέτρους της παραμετρικής εξίσωσης και τυποποιούνται με τη μορφή διαστημάτων. Για την επίλυση αυτού του προβλήματος χρησιμοποιήθηκαν εργαλεία της Διαστηματικής Ανάλυσης. Το κίνητρο για την ερευνητική ενασχόληση με το παραπάνω πρόβλημα προέκυψε μέσα από ένα κλασικό πρόβλημα αριθμητικής ανάλυσης: την αριθμητική επίλυση συστημάτων πολυωνυμικών εξισώσεων μέσω διαστηματικής ανάλυσης. Πιο συγκεκριμένα, προτάθηκε μια ευρετική τεχνική αναδιάταξης του αρχικού πολυωνυμικού συστήματος που φαίνεται να βελτιώνει σημαντικά, κάθε φορά, τον χρησιμοποιούμενο επιλυτή. Η ανάπτυξη, καθώς και τα αποτελέσματα αυτής της εργασίας αποτυπώνονται στο Κεφάλαιο 2 της παρούσας διατριβής. Στο επόμενο Κεφάλαιο 3, προτείνεται μια μεθοδολογία για την αποδοτική και αξιόπιστη επίλυση μη-γραμμικών εξισώσεων με διαστηματικές παραμέτρους, δηλαδή την αποδοτική και αξιόπιστη επίλυση διαστηματικών εξισώσεων. Πρώτα, δίνεται μια νέα διατύπωση της Διαστηματικής Αριθμητικής και αποδεικνύεται η ισοδυναμία της με τον κλασσικό ορισμό. Στη συνέχεια, χρησιμοποιείται η νέα διατύπωση της Διαστηματικής Αριθμητικής ως θεωρητικό εργαλείο για την ανάπτυξη μιας επέκτασης της διαστηματικής μεθόδου Newton που δύναται να επιλύσει όχι μόνο κλασικές μη-παραμετρικές μη-γραμμικές εξισώσεις, αλλά και παραμετρικές (διαστηματικές) μη-γραμμικές εξισώσεις. Στο Κεφάλαιο 4 προτείνεται μια νέα προσέγγιση για την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Ολικής Βελτιστοποίησης με περιορισμούς διαστήματα, χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα του Κεφαλαίου 3. Το πρόβλημα της ολικής βελτιστοποίησης, ανάγεται σε πρόβλημα επίλυσης διαστηματικών εξισώσεων, και γίνεται εφικτή η επίλυσή του με τη βοήθεια των θεωρητικών αποτελεσμάτων και της αντίστοιχης μεθοδολογίας του Κεφαλαίου 3. Στο τελευταίο Κεφάλαιο δίνεται μια νέα αλγοριθμική προσέγγιση για το πρόβλημα της επίλυσης διαστηματικών πολυωνυμικών εξισώσεων. Η νέα αυτή προσέγγιση, βασίζεται και γενικεύει την εργασία των Hansen και Walster, οι οποίοι πρότειναν μια μέθοδο για την επίλυση διαστηματικών πολυωνυμικών εξισώσεων 2ου βαθμού. / In this dissertation the problem of finding reliably and with certainty all the zeros a pa-rameterized equation f(x;[p]) = 0, of a continuously differentiable function f is considered, where [p] is an interval vector describing all the parameters of the Equation, which are formed with interval numbers. For this kind of problem, methods of Interval Analysis are used. The incentive to this scientific research was emerged from a classic numerical analysis problem: the numerical solution of polynomial systems of equations using interval analysis. In particular, a heuristic reordering technique of the initial polynomial systems of equations is proposed. This approach seems to improve significantly the used solver. The proposed technique, as well as the results of this publication are presented in Chapter 2 of this dissertation. In the next Chapter 3, a methodology is proposed for solving reliably and efficiently parameterized (interval) equations. Firstly, a new formulation of interval arithmetic is given and the equivalence with the classic one is proved. Then, an extension of interval Newton method is proposed and developed, based on the new formulation of interval arithmetic. The new method is able to solve not only classic non-linear equations but, non-linear parameterized (interval) equation too. In Chapter 4 a new approach on solving the Box-Constrained Global Optimization problem is proposed, based on the results of Chapter 3. In details, the Box-Constrained Global Optimization problem is reduced to a problem of solving interval equations. The solution of this reduction is attainable through the methodology developed in Chapter 3. In the last Chapter of this dissertation a new algorithmic approach is given for the problem of solving reliably and with certainty an interval polynomial equation of degree $n$. This approach consists in a generalization of the work of Hansen and Walster. Hansen and Walster proposed a method for solving only quadratic interval polynomial equations

Η κατά συμμετρίες ανάλυση είναι μια σύγχρονή και αποτελεσματική μέθοδος ανάλυσης του μαθηματικού πεδίου των Διαφορικών Εξισώσεων. Στα πλεονεκτήματα της, ο αλγοριθμικός τρόπος με τον οποίο μπορούμε να βρούμε τις συμμετριες ενός συστήματος και η κατακευή λύσεων από αυτές. Όμως, όπως και κάθε άλλη μέθοδος έτσι και αυτή έχει τα μειονεκτήματα της, το μέγεθος και η πολυπλοκότητα των ενδιάμεσων υπολογισμών που απαιτούνται για την εύρεση των συμμετρίων ενός συστήματος αυξάνεται εκθετικά σε σχέση με αυτό. Γεγονός που καθιστά τους υπολογισμούς αυτούς με το χέρι χρονοβόρους και επιρρεπής σε σφάλματα και συνεπώς την ανάγκη για την χρήση αξιόπιστων συμβολικών προγραμμάτων επιτακτική. Για τον σκοπό αυτό αναπτύξαμε το συμβολικό πακέτο Sym για το αλγεβρικό σύστημα Mathematica. Το συμβολικό αυτό πακέτο περιέχει στοιχεία τεχνικής νοημοσύνης και εξιδικευμένες συμβολικές μεθόδους. Στοιχεία που το καθιστούν ένα αποτελεσματικό και ευέλικτο μαθηματικό εργαλείο τόσο στον ερευνητικό τομέα όσο και στην εκπαίδευση. Το παρόν διδακτορικό χωρίζεται σε δύο μέρη, στο πρώτο παρουσιάζουμε τις βασικές έννοιες της κατα συμμετρίες ανάλυσης διαφορικών εξισώσεων και τους λόγους για τους οποίους η χρήση συμβολικών προγραμμάτων βρίσκει πρόσφορο έδαφος. Στο δεύτερο μέρος, παρουσιάζουμε το συμβολικό πακέτο Sym και δύο ερευνητικά αποτελέσματα της χρήσης του. Όσο αναφορά το ίδιο το πακέτο, δίνουμε τα βασικά του χαρακτηριστικά , τον τρόπο λειτουργίας του και τα οφέλη του σε σχέση με τα ήδη υπάρχοντα συμβολικά πακέτα για την εύρεση συμμετριών. Η χρηστικότητα του παρουσιάζεται μέσω δύο ερευνητικών αποτελεσμάτων. Στο πρώτο, εξετάζουμε ενα πρόβλημα από την περιοχή της Γενικής Σχετικότητας, την εύρεση βαρυτικών κυμάτων. Οι συμμετρίες των εξισώσεων πεδίου του Einstein για την μετρική του Bondi καθορίζονται μέσω του Sym και υποβιβάζουμε με αυτές την τάξη του μή γραμμικού συστήματος. Με υποθέσεις εργασίας πάνω στο σύστημα αυτό δίνουμε ειδικές λύσεις οι οποίες είχαν προκύψει παλίοτερα με άλλες μεθόδους. Τέλος, παρουσιάζουμε τις μελλοντικές μας κατευθύνσεις προς την καθορισμό νέων λύσεων με την σωστή φυσική συμπεριφορά που επιβάλει το πρόβλημα. Στο δεύτερο, δίνουμε μια προτότυπη διαδικασία κατηγοριοποίησης διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τις ένοιες της πλήρους ομάδας συμετρίας και της αξιοσημείωτης κατά Lie διαφορικής εξίσωσης. Με βάση αυτή, επιτυγχάνουμε την συνθέση διαφορικών εξισώσεων κατασκευάζοντας έτσι καινούργιες οικογένεις διαφορικών εξισώσεων περιέχοντες τις αρχικές μας εξισώσεις. / The symmetry analysis is a modern and effective method of mathematical field of differential equations. On its advantages, the algorithmic way for determining the symmetries and constructing solutions. Like any other method it also has its disadvantages; the size and the complexity of the intermediate calculations needed for giving the symmetries is increased exponentially with respect to the equation under investigation. This fact renders the calculations unmanageable by hand and error prone. The need for reliable and fast symbolic tools is apparent. For this reason, we developed a symbolic package called Sym based on the Mathematica program. The package employing artificial intelligent elements and specialized symbolic methods is an effective and versatile mathematical tool ideal for research and education alike. The present thesis consists of two parts; on the first we present the basic notions of the mathematical theory and the reasons that symbolic tools can be utilized. On the second part, we present the symbolic package Sym itself along with two new result employing it. As for the package itself, we give the basic characteristics, its functionality and the benefits using it against the existing programs. Its usefulness is presented through two results. On the first, we study a problem from General Relativity, finding solutions describing gravity waves. The symmetries of the Einstein’s field equations for the radiating Bondi metric are determined from Sym. Using them we reduce the non-linear system. Using specific ansatzes we arrive to specific solutions already found using other methods. Finally, we present our future directions for finding new solutions with the correct physical behavior. On the second, we describe a new procedure for classifying differential equations using the notions of complete symmetry groups and Lie remarkability. Using this procedure we achieved by starting with a set of differential equation to construct a new family that includes the initial set. Future directions include finding a way to link the solutions of the newly constructed family with the solutions of the equations that we use for constructing it.

Σε αυτήν την διπλωματική εργασία μελετήσαμε το σύστημα ελέγχου θερμοκρασίας και στάθμης νερού σε δεξαμενή. Αρχικά αναφέρουμε γενικά στοιχεία θεωρίας σχετικά με τον σχεδιασμό συστημάτων ελέγχου στον χώρο κατάστασης και πιο συγκεκριμένα αναλύουμε την μέθοδο ελέγχου με βάση την αυθαίρετη τοποθέτηση πόλων. Στην συνέχεια ασχολούμαστε μεμονωμένα με τον έλεγχο στάθμης νερού σε δεξαμενή. Περιγράφουμε το φυσικό σύστημα και την μονάδα ελέγχου την οποί α χρησιμοποιήσαμε στον χώρο του εργαστηρίου. Έπειτα από μια σειρά πειραμάτων τα οποία εκτελέσαμε και με βάση τις μετρήσεις τις οποίες πήραμε ,μπορέσαμε να υπολογίσουμε τα χαρακτηριστικά των επιμέρους ηλεκτρομηχανολογικών στοιχείων της πειραματικής μας διάταξης, όπως για παράδειγμα της αντλίας νερού, της μονάδας μέτρησης της στάθμης ,καθώς και τα χαρακτηριστικά της στατικής διεργασίας. Ομοίως πράξαμε και για τον έλεγχο θερμοκρασίας νερού σε δεξαμενή και έτσι μπορέσαμε να υπολογίσουμε τα χαρακτηριστικά του στοιχείου θέρμανσης. Στην συνέχεια, δίνουμε την περιγραφή του ολικού συστήματος ελέγχου στάθμης και θερμοκρασίας νερού σε δεξαμενή. Αφού εξάγουμε τις μαθηματικές εξισώσεις οι οποίες περιγράφουν το σύστημα στην μόνιμη κατάσταση, συμπεραίνουμε πως το σύστημα είναι μη γραμμικό. Σχεδιάζουμε το μη γραμμικό σύστημα στο Simulink και γράφοντας κατάλληλο κώδικα στο Matlab μπορέσαμε να γραμμικοποιήσουμε το σύστημά μας γύρω από ένα συγκεκριμένο σημείο λειτουργίας και το διακριτοποιήσαμε. Έπειτα, πάλι με την βοήθεια του λογισμικού προγράμματος Matlab σχεδιάσαμε έναν ελεγκτή με την μέθοδο τοποθέτησης πόλων και τον εφαρμόσαμε στο μη γραμμικό σύστημα για διάφορες τιμές πόλων και εξάγαμε τα συμπεράσματά μας από τα αντίστοιχα διαγράμματα όσων φορά την καλύτερη απόκριση του συστήματος. Την ίδια διαδικασία με παραπάνω εφαρμόσαμε και για ένα διαφορετικό σημείο λειτουργίας του συστήματος. / -

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετά με το πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών (ΠΑΣΤ) για τη μη γραμμική εξελικτική μερική διαφορική εξίσωση των Korteweg-De Vries (KDV) σε ένα φραγμένο διάστημα της χωρικής μεταβλητής. Η μέθοδος που εφαρμόζουμε είναι γνωστή σαν μέθοδος του ενοποιημένου μετασχηματισμού. Η εφαρμογή της μεθόδου στο υπό θεώρηση ΠΑΣΤ συνίσταται στη λεγόμενη ταυτόχρονη φασματική ανάλυση του αντίστοιχου της εξίσωσης KDV ζεύγους Lax. Ένας βασικός ερευνητικός στόχος που επιτεύχθηκε στη συνεισφορά αυτή συνίσταται στην έκφραση, για μια αρκετά γενική κλάση αρχικών και συνοριακών συνθηκών, της λύσης του ΠΑΣΤ σαν μια ολοκληρωτική αναπαράσταση μέσω της λύσης ενός κατάλληλου προβλήματος Riemann-Hilbert (RH) στο μιγαδικό επίπεδο της φασματικής παραμέτρου. Μάλιστα, παρέχονται δύο εναλλακτικές ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις για καθένα από δύο εναλλακτικά προβλήματα RH. Ένα δεύτερος ερευνητικός στόχος ο οποίος επιτυγχάνεται είναι η ανάπτυξη μιας διαδικασίας αναγωγής του ιδιόμορφου προβλήματος RH σε ένα ολόμορφο. Ένας τρίτος, τέλος, ερευνητικός στόχος ο οποίος επιτυγχάνεται είναι ο χαρακτηρισμός της λεγόμενης γενικευμένης απεικόνισης Dirichlet-to-Neumann, η έκφραση, δηλαδή, των αγνώστων συνοριακών συναρτήσεων μέσω των επιβεβλημένων αρχικών και συνοριακών συνθηκών. Η διατριβή διαρθρώνεται σε επτά κεφάλαια, εκ των οποίων το πρώτο είναι εισαγωγικού χαρακτήρα, ενώ τα υπόλοιπα έξι αποτελούν το πρωτότυπο μέρος της διατριβής. Αναλυτικά, το περιεχόμενο καθενός κεφαλαίου έχει ως ακολούθως. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεται, μεταξύ άλλων, το πρόβλημα RH, τη μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης για την KDV, τη μέθοδο της ένδυσης για την KDV και τη μέθοδο της ταυτόχρονης φασματικής ανάλυσης του ζεύγους Lax. Στο κεφάλαιο 2 ξεκινάμε την εφαρμογή της μεθόδου στο υπό θεώρηση ΠΑΣΤ υποθέτοντας ότι η KDV επιδέχεται λύση στην αντίστοιχη χωροχρονική περιοχή. Η αντίστοιχη της περιοχής αυτής ταυτόχρονη φασματική ανάλυση του ζεύγους Lax οδηγεί στη διατύπωση ενός ιδιόμορφου ομογενούς προβλήματος RH. Αυτό ορίζεται μέσω μιας εξάδας φασματικών συναρτήσεων. Οι τελευταίες εκφράζονται μέσω των αρχικών τιμών της λύσης και των συνοριακών τιμών και εγκαρσίων συνοριακών της μέχρι και δεύτερης τάξης. Στο κεφάλαιο 3 ορίζουμε τις 6 φασματικές συναρτήσεις που αντιστοιχούν στις αρχικές και συνοριακές συνθήκες και δείχνουμε ότι η αντιστροφή των απεικονίσεων αυτών περιγράφεται μέσω καταλλήλων προβλημάτων RH. Δείχνουμε επίσης ότι ικανοποιείται μια εξίσωση που ονομάζεται ολική σχέση και χαρακτηρίζει τα αποδεκτά σύνολα αρχικών και συνοριακών συναρτήσεων. Στο κεφάλαιο 4 δείχνουμε ότι η ασυμπτωματική συμπεριφορά της λύσης του προβλήματος RH οδηγεί πράγματι σε μια λύση του ΠΑΣΤ. Στο κεφάλαιο 5 μελετάμε τη μονοσήμαντη επιλυσιμότητα του προβλήματος RH. Στο κεφάλαιο 6 παρουσιάζουμε έναν εναλλακτικό τρόπο διατύπωσης προβλήματος RH, αντικαθιστώντας του πόλους με καμπύλες ασυνέχειας. Στο κεφάλαιο 7 χρησιμοποιούμε την ολική σχέση για την κατασκευή της γενικευμένης απεικόνισης Dirichlet-to-Neumann, για το χαρακτηρισμό δηλαδή των αγνώστων συνοριακών συναρτήσεων (που εμφανίζονται στο πρόβλημα RH) μέσω των επιβεβλημένων αρχικών και συνοριακών συνθηκών. / In the present PhD thesis we study the initial-boundary value problem for the nonlinear evolution partial diefferential equation of Korteweg-De Vries (KDV) posed on a finite interval of the spatial variable. The method we employ is known as unified transform method. The application of the method on the IBVP under consideration consists of the so-called simultaneous spectral analysis of the Lax pair associated to the KDV equation. The first aim achieved in this contribution, is the expression of the solution of the IBVP as an integral representation in terms of the solution an appropriate Riemann-Hilbert (RH) problem in the complex plane of the spectral parameter, for a sufficiently large class of initial and boundary conditions. In particular, we provide two different integral representations for each one of two different RH problems. A second aim achieved is the invention of a procedure for the reduction of the singular RH problem to a regular one. A third aim achieved is the caracterization of the so-called generalized Dirichlet-to_Neumann map, that is, the expression of the unknown boundary functions in terms of the prescribed initial and boundary conditions. The Phd thesis is divided in 7 chapters. The first chapter is of an introductory character, while the remaining six chapters consist of the original contribution of the thesis. Analytically, the content of each chapter has as follows. The first chapter presents, among other things, the RH problem, the inverse scattering method for KDV, the dressing method for KDV and the method of simultaneous spectral analysis of the Lax pair. Chapter 2 presents the first step of the application of the method upon the IBVP, under the assumption thet KDV is solvable in the corresponding space-time region. The simultaneous spectral analysis of the Lax pair leads to the formulation of a singular homogenous RH factorization problem, which is defined in terms of six spectral functions. The last ones are expressed in terms of the initial and boundary values of the solution and of its transverse boundary derivatives up to order two. In chapter 3 we define the six spectral functions that correspond to the initial and boundary conditions and show that the inversion of these mappings can be described through appropriate RH problems. Also an appropriate “global relation” is satisfied, which characterizes the admissible initial and boundary functions. In chapter 4 we show that the asymptotic behavior of the solution of the RH problem leads actually to a solution of the IBVP. In chapter 5 we study the unique solvability of the RH problem. In chapter 6 we present an alternative RH formulation, replacing the poles by discontinuity curves. In chapter 7 we present the global relation to construct the generalized Dirichlet-to-Neumann map, that is, the expression of the unknown boundary functions (appearing in the RH formulation) in terms of the prescribed initial and boundary conditions.