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A la tesi doctoral amb títol "Geometria integral en espais de curvatura holomorfa constant" es resolen qüestions de geometria integral clàssica però en espais de curvatura holomorfa constant, és a dir, a l'espai hermític estàndard, a l'espai projectiu complex i a l'espai hiperbòlic complex. Per assolir l'objectiu, primer de tot, es resumeixen les principals propietats i definicions de varietats de Kähler i, en particular, dels espais de curvatura holomorfa constant. També s'introdueix el concepte de valoració en espais vectorials. Una valoració és un funcional a valors reals, de l'espai de dominis convexos, compactes, no buits, que satisfan una propietat d'additivitat. Aquest concepte està a la base de quasi tots els resultats d'aquest treball ja que aquesta noció es pot estendre en varietats regulars. Així doncs, es dedica un capítol a definir els exemples de valoracions que s'utilitzaran i també a descriure noves propietats (variacionals) de les valoracions en els espais de curvatura holomorfa constant. En aquest punt, es donen els principals resultats de la tesis. Un dels problemes d'estudi de la geometria integral clàssica consisteix a donar una expressió de la mesura de plans que talla un domini fixat de l'espai euclidià, en termes de la geometria del domini. La fórmula que s'obté a l'espai euclidià involucra els volums mixtos (o, equivalentment, per dominis amb frontera regular, les integrals de curvatura mitjana del domini). En els altres espais de curvatura seccional constant (és a dir, a l'espai projectiu i hiperbòlic real) també se satisfà una fórmula que involucra els volums mixtos. En aquest treball s'obté una expressió de la mesura de plans complexos (de dimensió complexa des de 1 fins a n − 1, on n és la dimensió complexa de l'espai ambient) que talla un domini compacte amb frontera regular. L'expressió s'obté en termes de les valoracions anomenades volums intrínsecs hermítics, que es defineixen al segon capítol de la tesis. Per provar la certesa d'aquesta expressió s'utilitzen noves fórmules variacionals, tant per la mesura de plans complexos que tallen un domini com pels volums intrínsecs hermítics. A partir del mètode variacional anterior, s'obté la fórmula de Gauss-Bonnet-Chern a l'espai projectiu i hiperbòlic complexos. A més a més, es relaciona la característica d'Euler d'un domini compacte amb la mesura d'hiperplans complexos que tallen el domini i la integral de la curvatura de Gauss. Per altra banda, s'estudia la propietat de reproductibilitat de les integrals de curvatura mitjana. Als espais de curvatura seccional constant es té una propietat reproductiva, és a dir, la integral sobre l'espai de plans d'una integral de curvatura mitjana del domini intersecció és un m ́ultiple de la mateixa integral de curvatura mitja de tot el domini. En els espais de curvatura holomorfa constant aquesta propietat no es conserva. Aquest fet s'explica també a partir de la teoria de valoracions. La demostració involucra tècniques de geometria Riemanniana i referències mòbils. Finalment, es dóna la mesura de plans coisotròpics que tallen un domini a l'espai complex. S'anomena pla coisotròpic a aquell que el seu ortogonal és totalment real. També s'estudien propietats de les hipersuperfícies (reals) generades per l'exponencial en un punt (que no són totalment geodèsiques), sobre l'espai hiperbòlic complex. / The main goal of this work is to solve questions in classical integral geometry but for complex space forms, i.e. in the standard Hermitian space, the complex projective space and the complex hyperbolic space.In order to attain this goal, first of all, I survey the main properties and definitions concerning Kähler manifolds and, in particular, complex space forms. I also recall the notion of valuation in vector spaces. A valuation is a real-valued functional from the space of non-empty compact convex sets, satisfying an additive property. This notion is one of the main tools in this work since it can be extended to smooth manifolds. So, a chapter is devoted to the study of this notion and to describe new (variational) properties of some valuations in complex space forms. Then, the main results are stated. One of the problems of study of the classical integral geometry consists on giving an expression for the measure of planes meeting a domain in the Euclidean space, in terms of the geometry of the domain. The obtained formula in the Euclidean space involves the so-called intrinsic volumes (or equivalently for domains with regular boundary, the mean curvature integrals of the domain). In the other spaces with constant sectional curvature (i.e. in projective and hyperbolic space) it is also verified a formula involving the intrinsic volumes. In this work, I obtain an expression for the measure of complex planes (of complex dimension from 1 to n − 1, where n denotes the dimension of the ambient space) meeting a regular domain. The obtained expression is given in terms of the so-called Hermitian intrinsic volumes valuations, already defined at the second chapter. In order to prove this equality I use new variational formulas for the measure of complex planes intersecting a regular domain and for the Hermitian intrinsic volumes. From this variational method, I also get the Gauss-Bonnet-Chern formula in the complex projective and hyperbolic space. Moreover, I relate the Euler characteristic of a compact domain with the measure of complex hyperplanes meeting a compact domain, and the Gauss curvature. On the other hand, I study the reproductive property of the mean curvature integrals. In the spaces with constant sectional curvature, it is satisfied a reproductive property, i.e. the integral over the space of planes meeting a regular domain of the intersection domain is a multiple of the same mean curvature integral of the whole domain. In complex space forms this property it is not satisfied. This fact it is explained from the theory of valuations, and the proof involves techniques in Riemannian geometry and moving frames. Finally, I give the measure of coisotropic planes meeting a domain in the standard Hermitian space. A plane is called coisotropic if its orthogonal is totally real. I also study properties of the (real) hypersurfaces in complex hyperbolic space generated by the exponential map in a point, which are not totally geodesics.

In this tesis we study numerical propieties of surfaces and threefolds, mainly fibred over curves, the so called "slope" of the fibration. We prove partially a conjecture of Fujita on the semiampleness of the direct image of the relative dualizing sheaf of a fibration.We give new lower bounds of the slope of a fibred surface depending on data of the general fibre (existence of involutions) and on data of the hole surface (the fibration not being the Albanese morphism, for example). We study the case of threefolds over curves. We prove that, in general, the relative algebraic Euler characteristic is nonnegative and give lower bound for the slope. We classify the lowest cases of the invariants.

En esta investigación se buscó verificar de qué forma un diseño para formación a distancia en geometría (para alumnos de 11 a 14 años de edad) contribuye para el desarrollo crítico del contenido del conocimiento profesional del profesor de matemática. En particular, qué componentes del conocimiento profesional se desarrollan a partir de las distintas interacciones docentes establecidas a través de las herramientas de Internet.La recogida de información fue desarrollada tomando diversas fuentes, a partir de distintas teleinteracciones establecidas entre los profesores y considerando distintos momentos y tareas en el desarrollo del curso. Como forma de comunicación en tiempo diferido fueron consideradas las intervenciones por correo electrónico (mensajes personales diversos, envío de archivos adjuntos, formulario de auto-evaluación para cada sección, formulario de inscripción, contrato didáctico de trabajo y cuestionario inicial), las intervenciones en el foro discusión y a través de mensajes del programa ICQ. Como comunicación en tiempo real fueron utilizados los mensajes del programa ICQ, la edición de chats (3 obligatorios y 4 opcionales), una entrevista semi-estructurada y la grabación de un video de clase del profesor. Otro instrumento utilizado para la recogida de datos fue el diario del formador-investigador. La tesis está estructurada en siete capítulos. Situada la problemática de la investigación en el primer capítulo, el contenido del segundo fue centrado en la atención para la formación continuada a distancia y en la importancia de la criticidad en los planteamientos interesados en el desarrollo profesional docente por Internet. En el tercer capítulo se presenta un diseño de entorno virtual para el desarrollo profesional docente crítico en geometría para cursos de corta duración. Concluido el marco teórico y construido el referencial para el análisis de la información de la investigación, en los tres capítulos (4, 5 y 6) posteriores se presentan el proceso analítico inherente a la implementación de los estudios de caso 1 y 2, desarrollados con profesores de matemáticas en Brasil en el 2000 y en el 2001, respectivamente.Como contribuciones metodológicas se propone un diseño de entorno virtual para el desarrollo profesional docente en geometría que considere las características del contexto educacional brasileño y presenta singulares posibilidades de análisis cualitativo para los procesos teleinteractivos en la formación continuada del profesorado. El contenido del conocimiento profesional fueron considerados tres aspectos: geométrico, estratégico-interpretativo y afectivo-actitudinal. La caracterización a priori de dichos aspectos juntamente con el marco teórico del razonamiento crítico, fueron las herramientas para el análisis semántico del discurso docente establecido en los distintos espacios comunicativos (forum de discusión, chats, correos electrónicos, tareas geométricas, entrevista, auto-evaluación continua, etc.) del entorno virtual formativo. Concluyendo, la investigación subraya para la importancia de utilizar entornos virtuales como una de las estrategias clave que favorezcan el desarrollo profesional con vistas a los principios de la democracia y de la equidad necesarios en el contexto educativo brasileño. Igualmente resalta que es posible que los profesores aprendan teleinteractivamente cuando comparten seriamente sus experiencias y reflexionan críticamente sobre las mismas, aunque es difícil el cambio epistemológico con cursos de corta duración. Fue constatado también que la dinámica de trabajo mediado por Internet posibilita a los docentes que participen como autores en la dinámica comunicativa e integren distintos contextos en su proceso de desarrollo profesional, es decir, el contexto práctico-personal, el contexto de las relaciones establecidas en el entorno y la propia historia de vida del docente. Igualmente, identifica que los puntos de interactividad del entorno y las especificidades del discurso en los distintos espacios comunicativos actúan de forma diferente sobre los aspectos del contenido del conocimiento de los profesores en el proceso de desarrollo profesional a distancia.

En Estadística el término "invariancia" puede ser entendido como sinónimo de simetría. Si disponemos de una familia invariante frente a la acción de un grupo, la solución a nuestro problema debería reflejar la propiedad de invariancia de la familia. Sin embargo, no todas las familias son invariantes frente a la acción de algún grupo; habitualmente dispondremos de familias que no serán invariantes pero para las que es posible que su transformación por éste no quede "demasiado alejada" de un desplazamiento de la familia original. En esta situación de "casi invariancia" ¿deberemos desestimar toda la información que nos proporciona la teoría clásica? ¿Tenemos que escoger entre el "blanco" y el "negro"?Justamente, el objetivo de este trabajo pretende ser una contribución a la estimación puntual donde se analice el problema de un estimador para esos "grises", situaciones que van desde la existencia de una invariancia clásica hasta su total ausencia. Los diferentes "tonos de gris" serán las órdenes de invariancia que vamos a definir, en el contexto de la Geometría Diferencial Informativa.

Para llevar a cabo este trabajo fue preciso polarizar el estudio en una familia determinada de poliedros, en nuestro caso los zonoedros equiláteros, previa adopción de una simbología. El primer objetivo consistió en obtener las relaciones que ligan a los (n¦2) ángulos que intervienen en un zonoedro equilátero. Este objetivo nos permitió lograr los siguientes fines: Definir un zonoedro a partir de sus ángulos independientes Obtener las propiedades intrínsecas de todos los rombododecaedros ( de hasta seis caras diferentes) Obtener los rombododecaedros con dos tipos y un tipo de cara rombo Obtener los cinco zonoedros convexos de caras rombo iguales y cuyas diagonales están relación aurea. De las 31 combinaciones posibles entre los cinco último poliedros, se estudiaron un total de 19 obteniendo: -Una combinación quinaria y tres cuaternarias que permiten rellenar el espacio (tanto periódica como no periódicamente) -Cinco combinaciones ternarias, 4 binarias y tres unitarias que permiten rellenar el espacio (tanto periódica como no periódicamente) -Las tres restantes, de las 19 estudiadas, no rellenan el espacio. / After adopting a symbology, analysis was focused on a single family of polyhedra the so-called equilateral zonohedra. The first aim was to obtain the relations between the (n¦2) angles of an equilateral zonohedron after this, we could archieve next goals: Defining a zonohedron given its independent angles Obtaining the intrinsic properties of all rhombic dodecahedra ( with up to six different faces) Obtaining the rhombic dodecahedra with two and one rhombus-like faces Obtaining the five convex zonohedra with equal rhombus-like faces and whose diagonals are in the golden ratio 19 out of the 31 possible combinations between the last five polyhedral were studied, obtaining: One quintuple and three quaternary combinations which allow to fill the space (Both periodically and non-periodically) Five ternary, four binary and three unitary combinations which allow to fill the space (both periodically and non-periodically) The remaining three combinations from the 19 studied do not fill the space

El objeto del estudio son las subvariedades propiamente inmersas en variedades ambientes que tienen al menos un polo. Tanto la variedad ambiente (a través de sus curvaturas seccionales) como la subvariedad (a través de su curvatura media radial) tienen sus geometrías controladas. Este estudio se lleva a cabo utilizando la distancia extrínseca y el análisis del Laplaciano y del Hessiano. Con todo ello se establecen resultados en dos campos del Análisis Geométrico: 1. La descripción en términos geométricos de la parabolicidad o hiperbolicidad de la subvariedad cuando la variedad ambiente es de Cartan-Hadamard. Se incluye también resultados sobre las superficies en el Espacio Euclídeo. 2. La generalización de la desigualdad de Chern-Osserman (establecida en principio para superficies minimales en el Espacio Euclídeo o en el Espacio Hiperbólico y posteriormente para no minimales en el Espacio Euclídeo) para superficies no necesariamente minimales en una variedad de Cartan-Hadamard.

Cette thèse est composée de trois parties principales : les calculs des courbes médiatrices de deux courbes ou d’un point et d’une courbe dans le plan, des surfaces médiatrices de deux surfaces dans R3, et du diagramme de Voronoï d’une famille finie de demi-droites parallèles de même orientation. Ces trois sujets sont étroitement liés et trouvent des applications dans le domaine de la CAO/CGAO et de la géométrie algorithmique. Dans ces trois sujets, nous allons présenter des méthodes algorithmiques pour obtenir une certaine représentation de l’objet qui nous intéresse : la courbe médiatrice, la surface médiatrice ou le diagramme de Voronoï. En utilisant la règle de Cramer généralisée et certaines méthodes d’élimination, nous présentons une nouvelle approche pour déterminer une paramétrisation algébrique exacte (rationnelle ou non rationnelle) de la courbe médiatrice de deux courbes planes rationnelles. L’approche est, ensuite, généralisée pour déterminer une paramétrisation algébrique exacte (rationnelle ou non rationnelle) de la surface médiatrice de deux surfaces rationnelles de petit degré. La méthode est appliquée pour obtenir les paramétrisations de la médiatrice de deux courbes planes rationnelles, dans lesquelles une des courbes est un cercle ou une droite. D’autre part, nous montrons, aussi, comment il est facile d’obtenir les paramétrisations de la médiatrice de paires de surfaces suivantes : plan-quadrique, plan-tore, cylindre circulaire-quadrique non développable, cylindre circulaire-tore, cylindre-cylindre, cylindre-cône et cônecône. Les paramétrisations obtenues sont rationnelles dans la plupart des cas. Dans le reste des cas, les paramétrisations contiennent de racines carrées qui est bien adopté pour determiner une bonne approximation de la médiatrice. Nous présentons aussi une différente approche traitant du problème de la courbe médiatrice plane. Cette nouvelle méthode utilise la couleur dynamique en GeoGebra pour les caractérisations géométrique et numérique de la courbe médiatrice de deux objets géométriques dans le plan (deux courbes, ou une courbe et un point). Même si elle ne fournit pas de représentation algébrique, la méthode peut conduire au calcul d’une représentation approximative de la courbe médiatrice. Le diagramme de Voronoï (VD) est une structure de données fondamentale de la géométrie algorithmique avec des applications très variées dans des domaines théoriques et pratiques. Nous considérons le VD d’un ensemble fini de demi-droites parallèles de même orientation restreint à un domaine compact D0 ⊂ R3 pour la distance euclidienne. Ce nouveau type de VD peut être utilisé pour apporter des réponses efficaces à certains problèmes dans l’industrie de forage, tels que l’hydraulique ou la mine. Nous présentons un algorithme approximatif efficace pour le calcul de tel VD, en utilisant le processus de subdivision produisant un maillage qui représente la topologie de VD dans D0. / Este trabajo consta de tres partes principales : el calculo de las bisectrices de dos curvas o de un punto y una curva en el plano, de la superficie bisectriz de dos superficies en R3, y del diagrama de Voronoi de una familia finita de semirrectas paralelas y con la misma orientación en R3. Estos temas están estrechamente relacionados y tienen aplicaciones en CAD/CAGD y en Geometría Computacional. Se presenta un nuevo método para determinar, utilizando la regla de Cramer generalizada y métodos de eliminación adecuados, una parametrización algebraica exacta (racional o no racional) de la curva bisectriz de dos curvas planas racionales dadas. Este método se generaliza para determinar una parametrización algebraica exacta de la superficie bisectriz de dos superficies racionales de grado bajo. El método se aplica, en particular, para obtener parametrizaciones de la bisectriz de dos curvas planas racionales, cuando una de ellas es una circunferencia o una recta. Por otro lado, se muestra cómo obtener fácilmente una parametrizacin de la bisectriz de los siguientes pares de superficies : plano y cuádrica, plano y toro, cilindro circular y cuádrica no desarrollable, cilindro circular y toro, dos cilindros, cilindro y cono, y dos conos. Estas parametrizaciones son racionales en la mayora de los casos. En los casos restantes, la parametrización contiene una raíz cuadrada, que resulta adecuada para determinar una buena aproximación de la bisectriz. Además, se presenta un enfoque diferente para el problema de la curva bisectriz plana. Este nuevo método utiliza color dinámico en GeoGebra para el cálculo de una caracterización geométrica y numérica de la bisectriz de dos objetos geométricos en el plano (dos curvas, o una curva y un punto). Aunque no proporciona una representación algebraica, el método permite el cálculo de una representación aproximada de la curva bisectriz. El diagrama de Voronoi (DV) es una estructura de datos fundamental en geometría computacional con diversas aplicaciones en distintas áreas teóricas y prácticas. Se estudia el DV de un conjunto de semirrectas paralelas y con la misma orientación, restringidas a un dominio compacto D0 ⊂ R3, con respecto a la distancia euclidiana. Este nuevo tipo de DV se puede utilizar para proporcionar una solución eficiente a algunos problemas relacionados con la perforación, en industrias tales como la hidráulica o la minería. Se presenta un algoritmo eficiente para calcular una aproximación de un DV de esa clase, utilizando un proceso de subdivisión, que produce una malla que representa correctamente la topología del DV. / This thesis has three main parts: computation of the bisectors of two curves or a point and a curve in the plane, of the bisector of two surfaces in R3, and of the Voronoi diagram of a finite family of parallel half lines in R3, with the same orientation. These subjects are closely related, and have applications in CAD/CAGD and Computational Geometry. In each of the three parts, we present algorithmic methods for computing certain representations of the geometric object of interest: the bisector curve, the bisector surface, or the Voronoi diagram. We present a new approach to determine, using the generalized Cramer’s rule and suitable elimination steps, an exact algebraic parameterization (rational or non rational) of the bisector curve of two given planar rational curves. The approach is, then, generalized to determine an exact algebraic parameterization of the bisector surface of two low degree rational surfaces. In particular, we apply the method to obtain parametrizations of the bisector of two rational plane curves, when one of them is a circle or a straight line. On the other hand, we show how to easily obtain parametrizations of the bisector of the following pairs of surfaces: planequadric, plane-torus, circular cylinder-non developable quadric, circular cylindertorus, cylinder-cylinder, cylinder-cone and cone-cone. These parametrizations are rational in most cases. In the remaining cases the parametrization involves one square root which is well-suited to determine a good approximation of the bisector. In addition, a different approach for the bisector curve problem will be presented. This new method uses dynamic color in GeoGebra for the computation of a geometric and numerical characterization of the bisector of two planar geometric objects (two curves, or a curve and a point). Even if it does not provide an algebraic representation, the method could lead to the computation of an approximate representation of the bisector curve. The Voronoï diagram (VD) is a fundamental data structure in computational geometry with various applications in theoretical and practical areas. We consider the VD of a set of parallel half-lines, with the same orientation, constrained to a compact domain D0 ⊂ R3, with respect to the Euclidean distance. This new kind of VD can be used to provide an efficient solution to some problems in the drilling industry, such as hydraulic or mining. We present an efficient approximate algorithm for computing such VD, using a box subdivision process, which produces a mesh representing the topology of the VD in D0.

En la investigación que se presenta se analizan y clasifican las interacciones que se producen en el entorno interactivo de aprendizaje "ecosistema de aprendizaje de la Geometría", cuando los alumnos resuelven las tareas que se les proponen mediante el trabajo colaborativo, convirtiendo al alumno en el centro del proceso de aprendizaje y en sujeto activo de su formación. A este planteamiento se responde con la llamada enseñanza recíproca, en la que en las situaciones de andamiaje, los estudiantes deben asumir progresivamente la responsabilidad de su aprendizaje y en la medida en que es un modelo colaborativo de resolución de problemas, los alumnos en su relación con otros compañeros asumen o participan de algunas de las funciones del profesor. Se estudia y evalúa asimismo la influencia de las interacciones electrónicas sobre los interactuantes, haciendo uso de indicadores que determinan la efectividad de la interacción y finalmente se determinan algunos aspectos beneficiosos de la integración de las TIC en el proceso educativo. El entorno interactivo, constituido fundamentalmente por una red electrónica y en el que la resolución de las actividades con CABRI, respondidas bien por correo electrónico, bien en el Tablero(foro de discusión), constituyen el medio esencial de aprendizaje. En este modelo distinguimos dos planos y tres pirámides. En el plano intersubjetivo entre iguales, se desarrollan las acciones e interacciones entre iguales. En el plano de situación, se llevan a cabo las acciones e interacciones entre profesor, contenido y medio. Las distintas pirámides representan las acciones e interacciones entre el sociograma entre iguales y cada uno de los elementos del triángulo de situación.Consideramos que la investigación realizada, reafirma la idea de que la utilización de los entornos interactivos, en los que los alumnos trabajan de forma colaborativa, favorece el aprendizaje y el desarrollo de las técnicas de comunicación. El entorno diseñado, centrado en el alumno, con las actividades abiertas que se les plantean y con la metodología utilizada, es idóneo para el desarrollo y la formación geométrica de los alumnos de la ESO, consiguiendo que la resolución de las actividades propuestas tenga significado para ellos, favorezca su aprendizaje y les ayude a hacerse copartícipes del mismo, desarrollando sus capacidades de modelización, argumentación y racionalización.Pensamos por tanto que una de las tares fundamentales del profesor, es la de diseñar y/o utilizar entornos interactivos, donde a través de la interacción social y el trabajo colaborativo, se favorezca el aprendizaje.Destacamos finalmente la flexibilidad del sistema en cuanto al tiempo, materias de enseñanza, niveles educativos y tipos de alumnos, quizás uno de los colectivos más beneficiados serían los ACNES, pues aunque en le trabajo desarrollado no se ha hecho un seguimiento específico, si que hemos comprobado un aumento de su independencia a la hora de elaborar la respuesta a la vez que el sistema no ha sido discriminatorio con el ellos. / In the research, the interactions that take place in the interactive environmental learning process called "ecosystem of geometry learning" are analyzed and clasified, when the students solve the tasks which are proposed to them by means of the collaborative work, making the student the center of the learning process and so the active subject of his own training.This proposal is responded with the so called "reciprocal teaching", in which, students involved in the scaffolding situations must progressively assume the responsibility of their learning and as far as it is a collaborative model for problem solving, students in their relationship with other partners, assume or participate in some of the main teacher's functions.Likewise, the influence of the electronic interactions on the interactors is studied and evaluated making use of indicators that measure the effectiveness of the interaction and finally some beneficial aspects of the integration of the CIT ( Communication Information Technologies ) in the educational process are established.The interactive environment, mainly based on an electronic net in which the solving of the CABRI activities, answered whether by electronic mail or by the Tablero ( forum of discussion ), constitutes the essential way of learning.The research that has been made reassures on the idea that the use of interactive environments in which students work in a collaborative frame favours the learning and development of the communication techniques.The designed environment, centered on the student, with the open activities proposed and with the applied methodology, is suitable for the development and the geometrical training of the E.S.O. ( Compulsory Secondary Education ) students reaching the objective: The solving of the proposed activities gets a meaning for them, favours their learning and help them to become co-participants of the process, as they develop their skills in modelising, line of argument and rationalization.Consequently, we think that one of the teacher's main tasks is that of designing and/or using interactive environments in which learning is favoured by means of social interaction and collaborative work.

To determine whether a syzygy bundle on PN is stable, or semistable, is a long-standing problem in algebraic geometry. It is closely related to the problem of finding the Hilbert function and the minimal free resolution of the coordinate ring of the variety defined by a family of general homogeneous polynomials f1, . . . , fn in K[X0, . . . ,XN]. This problem goes back at least to the eighties, when Fröberg addresses it in his paper, to find a lower estimate for the Hilbert series of such a ring in terms of the degrees of f1, . . . , fn. In this thesis we consider the case of syzygy bundles defined by general forms f1, . . . , fn of the same degree d, and prove their stability and unobstructedness for N ≥ 2, except for the case (N, d, n) = (2, 2, 5), where only semistability is guaranteed. To this end, we focus on the case of monomials and derive consequences for general forms from here. The main goal of this work is therefore to give a complete answer to the following problem: Does there exist for every d and every n ≤ (d+N / N) a family of n monomials in K [X0, . . . ,XN] of degree d such that their syzygy bundle is semistable? / Determinar si un fibrat de sizígies sobre P(N) és estable, o semiestable, és un problema amb una llarga història en geometria algebraica. Està estretament relacionat amb el problema de trobar la resolució lliure minimal de l'anell de coordenades de la varietat definida per una família de polinomis homogenis genèrics f(1), . . . , f(n) en K[X0, . . . ,XN]. Aquest problema data almenys dels anys vuitanta, quan Fröberg l'estudia al seu article i troba una estimació per a un minorant de la sèrie de Hilbert d'aquell anell en termes dels graus dels polinomis f(1), . . . , f(n).En aquesta tesi, considerem el cas de fibrats de sizígies definits per formes genèriques f(1), . . . , f(n) d'un mateix grau "d", i demostrem la seva estabilitat i no obstrucció per a N ≥ 2, excepte en el cas (N, d, n) = (2, 2, 5), on només la semiestabilitat està garantida. Per dur a terme aquesta tasca, ens restringirme primer al cas de monomis i en traurem conseqüències per al cas de formes genèriques. Per això, l'objectiu principal d'aquesta tesi és donar una resposta completa al problema següent: "Existeix per a cada d i cada n ≤ (d+N / N) una família de n monomis en K [X0, . . . ,XN] de grau "d" tal que el seu fibrat de sizígies és semiestable?