Nous présentons une classe de nouveaux modèles pour décrire les écoulements d’eau dans des aquifères peu profonds non confinés. Cette classe de modèles offre une alternative au modèle Richards 3d plus classique mais moins maniable. Leur dérivation est guidée par deux ambitions : le nouveau modèle doit d’une part être peu coûteux en temps de calcul et doit d’autre part donner des résultats pertinents à toute échelle de temps. Deux types d’écoulements dominants apparaissent dans ce contexte lorsque le rapport de l’épaisseur sur la longueur de l’aquifère est petit : le premier écoulement apparaît en temps court et est décrit par un problème vertical Richards 1d ; le second correspond aux grandes échelles de temps, la charge hydraulique est alors considérée comme indépendante de la variable verticale. Ces deux types d’écoulements sont donc modélisés de manière appropriée par le couplage d’une équation 1d pour la partie insaturée de l’aquifère et d’une équation 2d pour la partie saturée. Ces équations sont couplées au niveau d’une interface de profondeur h (t,x) en dessous de laquelle l’hypothèse de Dupuit est vérifiée. Le couplage est assuré de telle sorte que la masse globale du système soit conservée. Notons que la profondeur h (t,x) peut être une inconnue du problème ou être fixée artificiellement. Nous prouvons (dans le cas d’aquifères minces) en utilisant des développements asymptotiques que le problème Richards 3d se comporte de la même manière que les modèles de cette classe à toutes les échelles de temps considérées (courte, moyenne et grande). Nous décrivons un schéma numérique pour approcher le modèle couplé non linéaire. Une approximation par éléments finis est combinée à une méthode d’Euler implicite en temps. Ensuite, nous utilisons une reformulation de l’équation discrète en introduisant un opérateur de Dirichlet-to-Neumann pour gérer le couplage non linéaire en temps. Une méthode de point fixe est appliquée pour résoudre l’équation discrète reformulée. Le modèle couplé est testé numériquement dans différentes situations et pour différents types d’aquifère. Pour chacune des simulations, les résultats numériques obtenus sont en accord avec ceux obtenus à partir du problème de Richards original. Nous concluons notre travail par l’analyse mathématique d’un modèle couplant le modèle Richards 3d à celui de Dupuit. Il diffère du premier parce que nous ne supposons plus un écoulement purement vertical dans la frange capillaire supérieure. Ce modèle consiste donc en un système couplé non linéaire d’équation Richards 3d avec une équation parabolique non linéaire décrivant l’évolution de l’interface h (t,x) entre les zones saturées et non saturées de l’aquifère. Les principales difficultés à résoudre sont celles inhérentes à l’équation 3D-Richards, la prise en compte de la frontière libre h (t,x) et la présence de termes dégénérés apparaissant dans les termes diffusifs et dans les dérivées temporelles. / We present a class of new efficient models for water flow in shallow unconfined aquifers, giving an alternative to the classical but less tractable 3D-Richards model. Its derivation is guided by two ambitions : any new model should be low cost in computational time and should still give relevant results at every time scale.We thus keep track of two types of flow occurring in such a context and which are dominant when the ratio thickness over longitudinal length is small : the first one is dominant in a small time scale and is described by a vertical 1D-Richards problem ; the second one corresponds to a large time scale, when the evolution of the hydraulic head turns to become independent of the vertical variable. These two types of flow are appropriately modelled by, respectively, a one-dimensional and a two-dimensional system of PDEs boundary value problems. They are coupled along an artificial level below which the Dupuit hypothesis holds true (i.e. the vertical flow is instantaneous below the function h(t,x)) in away ensuring that the global model is mass conservative. Tuning the artificial level, which even can depend on an unknown of the problem, we browse the new class of models. We prove using asymptotic expansions that the 3DRichards problem and eachmodel of the class behaves the same at every considered time scale (short, intermediate and large) in thin aquifers. We describe a numerical scheme to approximate the non-linear coupled model. The standard Galerkin’s finite element approximation in space and Backward Euler method in time are used for discretization. Then we reformulate the discrete equation by introducing the Dirichlet to Neumann operator to handle the nonlinear coupling in time. The fixed point iterative method is applied to solve the reformulated discrete equation. We have examined the coupled model in different boundary conditions and different aquifers. In the every situations, the numerical results of the coupled models fit well with the original Richards problem. We conclude our work by the mathematical analysis of a model coupling 3D-Richards flow and Dupuit horizontal flow. It differs from the first one because we no longer assume a purely vertical flow in the upper capillary fringe. This model thus consists in a nonlinear coupled system of 3D-Richards equation with a nonlinear parabolic equation describing the evolution of the interface h(t,x) between the saturated and unsaturated zones of the aquifer. The main difficulties to be solved are those inherent to the 3D-Richards equation, the consideration of the free boundary h(t,x) and the presence of degenerate terms appearing in the diffusive terms and in the time derivatives.

On s'intéresse dans ce travail à différents modèles de transfert radiatif, décrivant les interactions entre la matière et les photons. Les radiations sont décrites en termes d'énergie et flux d'énergie, dans le cas macroscopique, le flfluide environnant est quant à lui décrit par les équations d'Euler (modèle d'hydrodynamique radiative). Dans le cas microscopique, le champ radiatif est vu comme une collection des photons interagissant avec la matière par des mécanismes d'absorption-émission. Ces mécanismes dépendent des états d'excitation interne et d'ionisation de la matière. On commence par monter l'existence locale de solutions régulières pour un système couplant les équations d'Euler et l'équation du transfert radiatif. Ce système est obtenu à partir du bilan d'énergie et d'impulsion totale. Puis on fait une discussion asymptotique pour ce modèle dans le régime hors équilibre et on obtient un système simple couplant les équations d'Euler et une équation elliptique. On montre l'existence des profifils de choc (réguliers) pour ce système, et la régularité de ces profils en fonction de l'amplitude du choc. Puis on étudie la stabilité asymptotique de ces profifils. Enfifin, on présente une étude d'un système décrivant le champ radiatif et les états internes de la matière. On montre l'existence de solutions pour ce système et on établit rigoureusement la convergence vers l'équilibre statistique. Les résultats théoriques sont illustrés par des simulations numériques.

L'étude de certaines variables aléatoires, comme les paramètres additifs sur les arbres hyperquaternaires de points, ou encore le nombre de maxima au sein d'un ensemble de n points indépendants, et uniformément distribués dans [0,1]^d font apparaître des suites particulières, les sommes harmoniques multiples (SHM), extensions des nombres harmoniques classiques à des multi-indices.<br /><br />Nos travaux visant à appliquer des méthodes symboliques pour l'étude de ces variables aléatoires, nous remplaçons l'utilisation de multi-indices par des codages sur des alphabets distincts, et nous appuyons alors sur des résultats importants en combinatoire des mots pour les appliquer à nos suites de SHM, et aux fonctions polylogarithmes, qui sont des variantes des génératrices ordinaires des SHM. Dans les cas convergents, les deux objets convergent (respectivement lorsque z tend vers 1 et lorsque N tend vers l'infini) vers la même limite, appelée polyzêta. Pour les cas divergents, l'utilisation de séries génératrices non commutatives nous permet d'établir un théorème ``à l'Abel'', faisant apparaître une limite commune. Ce théorème permet de donner une forme explicite aux constantes d'Euler généralisées associées à des SHM divergentes et ainsi d'obtenir un algorithme très efficace pour calculer leur développement asymptotique.<br /><br />Finalement, nous proposons des applications des sommes harmoniques dans le domaine des structures de données multidimensionnelles, pour lesquelles notre approche donne naissance à des calculs exacts, qui peuvent par la suite être aisément évalués asymptotiquement.

Ma thèse a été consacrée à la modélisation mathématique des plaques minces en élasticité non linéaire. Plus précisément, il s'agit d'obtenir des modèles non linéaires bidimensionnels de plaques à partir de l'élasticité non linéaire tridimensionnelle en employant essentiellement deux méthodes: le développement asymptotique formel et la Gamma-convergence. Deux classes de matériaux hyperélastiques réalistes à densités d'énergie singulières sont étudiées. Pour la première classe, l'énergie tend vers l'infini lorsque le déterminant du gradient de la déformation tend vers zéro i.e. l'on ne peut comprimer un volume en un point. Pour ce type de plaques, on obtient, en employant la première méthode, un nouveau modèle membranaire non linéaire qui empêche la formation de plis et qui approche le modèle classique pour les petites déformations. On retrouve aussi le modèle inextensionnel non linéaire classique. Ensuite, on considère les matériaux incompressibles i.e. la densité d'énergie est infinie pour les déformations dont le déterminant du gradient est différent de un. On produit grâce à la deuxième méthode un modèle membranaire non linéaire. Enfin, on montre un résultat de non existence de minimiseurs pour le modèle membranaire non linéaire classique comprimé et quelques remarques générales sont faites à ce sujet.

Dans le premier chapitre de cette thèse, on rappelle les principes de base de la mécanique des milieux continus à partir desquels on déduit les équations modélisant l'écoulement non isotherme d'un fluide newtonien incompressible. Au deuxième chapitre, on considère le cas stationnaire dans un domaine mince et on rajoute les conditions aux limites dont une est de type Tresca sur une partie du bord du domaine. On déduit le problème variationnel correspondant qui est fortement couplé, composé d'une inéquation et une équation variationnelles, dont les inconnues sont le champ de vitesse du fluide, sa pression et sa température. La difficulté principale est la présence dans l'équation variationnelle d'un terme comportant le carré du tenseur des taux de déformation, qui ne permet pas de donner un sens au problème variationnel, si on cherche la vitesse dans un convexe de $H^1$. Pour lever cette difficulté, on cherche la régularité $H^2$ de la vitesse, qui nécessite la régularité $\mathcal(C)^(0,1)$ de la température, qui est dans les coefficients de l'inéquation variationnelle. En utilisant le théorème du point fixe de Banach, on montre l'existence, l'unicité et la régularité de la solution faible. Le troisième chapitre est consacré à l'analyse asymptotique de ce problème variationnel couplé dans $\Om^\eps$. On établit des estimations indépendantes de $\eps$ en norme $H^1$ pour les dérivées partielles de la vitesse et de la température, et en norme $L^2$ pour les dérivées partielles de la pression. Ce qui nous permet d'obtenir des limites fortes. On obtient alors le problème limite, l'équation de Reynolds généralisée et on montre l'unicité des solutions de ce problème limite. Au quatrième chapitre, on présente une approximation du problème limite par une méthode d'éléments finis, on étudie la convergence des solutions approchées et on donne les estimations d'erreur d'approximation. Au dernier chapitre, on remplace la condition aux limites de Tresca par celle de Coulomb dans l'étude précédent et on obtient des résultats similaires.

Lorsqu'un gaz de bosons est suffisament refroidi, une transition de phase apparaît : toutes les particules se concentrent dans le m^eme état d'énergie. On appelle l'objet résultant de ce phénomène un condensat de Bose-Einstein. On peut le décrire par une fonction d'onde macroscopique, minimisant à l'équilibre la fonctionnelle d'énergie de Gross-Pitaevskii. Une des propriétés remarquables des condensats est leur superfluidité. Elle peut se manifester par l'apparition de vortex (tourbillons) dans un condensat mis en rotation. Dans cette thèse nous étudions le comportement asymptotique des minimiseurs de la fonctionnelle de Gross-Pitaevskii bi-dimensionelle et des énergies associées dans différents régimes de paramètres rendant compte de situations physiquement intéressantes. Nous cherchons à identifier certaines transitions de phase caractérisées par l'organisation des vortex du condensat. Dans une première partie nous étudions une situation où il est justié physiquement de considérer un problème simplifié. La minimisation de la fonctionnelle d'énergie est alors restreinte au premier espace propre de l'opérateur de Ginzburg-Landau (le plus bas niveau de Landau, lié à l'espace de Fock-Bargmann). Nous étudions théoriquement et numériquement le modèle simplifié dans un régime où le condensat est annulaire et contient un réseau de vortex déformé. Une seconde partie est consacrée à un régime de rotation extrême où le problème limite devient linéaire. Nous montrons que ce problème limite décrit correctement les asymptotiques d'énergie et de densité de matière. Sous une hypothèse supplémentaire nous démontrons qu'un vortex géant se forme, c'est-à-dire un condensat annulaire dont tous les vortex se rassemblent dans la zone centrale de faible densité de matière. Les deux dernières parties de la thèse sont consacrées à l'évaluation de la vitesse critique pour l'apparition du vortex géant. Nous montrons d'abord que le vortex géant apparaît au dessus d'un certain seuil que nous calculons en fonction des autres paramètres du problème, ce qui fournit une borne supérieure de la vitesse critique. Dans une quatrième partie nous montrons que cette borne supérieure est en fait optimale en considérant des vitesses proches du seuil par valeur inférieure. Nous montrons alors que des vortex sont présents dans le condensat et qu'ils se répartissent uniformément le long d'un cercle.

La formation d'une couche d'oxyde thermique sur un métal entraîne l'apparition d'une déformation spécifique liée à la croissance de l'oxyde. Nous considérons que cette déformation est proportionnelle à l'épaisseur de la couche d'oxyde. Nous avons analysé les contraintes de « croissance » associées, dans les oxydes se développant sur des substrats de nickel, de fer et enfin de fer phosphaté. L'oxydation des deux premiers métaux est parabolique. En revanche, l'oxydation du fer phosphaté montre plusieurs caractéristiques. Des analyses menées par Diffraction des Rayons X (évolution des pourcentages de phases) ont montré que le film de phosphate se comportait comme une barrière de diffusion. La mesure des contraintes dans les oxydes a été réalisée in-situ par thermodiffraction avec l'apport du Rayonnement Synchrotron. Enfin, la modélisation de l'évolution des contraintes dans les systèmes oxydes thermiques sur métal nous a permis de reproduire qualitativement les résultats expérimentaux.

Pour simuler la propagation laser, nous utilisons l'approximation paraxiale de l'équation de Klein-Gordon.<br />Dans une première partie, nous menons une analyse asymptotique de l'équation de Klein-Gordon. Nous obtenons dans divers cas des problèmes approchés de type Schrödinger ou advection-Schrödinger. Nous montrons que ces problèmes sont bien posés et estimons la différence entre problème exact et problème approché.<br />Dans une deuxième partie, nous étudions le problème d'advection-Schrödinger sur un domaine borné et non plus sur tout l'espace, et montrons quelle condition au bord il faut imposer pour que la solution de notre problème sur le domaine soit la restriction de la solution sur l'espace entier.<br />Dans une troisième partie, nous utilisons les résultats précédents pour construire une méthode de résolution numérique, et présentons les simulations obtenues.

En optimisation de formes, de nombreux résultats ont déjà été obtenus dans le <br />cas de domaines à frontière régulière et pour des perturbations régulières de ces domaines. <br />Par contre, l'étude de domaines non-réguliers, tels que des domaines fissurés par exemple, <br />et l'étude de perturbations singulières telles que la création d'un trou dans un domaine est <br />plus récente et plus complexe. Ce nouveau domaine de recherche est motivé par de multiples <br />applications, car en pratique, les hypothèses de régularité ne sont pas toujours vérifiées. Les <br />outils tels que la dérivée topologique permettent d'appréhender ces perturbations singulières <br />de domaines et leur utilisation est maintenant fréquente. <br /><br />Dans la première partie, nous étudions la structure de la dérivée de forme pour des domaines fissurés. Dans le cas d'un ouvert régulier, de classe C1 ou lipschitzien par exemple, <br />la dérivée dépend uniquement des perturbations de la frontière du domaine en direction de <br />la normale. Ce théorème de structure n'est plus valable pour des domaines contenant des <br />fissures. On généralise ici ce théorème de structure aux domaines fissurés en dimension quelconque pour les dérivées premières et secondes. En dimension deux, on retrouve le résultat <br />usuel, à savoir qu'en plus du terme classique, deux nouvelles contributions apparaissent dûes <br />aux extrémités de la fissure. En dimension supérieure, un nouveau terme apparaît en plus du <br />terme classique, dû à la frontière de la variété à bord représentant la fissure. <br /><br />Dans la deuxième partie, nous étudions la perturbation singulière d'un domaine et nous <br />modélisons cette perturbation à l'aide d'extensions auto-adjointes d'opérateurs. Nous décrivons cette modélisation, puis nous montrons comment elle peut être utilisée pour un problème <br />d'optimisation de forme. En définissant une fonctionnelle d'énergie approchée pour ce problème modèle, on retrouve notamment la formule de la dérivée topologique usuelle. <br /><br />Dans la troisième partie, on propose une application numérique de la dérivée topologique <br />et de la dérivée de forme pour un problème non-linéaire. On cherche à maximiser l'énergie <br />associée à la solution d'un problème de Signorini dans un domaine ­. L'évolution du domaine <br />est représentée à l'aide d'une méthode levelset.

Cette thèse porte sur l’analyse mathématique de l’interaction d’un fluide non-visqueux avec des structures immergées. Plus précisément, elle est structurée autour de deux axes principaux. L’un d’eux est l’analyse asymptotique du mouvement d’une particule infinitésimale en milieu liquide. L’autre concerne l’interaction entre des vagues et une structure immergée. La première partie de la thèse repose sur l’analyse mathématique d’un système d’équations différentielles ordinaires non-linéaires d’ordre 2 modélisant le mouvement d’un solide infiniment petit dans un fluide incompressible en 2D. Les inconnues du modèle décrivent la position du solide, c’est-à-dire la position du centre de masse et son angle de rotation. Les équations proviennent de la deuxième loi de Newton avec un prototype de force de type Kutta-Joukowski. Plus précisément, nous étudions la dynamique de ce système lorsque l’inertie du solide tend vers 0. Les principaux outils utilisés sont des développements asymptotiques multiéchelles en temps. Pour la dynamique de la position du centre de masse, l’étude met en évidence des analogies avec le mouvement d’une particule chargée dans un champ électromagnétique et la théorie du centre-guide. En l’occurrence, le mouvement du centreguide est donné par une équation de point-vortex. La dynamique de l’angle est quant à elle donnée par une équation de pendule non-linéaire lentement modulée. Des régimes très différents se distinguent selon les données initiales. Pour de petites vitesses angulaires initiales la méthode de Poincaré-Lindstedt fait apparaitre une modulation des oscillations rapides, alors que pour de grandes vitesses angulaires initiales, un movement giratoire bien plus irrégulier est observé. C’est une conséquence particulière et assez spectaculaire de l’enchevêtrement des trajectoires homocliniques. La deuxième partie de la thèse porte sur le problème des vagues dans le cas où le domaine occupé par le fluide est à surface libre et avec un fond plat sur lequel un objet solide se translate horizontalement sous l’effet des forces de pression du fluide. Nous avons étudié deux systèmes asymptotiques qui décrivent le cas d’un fluide parfait incompressible en faible profondeur. Ceux-ci correspondent respectivement aux équations de Saint-Venant et de Boussinesq. Grâce à leur caractère bien-posé en temps long, les modèles traités permettent de prendre en compte certains effets de la mécanique du solide, comme les forces de friction, ainsi que les effets non-hydrostatiques. Notre analyse théorique a été complétée par des études numériques. Nous avons développé un schéma de différences finies d’ordre élevé et nous l’avons adapté à ce problème couplé afin de mettre en évidence les effets d’un solide (dont le mouvement est limité à des translations sur le fond) sur les vagues qui passent au dessus de lui. A la suite de ces travaux, nous avons souligné l’influence des forces de friction sur ce genre de systèmes couplés ainsi que sur le déferlement des vagues. Quant à l’amortissement dû aux effets hydrodynamiques, une vague ressemblance avec le phénomène de l’eau morte est mise en évidence. / This PhD thesis concerns the mathematical analysis of the interaction of an inviscid fluid with immersed structures. More precisely it revolves around two main problems: one of them is the asymptotic analysis of an infinitesimal immersed particle, the other one being the interaction of water waves with a submerged solid object. Concerning the first problem, we studied a system of second order non-linear ODEs, serving as a toy model for the motion of a rigid body immersed in a two-dimensional perfect fluid. The unknowns of the model describe the position of the object, that is the position of its center of mass and the angle of rotation; the equations arise from Newton’s second law with the consideration of a Kutta-Joukowski type lift force. It concerns the detailed analysis of the dynamic of this system when the solid inertia tends to 0. For the evolution of the position of the solid’s center of mass, the study highlights similarities with the motion of a charged particle in an electromagnetic field and the wellknown “guiding center approximation”; it turns out that the motion of the corresponding guiding center is given by a point-vortex equation. As for the angular equation, its evolution is given by a slowly-in-time modulated non-linear pendulum equation. Based on the initial values of the system one can distinguish qualitatively different regimes: for small angular velocities, by the Poincaré-Lindstedt method one observes a modulation in the fast time-scale oscillatory terms, for larger angular velocities however erratic rotational motion is observed, a consequence of Melnikov’s observations on the presence of a homoclinic tangle. About the other problem, the Cauchy problem for the water waves equations is considered in a fluid domain which has a free surface on the upper vertical limit and a flat bottom on which a solid object moves horizontally, its motion determined by the pressure forces exerted by the fluid. Two shallow water asymptotic regimes are detailed, well-posedness results are obtained for both the Saint-Venant and the Boussinesq system coupled with Newton’s equation characterizing the solid motion. Using the particular structure of the coupling terms one is able to go beyond the standard scale for the existence time of solutions to the Boussinesq system with a moving bottom. An extended numerical study has also been carried out for the latter system. A high order finite difference scheme is developed, extending the convergence ratio of previous, staggered grid based models. The discretized solid mechanics are adapted to represent important features of the original model, such as the dissipation due to the friction term. We observed qualitative differences for the transformation of a passing wave over a moving solid object as compared to an immobile one. The movement of the solid not only influences wave attenuation but it affects the shoaling process as well as the wave breaking. The importance of the coefficient of friction is also highlighted, influencing qualitative and quantitative properties of the coupled system. Furthermore, we showed the hydrodynamic damping effects of the waves on the solid motion, reminiscent of the so-called dead water phenomenon.