Le théorème de h-cobordisme est bien connu en topologie différentielle et PL. Il a été démontré par Stephen Smale et avec comme conséquence la preuve de la conjecture de Poincaré en dimension supérieure à 4. Une généralisation pour les h-cobordismes possiblement non simplement connexe est appelée théorème de s-cobordisme. Dans cette thèse, nous démontrons les versions semi-algébrique et Nash de ces théorèmes. C'est à dire, avec des données semi-algébriques ou Nash, nous obtenons un homéomorphisme semi-algébrique (respectivement un difféomorphisme Nash). Les principaux outils intervenant sont la triangulation semi-algébrique et les approximations Nash. Un aspect de la nature algébrique des objets semi-algébriques et Nash est qu'on peut mesurer leurs complexités. Nous montrons les théorèmes de h et s-cobordisme avec borne uniforme sur la complexité de l'homéomorphisme semi-algébrique (difféomorphisme Nash) voulu, en fonction de complexité des données du cobordisme. Pour finir, nous déduisons la validité de ces théorèmes version semi-algébrique et Nash sur tout corps réel clos.

HDR

Dans quelles conditions une application entre variétés différentiables est-elle homotope à un plongement lisse ? L'objet de la thèse est de compléter les obstructions rationnelles déjà connues, de façon à réduire le problème initial de topologie différentiable à un problème de calcul algébrique. Le théorème principal de la thèse permet de construire un plongement entre variétés lisses dans une classe d'homotopie rationnelle d'une application donnée, lorsque le problème algébrique a une solution. Plusieurs cas génériques de réalisabilité sont présentés, ainsi que des exemples mettant en évidence les nouvelles obstructions au plongement. Enfin, l'utilisation des techniques de chirurgie plongée dans le rang métastable aboutit à de nouveaux théorèmes de réalisation de plongements à cohomologie rationnelle près dans une variété fixée. / When does there exist a smooth embedding in a homotopy class of map between differentiable manifolds ? Rational homotopy theory provides computation machinery to such questions in differential topology. The purpose of this thesis is the completion of rational obstructions which prevent a map from being an embedding. More precisely, we show that a solution to the underlying algebraic problem gives rise to a smooth embedding with the same rational invariants. Several generic cases of realizability are detailed, as well as some examples which illustrate our new obstructions. We also use techniques of embedded surgery in metastable range, in order to state a theorem about realizability of an embedding up to rational cohomolgy into a fixed manifold.

Dans cette thèse nous construisons un groupe faible de cobordisme arithmétique dans le contexte de la géométrie d'Arakelov. Nous introduisons des versions faibles des groupes de K-théorie arithmétique et de Chow arithmétique, et en dégageons une notion de théorie homologique orientée de type arithmétique. Nous construisons alors un groupe universel parmi ces théories homologiques et prouvons ses principales propriétés structurelles. / In this thesis we construct a weak group of arithmetic cobordism in the context of Arakelov geometry. We introduce weak versions of arithmetic K-theory and arithmetic Chow groups, that give rise to the notion of oriented homological theory of arithmetic type. We then build a universal such homological theory, and prove its main structural features.

Dans cette thèse, on étudie les propriétés des sous-variétés lagrangiennes dans une variété symplectique en utilisant la relation de cobordisme lagrangien. Plus précisément, on s'intéresse à déterminer les conditions pour lesquelles les cobordismes lagrangiens élémentaires sont en fait triviaux. En utilisant des techniques de l'homologie de Floer et le théorème du s-cobordisme on démontre que, sous certaines hypothèses topologiques, un cobordisme lagrangien exact est une pseudo-isotopie lagrangienne. Ce resultat est une forme faible d'une conjecture due à Biran et Cornea qui stipule qu'un cobordisme lagrangien exact est hamiltonien isotope à une suspension lagrangianenne. / In this thesis we study the properties of Lagrangian submanifolds of a symplectic manifold by using the relation of Lagrangian cobordism. More precisely, we are interested in determining when an elementary Lagrangian cobordism is trivial. Using techniques coming from Floer homology and the s-cobordism theorem, we show that under some topological assumptions, an exact Lagrangian cobordism is a Lagrangian pseudo-isotopy. This is a weaker version of a conjecture proposed by Biran and Cornea, which states that any exact Lagrangian cobordism is Hamiltonian isotopic to a Lagrangian suspension.

Étant donnée une fonction lisse ˜ f définie sur un voisinage de la sphère euclidienne de dimension n dans la boule, peut-on l’étendre en une fonction définie sur la boule bordée par la sphère, de manière à ce que l’extension n’ait aucun point critique ? Cette thèse propose d’étudier cette question, en supposant que la restriction de ˜ f à la sphère, notée f, est Morse. Ce problème a été introduit pour la première fois par Blank et Laudenbach en1970, et a aussi été posé par Arnol’d en 1981. Nous donnons une condition nécessaire d’extension sans points critiques qui s’appuie sur le complexe de Morse de la fonction f, et de la répartition des points critiques de f en deux ensembles : ceux dont la dérivée normale est négative et ceux dont la dérivée normale est positive. Cette condition nécessaire permet alors de donner un cadre algébrique à ce problème venant de la topologie différentielle et s’appuie principalement sur lesgrandes théories de la deuxième moitié du XXème siècle, à savoir celle des cobordismes de Thom,Smale, Milnor etc. Elle permet notamment de donner des conditions nécessaires et suffisantesdans certains cas plus restrictifs, et donne lieu à une condition nécessaire plus faible qui présentel’intérêt d’être calculable.Le point de départ des résultats est celui de Barannikov, qui le premier a traduit le problèmed’extension de fonction avec des conditions de dérivées normales en un problème de chemin defonctions générique qui ne présente pas de singularité globale. / Given a smooth function ˜ f defined on a neighborhood of the euclidian sphere of dimension n in the ball, is it possible to extend it to a function defined on the ball which has no critical points ? This thesis studies this question, assuming the f, the restriction of ˜ f to the sphere, is Morse.This problem was first introduced by Blank and Laudenbach in 1970. We give a necessary condition of extension without critical points that is based on Morsehomology and the repartition of the critical set of f into two sets : the set of points whosenormal derivative to the sphere interior to the ball is negative and the set of points whosenormal derivative is positive. This necessary condition is of algebraic nature and uses great theories of the second half of the XXth century, namely cobordism theory of Thom, Smale,Milnor etc. It also leads to a sufficient condition in some interesting cases, and to a weaker necessary condition for a general function ˜ f which is easily computable.The point-of-view is the one of Barannikov, who was the first to tackle this problem bymeans of considerations about path of functions

L'invariant de Casson est un invariant classique des 3-sphères d'homologie entière. Via les scindements de Heegaard, S. Morita le décrit comme la somme de deux homomorphismes d et q définis sur un sous-groupe K_(g,1) du groupe de difféotopies M_(g,1) d'une surface S_(g,1) orientée de genre g à une composante de bord. L'homomorphisme d constitue le "Coeur de l'invariant de Casson" et est décrit géométriquement en termes de SU-parallélisations de Morita des mapping tores. A l'origine, d provient d'une application d_X définie sur M_(g,1) comme la différence entre le cocycle de Meyer et un cocycle d'intersection dépendant d'un champ de vecteurs X sur la surface S_(g,1). Tout d'abord, nous revisiterons les résultats de Morita et rendrons l'application d_X calculatoire. Puis nous considèrerons les cobordismes d'homologie et leur groupe associé H_(g,1) : via les mapping cylindres, M_(g,1) constitue un sous-groupe de H_(g,1). Dans la perspective de prolonger d, nous étendrons les cocycles d'intersection et cocycle de Meyer aux cobordismes d'homologie munis de structure d'Euler.

Cette thèse présente quelques propriétés des sous-variétés lagrangiennes monotones. On résoud d'abord une conjecture de Barraud et Cornea dans le cadre monotone en montrant que le rayon de Gromov relatif à deux lagrangiennes dans la même classe d'isotopie hamiltonienne donne une borne inférieure à la distance de Hofer entre ces deux mêmes lagrangiennes. Le cas non-monotone de cette conjecture reste ouvert encore. On définit toutes les structures nécessaires à l'énoncé et à la preuve de cette conjecture. Deuxièmement, on définit une nouvelle version d'un morphisme de Seidel relatif à l'aide des cobordismes lagrangiens de Biran et Cornea. On montre que cette version est chaîne-homotope aux différentes autres versions apparaissant dans la littérature. Que toutes ces définitions sont équivalentes fait partie du folklore mais n'apparaît pas dans la littérature. On conclut par une conjecture qui identifie un triangle exact obtenu par chirurgie lagrangienne et un autre dû à Seidel et faisant intervenir le twist de Dehn symplectique. / We present in this thesis a few properties of monotone Lagrangian submanifolds. We first solve a conjecture of Barraud and Cornea in the monotone setting by showing that the relative Gromov radius of two Hamiltonian-isotopic Lagrangians gives a lower bound on the Hofer distance between them. The general non-monotone case remains open to this day. We define all the structures relevant to state and prove the conjecture. We then define a new version of a Lagrangian Seidel morphism through the recently introduced Lagrangian cobordisms of Biran and Cornea. We show that this new version is chain-homotopic to various other versions appearing in the litterature. That all these previous versions are the same is folklore but did not appear in the litterature. We conclude with a conjecture claiming that an exact triangle obtained by Lagrangian surgery is isomorphic to an exact triangle of Seidel involving the symplectic Dehn twist.

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Cette thèse présente quelques propriétés des sous-variétés lagrangiennes monotones. On résoud d'abord une conjecture de Barraud et Cornea dans le cadre monotone en montrant que le rayon de Gromov relatif à deux lagrangiennes dans la même classe d'isotopie hamiltonienne donne une borne inférieure à la distance de Hofer entre ces deux mêmes lagrangiennes. Le cas non-monotone de cette conjecture reste ouvert encore. On définit toutes les structures nécessaires à l'énoncé et à la preuve de cette conjecture. Deuxièmement, on définit une nouvelle version d'un morphisme de Seidel relatif à l'aide des cobordismes lagrangiens de Biran et Cornea. On montre que cette version est chaîne-homotope aux différentes autres versions apparaissant dans la littérature. Que toutes ces définitions sont équivalentes fait partie du folklore mais n'apparaît pas dans la littérature. On conclut par une conjecture qui identifie un triangle exact obtenu par chirurgie lagrangienne et un autre dû à Seidel et faisant intervenir le twist de Dehn symplectique. / We present in this thesis a few properties of monotone Lagrangian submanifolds. We first solve a conjecture of Barraud and Cornea in the monotone setting by showing that the relative Gromov radius of two Hamiltonian-isotopic Lagrangians gives a lower bound on the Hofer distance between them. The general non-monotone case remains open to this day. We define all the structures relevant to state and prove the conjecture. We then define a new version of a Lagrangian Seidel morphism through the recently introduced Lagrangian cobordisms of Biran and Cornea. We show that this new version is chain-homotopic to various other versions appearing in the litterature. That all these previous versions are the same is folklore but did not appear in the litterature. We conclude with a conjecture claiming that an exact triangle obtained by Lagrangian surgery is isomorphic to an exact triangle of Seidel involving the symplectic Dehn twist.