Following Exner et al. (Commun. Math. Phys. 26 (2014), no. 2, 531–541), we prove new Lieb-Thirring inequalities for a general class of self-adjoint, second order differential operators with matrix-valued potentials, acting in one space-dimension. This class contains, but is not restricted to, the magnetic and non-magnetic Schrödinger operators. We consider the three cases of functions defined on all reals, all positive reals, and an interval, respectively, and acquire three different kinds of bounds. We also investigate the spectral properties of a family of operators from conformal field theory, by proving an asymptotic phase-space bound on the eigenvalue counting function and establishing a number of spectral inequalities. These bound the Riesz-means of eigenvalues for these operators, together with each individual eigenvalue, and are applied to a few physically interesting examples. / Vi följer Exner et al. (Commun. Math. Phys. 26 (2014), nr. 2, 531–541) och bevisar nya Lieb-Thirring-olikheter för generella, andra gradens självadjungerade differentialoperatorer med matrisvärda potentialfunktioner, verkandes i en rumsdimension. Dessa innefattar och generaliserar de magnetiska och icke-magnetiska Schrödingeroperatorerna. Vi betraktar tre olika fall, med funktioner definierade på hela reella axeln, på den positiva reella axeln, samt på ett interval. Detta resulterar i tre sorters olikheter.  Vidare undersöker vi spektralegenskaperna för en klass operatorer från konform fältteori, genom att asymptotiskt begränsa antalet egenvärden med ett fasrymdsuttryck, samt genom att bevisa ett antal spektralolikheter. Dessa begränsar Riesz-medelvärdena för operatorerna, samt varje enskilt egenvärde, och tillämpas på ett par fysikaliskt intressanta exempel.

In den letzten beiden Jahrzehnten hat sich N=4 Super Yang-Mills Theorie (SYM) als vergleichsweise einfache wechselwirkende Quantenfeldtheorie etabliert. Es konnte gezeigt werden, dass N=4 SYM im sogenannten planaren Limes eine integrable konforme Feldtheorie ist. Diese Erkenntnis wurde im Rahmen der Lösung des Spektralproblems gewonnen, das als die Diagonalisierung des Dilatationsoperators definiert ist. Dieser Operator ist der Teil der konformen Algebra, der Skalentransformationen erzeugt. In jüngerer Zeit wurde vorgeschlagen, dass verwandte Theorien, die man kollektiv als stark getwistete N=4 SYM bezeichnet, tatsächlich einfacher wären. Wir untersuchen das Spektralproblem dieser Theorien und bestimmen die Eigenwerte des Dilatationsoperators. Dabei ist unsere Analyse auf Einschleifenordnung beschränkt. Wir leiten zunächst den Einschleifendilatationsoperator der stark getwisteten Modelle her. Bemerkenswerterweise ist der Dilatationsoperator nicht diagonalisierbar, da die stark getwisteten Theorien nicht unitär sind. Wir definieren den Begriff des eklektischen Feldinhalts von lokalen zusammengesetzten Operatoren. Eine endliche Potenz des Dilatationsoperators bildet die entsprechenden Operatoren mit eklektischem Feldinhalt auf null ab. Die Herleitung unterschiedlicher Bethe Ansätze wird präsentiert um die Eigenzustände des Dilatationsoperators zu finden. Wir stellen die Lösungen der Bethe Gleichungen vor, wobei wir Sektor für Sektor vorgehen. Wir konstruieren auch einige der auftretenden Jordan Blöcke. Des Weiteren diskutieren wir den Einfluss, den die Jordan Blöcke auf die Zweipunktfunktionen der Theorie haben. In einer nicht unitären Theorie ist die Klassifikation der lokal zusammengesetzten Operatoren in Primäroperatoren und Abkömmlinge nicht vollständig und eine dritte Art Operator, nämlich der logarithmische Operator, tritt auf. Die entsprechenden Zweipunktfunktionen enthalten Logarithmen. / Over the last two decades, N=4 Super Yang-Mills theory (SYM) has established a reputation of being the simplest interacting quantum field theory in four dimensions. In the so-called planar limit, N=4 SYM turned out to be an integrable conformal field theory. Integrability was first found when solving the spectral problem, which is defined as diagonalising the dilatation operator. The latter is the part of the conformal algebra generating scaling transformations. Its eigenvalues are the anomalous dimensions. More recently, it was proposed that a certain non-unitary deformation of N=4 SYM, the so-called strongly-twisted theories, are actually simpler. We investigate the spectral problem of these theories at one-loop order. We derive the one-loop dilatation operator of the strongly-twisted models and express it in terms of the one of the untwisted theory. Notably, since the strongly-twisted theories are non-unitary, the dilatation operator turns out to be non-diagonalisable. We define the notion of eclectic field content of local composite operators. A finite number of applications of the dilatation operator annihilates these local composite operators with eclectic field content. A derivation of several different Bethe ansätze to find eigenstates of the dilatation operator is presented. Furthermore, we also propose a short-cut to derive the Bethe equations from those of the unscaled models. We present solutions to the Bethe equations sector by sector, derive the Jordan blocks of the dilatation operator and show their impact on the two-point correlation functions of the theory. The classification of local composite operators into primaries and descendants is no longer complete in a non-unitary theory and a third type of operator, named a logarithmic operator, appears. The corresponding two-point functions contain logarithms.

<p>This dissertation consists of two parts. In the first part, we discuss the boundary and domain wall theories of the generalized quantum double lattice realization of the two-dimensional topological orders based on Hopf algebras. The boundary Hamiltonian and domain wall Hamiltonian are constructed by using Hopf algebra pairings and generalized quantum double. The algebraic data behind the gapped boundary and domain wall are comodule algebras and bicomodule algebras, respectively. The topological excitations in the boundary and domain wall are classified by bimodules over these algebras. Finally, via the Hopf tensor network representation of the quantum many-body states, we solve the ground state of the model in the presence of the boundary and domain wall.</p> <p><br></p> <p>In the second part, we introduce the weak Hopf algebra extension of symmetry, which arises naturally in anyonic quantum systems, and we establish weak Hopf symmetry breaking theory based on the fusion closed set of anyons. We present a thorough investigation of the quantum double model based on weak Hopf algebras, including the topological excitations and ribbon operators, and show that the vacuum sector of the model has weak Hopf symmetry. The gapped boundary and domain wall theories are also established. We show that the gapped boundary is algebraically determined by a comodule algebra, or equivalently, a module algebra, and the gapped domain wall is determined by the bicomodule algebra, or equivalently, a bimodule algebra. We also introduce the weak Hopf tensor network states, by which we solve the weak Hopf quantum double models on closed and open surfaces. Lastly, we discuss the duality of the quantum double phases.</p>

Integrabilität hat sich als ein mächtiges Werkzeug zur Berechnung von Observablen in der AdS/CFT-Korrespondenz erwiesen. Zunächst für das planare Spektralproblem entdeckt, wurden auch Methoden zur Berechnung von Mehrpunktfunktionen entwickelt. In dieser Arbeit wird diese Korrespondenz für AdS5/CFT4 und AdS3/CFT2 betrachtet mit dem Ziel, den integrablen Formalismus zu erweitern. Teil I behandelt Integrabilität in der N=4 SYM-Theorie, wo der Hexagon-Formalismus die Berechnung von Dreipunktfunktionen ermöglicht. Dazu wird der Korrelator in zwei hexagonale Stücke zerlegt. Die lokalen Operatoren müssen im Spinkettenbild als Bethe-Zustand zerschnitten und ein verschränkter Zustand konstruiert werden. Der Hexagon-Formalismus wird hier auf Sektoren mit höherem Rang erweitert, wobei die operatorartige Struktur erhalten und nur minimale Informationen aus dem geschachtelten Bethe-Ansatz genutzt werden. Weiterhin erlaubt die Betrachtung von Doppelanregungen im Spinkettenbild die Realisierung aller Felder der N=4 SYM-Theorie. Der chirale Yang-Mills-Feldstärketensor wird aus vier Fermionen in führender Ordnung der Kopplung konstruiert, eine Methode zur Einsetzung des Lagrangeoperators im Hexagon-Formalismus wird vorgeschlagen und ein erster Test durchgeführt. Teil II behandelt den Hexagon-Formalismus für Superstrings auf AdS3xS3xT4 Hintergründen mit einer Mischung von Ramond-Ramond und Neveu-Schwarz-Neveu-Schwarz Flüssen. Der Formfaktor wird für Ein- und Zwei-Teilchen-Zustände konstruiert und lässt sich für viele Teilchen unter Nutzung der S Matrix verallgemeinern. Schließlich werden die thermodynamischen Bethe-Ansatz (TBA)-Gleichungen betrachtet, die von Frolov und Sfondrini für das Spektrum von Strings auf reinem Ramond-Ramond AdS3xS3xT4 Hintergrund konstruiert wurden. Bei schwacher Kopplung lassen sich die TBA-Gleichungen erheblich vereinfachen. Der Beitrag zu den anomalen Dimensionen in führender Ordnung ist auf masselose Anregungen zurückzuführen. / Integrability proved to be a powerful tool to calculate observables in the AdS/CFT correspondence. At first discovered in the planar spectral problem, methods have since been devised for calculating higher-point functions as well. In this thesis we will consider two instances of the correspondence, that is AdS5/CFT4 as well as AdS3/CFT2, aiming at extending the integrability framework. In Part I we focus on integrability in N=4 SYM theory, where the hexagon form factor provides a formalism to calculate three-point functions. For this, the correlator is cut into two hexagonal patches. Considering the local operators in the spin chain picture, the Bethe states also need to be cut, resulting in an entangled state. In this thesis, we extend the hexagon formalism to higher-rank sectors, while preserving its operator-like structure and importing a minimum of information from the nested Bethe ansatz. Moreover, considering double excitations in the spin chain picture allows us to accommodate for the full set of fields in N=4 SYM theory. We build the chiral Yang-Mills field strength tensor from four fermions at leading order in the coupling, put forward a Lagrangian insertion method in the hexagon formalism and perform a first test. In Part II we propose a hexagon formalism for superstrings in AdS3×S3×T4 backgrounds with an arbitrary mixture or Ramond-Ramond and Neveu-Schwarz-Neveu-Schwarz fluxes. We bootstrap the hexagon form factor for one- and two-particle states from symmetry and give a proposal for the evaluation of many particle states in terms of the theorie's S matrix. Finally, we consider the thermodynamic Bethe ansatz (TBA) equations constructed by Frolov and Sfondrini for the spectrum of strings on the pure-Ramond-Ramond AdS3×S3×T4 background. Here we study the small tension limit of the mirror TBA equations and find that the equations simplify considerably. We observe that the leading-order contribution to the anomalous dimensions is due to massless excitations.

Konforme Feldtheorien (CFT) spielen eine Schlüsselrolle in der modernen theoretischen Physik. Mit CFT beschreibt man reale physikalische Systeme bei Kritikalität. Dank der AdS/CFT-Korrespondenz spielt sie auch bei der Untersuchung der Quantengravitation eine zentrale Rolle. Auf der Seite der CFT steht die N=4 supersymmetrische Yang-Mills (SYM) Theorie. Diese Arbeit dreht sich hauptsächlich um die supersymmetrische Wilson-Linie und ihre Interpretation als konformer Defekt in N=4 SYM. Insbesondere konzentrieren wir uns auf Anregungen, die auf dem Defekt lokalisiert sind, sogenannte Einfügungen, deren Korrelatoren durch eine eindimensionale CFT beschrieben werden. Das erste Hauptergebnis dieser Arbeit ist ein effizienter Algorithmus zur Berechnung von Mehrpunkt Korrelationsfunktionen von Skalareinfügungen auf der Wilson-Linie bis zur nächsten Ordnung bei schwacher Kopplung kodieren. Es werden verschiedene Berechnungen solcher Vier-, Fünf- und Sechspunkt-Korrelatoren gezeigt und ihre Eigenschaften diskutiert. Darüber hinaus wird am Beispiel der Vierpunkt-Funktion die Leistungsfähigkeit der Ward-Identitäten veranschaulicht, die für die Ableitung eines Ergebnisses nächster, vorletzter und führender Ordnung entscheidend sind. Dank dieser perturbativen Ergebnisse vermuten wir eine Mehrpunkt-Erweiterung der Ward-Identitäten, die von den Vier-Punkt-Funktionen erfüllt werden. Diese nichtperturbativen Beschränkungen erweisen sich als fundamentale Bestandteile des Bootstraps einer Fünfpunkt-Funktion bei starker Kopplung. Zum Abschluss dieser Arbeit definieren wir eine inhärent eindimensionale Mellin-Amplitude auf der nichtperturbativen Ebene mit geeigneten Subtraktionen und analytischen Fortsetzungen. Die Effizienz des 1d-Mellin-Formalismus zeigt sich auf der perturbativen Ebene. Man findet einen Ausdruck in geschlossener Form für die Mellin-Transformation von Kontaktwechselwirkungen führender Ordnung, den man verwendet, um CFT-Daten zu extrahieren. / Conformal field theory (CFT) plays a key role in modern theoretical physics. Through CFT we describe real physical systems at criticality and fixed points of the renormalization group flow. It is also central in the study of quantum gravity, thanks to the AdS/CFT correspondence. This thesis originates in the context of the N=4 supersymmetric Yang-Mills (SYM) theory, which represents the CFT side of this correspondence. This work mainly revolves around the supersymmetric Wilson line and its interpretation as a conformal defect in N=4 SYM. Particularly, we focus on excitations localized on the defect called insertions, whose correlators are described by a one-dimensional CFT. The first main result of this work is an efficient algorithm for computing multipoint correlation functions of scalar insertions on the Wilson line, consisting of recursion relations encoding the possible interactions up to next-to-leading order at weak coupling. We show various computations of such four-, five- and six-point correlators, and discuss their properties. Moreover, we use the four-point function case to illustrate the power of the Ward identities, which are crucial in deriving a next-to-next-to-leading order result. Thanks to these perturbative results, we find a family of differential operators annihilating our correlation functions, which we conjecture to be a multipoint extension of the Ward identities satisfied by the four-point functions. These non-perturbative constraints are shown to be fundamental ingredients in the bootstrap of a five-point function at strong coupling. To conclude this thesis, we define an inherently one-dimensional Mellin amplitude at the non-perturbative level with appropriate subtractions and analytical continuations. The efficiency of the 1d Mellin formalism is manifest at the perturbative level. We find a closed-form expression for the Mellin transform of leading order contact interactions and use it to extract CFT data.

<p dir="ltr">A bath of free electrons interacting with a local quantum impurity leads to various exotic non-Fermi liquid behaviors, such as the non-integer effective ground state degeneracy of the impurity and the correction to the zero temperature conductance, which is temperature to the power of a fractional number. The former indicates emergent anyons, which are the key ingredients for achieving topological protected quantum computations. The latter can be used for experimentally probing non-Fermi liquid physics. It was recently proposed that a Coulomb blockaded M-Majorana island coupled to normal metal leads realizes a novel type of Kondo effect where the effective impurity “spin” transforms under the orthogonal group SO(M). Inspired by the multichannel generalization of the original Kondo model, we introduce a physically motivated N-channel generalization of this topological Kondo model whose impurity spin stems from the non-local topological ground state degeneracy of the island. This multichannel topological Kondo model supports Z3 parafermion and Fibonacci anyon (not supported by one-channel topological Kondo model) but may be limited to experiments because it is unstable to channel anisotropy. Therefore, we propose a Majorana-free meso- scopic setup which implements the Kondo effect of the symplectic Lie group and can harbor emergent anyons (including Majorana fermions, Fibonacci anyons, and Z3 parafermions) even in the absence of perfect channel symmetry. Besides, I comment on the future work such as the strong tunneling case that is beyond the topological Kondo regime and the two-impurity Kondo physics.</p>

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

In den letzten Jahren hat die Erforschung von Branen zu vielen neuen Einsichten in String- und M-Theorie geführt. Ein Großteil dieser Forschung behandelte den Fall großen Volumens, wo geometrische Methoden zuverlässige Informationen liefern. Die Extrapolation in den Bereich, wo die endliche Ausdehnung des Strings wichtig wird (`stringy regime'), erfordert gewöhnlich neue Methoden aus der konformen Feldtheorie mit Randbedingungen. Branen auf Gruppenmannigfaltigkeiten ermöglichen einen guten Zugang zu diesem Problem. Obwohl sie nichttriviale Hintergründe beschreiben, was zu vielen interessanten Effekten führt, sind sie immer noch gut beherrschbar. Sie dienen auch als Bausteine bei den Restklassen- und Orbifoldkonstruktionen von im Wesentlichen allen bekannten konformen Modellen. Die vorliegende Arbeit untersucht die Dynamik von Branen auf Gruppenmannigfaltigkeiten und Restklassenmodellen. In einem bestimmten Grenzfall wird die Dynamik von nichtkommutativen Eichtheorien regiert. Viele der Prozesse lassen sich in den Bereich extrapolieren, wo Stringeffekte eine Rolle spielen. Sie äußern sich als Renormierungsgruppenflüsse auf den zweidimensionalen Weltflächentheorien mit Rändern. Solche Flüsse sind auch von Interesse in der Festkörpertheorie, wo sie Randphänomene in eindimensionalen Systemen beschreiben. Wesentliche Daten über diese dynamischen Prozesse sind in Ladungen von D-Branen kodiert. Wir werden die Resultate, die wir über Prozesse zwischen verschiedenen Brankonfigurationen erhalten, mit der Vermutung vergleichen, dass die Ladungen Werte in getwisteten K-Gruppen annehmen. / In recent years, the study of branes has led to many new insights into string and M-theory. Much of this study was done in the large-volume regime where geometric techniques provide reliable information. The extrapolation into the stringy regime usually requires new methods from boundary conformal field theory. Branes on group manifolds give us a good handle on this issue. Although they describe non-trivial backgrounds leading to many interesting effects, they are still tractable. They also serve as building blocks in the coset and orbifold constructions of essentially all known conformal models. The present thesis investigates the dynamics of branes on group manifolds and coset models. In some limiting regime, the dynamics are governed by non-commuta\-tive gauge theories. Many of the processes can be extrapolated to the stringy regime. They manifest themselves as renormalization group flows on the two-dimensional worldsheet theories with boundaries. Such flows are of interest also in condensed matter theory where they describe boundary phenomena in one-dimensional systems. Essential data on these dynamical processes are encoded in D-brane charges. We will compare the obtained results on processes between brane configurations with the conjecture that the charges take their values in twisted K-groups.

Zusammenfassung In den letzten Jahren haben Schwarze Löcher viel Aufmerksamkeit auf sich gezogen, insbesondere wegen ihrer ungewöhlichen quantentheoretischen Eigenschaften. Ein in diesem Zusammenhang interessantes Modell ist das geeichte SL(2,R)/U(1)-Wess-Zumino-Novikov-Witten-Modell, das im Rahmen der Stringtheorie als Euklidisches zweidimensionales Schwarzes Loch interpretiert werden kann. Die vorliegende Arbeit analysiert die klassischen Eigenschaften dieses Modells, um so die Grundlage für quantentheoretische Untersuchungen zu schaffen. Ausgangspunkt ist eine allgemeine Betrachtung über geeichte Wess-Zumino-Novikov-Witten-Modelle (WZNW-Modelle). Herkömmlicherweise werden sie mit Hilfe von Eichfeldern formuliert, deren Bewegungsgleichungen rein algebraisch sind. In der vorliegenden Arbeit werden die Eichfelder aus den Modellen eliminiert. Dabei entsteht eine Klasse von nichtlinearen integrablen konformen Feldtheorien, für deren Bewegungsgleichung eine explizite Lax-Paar-Darstellung abgeleitet wird. Diese Ergebnisse werden auf das geeichte SL(2,R)/U(1)-WZNW-Modell spezialisiert. Zum Vergleich wird auch die Eliminierung des Eichfeldes durch explizite Pfadintegration untersucht, die jedoch aufgrund mathematischer Ambiguitäten nicht zu einem abschließenden Ergebnis geführt wird. Das klassische geeichte SL(2,R)/U(1)-WZNW-Modell wird sowohl in einem unendlich ausgedehnten Minkowski-Raum als auch mit räumlich periodischen Randbedingungen untersucht. Letzteres ist für die stringtheoretische Interpretation des Modells wichtig. Es werden die nichtlinearen Bewegungsgleichungen und ihre allgemeine Lösung angegeben. Diese enthält Parameterfunktionen. Es wird ein Verfahren abgeleitet, um die Parameterfunktionen aus vorgegebenen Anfangsbedingungen zu bestimmen. Mit Hilfe dieses Verfahrens werden die Poissonklammern der Parameterfunktionen aus den kanonischen Poissonklammern der physikalischen Felder berechnet. Es wird gezeigt, daß es eine nichtlokale kanonische Transformation der nichtlinearen physikalischen Felder auf freie Felder gibt. Die entsprechende Bäcklund-Transformation wird angegeben. / Abstract In recent years, Black Holes have attracted much attention, in particular, because of their unusual quantum-theoretical properties. An interesting model, in this context, is the SL(2,R)/U(1) gauged Wess-Zumino-Novikov-Witten model, which can be interpreted stringtheoretically as Euclidean two-dimensional Black Hole. The present dissertation analyzes the classical properties of this model, in order to prepare the basis for quantum-theoretical investigations. First, gauged Wess-Zumino-Novikov-Witten (WZNW) models are intoduced in general. Usually, they are formulated including gauge fields, whose equations of motion are purely algebraic. In the present dissertation, the gauge fields are eliminated from the models. A class of non-linear integrable field theories arises, whose equations of motion can be represented by Lax pairs explicitly. These results are specialized to the SL(2,R)/U(1) gauged WZNW model. For comparison, the elimination of the gauge field by explicit path integration is also investigated. But due to mathematical ambiguities, this investigation does not lead to a final result. The classical SL(2,R)/U(1) gauged WZNW model is investigated in an infinitely extended Minkowski space-time as well as with spatially periodic boundary conditions. The latter is important for the stringtheoretical interpretation of the model. The non-linear equations of motion and their general solution are given. A procedure is derived to determine the parameter functions of the general solution from given initial conditions of the equations of motion. By means of this procedure the Poisson brackets of the parameter functions are calculated from the canonical Poisson brackets of the physical fields. It is shown that there is a non-local canonical transformation of the non-linear physical fields onto free fields. The corresponding Backlund transformation is presented.

In this work, we make a brief review of the Conformal Field Theory in two dimensions,in order to understand some basic definitions in the study of the Liouville Field Theory, which has many application in theoretical physics like string theory, general relativity and supersymmetric gauge field theories. In particular, we focus on the analytic continuation of the Liouville Field Theory, context in which an interesting relation with the Chern-Simons Theory arises as an extension of its well-known relation with the Wess-Zumino-Witten model. Thus, calculating correlation functions by using the complex solutions of the Liouville Theory will be crucial aim in this work in order to test the consistency of this analytic continuation. We will consider as an application the time-like version of the Liouville Theory, which has several applications in holographic quantum cosmology and in studying tachyon condensates. Finally, we calculate the three-point function for the Wess-Zumino-Witten model for the standard Kac-Moody level k > 2 and the particular case 0 < k < 2, the latter has an interpretation in time-dependent scenarios for string theory. Here we will find an analogue relation we find by comparing the correlation function of the time-like and space-like Liouville Field Theory. / Neste trabalho, nós fazemos uma breve revisão da Teoria de Campo Conforme em duas dimensões, a fim de entender algumas denições básicas do estudo da Teoria de Campo de Liouville, que tem muitas aplicações em física teórica como a teoria das cordas, a relatividade geral e teorias de campo de calibre supersimétricas. Em particular, vamos nos concentrar sobre a continuação analítica da Teoria de Campo de Liouville, contexto no qual uma interessante relação com a Teoria de Chern-Simons surge como uma extensão de sua relação conhecida com o modelo de Wess-Zumino-Witten. Assim, o cálculo das funções de correlação usando as soluções complexas da Teoria Liouville será o objectivo fundamental neste trabalho, a fim de testar a consistência da continuação analítica. Vamos considerar como uma aplicação a versão time-like da Teoria de Liouville, que tem várias aplicações em cosmologia quântica holográfica e no estudo de condensados de tachyon. Finalmente, calculamos a função de três pontos para o modelo de Wess-Zumino-Witten no nível de Kac-Moody k > 2 e o caso particular 0 < k < 2, este último tem uma interpretação em cenários dependentes do tempo para a teoria das cordas. Aqui nós vamos encontrar uma relação análoga ao que temos para a função de correlação do space-like e time-like na Teoria de Campo de Liouville.