Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Dans ce mémoire, nous traiterons du théorème de Lebesgue, un des plus frappants et des plus importants de l'analyse mathématique ; à savoir qu'une fonction à variation bornée est dérivable presque partout. Le but de ce travail est de fournir, à part la démonstration souvent proposée dans les cours de la théorie de la mesure, d'autres démonstrations élaborées avec des outils mathématiques plus simples. Ma contribution a consisté essentiellement à détailler et à compléter ces démonstrations, puis à inclure la plupart des figures pour une meilleure lisibilité. Nous allons maintenant, pour ce théorème qui se présente sous d'autres variantes, en proposer l'historique et trois démonstrations différentes. / In this dissertation, we will be handling a theorem of Lebesgue, one of the most stricking and ultimate of mathematical analysis ; namely a function with bounded variation has a derivative almost everywhere. The aim of our research is to provide, apart from the proof usually offered in measure theory courses, other demontrations achieved with more simple mathematical tools. My contribution was primarily to simplify and to complete these demonstrations, to include the most of the drawings in order to visualize what is being said. For this theorem, which has other presentations, we will give now the history and three different demonstrations.

On propose une méthode générale de modélisation numérique des équations aux dérivées partielles à l'aide de la méthode des éléments finis. On expose son application aux équations de la physique des milieux continus. On construit un système informatique expert mettant en œuvre ces résultats, on le teste et on l'applique à plusieurs études : phénomènes magnétiques, phénomènes thermodynamiques, équations de Navier-Stokes

Dans ce mémoire, nous traiterons du théorème de Lebesgue, un des plus frappants et des plus importants de l'analyse mathématique ; à savoir qu'une fonction à variation bornée est dérivable presque partout. Le but de ce travail est de fournir, à part la démonstration souvent proposée dans les cours de la théorie de la mesure, d'autres démonstrations élaborées avec des outils mathématiques plus simples. Ma contribution a consisté essentiellement à détailler et à compléter ces démonstrations, puis à inclure la plupart des figures pour une meilleure lisibilité. Nous allons maintenant, pour ce théorème qui se présente sous d'autres variantes, en proposer l'historique et trois démonstrations différentes. / In this dissertation, we will be handling a theorem of Lebesgue, one of the most stricking and ultimate of mathematical analysis ; namely a function with bounded variation has a derivative almost everywhere. The aim of our research is to provide, apart from the proof usually offered in measure theory courses, other demontrations achieved with more simple mathematical tools. My contribution was primarily to simplify and to complete these demonstrations, to include the most of the drawings in order to visualize what is being said. For this theorem, which has other presentations, we will give now the history and three different demonstrations.

Dans cette thèse, nous nous intéressons a la résolution de problèmes de contrôle optimal associés a des équations de diffusion et onde fractionnaires en temps et a données incomplètes, ou les dérivées sont prises au sens de Riemann-Liouville. / In this thesis, we are interested in the résolution of optimal control problems associated to fractional diffusion-wave equations in time with incomplete data, and where derivatives are understood in Riemann-Liouville sense.

Cette thèse porte sur l'optimisation de forme via la méthode des "level sets" pour deux comportements mécaniques induisant des déplacements non différentiables par rapport à la forme: le contact et la plasticité. Pour y remédier, nous utilisons des problèmes approchés issus de méthode de pénalisation et de régularisation.Dans la première partie, nous présentons quelques notions fondamentales d'optimisation de forme (chapitre 1). Puis nous exposons les résultats qui seront utiles à l'analyse des deux problèmes mécaniques considérés et nous illustrons ces résultats.La deuxième partie introduit les modèles statiques de contact (chapitre 3) et le modèle statique de plasticité (chapitre 4) que nous utilisons dans le manuscrit. Pour chacun, nous donnons les bases de la modélisation mécanique, une analyse mathématique des inéquations variationnelles associées et nous expliquons quels solveurs nous avons implémentés.La dernière partie se focalise sur l'optimisation de forme. Dans chacun des chapitres nous donnons les versions pénalisées et régularisées des modèles, prouvons, pour certains, leur convergence vers les modèles exactes, calculons leurs gradients de forme et proposons des exemples 2D et, en contact, 3D. Ainsi, dans le chapitre 5, traitons-nous du contact et considérons deux sortes de problèmes: le premier dans lequel la zone de contact est fixe, le second dans lequel la zone de contact est optimisable. Pour ce dernier, nous introduisons deux méthodes pour résoudre du contact sans discrétiser la zone de contact. Dans le chapitre 6, nous abordons le modèle de Hencky que nous approximons grâce à une pénalisation de Perzyna ainsi que grâce à un modèle de notre crue. / The main purpose of this thesis is to perform shape optimisation, in the framework of the level set method, for two mechanical behaviours inducing displacement which are not shape differentiable: contact and plasticity. To overcome this obstacle, we use approximate problems found by penalisation and regularisation.In the first part, we present some classical notions in optimal design (chapter 1). Then we give the mathematical results needed for the analysis of the two mechanical problems in consideration and illustrate these results.The second part is meant to introduce the five static contact models (chapter 3) and the static plasticity model (chapter 4) we use in the manuscript. For each chapter we provide the basis of the mechanical modeling, a mathematical analysis of the related variational inequations and, finally, explain how we implement the associated solvers.Eventually the last part, consisting of two chapters is devoted to shape optimisation. In each of them, we state the regularised versions of the models, prove, for some of them, the convergence to the exact ones, compute shape gradients and perform some numerical experiments in 2D and, for contact, in 3D. Thus, in chapter 5, we focus on contact and consider two types of optimal design problems: one with a fixed contact zone and another one with a mobile contact zone. For this last type, we introduce two ways to solve frictionless contact without meshing the contact zone. One of them is new and the other one has never been employed in this framework. In chapter 6, we deal with the Hencky model which we approximate thanks to a Perzyna penalised problem as well as a home-made one.

Cette étude porte sur le contrôle moléculaire de l'expansion cellulaire dans l'apex de la racine du peuplier. L'étude a été focalisée sur la régulation de l'expression des aquaporines TIP1s sous deux niveaux de déficit hydrique. Un cadre conceptuel, combinant analyse de la densité de transcrits à haute résolution spatiale et un formalisme de la mécanique des fluides, a été établi pour décrire la régulation de l'expression des gènes dans le temps et l'espace, le long de l'apex. Deux états de croissance contrastés ont été étudiés : un où la croissance de l'apex de la racine est rétablie (après 3 jours de stress modéré, 80 mosmol kg-1, 100 g L-1 de polyéthylène glycol PEG à 3500 g mol-1) et un où elle est réduite (après 3 jours de stress fort, 250 mosmol kg-1, 200 g L-1 de PEG). L'analyse cinématique a révélé une sensibilité différentielle de la vitesse d'allongement relatif (REGR) selon le niveau de stress et la position le long de l'apex. Au niveau moléculaire, nous montrons que lorsque la croissance est réduite, les pics de densité de transcrits des TIP1s sont plus forts et décalés dans les premiers millimètres de l'apex, zone où la croissance des cellules est maintenue. Cependant les niveaux d'induction/répression n'étaient jamais plus élevés que dans la condition témoin, soulignant qu'une forte densité de transcrits n'est pas forcément synonyme d'une forte induction de l'expression. Focalisé sur la combinaison de deux processus dynamiques, l'expansion cellulaire et l'expression des gènes, cette étude a mis en évidence que les conclusions tirées de l'analyse de ces processus sont influencées par la façon dont le temps, l'espace sont considérés / This study consideres the molecular control of cell expansion in poplar root apex. The study was focused on the regulation of the TIP1 aquaporins expression under two levels of water deficit. A conceptual framework combining transcript density analysis (quantitative PCR) at a high spatial resolution and a fluid mechanics formalism was established to describe the regulation of gene expression in time and space along the root apex. Two contrasting growth status were both studied: root growth rate is either restored (after three days of moderate stress, 80 mmol kg-1, 100 g L-1 polyethylene glycol PEG 3500 g mol-1) or root growth rate is reduced (after 3 days of high stress, 250 mosmol kg-1, 200 g L-1 PEG). Kinematic analysis revealed a differential sensitivity of the relative elemental growth rate (REGR) according to the stress level and to the coordinate along the apex. At the molecular level, we showed that growth reduction was associated with a shift of maximal densities of transcripts towards the first millimeters of the apex, where cell expansion was maintained. Meanwhile the induction/repression levels were never stronger than in the control condition underlying that a high transcript density does not mean a high transcriptional induction. Focused on the combination of two dynamic processes, cell expansion and gene expression, my thesis showed that the conclusions issued from the analyses of these processes are influenced by the way time, space and age are considered

Ce travail est consacré à la résolution e?cace de problèmes d’optimisation de forme ou de contrôle d’écoulements. Le couplage entre la pénalisation, permettant d’imposer des conditions aux bords sur maillage cartésien, et la méthode Level-Set, autorisant une représentation d’obstacles non-paramétrique et un suivi d’interface précis, est implémenté. En première partie, un problème inverse modèle, puis une optimisation géométrique en régime de Stokes, sont traités itérativement. Une attention particulière est portée à la solution des EDP près des zones pénalisées, et une montée en ordre est réalisée. Divers préconditionnements du gradient de forme sont aussi discutés a?n d’améliorer la convergence. La seconde partie est dédiée à la simulation directe d’écoulements au voisinage d’un actionneur dans le cadre d’un contrôle par jets pulsés exercé sur le corps d’Ahmed. L’étude locale montre l'in?uence de paramètres comme la fréquence de pulsation ou l’allure des pro?ls de vitesse en sortie sur la qualité de l’action. En guise de synthèse, une optimisation de la forme de l’actionneur du chapitre deux est pratiquée sous contraintes topologiques et dans un cadre simpli?é, à l’aide du couplage Level-Set/pénalisation préalablement introduit. L’objectif du problème inverse posé est de modi?er la géométrie intérieure du MEMS pour obtenir un pro?l de vitesses désiré en sortie de jet. / This work deals with e?cient numerical solving of problems linked with shape optimization or ?ow control. The combination between penalization, that allows to impose boundary conditions while avoiding the use of body-?tted grids, and Level-Set methods, which enable a natural non-parametric representation of the geometries to be optimized, is implemented. In the ?rst part, a model inverse problem, and an application pertaining to optimal design in Stokes ?ows, are treated with an iterative algorithm. Special care is devoted to the solution of the PDE’s in the vicinity of the penalized regions. The discretization accuracy is increased. Various gradient preconditionings aiming at improving the convergence are also discussed. The second part is dedicated to direct numerical simulation of ?ows in the neighborhood of an actuator, in the context of active control by pulsed jets used on the Ahmed body. The local study emphasizes the in?uence of various parameters on the action quality, in particular the pulsation frequency, or the aspect of exit velocity pro?les. As a synthesis, shape optimization is performed on the actuator of chapter two, thanks to the previously introduced coupling between Level-Set and penalization. The framework is simpli?ed and topological constraints are imposed. The inverse problem we set intends to modify the MEMS inner geometry to retrieve a given jet pro?le on the exit section.

L'étude par continuation des solutions périodiques et quasi-périodiques est appliquée à plusieurs modèles issus du violon. La continuation pour un modèle à un degré de liberté avec friction régularisée permet de montrer la préservation, par rapport à la friction de Coulomb, des bifurcations de cycle limite (une vitesse maximale et une force minimale permettant le mouvement de Helmholtz) et de propriétés globales de la branche de solution (croissance de l'amplitude avec la vitesse, décroissance de la fréquence avec la force normale). L'équilibrage harmonique est évalué sur la friction régularisée et a des propriétés de convergence intéressantes (erreur faible, monotone, à décroissance rapide). La continuation sur un modèle à deux modes donne accès aux solutions de registres supérieurs, dont la stabilité coïncide avec l'expérience. La valeur retenue pour l'inharmonicité peut modifier fortement le diagramme de bifurcation. Une nouvelle méthode de continuation des solutions quasi-périodiques est proposée. Elle associe l'EH étendu à deux pulsations avec la Méthode Asymptotique Numérique. Une attention particulière est portée à la rapidité des calculs, face à la croissance rapide de la taille des systèmes à inverser. Un modèle de friction prenant en compte la température au point de contact est reformulé à l'aide d'une dérivée fractionnaire. Nous proposons une méthode de continuation de solutions périodiques de systèmes contenant des dérivées ou intégrales fractionnaires. Nous établissons une condition suffisante pour que les cycles asymptotiques du cadre causal (Caputo) soient solutions du cadre que nous avons choisi. / The continuation of periodic and quasi-periodic solutions is performed on several models derived from the violin. The continuation for a one degree-of-freedom model with a regularized friction shows, compared with Coulomb friction, the persistence of limit cycle bifurcations (a maximum bow speed and a minimum normal force allowing Helmholtz motion) and of global properties of the solution branch (increase of amplitude with respect to the bow speed, decrease of frequency with respect to the normal force). The Harmonic Balance Method is assessed on this regularized friction system and shows interesting convergence properties (the error is low, monotone and rapidly decreasing). For two modes the continuation shows higher register solutions with a plausible stability. A stronger inharmonicity can greatly modify the bifurcation diagram. A new method is proposed for the continuation of quasi-periodic solutions. It couples a two-pulsations HBM with the Asymptotic Numerical Method. We have taken great care to deal efficiently with large systems of unknowns. A model of friction that takes into account temperature of the contact zone is reformulated with a fractional derivative. We then propose a method of continuation of periodic solutions for differential systems that contain fractional operators. Their definition is usually restricted to causal solutions, which prevents the existence of periodic solutions. Having chosen a specific definition of fractional operators to avoid this issue we establish a sufficient condition on asymptotically attractive cycles in the causal framework to be solutions of our framework.

Cette thèse est composée de deux parties indépendantes et d'une annexe. Le thème principal de la première partie tourne autour des groupes de réflexions tandis que la deuxième partie aborde la notion de catégorie stable. L'annexe s'attarde sur les conventions de signes dans les catégories de complexes. <br /><br />Dans la première partie, on considère un groupe de réflexion G agissant sur l'espace vectoriel V dans sa représentation de réflexions. On étudie alors la composante isotypique relativement à un caractère linéaire de G de l'algèbre produit tensorielle de l'algèbre symétrique du dual de V et de l'algèbre extérieure d'une représentation de dimension finie de G. On construit une structure d'algèbre sur cette composante isotypique. On montre aussi que la structure d'algèbre construite est en fait une structure d'algèbre extérieure. On termine cette partie en illustrant ces résultats pour quelques groupes de réflexions particuliers.<br /><br />La deuxième partie est consacrée à la généralisation d'un théorème de Rickard. Lorsque M est un foncteur ayant un adjoint à droite et à gauche, on définit la notion de catégorie M-stable d'une catégorie abélienne ou triangulée. La catégorie M-stable hérite d'une structure de catégorie triangulée. Dans le cas abélien, la catégorie M-stable est aussi, de façon analogue à la catégorie stable usuelle, un quotient d'une catégorie M-dérivée.