La première partie de cette thèse (articles 1 et 2) est consacrée à l'étude du comportement asymptotique des solutions de dynamiques du second ordre avec dissipation evanescente. La deuxième partie de cette thése (articles 3 à 6) est consacrée à l'étude de plusieurs algorithmes de type proximal. Nous montrons que ces algorithmes convergent vers des solutions de certains problèmes de minimisation. Dans chaque cas, une application est donnée dans le cadre de la décomposition de domaine pour les EDP.

Dans cette thèse, nous nous demandons si certaines formes présentes dans la nature résultent de l'optimisation d'un critère. Plus précisément, nous considérons un organe ou une partie du corps humain et tentons de deviner un critère que la nature aurait pu chercher à optimiser. Nous résolvons alors le problème d'optimisation de formes résultant afin de comparer la forme obtenue, théoriquement ou numériquement, avec la forme réelle de l'organe. Si ces deux formes sont proches, on pourra en déduire que le critère est convaincant. <br />Dans la première partie de cette thèse, nous considérons l'exemple d'une fibre nerveuse de type axone ou dendrite. Nous proposons deux critères pour expliquer sa forme. Le premier traduit l'atténuation dans le temps du message électrique traversant la fibre et le second l'atténuation dans l'espace de ce message. Dans notre choix de modélisation, nous distinguons deux types de fibres nerveuses : celles qui sont connectées au noyau de la cellule et celles qui sont connectées entre elles. Les problèmes correspondants se ramènent à la minimisation par rapport au domaine des valeurs propres d'un opérateur elliptique et d'une fonction de transfert faisant intervenir la trace sur le bord du domaine du potentiel électrique au sein de la fibre.<br />La seconde partie de cette thèse est dédiée à l'optimisation de la forme d'un arbre bronchique ou d'une partie de cet arbre. Nous considérons un critère de type "énergie dissipée". Dans une étude théorique, nous prouvons tout d'abord que le cylindre n'est pas une conduite optimale pour minimiser l'énergie dissipée par un fluide newtonien incompressible satisfaisant aux équations de Navier-Stokes.<br />Nous effectuons ensuite des simulations en deux et trois dimensions afin de tester numériquement si l'arbre bronchique est ou non optimal.

Cette thèse en mathématiques appliquées à la nanoélectronique aborde le problème de la simulation mathématique et numérique du transport de gaz d'électrons confinés dans certaines directions de l'espace. A l'échelle de la nanoélectronique, les phénomènes ondulatoires liés au transport des électrons ne peuvent plus être négligés et la description classique du transport électronique doit laisser place à une approche quantique. La modélisation de tels phénomènes nécessite la résolution de systèmes couplés de type Schrödinger-Poisson, coûteux numériquement. Cette thèse s'appuie donc sur le confinement fortement anisotrope des électrons dans de telles structures pour obtenir des modèles asymptotiques à dimensionnalité réduite, via une analyse asymptotique "fort confinement". La principale difficulté mathématique provient ici des oscillations rapides dues au confinement. Des méthodes telles que la moyennisation en temps long sont décrites pour y remédier. On s'intéresse dans cette approche à plusieurs situations de confinement différentes. Ainsi, on présente deux modèles asymptotiques pour la modélisation du transport d'électrons confinés sur un plan, ainsi qu'un modèle de confinement sur un plan d'un gaz d'électrons soumis à un champ magnétique fort uniforme. Enfin, on propose un modèle asymptotique mathématique ainsi que des simulations numériques dans le cas du transport d'électrons confinés dans un nanofil quantique. Celles-ci sont obtenues par des méthodes numériques basées sur l'idée de la réduction de dimensionnalité qui font appel notamment à une méthode de décomposition en sous-bandes.

Les travaux que je présente ici concernent la dernière phase de mon parcours scientifique et en particulier les six dernières années, période au cours de laquelle une grande partie de mon activité de recherche a été dédiée à l'utilisation des Equations aux Dérivées Partielles pour le filtrage et le rehaussement d'images . Plus particulièrement, en nous intéressant à la classe des images texturées (2D et 3D), nous nous plaçons au cœur des thématiques académiques du Groupe Signal mais nous traitons également une problématique qui recouvre des domaines applicatifs principaux du Groupe Signal de l'UMR IMS : l'imagerie sismique et les matériaux composites.<br /><br />La présentation est organisée en trois chapitres :<br /><br />Dans le premier chapitre, je présente des méthodes non linéaires et adaptatives qui conduisent à de faibles modifications topologiques du signal utile. L'amélioration des images est obtenue par des approches originales permettant d'accentuer de manière uniforme et indépendante les variations locales de contraste et les structures unidimensionnelles avec ou sans rehaussement de contours. Nous présenterons en particulier deux types d'approches, l'une scalaire et l'autre tensorielle. <br />Ces travaux ont été initiés lors de la thèse de Romulus Terebes. Ils ont fait l'objet de deux publications en revue et de neuf communications.<br /><br />Dans le deuxième chapitre, nous adaptons ces méthodes aux spécificités de l'imagerie sismique en rapportant à la fois les travaux développés dans le cadre des thèses de Régis Dargent et de Sorin Pop. Outre l'extension au cas 3D, la problématique abordée a conduit à développer des approches structuralistes qui prennent en compte certaines informations a priori telles que la géométrie des failles. Là encore, nous présentons deux approches : la première relève tout autant du filtrage adaptatif que de la diffusion anisotrope, la seconde étant totalement inspirée d'une approche tensorielle.<br />Les travaux développés autour de la diffusion directionnelle pour la sismique ont fait l'objet de deux publications et de quatre communications. <br /><br />Enfin, la troisième partie présente une extension originale des EDP : dans le cadre des travaux de thèse de Sorin Pop, nous proposons l'utilisation d'une formulation à base d'Equations aux Dérivées Partielles pour mener conjointement une procédure de fusion d'image et une procédure de diffusion. Cette approche permet, à partir de plusieurs sources bruitées, l'obtention d'une sortie fusionnée et lissée. Ces travaux, qui sont encore à l'heure actuelle en cours de développement concernent à la fois des applications en fusion d'images rencontrées classiquement dans la littérature mais également une application 3D très particulière et assez nouvelle : la sismique azimutale. Nous en développerons les grands principes.<br />En 2007, ces travaux ont fait l'objet d'une communication dans 3 conférences internationales, d'un article accepté ; un article est en préparation.

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Ce travail présente un développement et une analyse des approches numériques déterministes et probabilistes efficaces pour les équations aux dérivées partielles avec des coefficients et données aléatoires. On s'intéresse au problème d'écoulement stationnaire avec des données aléatoires. Une méthode de projection dans le cas unidimensionnel est présentée, permettant de calculer efficacement la moyenne de la solution. Nous utilisons la méthode de collocation anisotrope des grilles clairsemées. D'abord, un indicateur de l'erreur satisfaisant une borne supérieure de l'erreur est introduit, il permet de calculer les poids d'anisotropie de la méthode. Ensuite, nous démontrons une amélioration de l'erreur a priori de la méthode. Elle confirme l'efficacité de la méthode en comparaison avec celle de Monte Carlo et elle sera utilisée pour accélérer la méthode par l'extrapolation de Richardson. Nous présentons aussi une analyse numérique d'une méthode probabiliste pour quantifier la migration d'un contaminant dans un milieu aléatoire. Nous considérons le problème d'écoulement couplé avec l'équation d'advection-diffusion, où on s'intéresse à la moyenne de l'extension et de la dispersion du soluté. Le modèle d'écoulement est discrétisé par une méthode des éléments finis mixtes, la concentration du soluté est une densité d'une solution d'une équation différentielle stochastique, qui sera discrétisée par un schéma d'Euler. Enfin, nous présentons une formule explicite de la dispersion et des estimations de l'erreur a priori optimales.

Le premier chapitre de ce mémoire porte sur l'étude des minimum forts pour des problèmes de contrôle optimal gouvernés par des EDP semi-linéaires elliptiques et paraboliques avec contraintes intégrales sur l'état final. Le second chapitre porte sur l'étude du problème de temps minimal pour un système de type chemostat en présence de points singuliers stationnaires. On y étudie également un problème de contrôle optimal pour un système chemostat avec deux espèces en compétition et qui comporte une courbe de non-contrôlabilité. Le troisième chapitre s'intéresse à la synthèse d'un contrôle optimal par retour d'état pour un problème de temps minimal issu d'un système fed-batch, notamment en présence d'un contrôle impulsionnel. Le quatrième chapitre étudie deux problèmes de contrôle optimal sous contraintes d'état périodiques. Enfin, le dernier chapitre traite de problèmes d'optimisation de forme géométriques sous contraintes de convexité. Cette dernière est formulée comme une contrainte semi-définie, ce qui permet ensuite d'utiliser la programmation SDP pour minimiser la fonction coût.

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