En mécanique des matériaux et des structures, l'interface entre deux composants matériels ou deux éléments structuraux est traditionnellement et le plus souvent supposé parfaite. Au sens mécanique, une interface parfaite est une surface à travers laquelle le vecteur de déplacement et le vecteur de contrainte sont tous les deux continus. L'hypothèse des interfaces parfaites est inappropriée dans de nombreuses situations en mécanique. En effet, l'interface entre deux corps ou deux parties d'un corps est un endroit propice aux réactions physico-chimiques complexes et favorable à l'endommagement mécanique. L'intérêt pour les interfaces imparfaites devient depuis quelques années grandissant avec le développement des matériaux et structures nanométriques dans lesquels les interfaces et surfaces jouent un rôle prépondérant. A partir de la configuration de base où une interphase de faible épaisseur sépare deux phases, ce travail établit trois modèles d'interface imparfaite généraux qui permettent de remplacer l'interphase par une interface imparfaite dans les cas de la conduction thermique, de l'élasticité linéaire et de la piézoélectricité sans perturber les champs en questions à une erreur fixée près. La dérivation de ces modèles est basée sur le développement de Taylor et sur une approche originale de géométrie différentielle indépendante de tout système de coordonnées. Les trois modèles généraux permettent non seulement de mieux appréhender certains modèles phénoménologiques d'interface imparfaite mais aussi de décrire les effets d'interface que les modèles existants ne sont pas en mesure de prendre en compte. Les modèles d'interface imparfaite établis sont appliqués dans la détermination des propriétés effectives thermiques, élastiques et piézoélectriques d'un matériau composite constitué d'une matrice renforcée par des particules ou fibres enrobées d'une interphase. La méthode utilisée pour rendre compte des effets des interfaces imparfaites sur les propriétés effectives repose sur une condition d'équivalence énergétique qui ramène un matériau hétérogène avec interfaces imparfaites à un matériau hétérogène avec interfaces parfaites

Cette thèse porte sur deux problèmes différents d'interaction fluide-structure dans le cas tridimensionnel: dans le premier problème, on effectue une étude théorique d'un problème d'interaction entre une structure déformable et un fluide Newtonien incompressible (Chapitre 2); dans le deuxième problème, on considère un problème inverse géométrique associé à un système fluide-corps rigide (Chapitre 3). Pour le premier problème nous démontrons un résultat d'existence et d'unicité des solutions fortes, en utilisant, pour la structure élastique, une approximation des équations de l'élasticité linéaire par un système de dimension finie. Dans le deuxième problème, nous démontrons le caractère bien-posé du système associé et nous montrons un résultat d'identifiabilité: la forme d'un corps convexe et sa position initiale sont identifiées par la mesure, en un temps positif, du tenseur de Cauchy du fluide sur une partie ouverte de la frontière extérieure. De plus, un résultat de stabilité pour ce problème est abordé. / This thesis deals with two different fluid-structure interaction problems in the three dimensional case: in the first problem, we make a theoretical analysis of a problem of interaction between a deformable structure and an incompressible Newtonian fluid (Chapter 2); in the second problem, we consider a geometrical inverse problem associated to a fluid-rigid body system (Chapter 3). For the first problem, we prove a result of existence and uniqueness of strong solutions by using, for the elastic structure, an approximation of the equations of linear elasticity by a finite-dimensional system. In the second problem, we prove the well-posedness of the corresponding system and we show an identifiability result: the form of a convex body and its initial position are identified by the measurement, at a positive time, of the Cauchy force of the fluid on an open part of the exterior boundary. Moreover, a stability result for this system is tackled.

En mécanique des matériaux et des structures, l’interface entre deux composants matériels ou deux éléments structuraux est traditionnellement et le plus souvent supposé parfaite. Au sens mécanique, une interface parfaite est une surface à travers laquelle le vecteur de déplacement et le vecteur de contrainte sont tous les deux continus. L’hypothèse des interfaces parfaites est inappropriée dans de nombreuses situations en mécanique. En effet, l’interface entre deux corps ou deux parties d’un corps est un endroit propice aux réactions physico-chimiques complexes et favorable à l’endommagement mécanique. L’intérêt pour les interfaces imparfaites devient depuis quelques années grandissant avec le développement des matériaux et structures nanométriques dans lesquels les interfaces et surfaces jouent un rôle prépondérant. A partir de la configuration de base où une interphase de faible épaisseur sépare deux phases, ce travail établit trois modèles d’interface imparfaite généraux qui permettent de remplacer l’interphase par une interface imparfaite dans les cas de la conduction thermique, de l’élasticité linéaire et de la piézoélectricité sans perturber les champs en questions à une erreur fixée près. La dérivation de ces modèles est basée sur le développement de Taylor et sur une approche originale de géométrie différentielle indépendante de tout système de coordonnées. Les trois modèles généraux permettent non seulement de mieux appréhender certains modèles phénoménologiques d’interface imparfaite mais aussi de décrire les effets d’interface que les modèles existants ne sont pas en mesure de prendre en compte. Les modèles d’interface imparfaite établis sont appliqués dans la détermination des propriétés effectives thermiques, élastiques et piézoélectriques d’un matériau composite constitué d’une matrice renforcée par des particules ou fibres enrobées d’une interphase. La méthode utilisée pour rendre compte des effets des interfaces imparfaites sur les propriétés effectives repose sur une condition d’équivalence énergétique qui ramène un matériau hétérogène avec interfaces imparfaites à un matériau hétérogène avec interfaces parfaites / In mechanics of materials and structures, the interface between two material components or two structural elements is traditionally and the most often assumed to be perfect. In mechanics, a perfect interface is a surface through which the displacement and stress vectors are continuous. The assumption of the perfect interfaces is inappropriate in many situations in mechanics. Indeed, the interface between two bodies or two parts of a body is a place propitious to complex physicochemical reactions and vulnerable to mechanical damage. The interest in imperfect interfaces has become for a few years growing with the development of nanometric materials and structures in which the interfaces and surfaces play a preponderant role. Starting from the basic configuration where an interphase of thin thickness separates two phases, this work establishes three general models of imperfect interface which make it possible to replace the interphase by an imperfect interface in the cases of thermal conduction, linear elasticity and piezoelectricity without disturbing the fields in questions to within a fixed error. The derivation of these models is based on the development of Taylor and an original coordinate-free approach of differential geometry. The three general models make it possible not only to get a better understanding of certain phenomenological models of imperfect interface but also to describe the effects of interface which the existing models are not able to take into account. The established models of imperfect interface are applied to determining the thermal, elastic and piezoelectric effective properties of composite materials consisting of a matrix reinforced by particles or fibers coated with an interphase. The method used to account for the effects of imperfect interfaces on the effective properties rests on an energy equivalency which brings back a heterogeneous material with imperfect interfaces to a heterogeneous material with perfect interfaces

Différentes applications de l'élasticité linéaire en géologie structurale sont présentées dans cette thèse à travers le développement de trois types de codes numériques. Le premier utilise la modélisation directe pour étudier les déplacements et champs de contraintes autour de zones faillées complexes. On montre que l'ajout de contraintes inégalitaires, telles que la friction de Coulomb, permet d'expliquer l'angle d'initiation des dominos dans les relais extensifs. L'ajout de matériaux hétérogènes et d'optimisations, telles la parallélisation sur processeurs multi-coeurs ainsi que la réduction de complexité des modèles, permettent l'étude de modèles beaucoup plus complexes. Le second type de code numérique utilise la modélisation inverse, aussi appelée estimation de paramètres. L'inversion linéaire de déplacements sur les failles ainsi que la détermination de paléo-contraintes utilisant une approche géomécanique sont développées. Le dernier type de code numérique concerne la restoration de structures complexes plissées et faillées. Il est notamment montré qu'une telle méthode permet de vérifier l'équilibre de coupes géologiques, ainsi que de retrouver la chronologie des failles. Finalement, nous montrons que ce même code permet de lisser des horizons 3D faillés, plissés et bruités en utilisant la géomécanique. / Different applications of linear elasticity in structural geology are presented in this thesis through the development of three types of numerical computer codes. The first one uses forward modeling to study displacement and perturbed stress fields around complexly faulted regions. We show that incorporating inequality constraints, such as static Coulomb friction, enables one to explain the angle of initiation of jogs in extensional relays. Adding heterogeneous material properties and optimizations, such as parallelization on multicore architectures and complexity reduction, admits more complex models. The second type deals with inverse modeling, also called parameter estimation. Linear slip inversion on faults with complex geometry, as well as paleo-stress inversion using a geomechanical approach, are developed. The last type of numerical computer code is dedicated to restoration of complexly folded and faulted structures. It is shown that this technique enables one to check balanced cross-sections, and also to retrieve fault chronology. Finally, we show that this code allows one to smooth noisy 3D interpreted faulted and folded horizons using geomechanics.

Plusieurs lois de comportement mécaniques possèdent une formulation tensorielle, comme c'est le cas pour l'élasticité où intervient un espace de tenseurs d'ordre 4, noté Ela. La classification des matériaux élastiques passent par la nécessité de décrire l'espace des orbites ELA/SO(3). Plus généralement, on étudie la géométrie d'un espace de tenseurs sur $mathbb{R}^{3}$, via l'action du groupe O(3). Cette géométrie est caractérisée par ses classes d'isotropies, ou encore classes de symétries. Tout espace de tenseurs possède en effet un nombre fini de classes d'isotropies. Nous proposons alors une méthode originale et générale pour obtenir ces classes d'istropie. Nous avons ainsi pu obtenir pour la première fois les classes d'isotropie d'un espace de tenseurs d'ordre 8 intervenant en théorie de l'élasticité linéaire du second-gradient de la déformation.Pour une représentation réelle d'un groupe compact, l'algèbre des polynômes invariants sépare les orbites, d'où la recherche d'une famille génératrice minimale de cette algèbre. Pour cela, on exploitant le lien entre les espaces de tenseurs et les espaces de formes binaires. Nous avons ainsi repris et ré-interprété les approches effectives de cette théorie, développées par Gordan au 19ième siècle. Cette ré-interprétation nous a permis d'obtenir de nombreux résultats, dont une famille génératrice minimale d'invariants pour l'élasticité mais aussi pour la piézoélectricté. Nous avons pu retrouver d'une façon simple les séries de Gordan, ainsi que des relations plus récentes d'Abdesselam--Chipalkatti sur les transvectants de formes binaires. / Tensorial formulation of mechanical constitutive equations is a very important matter in continuum mechanics. For instance, the space of elastic tensors is a subspace of 4th order tensors with a natural SO(3) group action. More generaly, we have to study the geometry of a tensor space defined on $mathbb{R}^{3}$, under O(3) group action.To describe such a geometry, we first have to exhibit its isotropy classes, also named symetry classes. Indeed, each tensor space possesses a finite number of isotropy classes. In this present work, we propose an original method to obtain isotropy classes of a given tensor space. As an illustration of this new method, we get for the first time the isotropy classes of a 8th order tensor space occuring in second strain-gradient elasticity theory. In the case of a real representation of a compact group, invariant algebra seperates the orbits. This observation motivates the purpose to find a finite generating set of polynomial invariants. For that purpose, we make use of the link between tensor spaces and spaces of binary forms, which belongs to the classical invariant theory. We thus have to deal with SL(2,$mathbb{C}$) group action. To obtain new results, we have reformulated and reinterpreted effective approaches of Gordan's algorithm, developped during XIXth century. We then obtain for the first time a minimal generating family of elasticity tensor space, and a generating family of piezoelectricity tensor space. Using linear algebra arguments, we were also able to get important relations of classical invariant theory, such as the Gordan's series and the Abdesselam--Chipalkatti's quadratic relations on transvectants.

Quelles sont les déformations et les contraintes que subissent une structure gonflée précontrainte lorsqu'elle est soumise à des perturbations de son environnement extérieur? Cette thèse répond à cette interrogation dans le cas d'un lobe formé de deux membranes orthotropes, fixées sur leurs longueurs à deux axes rigides, successivement rectilignes puis légèrement arrondis, et sur leurs largeurs à des arcs de cercle également rigides. L'intérieur est gonflé par un gaz supposé parfait.<br /> A partir d'une modélisation mécanique en élasticité linéaire, nous avons établi un modèle mathématique rigoureux en 3D. Puis en faisant tendre l'épaisseur des membranes vers zéro, nous avons obtenu un modèle asymptotique 2D, bien posé pour certaines forces, dites admissibles, dans des espaces obtenus par complétion. Nous avons alors démontré que la suite des valeurs moyennes dans l'épaisseur des solutions des problèmes 3D converge fortement vers l'unique solution du problème asymptotique. Nous avons de plus mis en évidence des conditions suffisantes d'admissibilité des forces extérieures.<br /> L'analyse numérique du modèle asymptotique a montré que les estimations d'erreur a priori se font dans la norme de l'énergie. Ce qui, comme l'ont confirmé quelques essais numériques, ne va pas sans poser de problèmes quand on s'intéresse aux déplacements, mais est tout à fait satisfaisant du point de vue des contraintes.

Les travaux effectués au cours de cette thèse portent principalement sur la construction de nouvelles bornes du comportement effectif des matériaux biphasés de type matrice-inclusions à comportement linéaire élastique. Dans un premier temps, afin d'encadrer le comportement effectif, nous présentons une nouvelle approche numérique, inspirée des travaux de Huet (J. Mech. Phys. Solids 1990 ; 38:813-41), qui repose sur le calcul des comportements apparents associés à des volumes élémentaires (VE) non-carrés construits à partir d'assemblages de cellules de Voronoï, chaque cellule contenant une inclusion entourée de matrice. De tels VE non-carrés permettent d'éviter l'application directe des CL sur les inclusions à l'origine d'une surestimation artificielle des comportements apparents. En utilisant les théorèmes énergétiques de l'élasticité linéaire et des procédures de moyennisation appropriées portant sur les comportements apparents, un nouvel encadrement du comportement effectif est obtenu. Son application au cas d'un composite biphasé, constitué d'une matrice isotrope et de fibres cylindriques parallèles et identiques distribuées aléatoirement dans le plan transverse, conduit à des bornes plus resserrées que celles obtenues par Huet. En nous appuyant sur cette nouvelle procédure numérique, nous avons ensuite réalisé une étude statistique des comportements apparents à l'aide de simulations de type Monté Carlo. Puis, à partir des tendances issues de cette étude statistique, nous avons proposé et mis en œuvre de nouveaux critères de tailles de VER.

Cette thèse est consacrée à la dérivation des modèles de fracture comme limite de modèles d'endommagement.L'étude est justifiée essentiellement à travers des simulations numériques.On s'intéresse à étudier un modèle d'endommagement initié par Allaire, Jouve et Vangoethem.Nous apportons des améliorations significatives à ce modèle justifiant la cohérence physique de cette approche.D'abord, on ajoute une contrainte sur l'épaisseur minimale de la zone endommagée, puis on ajoute la condition d'irréversibilité forte.Nous considérons en outre un modèle de fracture avec pénalisation de saut obtenu comme limite asymptotique d'un modèle d'endommagement.Nous justifions ce modèle par une étude numérique et asymptotique formelle unidimensionnelle.Ensuite, la généralisation dans le cas 2D est illustrée par des exemples numériques. / This thesis is devoted to the derivation of fracture models as limit damage models.The study is justified mainly through numerical simulations.We are interested in studying a damage model initiated by Allaire, Jouve and Vangoethem.We are making significant improvements to this model justifying the physical consistency of the approach.First, we add a constraint on the minimum thickness of the damaged area and then we add a condition of strong irreversibility.We see also a fracture model with jump penalization obtained as an asymptotic limit of a damage model.We justify this model by a one-dimensional formal asymptotic numerical study.Then, the generalization in the case 2D is illustrated by numerical examples.

Les travaux effectués au cours de cette thèse portent principalement sur la construction de nouvelles bornes du comportement effectif des matériaux biphasés de type matrice-inclusions à comportement linéaire élastique. Dans un premier temps, afin d’encadrer le comportement effectif, nous présentons une nouvelle approche numérique, inspirée des travaux de Huet (J. Mech. Phys. Solids 1990 ; 38:813-41), qui repose sur le calcul des comportements apparents associés à des volumes élémentaires (VE) non-carrés construits à partir d'assemblages de cellules de Voronoï, chaque cellule contenant une inclusion entourée de matrice. De tels VE non-carrés permettent d'éviter l'application directe des CL sur les inclusions à l’origine d’une surestimation artificielle des comportements apparents. En utilisant les théorèmes énergétiques de l'élasticité linéaire et des procédures de moyennisation appropriées portant sur les comportements apparents, un nouvel encadrement du comportement effectif est obtenu. Son application au cas d'un composite biphasé, constitué d'une matrice isotrope et de fibres cylindriques parallèles et identiques distribuées aléatoirement dans le plan transverse, conduit à des bornes plus resserrées que celles obtenues par Huet. En nous appuyant sur cette nouvelle procédure numérique, nous avons ensuite réalisé une étude statistique des comportements apparents à l'aide de simulations de type Monté Carlo. Puis, à partir des tendances issues de cette étude statistique, nous avons proposé et mis en œuvre de nouveaux critères de tailles de VER. / This work is devoted to the derivation of improved bounds for the effective behavior of random linear elastic matrix-inclusions composites. In order to bounds their effective behavior, we present a new numerical approach, inspired by the works of Huet (J. Mech. Phys. Solids 1990 ; 38:813-41), which relies on the computation of the apparent behaviors associated to non square (or non cubic) volume elements (VEs) comprised of Voronoï cells assemblages, each cell being composed of a single inclusion surrounded by the matrix. Such non-square VEs forbid any direct application of boundary conditions to particles which is responsible for the artificial overestimation of the apparent behaviors observed for square VEs. By making used of the classical bounding theorems for linear elasticity and appropriate averaging procedures, new bounds are derived from ensemble averages of the apparent behavior associated with non square VEs. Their application to a two-phase composite composed of an isotropic matrix and aligned identical fibers randomly and isotropically distributed in the transverse plane leads to sharper bounds than those obtained by Huet. Then, by making use of this new numerical approach, a statistical study of the apparent behavior is carried out by means of Monte Carlo simulations. Subsequently, relying on the trends derived from this study, some proposals to define RVE criteria are presented.

Ce travail de thèse a concerné la modélisation mathématique et l’approximation numérique de l’influence d‘une inclusion très fine sur un substrat élastique de différente rigidité. L’étude est motivée par les applications dans les pneumatiques et ne se base pas sur des techniques d’homogénéisation classiques. En effet, l’objectif a été de traiter l’interaction entre une seule inclusion et son milieu élastique et non une densité d’inclusions. L’étude a comporté trois volets, le premier concernant une modélisation mathématique pour des lois de comportement linéaires aboutissant à une expression de la contribution de l’inclusion sous la forme du champ sans inclusion corrigé par des correcteurs à différents ordres. Ces correcteurs sont indépendants de la taille caractéristique de l’inclusion, Le second a concerné l’approximation numérique de cette influence moyennant la méthode des éléments finis et celle des éléments finis inversés. Une stratégie numérique de prise en compte de l’influence de plusieurs inclusions y est aussi présentée. Le dernier volet est prospectif et discute de la possibilité de l’extension de l’approche pour des lois de comportement non linéaires. / This work focused on mathematical modeling and numerical approximation of the influence of a very thin inclusion on an elastic substrate of different stiffness. The study is motivated by applications in tires and is not based on conventional homogenization techniques. Indeed, the objective was to treat the interaction between a single inclusion and its elastic medium and not a density of inclusions. The study consisted of three parts, the first concerning mathematical modeling for linear behavior laws leading to an expression of the contribution of the inclusion in the form of the inclusion-free field corrected by correctors at different orders. These correctors are independent of the characteristic size of the inclusion. The second relates to the numerical approximation of this influence by means of the finite element method and that of the inverted finite elements. A numerical strategy for taking into account the influence of several inclusions is also presented. The last part is prospective and discusses the possibility of extending the approach for nonlinear behavioral laws.