Orientador: Marcelo de Carvalho Borba / Coorientador: João Frederico da Costa Azevedo Meyer / Banca: Nilson José Machado / Banca: Edna Maura Zuffi / Banca: Antonio Vicente Marafioti Garnica / Resumo: Esta pesquisa tem por objetivo analisar as possibilidades de ensino e aprendizagem de introdução às equações diferenciais ordinárias a partir da abordagem qualitativa de alguns modelos matemáticos auxiliada pelas tecnologias de informação e comunicação. Três duplas e um trio de estudantes de Matemática participaram voluntariamente do estudo. Foi realizado um curso de extensão intitulado "Modelagem e Métodos Computacionais em Equações Diferenciais Ordinárias", onde esses alunos foram levados a investigar os modelos de objeto em queda, de crescimento populacional de Malthus, de crescimento populacional de Verhulst e da lei de resfriamento, utilizando a planilha eletrônica Excel e os softwares Winplot e Maple. Os dados foram coletados através dos registros elaborados pelo software Camtasia, em cada computador utilizado pelos alunos, no decorrer das aulas deste curso. Após a análise geral dos videoclipes gerados, foram selecionados alguns episódios que oferecem possíveis caminhos para responder a pergunta de pesquisa. Da análise desses episódios emergem os temas: processo de visualização em atividades investigativas auxiliadas pelas mídias informáticas, abordagens algébrica e geométrica com as mídias informáticas e o conhecimento como rede de significados. A interação entre os alunos e as mídias utilizadas, em particular os softwares utilizados, propiciou novas possibilidades para a abordagem qualitativa dos modelos estudados, levando assim a sugerir a necessidade de repensar o ensino das equações diferenciais ordinárias enfatizando o aspecto geométrico de modelos matemáticos além do aspecto algébrico / Abstract: This research has the goal of analyzing the possibilities of teaching and learning of introduction to the ordinary differential equations from the qualitative approach of some mathematical models assisted by communication and information technologies. Three couples and one trio of mathematics students took part, as volunteers, of this study. An extension class was realized with the title "Modeling and Computation methods in Ordinary Differential Equations" where those students were leaded to investigate the models of a falling object, populational growing of Malthus, populational growing of Verhulst and the cooling law using the electronic sheet Excel and the softwares Winplot and Maple. The data were collected using registers made by the software Camtasia in each computer used by the student, during the classes. After that, a general analysis from the data, basically using the video clips generated from some episodes were selected, that offer possible ways to answer the question of this research. From the analysis of those episodes comes up the topics: process of visualization in investigation activities assisted by the informatics medias, algebraic and visual approaches with the informatics medias and knowledge as network of meanings. The interaction between the students and the used medias, in particular the softwares used, gave us new possibilities for the qualitative approach of methods studied, leading us to suggest the necessity of rethinking the teaching of Ordinary Differential Equations emphasizing the geometric aspect of mathematical models beyond the algebraic aspect / Doutor

O trabalho consiste em duas partes distintas. Na primeira, analisamos o comportamento assintótico de um modelo geral de equação de advecção-difusão não linear utilizando um novo método que combina estimativas de energia com uma análise apurada das oscilações da solução do problema. Na segunda, temos um resultado que responde a uma pergunta da teoria de Análise Harmônica Multilinear: dada uma família de operadores integrais multilineares podemos gerar medidas de Carleson a partir da ação desses operadores sobre funções em BM O? A resposta em geral é negativa, mas impondo uma condição de cancelamento suficientemente forte o resultado é verdadeiro. Como uma aplicação desse resultado provamos um teorema T (b) quadrático associado a operadores integrais multilineares com núcleo não convolutivo. / This work is concerned with two different results. The first one consists in analyzing the long time behavior of a general model of nonlinear advection difusion equation by a novel method that combines energy estimates with a careful analysis of the oscillation of the solution. The second one answers a question on multilinear Harmonic Analysis: given a family of multilinear integral operators, is it possible to generate Carleson measures from these operators when they are acting on BM O functions? We have found that, in general, the answer is no, but when a strong cancellation condition is verified the answer is yes. As an application of this result we have a quadratic T (b) theorem for square functions associated to multilinear integral operators of non-convolution type.

Muitos sistemas na natureza e na indústria são conhecidos por apresentarem comportamento oscilatório, como os sistemas biológicos do tipo predador-presa, biotecnológicos de fermentação e as golfadas na indústria de petróleo. Para fins de estudo de características de tais sistemas, como dinâmica, estabilidade e robustez, modelos matemáticos são formulados. Os parâmetros dos modelos são frequentemente arbitrariamente escolhidos, ou baseados em algum conhecimento prévio do sistema real com intuito de representar qualitativamente um comportamento desejado. No entanto, esta prática pode acarretar conclusões errôneas sobre a análise do sistema. Portanto, o objetivo deste trabalho é estudar o problema da estimação de parâmetros em sistemas oscilatórios, que apresentam especificamente ciclo limite. Em sistemas não oscilatórios, os sinais de saída possuem apenas a característica da forma do sinal, ou trajetória, enquanto que o sinal de saída de um sistema oscilatório possui, além de uma trajetória, a característica da periodicidade. A periodicidade faz com que o sistema repita seus valores em períodos regulares de tempo e também resulta no crescimento ilimitado dos índices de sensibilidade do sistema com o tempo (Lu & Yue, 2012). Devido a este fato, a aplicação direta de métodos tradicionais de análise de sensibilidade baseados em derivada não é viável neste tipo de sistema Neste trabalho, os efeitos da trajetória e da periodicidade foram desacoplados em três métricas que capturam características necessárias do ciclo limite: período, número de oscilações e somatório dos pontos médios de subida e descida dos ciclos. Através destas métricas, uma função objetivo é proposta para a estimação de parâmetros de modelos com ciclo limite. Além disso, as métricas viabilizam a análise de sensibilidade destes sistemas. Visando a obtenção de um modelo matemático para estuda do efeito da golfada em sistemas de produção de petróleo offshore, o estudo de caso principal deste trabalho é o modelo FOWM (Diehl et al., 2017). Os modelos de Lotka-Volterra e de Jöbses et al. (1986) também foram estudados para abordar mais ampla as métricas propostas e reforçar seu desempenho e aplicabilidade a outros sistemas com ciclo limite. A função objetivo proposta foi comparada com o método dos mínimos quadrados e com resultados presentes na literatura, para o modelo FOWM, através do teste de Fischer. Os resultados mostram a viabilidade da análise de sensibilidade com as métricas propostas e o desempenho superior da estimação de parâmetros utilizando a função objetivo proposta. / Many systems in industry and in nature are known to exhibit oscillatory behavior, such as the predator-prey in biological system, fermentation in biotechnological system and the slugs in oil industry. For purposes of studying the characteristics of such systems, such as dynamics, stability and robustness, mathematical models are formulated. The model parameters are often arbitrarily chosen, or based on some prior knowledge of the real system, in order to qualitatively represent a desired behavior. However, this practice may lead to erroneous conclusions about the system analysis. Therefore, the objective of this work is to study the problem of parameter estimation in oscillatory systems, which present limit cycle. In non-oscillatory systems, the output signals have only the characteristic of the shape of the signal, or trajectory, whereas the output signal of an oscillatory system has, in addition to a trajectory, the characteristic of periodicity. Periodicity means that the system repeats its values over regular periods of time, and also results in the unlimited growth of system sensitivity indices over time (Lu & Yue, 2012). Due to this fact, the direct application of traditional methods based on derivative is not feasible in this type of system In this work, the effects of trajectory and periodicity were decoupled in three metrics that capture the necessary characteristics of the limit cycle: period, number of oscillations and sum of the average points of rise and fall of the cycles. Through these metrics, an objective function is proposed for the estimation of parameters of models with limit cycle. In addition, the metrics enable the sensitivity analysis of these systems. Aiming the identification of a model to describe the slug effect on the offshore oil production system, the main case study of this work is the FOWM model (Diehl et al., 2017). The models of Lotka-Volterra and Jöbses et al. (1986) have also been studied to enable a broader approach to the proposed metrics and to reinforce their performance and applicability to other systems with limit cycle. The proposed objective function was compared with the least squares method and with results in the literature, for the FOWM model, through the Fischer test. The results show the feasibility of the sensitivity analysis with the proposed metrics and the superior performance of the parameter estimation using the proposed objective function.

Neste trabalho analisamos a Equação de Lienard. Posteriormente, apresentamos um estudo completo do retrato de fase da Equação de Van der Pol, mostrando que ela possui uma solução periódica e que toda solução não periódica tende para ela. Ao fim do trabalho apresentamos uma prova para sistemas de equações diferenciais mais gerais do que a de Lienard. / In this work we analysed the Lienard Equations. Later, we did a complete study of the phase portrait of the Van der Pol Equation, proving that it has a periodic solution and that every non periodic solution tends to this periodic solution. At the final of this \vork, we presented a proof to more general systems of differencial equations than Lienard.

Neste trabalho desenvolveu-se um modelo matemático para o escoamento reativo em meios porosos. O modelo foi verificado em duas situações problemas: escoamento com precipitação e/ou dissolução de minerais, onde a calcita é o principal mineral; e combustão em meio poroso. O modelo baseia-se em um conjunto de equações diferenciais não lineares constituído da equação da quantidade de movimento, equação da temperatura, equações das concentrações das espécies (minerais) e equações de frações de massa das espécies (combustão). O conjunto foi!! discretizado pelo método de diferenças finitas centrais com TVD (Total Variation Diminishing) para o caso da combustão. O sistema foi resolvido através dos métodos de Gauss-Seidel e de Runge-Kutta simplificado. Os testes realizados em ambos os casos mostraram-se satisfatórios quando comparados com dados da literatura. / This work develops a mathematical model for reactive flow in porous media. The model is verified in two problem situations: flow with precipitation and/or dissolution of minerals, where calcite is the principal mineral, and combustion in porous media. The model is based on a set of nonlinear diferential equations consisting of the quantity of momentum equation, temperature equation, equations of species concentrations (minerals) and equations of mass fractions of species (combustion) equation. The set is discretized by the central finite diference method with TVD (Total Variation Diminishing ) in the event of combustion. The system is solved by the Gauss-Seidel and the simplified Runge-Kutta. The tests performed in both cases were satisfactory when compared to data found in the literature.

Neste trabalho estamos interessados em estudar o conjunto das geodésicas que minimizam comprimento de arco entre dois pontos quaisquer. Estas são chamadas de geodésicas minimais. Mais precisamente, dada uma métrica riemanniana g sobre o wro bidimensional iremos considerar o seu levantamento ao plano JR2 . Uma geodésica c : R -7 JR2 é minimal se para todo intervalo [a, b], temos que c([a, b]) é a curva de menor comprimento ligando c(a) a c(b). Vamos considerar aqui um número de rotação a fixado e analisar o conjunto das geodésicas minimais que possuem este número de rotação. Analisaremos questões que envolvem a recorrência e o comportamento assintótico de geodésicas. Por exemplo, uma geodésica mínima recorrente com número de rotação racional será uma geodésica periódica. / In this work we are interested in studying the set of geodesiés that minimize the are length between any h,·o of its points. These are called minimizing geodesics. Wore precisely, given a riemaniann metric g on the two-dimensional torus we will consider its lifting to the plane R2 . A geodesic c: R -7 JR2 is minimal if for any interval [a, b], we have that c([ a, b]) is the curve of smaller Jength connecting c(a) and c(b). we will consider here a fixed rot.ation number a and we will show several results about the set of minimal geodesics with such rotation number. We will analyze questions like recurrence and the asymptotic beha,·ior of such geodesics. For example: a recurrent minimal geodesic with rational rotation number will be a closed geodesic.

Neste trabalho, vamos apresentar uma prova elementar de um resultado obtido originalmente por M. Wiegner em 1986 sobre o decaimento na norma L2 de soluções das equações de Navier-Stokes incompressíveis em dimensão 2 ou 3, desenvolvendo em detalhe uma derivação alternativa proposta por T. Hagstrom, H. Kreiss, J. Lorenz e P. Zingano recentemente em 2002. / In this work, we will present an elementary derivation of an important result originally obtained by M. Wiegner in 1986 concerning the L2 decay of solutions to the incompressible Navier-Stokes equations in space dimension 2 or 3. Here, we give a detailed derivation of an alternative approach recently developed by T. Hagstrom, H. Kreiss, J. Lorenz and P. Zingano in 2002.

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2014. / Submitted by Ana Cristina Barbosa da Silva (annabds@hotmail.com) on 2015-01-15T16:32:09Z No. of bitstreams: 1 2014_BrunoNunesdeSouza.pdf: 530349 bytes, checksum: 0986b83bdbf84f05d9d4e44f2f44b943 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2015-02-23T19:57:45Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_BrunoNunesdeSouza.pdf: 530349 bytes, checksum: 0986b83bdbf84f05d9d4e44f2f44b943 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-02-23T19:57:45Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_BrunoNunesdeSouza.pdf: 530349 bytes, checksum: 0986b83bdbf84f05d9d4e44f2f44b943 (MD5) / Neste trabalho, estudaremos a existência de soluções para equações do tipo –div(p(x)∇u=b(x) |u|^(-q-2)+c(x) |u|^(-r-2) u,x ϵ Ω, em pesos p, b e c satisfazem hipóteses que nos permitirão tratar o problema variacionalmente. Consideramos o problema acima para 1<q<2* e tratamos, especialmente, variações para quando r=2^* é o expoente crítico de Sobolev. A principal ferramenta utilizada será o Teorema do Passo da Montanha e suas versões. _________________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this work, we will study the existence of solutions for the equation -–div(p(x)∇u=b(x) |u|^(-q-2)+c(x) |u|^(-r-2) u,x ϵ Ω, with the weights p, b and c verifying some hypothesis which produce a variational structure for the prolem. We considered the equation for 1<q<2* and deal specially with the critical case r = 2^*. We use the Mountain Pass Theorem as well as some of your variants.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2007. / Submitted by Érika Rayanne Carvalho (carvalho.erika@ymail.com) on 2010-09-09T17:34:55Z No. of bitstreams: 1 2007_GislianeAlvesPereira.pdf: 646708 bytes, checksum: 5e3545c5a38f7d3ebf81fdab5d01ff95 (MD5) / Approved for entry into archive by Carolina Campos(carolinacamposmaia@gmail.com) on 2010-09-28T13:30:00Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2007_GislianeAlvesPereira.pdf: 646708 bytes, checksum: 5e3545c5a38f7d3ebf81fdab5d01ff95 (MD5) / Made available in DSpace on 2010-09-28T13:30:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2007_GislianeAlvesPereira.pdf: 646708 bytes, checksum: 5e3545c5a38f7d3ebf81fdab5d01ff95 (MD5) Previous issue date: 2007-07-26 / Neste trabalho examinamos a existência e a multiplicidade de soluções radiais do problema de Dirichlet. Usando o método de "Shooting" mostramos que esse problema tem infinitas soluções, cada uma com um número específico de zeros interiores em [0, 1]. _____________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this work we examine the existence and the multiplicity of radial solutions of the Dirichlet problem. Using the Shooting method we show that this problem has an infinite number of radial solutions, each one with a specific number of interior zeros in [0, 1].

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2007. / Texto parcialmente liberado pelo autor. / Submitted by Mariana Fonseca Xavier Nunes (nanarteira@hotmail.com) on 2010-09-18T03:39:15Z No. of bitstreams: 1 2007-Rangel Pinheiro da Silva.pdf: 71203 bytes, checksum: efc90e9bb15c093917c064d9c384220c (MD5) / Approved for entry into archive by Carolina Campos(carolinacamposmaia@gmail.com) on 2010-09-29T16:07:48Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2007-Rangel Pinheiro da Silva.pdf: 71203 bytes, checksum: efc90e9bb15c093917c064d9c384220c (MD5) / Made available in DSpace on 2010-09-29T16:07:48Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2007-Rangel Pinheiro da Silva.pdf: 71203 bytes, checksum: efc90e9bb15c093917c064d9c384220c (MD5) Previous issue date: 2007-04 / Esta dissertação apresenta soluções explícitas para o problema termoelástico linear e isotrópico com base no método clássico de simetrias criado pelo matemática Sophus Lie. Para o cálculo destas soluções, apresentamos os geradores infinitesimais de simetrias que geram a álgebra associada ao sistema de equações diferenciais que representa o problema já citado. As soluções assim construídas são invariantes sob subálgebras de dimensão três. ______________________________________________________________________________ ABSTRACT / We present explicit solutions for the linear and isotropic thermoelastic problem on the basis of the classical method of symmetries created by the mathematician Sophus Lie. In order to compute these solutions, we present the infnitesimal generators of symmetries that generate the algebra associated to the system of diferential equations under study. The constructed solutions are thus invariants under subalgebras of dimension three.