The purpose of the thesis is to study completeness of abstract spaces. In particular, we study completeness in partial metric spaces, partial metric type spaces, dislocated metric spaces, dislocated metric type spaces and symmetric spaces that are generalizations of metric spaces. It is well known that complete metric spaces have a wide range of applications. For instance, the classical Banach contraction principle is phrased in the context of complete metric spaces. Analogously, the Banach's xed point theorem and xed point results for Lipschitzian maps are discussed in this context, namely in, partial metric spaces and metric type spaces. Finally, xed point results are presented for symmetric spaces. / Geography / Ph. D. (Mathematics)

在這篇論文中，我們討論的是一階非線性衝擊動態方程的週期邊界值問題。利用Schaefer定理及Banach固定點定理，我們得到一些解的存在性結果。 / In this thesis, we are concernd with nonlinear first-order periodic boundary value problems of impulsive dynamic equations on time scales. By using Schaefer’s theorem and Banach’s fixed point theorem we acquire some new existence results.

L'objectif principal de cette thèse est la caractérisation des dynamiques hautes fréquance en milieu côtier et en particulier leurs extrêmes, par l'intermédiaire de l'étude de série temporelle biogéochimiques à long terme enregistrées par des systèmes automatisés. Les bases de données hautes fréquences utilisées dans cette étude proviennent majoritairement du programme MAREL, qui a été mise en oeuvre par l'IFREMER. Des séries temporelles basses fréquences provenant des programmes de surveillance du littoral SOMLIT (CNRS, INSU) et SRN (Ifremer) sont mises à contribution pour appuyer l'importance des systèmes automatisés. La méthode EMD (Empirical Mode Decomposition) nous a servi de base dans de nombreuses analyses pour étudier ces séries temporelles. Nous avons aussi utilisé des méthodes plus classiques empruntées aux domaines de l'analyse numérique et de la turbulence. Cette études se décompose en 3 parties, et plusieurs annexes. Les matériels et méthodes sont présentés dans la première partie. Dans la seconde partie, la méthode EMD nous a permis de mettre en avant les fortes fluctuations contenues dans les blooms, ainsi que de mener des analyses spectrales grâce à un couplage avec la transformée de Hilbert. L'analyse en composante principale (ACP) a mis en avant les principaux forçages exercés sur la production primaire et les profils de température SOMLIT laissent supposer un impact de la stratification sur l'intensité des blooms. Dans la troisième partie, nous avons mené une étude comparative entre les données basses fréquences et hautes fréquences. Et deux méthodes de cross-corrélation (TDIC et co-spectre) nous ont permis de définir une échelle caractéristique de transition entre les températures de la Manche occidentale et orientale. En annexe, nous avons testé la robustesse de différentes méthodes d'analyses spectrales quant au manque de données dans les séries temporelles, qui est un problème inhérent aux bases de données enregistrées par des systèmes automatisés, et nous avons reproduit un article qui est en cours de soumission. / The main objective of this thesis is the characterization of high frequency dynamics in coastal areas and in particular their extremes, through the study of long-term biodeochemical time series registered by automated systems. The majority of high-frequency data sets used in this study came from MAREL program. The low-frequency time series from coastal monitoring programs SOMLIT (CNRS, INSU) and SRN (Ifremer) are employed to support the importance of automated systems. The EMD (Empirical Mode decomposition) method has provided a basis for us to study several of these time series. We also have used some methods more classical borrowed from numerical analysis field and turbulence. This study is organized in three chapters, and several appendices. The first chapter is devoted to the material and method. In the second chapter, using the EMD method we have highlighted the strong fluctuations contained in the blooms, and we have performed spectral analyzes. The principal component analysis (PCA) highlighted the main forcing exerted on primary production and SOMLIT temperature profiles suggest an impact of stratification on the intensity of blooms. In the third chapter, we conducted a comparative study between low-frequency and high-frequency data. Two cross-correlation methods (TDIC and co-spectra) allowed us to define a characteristic transition scale between the temperatures of the western and eastern English Cahnnel. In appendices we tested the robustness of different spectral analysis methods about the missing data in the time series, which is an underlying problem in the database registered by automated systems, and we reproduce a paper, which is under submission.

Diese Arbeit leistet Beiträge im Bereich der deskriptiven Komplexitätstheorie. Zunächst beschäftigen wir uns mit der ungelösten Frage, ob es eine Logik gibt, welche die Klasse der Polynomialzeit-Eigenschaften (PTIME) charakterisiert. Wir betrachten Graphklassen, die unter induzierten Teilgraphen abgeschlossen sind. Auf solchen Graphklassen lässt sich die 1976 von Gallai eingeführte modulare Zerlegung anwenden. Graphen, die durch modulare Zerlegung nicht zerlegbar sind, heißen prim. Wir stellen ein neues Werkzeug vor: das Modulare Zerlegungstheorem. Es reduziert (definierbare) Kanonisierung einer Graphklasse C auf (definierbare) Kanonisierung der Klasse aller primen Graphen aus C, die mit binären Relationen auf einer linear geordneten Menge gefärbt sind. Mit Hilfe des Modularen Zerlegungstheorems zeigen wir, dass Fixpunktlogik mit Zählen (FP+C) PTIME auf der Klasse aller Permutationsgraphen und auf der Klasse aller chordalen Komparabilitätsgraphen charakterisiert. Wir beweisen zudem, dass modulare Zerlegungsbäume in Symmetrisch-Transitive-Hüllen-Logik mit Zählen (STC+C) definierbar und damit in logarithmischem Platz berechenbar sind. Weiterhin definieren wir eine neue Logik für die Komplexitätsklasse Logarithmischer Platz (LOGSPACE). Wir erweitern die Logik erster Stufe mit Zählen um einen Operator, der eine in logarithmischem Platz berechenbare Form der Rekursion erlaubt. Die resultierende Logik LREC ist ausdrucksstärker als die Deterministisch-Transitive-Hüllen-Logik mit Zählen (DTC+C) und echt in FP+C enthalten. Wir zeigen, dass LREC LOGSPACE auf gerichteten Bäumen charakterisiert. Zudem betrachten wir eine Erweiterung LREC= von LREC, die sich gegenüber LREC durch bessere Abschlusseigenschaften auszeichnet und im Gegensatz zu LREC ausdrucksstärker als die Symmetrisch-Transitive-Hüllen-Logik (STC) ist. Wir beweisen, dass LREC= LOGSPACE sowohl auf der Klasse der Intervallgraphen als auch auf der Klasse der chordalen klauenfreien Graphen charakterisiert. / This theses is making contributions to the field of descriptive complexity theory. First, we look at the main open problem in this area: the question of whether there exists a logic that captures polynomial time (PTIME). We consider classes of graphs that are closed under taking induced subgraphs. For such graph classes, an effective graph decomposition, called modular decomposition, was introduced by Gallai in 1976. The graphs that are non-decomposable with respect to modular decomposition are called prime. We present a tool, the Modular Decomposition Theorem, that reduces (definable) canonization of a graph class C to (definable) canonization of the class of prime graphs of C that are colored with binary relations on a linearly ordered set. By an application of the Modular Decomposition Theorem, we show that fixed-point logic with counting (FP+C) captures PTIME on the class of permutation graphs and the class of chordal comparability graphs. We also prove that the modular decomposition tree is definable in symmetric transitive closure logic with counting (STC+C), and therefore, computable in logarithmic space. Further, we introduce a new logic for the complexity class logarithmic space (LOGSPACE). We extend first-order logic with counting by a new operator that allows it to formalize a limited form of recursion which can be evaluated in logarithmic space. We prove that the resulting logic LREC is strictly more expressive than deterministic transitive closure logic with counting (DTC+C) and that it is strictly contained in FP+C. We show that LREC captures LOGSPACE on the class of directed trees. We also study an extension LREC= of LREC that has nicer closure properties and that, unlike LREC, is more expressive than symmetric transitive closure logic (STC). We prove that LREC= captures LOGSPACE on the class of interval graphs and on the class of chordal claw-free graphs.

Le travail présenté dans ce mémoire nous a permis d’étudier d’un point de vue théorique et numérique le transfert de chaleur couplé par rayonnement et conduction à travers un milieu semi-transparent, gris et non diffusant dans une géométrie multidimensionnelle 2D. Ces deux modes de transfert de chaleur sont décrits par un couplage non linéaire de l’équation de la chaleur non linéaire (CT) et de l’équation du transfert radiatif (ETR). Nous avons présenté des résultats d’existence, d’unicité locale de la solution pour le système couplé avec des conditions aux limites de type Dirichlet homogènes en utilisant le théorème du point fixe de Banach. Par ailleurs, les travaux réalisés nous ont permis de mettre au point un code de calcul qui permet de simuler la température. Nous avons utilisé la quadrature S_N pour la discrétisation angulaire de l’ETR. La discrétisationde l'ETR dans la variable spatiale est effectuée par la méthode de Galerkin discontinue (DG) et en éléments finis pour l'équation de la chaleur non linéaire. Nous avons démontré la convergence du schémanumérique couplé en utilisant la méthode du point fixe discret. Le modèle discret, sous la forme d’équations différentielles ordinairesnon linéaires obtenu après une approximation nous a permis de fairel’analyse et la synthèse d’estimateurs d’état et de lois de commandepour la stabilisation. Grâce à la structure particulière du modèle età l’aide du DMVT. Nous avons proposé un observateur d’ordre réduit.D’autre part nous avons réussi à construire une matrice de gain quiassure la stabilité de l’observateur proposé. Une extension au filtrage $\mathcal{H}_{\infty}$ est également proposée. Une nouvelleinégalité matricielle (LMI) est donnée dans le cas d’une commandebasée observateur. Nous avons étendu à l’approche d’ordre réduit dans le cas de la commande basée observateur et nous avons montré la stabilité sous l’action de la rétroaction. De même une extension au filtrage $\mathcal{H}_{\infty}$ est également proposée. Tous les résultats sont validés par des simulations numériques. / This thesis investigates the theoretical and numerical analysis of coupled radiative conductive heat transfer in a semi-transparent, gray and non-scattering 2D medium. This two heat transfer modes are described by the radiative transfer equation (RTE) and the nonlinear heat equation (NHE). We proved the existence and uniqueness of the solution of coupled systems with homogeneous Dirichlet boundary conditions using the fixed-point theorem. Moreover, we developed a useful algorithm to simulate the temperature in the medium. We used the quadrature $S_{N}$ for the angular discretization of the RTE. The spatial discretization of RTE was made by the discontinuous Galerkin method (DG) and the finite element method for the non-linear heat equation. We have shown the convergence and the stability of the coupled numerical scheme using the discrete fixed point. The discrète model obtained after an approximation allowed us to do the analysis and synthesis of state estimators and feedback control design for stabilization of the system. Thanks to the special structure of the model and using the Differential Mean Value Theorem (DMVT), we proposed a reduced order observer and we construct a gain matrix, which ensures the exponential stability of the proposed observer and guarantees the boundedness of the estimate vector. An extension to $\mathcal{H}_{\infty}$ filtering is also provided. We have extended the reduced order approach in the case of the observer-based controller and we proved the exponential stability under the control feedback law. Similarly, an extension to $\mathcal{H}_{\infty}$ filtering is also provided. The obtained results were validated through several numerical simulations.

Diese Arbeit leistet Beiträge zu drei Gebieten der deskriptiven Komplexitätstheorie. Zunächst adaptieren wir einen repräsentationsinvarianten Graphkanonisierungsalgorithmus mit einfach exponentieller Laufzeit von Corneil und Goldberg (1984) und folgern, dass die Logik "Choiceless Polynomial Time with Counting" auf Strukturen, deren Relationen höchstens Stelligkeit 2 haben, gerade die Polynomialzeit-Eigenschaften (PTIME) von Fragmenten logarithmischer Größe charakterisiert. Der zweite Beitrag untersucht die deskriptive Komplexität von PTIME-Berechnungen auf eingeschränkten Graphklassen. Wir stellen eine neuartige Normalform von Intervallgraphen vor, die sich in Fixpunktlogik mit Zählen (FP+C) definieren lässt, was bedeutet, dass FP+C auf dieser Graphklasse PTIME charakterisiert. Wir adaptieren außerdem unsere Methoden, um einen kanonischen Beschriftungsalgorithmus für Intervallgraphen zu erhalten, der sich mit logarithmischer Platzbeschränkung (LOGSPACE) berechnen lässt. Im dritten Teil der Arbeit beschäftigt uns die ungelöste Frage, ob es eine Logik gibt, die alle Polynomialzeit-Berechnungen charakterisiert. Wir führen eine Reihe von Ranglogiken ein, die die Fähigkeit besitzen, den Rang von Matrizen über Primkörpern zu berechnen. Wir zeigen, dass diese Ergänzung um lineare Algebra robuste Logiken hervor bringt, deren Ausdrucksstärke die von FP+C übertrifft. Außerdem beweisen wir, dass Ranglogiken strikt an Ausdrucksstärke gewinnen, wenn wir die Zahl an Variablen erhöhen, die die betrachteten Matrizen indizieren. Dann bauen wir eine Brücke zur klassischen Komplexitätstheorie, indem wir über geordneten Strukturen eine Reihe von Komplexitätsklassen zwischen LOGSPACE und PTIME durch Ranglogiken charakterisieren. Die Arbeit etabliert die stärkste der Ranglogiken als Kandidat für die Charakterisierung von PTIME und legt nahe, dass Ranglogiken genauer erforscht werden müssen, um weitere Fortschritte im Hinblick auf eine Logik für Polynomialzeit zu erzielen. / This thesis is making contributions to three strands of descriptive complexity theory. First, we adapt a representation-invariant, singly exponential-time graph canonization algorithm of Corneil and Goldberg (1984) and conclude that on structures whose relations are of arity at most 2, the logic "Choiceless Polynomial Time with Counting" precisely characterizes the polynomial-time (PTIME) properties of logarithmic-size fragments. The second contribution investigates the descriptive complexity of PTIME computations on restricted classes of graphs. We present a novel canonical form for the class of interval graphs which is definable in fixed-point logic with counting (FP+C), which shows that FP+C captures PTIME on this graph class. We also adapt our methods to obtain a canonical labeling algorithm for interval graphs which is computable in logarithmic space (LOGSPACE). The final part of this thesis takes aim at the open question whether there exists a logic which generally captures polynomial-time computations. We introduce a variety of rank logics with the ability to compute the ranks of matrices over (finite) prime fields. We argue that this introduction of linear algebra results in robust logics whose expressiveness surpasses that of FP+C. Additionally, we establish that rank logics strictly gain in expressiveness when increasing the number of variables that index the matrices we consider. Then we establish a direct connection to standard complexity theory by showing that in the presence of orders, a variety of complexity classes between LOGSPACE and PTIME can be characterized by suitable rank logics. Our exposition provides evidence that rank logics are a natural object to study and establishes the most expressive of our rank logics as a viable candidate for capturing PTIME, suggesting that rank logics need to be better understood if progress is to be made towards a logic for polynomial time.

In dieser Arbeit beweisen wir für Optimierungsprobleme in L0-Moduln relevante Resultate und untersuchen Anwendungen für die Darstellung von Präferenzen. Im ersten Kapitel geht es um quasikonkave, monotone und lokale Funktionen von einem L0-Modul X nach L0, die wir robust darstellen. Im zweiten Kapitel entwickeln wir das Ekeland’sche Variationsprinzip für L0-Moduln, die eine L0-Metrik besitzen. Wir beweisen eine L0 -Variante einer Verallgemeinerung des Ekeland’schen Theorems. Der Beweis des Brouwerschen Fixpunktsatzes für Funktionen, die auf (L0)^d definiert sind, wird in Kapitel 3 behandelt. Wir definieren das Konzept des Simplexes in (L0)^d und beweisen, dass jede lokale, folgenstetige Funktion darauf einen Fixpunkt besitzt. Dies nutzen wir, um den Fixpunktsatz auch für Funktionen auf beliebigen abgeschlossenen, L0 -konvexen Mengen zu zeigen. Eine allgemeinere Struktur als L0 ist die bedingte Menge. Im vierten Kapitel behandeln wir bedingte topologische Vektorräume. Wir führen das Konzept der Dualität für bedingte Mengen ein und beweisen Theoreme der Funktionalanalysis darauf, unter anderem das Theorem von Banach-Alaoglu und Krein-Šmulian. Im fünften Kapitel widmen wir uns der Darstellung mit wandernden konvexen Mengen. Wir zeigen danach, wie die Transitivität für diese Darstellungsform beschrieben werden kann. Abschließend modellieren wir die Eigenschaft, dass die Transitivität einer Relation nur für ähnliche Elemente gesichert ist und diskutieren Arten der Darstellung solcher Relationen. / In this thesis, we prove results relevant for optimization problems in L0-modules and study applications to order theory. The first part deals with the notion of an Assessment Index (AI). For an L0 -module X an AI is a quasiconcave, monotone and local function mapping to L0. We prove a robust representation of these AIs. In the second chapter of this thesis, we develop Ekeland’s variational principle for L0-modules allowing for an L0-metric. We prove an L0-Version of a generalization of Ekeland’s theorem. A further application of L0 -theory is examined in the third chapter of this thesis, namely an extension of the Brouwer fixed point theorem to functions on (L0)^d . We define a conditional simplex, which is a simplex with respect to L0 , and prove that every local, sequentially continuous function has a fixed point. We extend the fixed point theorem to arbitrary closed, L0-convex sets. A more general structure than L0 -modules is the concept of conditional sets. In the fourth chapter of the thesis, we study conditional topological vector spaces. We examine the concept of duality for conditional sets and prove results of functional analysis: among others, the Banach-Alaoglu and the Krein-Šmulian theorem. Any L0 -module being a conditional set allows to apply all results to L0 -theory. In the fifth chapter, we discuss the property of transitivity of relations and its connection to certain forms of representations. After a survey of common representations of preferences, we attend to relations induced by moving convex sets which are relations of the form that x is preferred to y if and only if x − y is in a convex set depending on y. We examine in which cases such a representation is transitive. Finally, we exhibit nontransitivity due to dissimilarity of the compared object and discuss representations for relations of that type.

A formal framework is developed and implemented in this research for preliminary rotorcraft design using IPPD methodology. All the technical aspects of design are considered including the vehicle engineering, dynamic analysis, stability and control, aerodynamic performance, propulsion, transmission design, weight and balance, noise analysis and economic analysis. The design loop starts with a detailed analysis of requirements. A baseline is selected and upgrade targets are identified depending on the mission requirements. An Overall Evaluation Criterion (OEC) is developed that is used to measure the goodness of the design or to compare the design with competitors. The requirements analysis and baseline upgrade targets lead to the initial sizing and performance estimation of the new design. The digital information is then passed to disciplinary experts. This is where the detailed disciplinary analyses are performed. Information is transferred from one discipline to another as the design loop is iterated. To coordinate all the disciplines in the product development cycle, Multidisciplinary Design Optimization (MDO) techniques e.g. All At Once (AAO) and Collaborative Optimization (CO) are suggested. The methodology is implemented on a Light Turbine Training Helicopter (LTTH) design. Detailed disciplinary analyses are integrated through a common platform for efficient and centralized transfer of design information from one discipline to another in a collaborative manner. Several disciplinary and system level optimization problems are solved. After all the constraints of a multidisciplinary problem have been satisfied and an optimal design has been obtained, it is compared with the initial baseline, using the earlier developed OEC, to measure the level of improvement achieved. Finally a digital preliminary design is proposed. The proposed design methodology provides an automated design framework, facilitates parallel design by removing disciplinary interdependency, current and updated information is made available to all disciplines at all times of the design through a central collaborative repository, overall design time is reduced and an optimized design is achieved.

Afin de limiter leur coût et/ou leur consommation électrique, certains processeurs embarqués sacrifient le support matériel de l'arithmétique à virgule flottante. Pourtant, pour des raisons de simplicité, les applications sont généralement spécifiées en utilisant l'arithmétique à virgule flottante. Porter ces applications sur des processeurs embarqués de ce genre nécessite une émulation logicielle de l'arithmétique à virgule flottante, qui peut sévèrement dégrader la performance. Pour éviter cela, l'application est converti pour utiliser l'arithmétique à virgule fixe, qui a l'avantage d'être plus efficace à implémenter sur des unités de calcul entier. La conversion de virgule flottante en virgule fixe est une procédure délicate qui implique des compromis subtils entre performance et précision de calcul. Elle permet, entre autre, de réduire la taille des données pour le coût de dégrader la précision de calcul. Par ailleurs, la plupart de ces processeurs fournissent un support pour le calcul vectoriel de type SIMD (Single Instruction Multiple Data) afin d'améliorer la performance. En effet, cela permet l'exécution d'une opération sur plusieurs données en parallèle, réduisant ainsi le temps d'exécution. Cependant, il est généralement nécessaire de transformer l'application pour exploiter les unités de calcul vectoriel. Cette transformation de vectorisation est sensible à la taille des données ; plus leurs tailles diminuent, plus le taux de vectorisation augmente. Il apparaît donc un compromis entre vectorisation et précision de calcul. Plusieurs travaux ont proposé des méthodologies permettant, d'une part la conversion automatique de virgule flottante en virgule fixe, et d'autre part la vectorisation automatique. Dans l'état de l'art, ces deux transformations sont considérées indépendamment, pourtant elles sont fortement liées. Dans ce contexte, nous étudions la relation entre ces deux transformations, dans le but d'exploiter efficacement le compromis entre performance et précision de calcul. Ainsi, nous proposons d'abord un algorithme amélioré pour l'extraction de parallélisme SLP (Superword Level Parallelism ; une technique de vectorisation). Puis, nous proposons une nouvelle méthodologie permettant l'application conjointe de la conversion de virgule flottante en virgule fixe et de l'exploitation du SLP. Enfin, nous implémentons cette approche sous forme d'un flot de compilation source-à-source complètement automatisé, afin de valider ces travaux. Les résultats montrent l'efficacité de cette approche, dans l'exploitation du compromis entre performance et précision, vis-à-vis d'une approche classique considérant ces deux transformations indépendamment. / In order to cut-down their cost and/or their power consumption, many embedded processors do not provide hardware support for floating-point arithmetic. However, applications in many domains, such as signal processing, are generally specified using floating-point arithmetic for the sake of simplicity. Porting these applications on such embedded processors requires a software emulation of floating-point arithmetic, which can greatly degrade performance. To avoid this, the application is converted to use fixed-point arithmetic instead. Floating-point to fixed-point conversion involves a subtle tradeoff between performance and precision ; it enables the use of narrower data word lengths at the cost of degrading the computation accuracy. Besides, most embedded processors provide support for SIMD (Single Instruction Multiple Data) as a mean to improve performance. In fact, this allows the execution of one operation on multiple data in parallel, thus ultimately reducing the execution time. However, the application should usually be transformed in order to take advantage of the SIMD instruction set. This transformation, known as Simdization, is affected by the data word lengths ; narrower word lengths enable a higher SIMD parallelism rate. Hence the tradeoff between precision and Simdization. Many existing work aimed at provide/improving methodologies for automatic floating-point to fixed-point conversion on the one side, and Simdization on the other. In the state-of-the-art, both transformations are considered separately even though they are strongly related. In this context, we study the interactions between these transformations in order to better exploit the performance/accuracy tradeoff. First, we propose an improved SLP (Superword Level Parallelism) extraction (an Simdization technique) algorithm. Then, we propose a new methodology to jointly perform floating-point to fixed-point conversion and SLP extraction. Finally, we implement this work as a fully automated source-to-source compiler flow. Experimental results, targeting four different embedded processors, show the validity of our approach in efficiently exploiting the performance/accuracy tradeoff compared to a typical approach, which considers both transformations independently.

Les terres agricoles ont été durablement contaminées à la fois par les pesticides mis à la disposition des agriculteurs pour lutter contre les charançons et autres insectes nuisibles, et par les engrais azotées pour augmenter la productivité chez les plantes.Des recherches récentes concernent des cultures alternatives écologiques utilisant les plantes de service qui fournissent les nutriments aux plantes principales. Ce travail de thèse s'inscrit dans cette perspective, d'un point de vue modélisation.L'accent est mis sur la résolution de problèmes de contrôle du phénomène d'absorption de nutriments, par les racines dans la rhizosphère (partie proche des racines), en considérant les deux cas de sols : sol sain et sol pollué.Ces phénomènes d'absorption sont modélisés par des systèmes d'advection-diffusion de type Nye-Tinker-Barber (NTB). La concentration de nutriments absorbée, solution du problème, est une fonction du temps et de l'espace.On étudie l'existence de solution du système NTB dans les deux cas où la fonction d'absorption de nutriments à la frontière (surface de la racine) appelée fonction de Michealis-Menten, est linéaire et/ou non linéaire, à l’aide des outils d’analyse fonctionnelle. On étudie ensuite les problèmes de contrôle optimal associés au système NTB, en considérant les deux cas linéaire et non linéaire, en application pour les deux cas d’absorption de nutriments en sol non pollué puis en sol pollué. Pour le premier cas, on utilise les techniques classiques de recherche d'un contrôle pour les systèmes distribués, tandis que, pour le second cas, on fait appel aux notions de contrôle sans regret et contrôle à moindres regrets de J.-L. Lions. Les contrôles obtenus pour les différents problèmes sont caractérisés chacun par un système d'optimalité (SO) cas sans pollution, et système d’optimalité singulier (SOS) dans le cas avec pollution.= / Agriculture soils were highly contaminated for a long time by pesticides which were widely used by producers to fight against weevils. Soils where also contaminated by the use of fertilizers to increase the plant development. An ecological alternative using service plants is encouraged following recent research. The aim of this work is to give a mathematical and a modelling point of view as we study the mecha- nisms of nutrient transfer to plants using the mathematical analysis and optimal control theories. The two cases of polluted and non-polluted soils are considered. The nutrient transfer and uptake processes are modeled by an advection-diffusion system derived from the Nye-Tinker-Barber (NTB) model. The absorbed nutrient concentration represented by the Michaelis-Mention function at the root surface of the principal plant, depends on time and space. We study the existence of a solution for the linear and nonlinear NTB systems, then we characterize the opti- mal control which corresponds to the added nutrients from the service plant. For the pollution case, we use the concept of low-regret and no-regret control of J.-L. Lions.