在本篇論文中，我們主要是探討有邊界值的二次微分一積分方程式的解的存在性及唯 一性的問題。在LAKSHRNIKANTHAN 和KHAVANIN的“二次微分一積分方程式及單調法“ （THE METHOD OF MIXED MONOTONY AND SECOND ORDER INTEGRO-DIFFERENTIAL SYSTE M, ANAL.２８（１９８８），１９９－２０６）中，他們利用到混合單調法的技巧： 將不具有任何單調性質的函數擴充到一混合單調函數（亦即此函數對某些變數是單調 非遞減，而對另外某些變數是單調非遞增），然後利用其上解及下解（UPPER, LOWER SOLUTION）來生成兩個單調數列，而此二單調數列具有同時均勻的收斂到原方程式的 解的性質，而完成其存在性，其唯一性則是利用最大原則法（MAXIMUM PRINCIPLE ） ，而完成了他們對二次微分一積分方程式的解的探討。 在上述中，我們認為作者給予擴充函數的性質太強了，故我們對條件放寬，允許它不 是混合單調函數，而另外給了較弱的限制條件，此時我們與證明方法有了改變，我們 用到了SCHAUDER的定點定理（FIXED POINT THEOREM ）：若Ｔ是一區間映到相同區間 的緊緻運算子（COMPACT OPERATOR），則存在一點Ｘ使得Ｔ（Ｘ）＝Ｘ。於是解便可 得到，其唯一性亦是利用最大原則法得到。 最後，我們必須確定我們所使用的擴充函數確實存在，所以我們給了一個關於擴充函 數存在的充分條件來保證它的確存在，而不只是一種理想函數而已。到此，再加上一 些數值結果，我們就完成了整篇的論文。

This thesis treats a range of stochastic methods with various applications, most notably in finance. It is comprised of five articles, and a summary of the key concepts and results these are built on. The first two papers consider a jump-to-default model, which is a model where some quantity, e.g. the price of a financial asset, is represented by a stochastic process which has continuous sample paths except for the possibility of a sudden drop to zero. In Paper I prices of European-type options in this model are studied together with the partial integro-differential equation that characterizes the price. In Paper II the price of a perpetual American put option in the same model is found in terms of explicit formulas. Both papers also study the parameter monotonicity and convexity properties of the option prices. The third and fourth articles both deal with valuation problems in a jump-diffusion model. Paper III concerns the optimal level at which to exercise an American put option with finite time horizon. More specifically, the integral equation that characterizes the optimal boundary is studied. In Paper IV we consider a stochastic game between two players and determine the optimal value and exercise strategy using an iterative technique. Paper V employs a similar iterative method to solve the statistical problem of determining the unknown drift of a stochastic process, where not only running time but also each observation of the process is costly.

Le principe de contraction de Banach, qui garantit l'existence d'un point fixe d'une contraction d'un espace métrique complet à valeur dans lui-même, est certainement le plus connu des théorèmes de point fixe. Dans plusieurs situations concrètes, nous sommes cependant amenés à considérer une contraction qui n'est définie que sur un sous-ensemble de cet espace. Afin de garantir l'existence d'un point fixe, nous verrons que d'autres hypothèses sont évidemment nécessaires. Le théorème de Caristi, qui garantit l'existence d'un point fixe d'une fonction d'un espace métrique complet à valeur dans lui-même et respectant une condition particulière sur d(x,f(x)), a plus tard été généralisé aux fonctions multivoques. Nous énoncerons des théorèmes de point fixe pour des fonctions multivoques définies sur un sous-ensemble d'un espace métrique grâce, entre autres, à l'introduction de notions de fonctions entrantes. Cette piste de recherche s'inscrit dans les travaux très récents de mathématiciens français et polonais. Nous avons obtenu des généralisations aux espaces de Fréchet et aux espaces de jauge de quelques théorèmes, dont les théorèmes de Caristi et le principe variationnel d'Ekeland. Nous avons également généralisé des théorèmes de point fixe pour des fonctions qui sont définies sur un sous-ensemble d'un espace de Fréchet ou de jauge. Pour ce faire, nous avons eu recours à de nouveaux types de contractions; les contractions sur les espaces de Fréchet introduites par Cain et Nashed [CaNa] en 1971 et les contractions généralisées sur les espaces de jauge introduites par Frigon [Fr] en 2000. / The Banach contraction principle, which certifies that a contraction of a complete metric space into itself has a fixed point, is for sure the most famous of all fixed point theorems. However, in many case, the contraction we consider is only defined on a subset of a complete metric space. Of course, to certify that such a contraction has a fixed point, we need to add some restrictions. The Caristi theorem, which certifies the existence of a fixed point of a function of a complete metric space into itself satisfying a particular condition on d(x,f(x)), was later generalized to multivalued functions. By introducing different types of inwardness assumptions, we will be able to state some fixed point theorems for multivalued functions defined on a subset of a metric space. This is related to the recent work of French and Polish mathematicians. We were able to generalize some theorems to Fréchet spaces and gauge spaces such as the Caristi theorems and the Ekeland variational principle. We were also able to generalize some fixed point theorems for functions that are only defined on a subset of a Fréchet space or a gauge space. To do so, we used new types of contractions; contractions on Fréchet spaces introduced by Cain and Nashed [CaNa] in 1971 and generalized contractions on gauge spaces introduced by Frigon [Fr] in 2000.

Nous présentons dans cette thèse des théorèmes de point fixe pour des contractions multivoques définies sur des espaces métriques, et, sur des espaces de jauges munis d’un graphe. Nous illustrons également les applications de ces résultats à des inclusions intégrales et à la théorie des fractales. Cette thèse est composée de quatre articles qui sont présentés dans quatre chapitres. Dans le chapitre 1, nous établissons des résultats de point fixe pour des fonctions multivoques, appelées G-contractions faibles. Celles-ci envoient des points connexes dans des points connexes et contractent la longueur des chemins. Les ensembles de points fixes sont étudiés. La propriété d’invariance homotopique d’existence d’un point fixe est également établie pour une famille de Gcontractions multivoques faibles. Dans le chapitre 2, nous établissons l’existence de solutions pour des systèmes d’inclusions intégrales de Hammerstein sous des conditions de type de monotonie mixte. L’existence de solutions pour des systèmes d’inclusions différentielles avec conditions initiales ou conditions aux limites périodiques est également obtenue. Nos résultats s’appuient sur nos théorèmes de point fixe pour des G-contractions multivoques faibles établis au chapitre 1. Dans le chapitre 3, nous appliquons ces mêmes résultats de point fixe aux systèmes de fonctions itérées assujettis à un graphe orienté. Plus précisément, nous construisons un espace métrique muni d’un graphe G et une G-contraction appropriés. En utilisant les points fixes de cette G-contraction, nous obtenons plus d’information sur les attracteurs de ces systèmes de fonctions itérées. Dans le chapitre 4, nous considérons des contractions multivoques définies sur un espace de jauges muni d’un graphe. Nous prouvons un résultat de point fixe pour des fonctions multivoques qui envoient des points connexes dans des points connexes et qui satisfont une condition de contraction généralisée. Ensuite, nous étudions des systèmes infinis de fonctions itérées assujettis à un graphe orienté (H-IIFS). Nous donnons des conditions assurant l’existence d’un attracteur unique à un H-IIFS. Enfin, nous appliquons notre résultat de point fixe pour des contractions multivoques définies sur un espace de jauges muni d’un graphe pour obtenir plus d’information sur l’attracteur d’un H-IIFS. Plus précisément, nous construisons un espace de jauges muni d’un graphe G et une G-contraction appropriés tels que ses points fixes sont des sous-attracteurs du H-IIFS. / In this thesis, we present fixed point theorems for multivalued contractions defined on metric spaces, and, on gauge spaces endowed with directed graphs. We also illustrate the applications of these results to integral inclusions and to the theory of fractals. chapters. In Chapter 1, we establish fixed point results for the maps, called multivalued weak G-contractions, which send connected points to connected points and contract the length of paths. The fixed point sets are studied. The homotopical invariance property of having a fixed point is also established for a family of weak G-contractions. In Chapter 2, we establish the existence of solutions of systems of Hammerstein integral inclusions under mixed monotonicity type conditions. Existence of solutions to systems of differential inclusions with initial value condition or periodic boundary value condition are also obtained. Our results rely on our fixed point theorems for multivalued weak G-contractions established in Chapter 1. In Chapter 3, those fixed point results for multivalued G-contractions are applied to graph-directed iterated function systems. More precisely, we construct a suitable metric space endowed with a graph G and an appropriate G-contraction. Using the fixed points of this G-contraction, we obtain more information on the attractors of graph-directed iterated function systems. In Chapter 4, we consider multivalued maps defined on a complete gauge space endowed with a directed graph. We establish a fixed point result for maps which send connected points into connected points and satisfy a generalized contraction condition. Then, we study infinite graph-directed iterated function systems (H-IIFS). We give conditions insuring the existence of a unique attractor to an H-IIFS. Finally, we apply our fixed point result for multivalued contractions on gauge spaces endowed with a graph to obtain more information on the attractor of an H-IIFS. More precisely, we construct a suitable gauge space endowed with a graph G and a suitable multivalued G-contraction such that its fixed points are sub-attractors of the H-IIFS.

Cette thèse est consacrée à l’analyse mathématique de trois problèmes d’écoulements de fluides viscoélastiques de type Oldroyd. Tout d’abord, nous étudions des écoulements stationnaires faiblement compressibles dans un domaine borné avec des conditions au bord de type "rentrante-sortante". Nous étudions aussi le problème d’écoulements stationnaires faiblement compressibles dans un coin convexe. En utilisant une méthode de point fixe (premier et deuxième problèmes) et une décomposition de Helmoltz (deuxième problème), nous montrons des résultats d’existence et d’unicité des solutions. Nous étudions également le cas d’un écoulement non stationnaire. Nous montrons un résultat d’existence locale et un résultat d’existence globale, avec des conditions initiales suffisamment petites, pour des fluides compressibles. Nous démontrons aussi la convergence du modèle d’écoulement viscoélastique compressible à faible nombre de Mach vers le modèle incompressible lorsque les données initiales sont "bien préparées" / In this PHD thesis, we study three problems for viscoelastic flows of Oldroyd type. First, we study steady flows of slightly compressible in a bounded domain with non-zero velocities on the boundary ; the pressure and the extra-stress tensor are prescribed on the part of the boundary corresponding to entering velocity. This causes a weak singularity in the solution at the junction of incoming and outgoing flows. We also study the problem of steady flows of slightly compressible fluids with zero boundary conditions in a domain with an isolated corner point. Using a method of fixed point (first and second problems) and a Helmoltz decomposition (second problem), we show some results of existence and uniqueness of solutions. In the last part, we study the case of a non-steady flow : we show some results of local and of global existence, with sufficiently small initial data, for compressible flows. The zero-Mach number limit is also established

Les dernières décennies ont connu l’apogée des transmissions hertziennes, et celles à venir connaîtront incontestablement le développement et le déploiement intense de systèmes de communications sans-fil. Dès à présent, il est possible de communiquer par onde sur petite et très petite distance (LAN et PAN). Les populations se sont familiariséesavec les interfaces bluetooth (IEEE802.15) présentes dans la majorité des objetscommuniquant (ordinateur portable, téléphone, PDA, etc...). Les foyers s’équipentmaintenant facilement et à bas prix d’interfaceWi-Fi (IEEE802.11), afin de profiter d’uneutilisation nomade de leur accès internet. Ainsi, la forte croissance dumarché des offresinternet combinée avec celle du marché des téléphones mobiles ont habitués un large spectre d’utilisateurs à communiquer sans fil. Ce contexte sociologique et financier encourage donc l’arrivée de solutions nouvelles répondant à des besoins latents. Parmi ceux-là, le marché met en évidence le manque de système de communication sur moyenne distance (MAN). Les réseaux ad-hoc peuvent répondre à ce genre de besoin. Mais àce jour, les performances sont trop faibles pour les besoins des utilisateurs et elles dépendenttrop fortement de la densité desmachines nomades. Aussi, le consortiumIEEEcherche au travers de sa norme IEEE802.16 à fournir un système complet de communicationsans-fil sur moyenne distance (MAN). Appelé aussiWiMAX, ce système se basesur une architecture composée d’une station de base (BS) et de nombreux mobiles utilisateurs(SS). Le standard IEEE802.16 définit les caractéristiques de la couche physiqueet de la couche MAC. Il décrit l’ensemble des interactions et événements pouvant avoirlieu entre la station de base et les stations mobiles. Enfin, le standard fournit différents paramètres et variables servant aux mécanismes de communication. Comme tout nouveau standard émergeant, la norme IEEE802.16 ne profite pas d’un état de l’art aussi développé que celui du IEEE802.11 par exemple. Aussi, de nombreuses études et idées sont à développer.En premier lieu, nous effectuons un large rappel de la norme WiMAX et en particulier le IEEE802.16e. Associé à cela, nous dressons un état de l’art des travaux traitant des aspects et perspectives liés au sujet de notre étude.Par la suite, nous proposons un modèle novateur de performance des communicationsIEEE802.16e. Au travers de ce modèle, nous développons une étude générale et exhaustive des principaux paramètres de communication. L’étude explicite l’impact deces paramètres ainsi que l’influence de leur évolutions possibles. De cela, nous critiquonsla pertinence de chacun d’eux en proposant des alternatives de configurations.5En sus, nous proposons un mécanisme novateur favorisant le respect de qualité de service(QoS) sur couche AC.Nous développons un principe original d’établissement de connexion favorisant l’accès aux communications sensibles aux délais de transmission.Dans une dernière partie, nous déterminons la capacité d’un système IEEE802.16 à gérer les arrivées et départs des utilisateurs. Tout en y associant une étude de performance d’un nouvel algorithme de contrôle d’admission. Cet algorithme d’admission vise à remplir des objectifs multiples : empêcher les famines de ressources sur les trafics les moins prioritaires, favoriser l’admission des utilisateurs en maintenant une gestion optimale de la ressource radio. Notre étude aboutit à une modélisation et une critique des variations de paramètre associés à ce nouvel algorithme. Nous y intégrons par la suite le principe de mobilité où les utilisateurs ont la capacité de se mouvoir au sein d’une cellule. Cette intégration se fait en y associant des mécanismes originaux afin d’assurer la pérennité du service aux utilisateurs mobiles. / The last decade witnessed the peak of the hertzian communications. The following ones will undoubtedly testify the intensive deployment and the development of all wireless ways of transmission. Due to cheaper equipments, the people are now used with all sorts of connected objects : laptop, smartphone, pad, and more recently, Connected Video display and audio diffusers. All these stuffs allow to keep an access to internet, even in a nomad use. This economical and sociological context promotes the emerging of new solutions metting latent needs by offering better performances. Consumer studies highlight particularly the lack of transmissions solution for Metropolitan Area Networks (MAN). Ad-hoc wireless solutions lead to satisfy the MAN needs, but the throughput is too importantly related to the ad-hoc customer capacity and density over the MAN coverage.The IEEE consortium seeks, through its IEEE802.16e standart, to provide a wireless transmission technology specifically design for the middle range network. Knowed as WiMAX, this system are based on a point to multipoint architecture. WiMAX standart gathers Base Station (BS) and Subscriber Stations (SS), and defines for both the Physical and MAC layer in the OSI Model. In addition, the standart proposes a set of default parameters for the two first OSI Layers.As any emerging standart, the IEEE802.16e suffers form a lack of litterature (works, studies and enhancement proposals). More studies are explicitly needed to craft and tune the IEEE802.16e standart in order to better answer to the specific issues met in the actual context of transmission.In a first step, we present in a large scale the IEEE802.16e standart specifications. In addition we highlight the main state of art linked to this subject.Second, we propose an original performance model, the first one that takes in account all the MAC layer parameters of the standart. Based on this model, we lead a general and exhaustive performance study of each communication parameters. This study highlights the importance of each parameters and propose some enhancements in fonction of the type of Quality of Service (QoS). In addition, we introduce an call engaging mecanism which respects the QoS on the MAC layer.In a last part, we compute the IEEE802.16e capacity to manage the incoming and leaving calls. we perform this study by introducing a new Connection Admission Control (CAC). The CAC algorithm achieves sevral objectives : prevent from the lack of ressource for the lowest priority flows as well as optimize the radio resource consumption to facilitate the access for the users. Our study is concluded by proposing an new capacity model and algorithm for the CAC. Moreover, this last proposal prevents the call drop due to user mobility.

Dans cette thèse, des algorithmes à faible complexité et des architectures parallèles et efficaces sont explorés pour les systèmes CO-OFDM. Tout d'abord, des algorithmes de faible complexité pour la synchronisation et l'estimation du décalage en fréquence en présence d'un canal dispersif sont étudiés. Un nouvel algorithme de synchronisation temporelle à faible complexité qui peut résister à grande quantité de retard dispersif est proposé et comparé par rapport aux propositions antérieures. Ensuite, le problème de la réalisation d'une architecture parallèle à faible coût est étudié et une architecture parallèle générique et évolutive qui peut être utilisée pour réaliser tout type d'algorithme d'auto-corrélation est proposé. Cette architecture est ensuite étendue pour gérer plusieurs échantillons issus du convertisseur analogique/numérique (ADC) en parallèle et fournir une sortie qui suive la fréquence des ADC. L'évolutivité de l'architecture pour un nombre plus élevé de sorties en parallèle et les différents types d'algorithmes d'auto-corrélation sont explorés. Une approche d'adéquation algorithme-architecture est ensuite appliquée à l'ensemble de la chaîne de l'émetteur-récepteur CO-OFDM. Du côté de l'émetteur, un algorithme IFFT à radix-22 est choisi pour et une architecture parallèle Multipath Delay Commutator (MDC). Feed-forward (FF) est choisie car elle consomme moins de ressources par rapport aux architectures MDC-FF en radix-2/4. Au niveau du récepteur, un algorithme efficace pour l'estimation du Integer CFO est adopté et implémenté de façon optimisée sans l'utilisation de multiplicateurs complexes. Une réduction de la complexité matérielle est obtenue grâce à la conception d'architectures efficaces pour la synchronisation temporelle, la FFT et l'estimation du CFO. Une exploration du compromis entre la précision des calculs en virgule fixe et la complexité du matériel est réalisée pour la chaîne complète de l'émetteur- récepteur, de façon à trouver des points de fonctionnement qui n'affectent pas le taux d'erreur binaire (TEB) de manière significative. Les algorithmes proposés sont validés à l'aide d'une part d'expériences off-line en utilisant un générateur AWG (arbitrary wave- form generator) à l'émetteur et un oscilloscope numérique à mémoire (DSO) en sortie de la détection cohérente au récepteur, et d'autre part un émetteur-récepteur temps-réel basé sur des plateformes FPGA et des convertisseurs numériques. Le TEB est utilisé pour montrer la validité du système intégré et en donner les performances. / In this thesis, low-complexity algorithms and architectures for CO-OFDM systems are explored. First, low-complexity algorithms for estimation of timing and carrier frequency offset (CFO) in dispersive channel are studied. A novel low-complexity timing synchro- nization algorithm, which can withstand large amount of dispersive delay, is proposed and compared with previous proposals. Then, the problem of realization of low-complexity parallel architecture is studied. A generalized scalable parallel architecture, which can be used to realize any auto-correlation algorithm, is proposed. It is then extended to handle multiple parallel samples from ADC and provide outputs, which can match the input ADC rate. The scalability of the architecture for higher number of parallel outputs and different kinds of auto-correlation algorithms is explored. An algorithm-architecture approach is then applied to the entire CO-OFDM transceiver chain. At the transmitter side, radix-22 algorithm for IFFT is chosen and parallel Mul- tipath Delay Commutator (MDC) Feed-forward (FF) architecture is designed which con- sumes lesser resources compared to MDC FF architectures of radix-2/4. At the receiver side, efficient algorithm for Integer CFO estimation is adopted and efficiently realized with- out the use of complex multipliers. Reduction in complexity is achieved due to efficient architectures for timing synchronization, FFT and Integer CFO estimation. Fixed-point analysis for the entire transceiver chain is done to find fixed-point sensitive blocks, which affect bit error rate (BER) significantly. The algorithms proposed are validated using opti- cal experiments by the help of arbitrary waveform generator (AWG) at the transmitter and digital storage oscilloscope (DSO) and Matlab at the receiver. BER plots are used to show the validity of the system built. Hardware implementation of the proposed synchronization algorithm is validated using real-time FPGA platform.

Distributed optimization over multi-agent networks has become an increasingly popular research topic as it incorporates many applications from various areas such as consensus optimization, distributed control, network resource allocation, large scale machine learning, etc. Parallel distributed solution algorithms are highly desirable as they are more scalable, more robust against agent failure, align more naturally with either underlying agent network topology or big-data parallel computing framework. In this dissertation, we consider a multi-agent optimization formulation where the global objective function is the summation of individual local objective functions with respect to local agents' decision variables of different dimensions, and the constraints include both local private constraints and shared coupling constraints. Employing and extending tools from the monotone operator theory (including resolvent operator, operator splitting, etc.) and fixed point iteration of nonexpansive, averaged operators, a series of distributed solution approaches are proposed, which are all iterative algorithms that rely on parallel agent level local updates and inter-agent coordination. Some of the algorithms require synchronizations across all agents for information exchange during each iteration while others allow asynchrony and delays. The algorithms' convergence to an optimal solution if one exists are established by first characterizing them as fixed point iterations of certain averaged operators under certain carefully designed norms, then showing that the fixed point sets of these averaged operators are exactly the optimal solution set of the original multi-agent optimization problem. The effectiveness and performances of the proposed algorithms are demonstrated and compared through several numerical examples.<br>

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Sistemas de levitação magnética são inerentemente não-lineares e, quando con- trolados digitalmente, normalmente, esbarram em limitações do hardware empregado. O objetivo desta tese é apresentar aspectos teóricos e práticos durante a aplicação da teoria de controle H1 não-linear em sistemas de levitação magnética. A primeira con- tribuição desta tese é apresentar um procedimento de projeto de um controlador H1 não-linear que utiliza funções de ponderação com dinâmica, obtidas a partir do projeto de um controlador H1 linear. Assim como no caso linear, essas funções de ponderação possibilitam a rejeição de perturbações, ruídos de sensor, aumento da robustez, den- tre outras especificações. A segunda contribuição é apresentar um procedimento de conversão de uma rotina implementada em ponto-flutuante para ponto-fixo, utilizando minimização de norma l1, que foi implementada em um DSP de 32 bits em ponto- fixo. Resultados experimentais também são apresentados, nos quais a performance do controlador não-linear é especificamente avaliada na fase inicial de levitação. / Electromagnetic suspension systems are inherently nonlinear and often face hard- ware limitation when digitally controlled. The goal of this thesis is to present theoretical and practical aspects during the nonlinear H1 control applied on an electromagnetic suspension system. The first contribution is the design of a nonlinear H1 controller, including dynamic weighting functions, obtained from a linear H1 controller. Just as in the linear case, this dynamic weighting functions provide the disturbance and noise sensor rejection, robustness improvement, among other specifications. The second con- tribution is to present a procedure able to translate a floating-point algorithm into a fixed-point algorithm by using l1 norm minimization due to conversion error, which was then implemented into a 32-bit fixed-point DSP. Experimental results are also pre-sented, in which the performance of the nonlinear controller is evaluated specifically in the initial suspension phase.