Cette thèse est consacrée à la modélisation des films minces courbés du type martensitique, hyperélastiques et ferromagnétiques. L'épaisseur de ces films suivant la direction normale à leur surface moyenne est très petite devant les autres dimensions du film. Dans le cas des films hyperélastiques, on considère que ceux-ci sont fixés à un substrat tout en pouvant s'en décoller. La formulation du problème exclut l'interpénétration du film et du substrat. Les états d'équilibre de ces films sont dans tous les cas décrits par des problèmes de minimisation d'énergie dépendant de la déformation que subit le film ou de la magnétisation dans le cas des films ferromagnétiques. On étudie le comportement de ces énergies ainsi que celui de leurs éventuels minimiseurs, lorsque l'épaisseur du film tend vers zéro à l'aide des outils de la $\Gamma$-convergence et de développement asymptotique formel. On obtient des modèles bidimensionnels où l'énergie limite s'écrit sur une surface courbée de $\mathbb (R)^3$.

Cette thèse traite de la justification de modèles de membranes comme limites de "comportements élastiques" non linéaires tridimensionnels (les guillemets ont trait à l'absence de l'hypothèse classique d'explosion de l'énergie lorsque le Jacobien de la transformation tend vers zéro). La réduction dimensionnelle est vue comme un problème de $\Gamma$-convergence sur l'énergie élastique, lorsque l'\épaisseur tend vers zéro. Dans un premier temps, nous décrirons des hétérogénéités macroscopiques où les forces de surface peuvent engendrer une densité de moment fléchissant, produisant un vecteur de Cosserat. Puis nous considérerons des hétérogénéités microscopiques réparties périodiquement, donnant lieu à prendre en compte deux types de problèmes simultanés: la réduction de dimension et l'homogénéisation réitérée. Ensuite, des films minces possédant une microstructure dégénérée due à la présence de vide sur la surface moyenne seront étudiés dans le cas où l'épaisseur est beaucoup plus petite que la période de distribution des perforations. Enfin, nous envisagerons la possibilité de rupture et analyserons l'évolution quasistatique des fissures pour une énergie de surface de type Griffith.

We consider thin bodies made from elastomers and nematic liquid crystal elastomers. Starting from a nonlinear 3d hyperelastic model, and using the Gamma-convergence method, we derive lower dimensional models for 2d and 1d. The limit models describe the interplay between free liquid crystal orientations and bending deformations.:1 Introduction 1.1 Main results and structure of the text 1.2 Survey of the literature 1.2.1 Dimension reduction in nonlinear elasticity 1.2.2 Relation to other bending regime results in detail 1.2.3 Relation to other Gamma-convergence results of LCEs 2 Liquid crystal elastomers 2.1 Properties 2.2 Modeling 3 Rods 3.1 Setup and statement of analytical main results 3.1.1 The 3d-model and assumptions 3.1.2 The effective 1d-model 3.1.3 The Gamma-convergence result without boundary conditions 3.1.4 Boundary conditions for y 3.1.5 Weak and strong anchoring of n 3.1.6 Definition and properties of the effective coefficients 3.2 Numerical 1d-model exploration 3.3 Dimensional analysis and scalings 3.3.1 Non-dimensionalization and rescaling 3.3.2 Scaling assumptions 3.3.3 Dimensional analysis and applicability of the 1d-model 3.4 Smooth approximation of framed curves 3.5 Proofs 3.5.1 Compactness: proofs of Theorem 3.1.3 (a) and Proposition 3.1.4 (a) 3.5.2 Lower bound: proof of Theorem 3.1.3 (b) . . . . . . . . . . . . 68 3.5.3 Upper bound: proofs of Theorem 3.1.3 (c) and Proposition 3.1.4 (b) 3.5.4 Anchoring: proof of Proposition 3.1.5 3.5.5 Properties of the effective coefficients 4 Plates 4.1 Setup and statement of analytical main results 4.1.1 The 3d-model and assumptions 4.1.2 The effective 2d-model 4.1.3 The Gamma-convergence result without boundary conditions 4.1.4 Definition and properties of the effective coefficients 4.1.5 Boundary conditions for y 4.1.6 Weak and strong anchoring of n 4.2 Analytical and numerical 2d-model exploration 4.2.1 Analytical 2d-model exploration 4.2.2 Numerical 2d-model exploration 4.3 Dimensional analysis and scalings 4.3.1 Non-dimensionalization and rescaling 4.3.2 Scaling assumptions 4.3.3 Dimensional analysis and applicability 4.4 Geometry and approximation of bending deformations 4.4.1 Proofs of the geometric properties in the smooth case 4.4.2 Proof for the smooth approximations 4.5 Proofs 4.5.1 Compactness: proofs of Theorems 4.1.1 (a) and 4.1.8 (a) 4.5.2 Lower bound: proof of Theorem 4.1.1 (b) 4.5.3 Upper bound: proofs of Theorem 4.1.1 (c) and Theorem 4.1.8 (b) 4.5.4 Properties of the effective coefficients 4.5.5 Anchorings 4.5.6 Approximation of nonlinear strains: proof of Proposition 4.5.4 5 Conclusions and outlooks Bibliography

The first aim of this PhD Thesis is devoted to the study of geodesic distances defined on a subdomain of a Carnot group, which are bounded both from above and from below by fixed multiples of the Carnot–Carathéodory distance. Then one shows that the uniform convergence, on compact sets, of these distances can be equivalently characterized in terms of Gamma-convergence of several kinds of variational problems. Moreover, it investigates the relation between the class of intrinsic distances, their metric derivatives and the sub-Finsler convex metrics defined on the horizontal bundle. The second purpose is to obtain the integral representation of some classes of local functionals, depending on a family of vector fields, that satisfy a weak structure assumption. These functionals are defined on degenerate Sobolev spaces and they are assumed to be not translations-invariant. Then one proves some Gamma-compactness results with respect to both the strong topology of L^p and the strong topology of degenerate Sobolev spaces.

Cette thèse est dédiée à l'étude mathématique de quelques modèles de trafic routier congestionné. La notion essentielle est l'équilibre de Wardrop. Elle poursuit des travaux de Carlier et Santambrogio avec des coauteurs. Baillon et Carlier ont étudié le cas de grilles cartésiennes dans $\RR^2$ de plus en plus denses, dans le cadre de la théorie de $\Gamma$-convergence. Trouver l'équilibre de Wardrop revient à résoudre des problèmes de minimisation convexe. Dans le chapitre 2, nous regardons ce qui se passe dans le cas de réseaux généraux, de plus en plus denses, dans $\RR^d$. Des difficultés nouvelles surgissent par rapport au cas initial de réseaux cartésiens et pour les contourner, nous introduisons la notion de courbes généralisées. Des hypothèses structurelles sur ces suites de réseaux discrets sont nécessaires pour s'assurer de la convergence. Cela fait alors apparaître des fonctions qui sont des sortes de distances de Finsler et qui rendent compte de l'anisotropie du réseau. Nous obtenons ainsi des résultats similaires à ceux du cas cartésien. Dans le chapitre 3, nous étudions le modèle continu et en particulier, les problèmes limites. Nous trouvons alors des conditions d'optimalité à travers une formulation duale qui peut être interprétée en termes d'équilibres continus de Wardrop. Cependant, nous travaillons avec des courbes généralisées et nous ne pouvons pas appliquer directement le théorème de Prokhorov, comme cela a été le cas dans \cite{baillon2012discrete, carlier2008optimal}. Pour pouvoir néanmoins l'utiliser, nous considérons une version relaxée du problème limite, avec des mesures d'Young. Dans le chapitre 4, nous nous concentrons sur le cas de long terme, c'est-à-dire, nous fixons uniquement les distributions d'offre et de demande. Comme montré dans \cite{brasco2013congested}, le problème de l'équilibre de Wardrop est équivalent à un problème à la Beckmann et il se réduit à résoudre une EDP elliptique, anisotropique et dégénérée. Nous utilisons la méthode de résolution numérique de Lagrangien augmenté présentée dans \cite{benamou2013augmented} pour proposer des exemples de simulation. Enfin, le chapitre 5 a pour objet l'étude de problèmes de Monge avec comme coût une distance de Finsler. Cela se reformule en des problèmes de flux minimal et une discrétisation de ces problèmes mène à un problème de point-selle. Nous le résolvons alors numériquement, encore grâce à un algorithme de Lagrangien augmenté. / This thesis is devoted to the mathematical analysis of some models of congested road traffic. The essential notion is the Wardrop equilibrium. It continues Carlier and Santambrogio's works with coauthors. With Baillon they studied the case of two-dimensional cartesian networks that become very dense in the framework of $\Gamma$-convergence theory. Finding Wardrop equilibria is equivalent to solve convex minimisation problems.In Chapter 2 we look at what happens in the case of general networks, increasingly dense. New difficulties appear with respect to the original case of cartesian networks. To deal with these difficulties we introduce the concept of generalized curves. Structural assumptions on these sequences of discrete networks are necessary to obtain convergence. Sorts of Finsler distance are used and keep track of anisotropy of the network. We then have similar results to those in the cartesian case.In Chapter 3 we study the continuous model and in particular the limit problems. Then we find optimality conditions through a duale formulation that can be interpreted in terms of continuous Wardrop equilibria. However we work with generalized curves and we cannot directly apply Prokhorov's theorem, as in \cite{baillon2012discrete, carlier2008optimal}. To use it we consider a relaxed version of the limit problem with Young's measures. In Chapter 4 we focus on the long-term case, that is, we fix only the distributions of supply and demand. As shown in \cite{brasco2013congested} the problem of Wardrop equilibria can be reformulated in a problem à la Beckmann and reduced to solve an elliptic anisotropic and degenerated PDE. We use the augmented Lagrangian scheme presented in \cite{benamou2013augmented} to show a few numerical simulation examples. Finally Chapter 5 is devoted to studying Monge problems with as cost a Finsler distance. It leads to minimal flow problems. Discretization of these problems is equivalent to a saddle-point problem. We then solve it numerically again by an augmented Lagrangian algorithm.

Der Grenzwert kleiner Deformationen in Anwesenheit eines gegebenen Risses wird in drei verschiedenen kontinuumsmechanischen Modellen betrachtet. Erstens wird für rein statische Elastizität mit finiter Spannung im Grenzwert kleiner Belastung bewiesen, dass die Nebenbedingung globaler Injektivität im Sinne der Gamma-Konvergenz eine lokale Nichtdurchdringungsbedingung auf dem Riss ergibt. Zweitens wird Deformationsplastizität mit finiten Spannungen und multiplikativer Zerlegung des Spannungstensors behandelt und die Gamma-Konvergenz zu linearisierter Deformationsplastizität mit Rissbedingungen gezeigt. Drittens wird die ratenunabhängige Evolution der Elastoplastizität betrachtet mit einer allgemeineren Klasse globaler Injektivitätsbedingungen für den finiten Fall. Hierbei wird einerseits die evolutionäre Gamma-Konvergenz unter Vernachlässigung der Nebenbedinung gezeigt, andererseits eine Vermutung aufgestellt, unter deren Voraussetzung die evolutionäre Gamma-Konvergenz auch mit Rissbedingungen gilt. / The small-deformation limit in presence of a given crack is considered in three distinct continuummechanical models. First, a purely static finite-strain elasticity model is considered in the limit of small loading, where the constraint of global injectivity is shown to converge in the sense of Gamma-convergence to a local constraint of non-interpenetration along the crack. Second, finitestrain deformation plasticity based on the multiplicative decomposition of the strain tensor is shown to Gamma-converge to linearized deformation elastoplasticity with crack conditions. Third, the rate-independent evolution of elastoplasticity is considered with a generalized class of global injectivity constraints for the finite-strain model. On the one hand, neglecting the constraints the evolutionary Gamma-converge to linearized elastoplasticity is proven. On the other hand, a conjecture is made, subject to which the evolutionary Gamma-convergence with constraints still holds.

Cette thèse a pour but d'étudier quelques applications des fonctions à variation bornée et des ensembles de périmètre fini. Nous nous intéressons en particulier à des applications en traitement d'images et en géométrie de dimension finie et infinie. Nous étudions tout d'abord une méthode dite Primale-Duale proposée par Appleton et Talbot pour la résolution de nombreux problèmes en traitement d'images. Nous réinterprétons cette méthode sous un oeil nouveau, ce qui aide à mieux la comprendre mathématiquement. Ceci permet par exemple de démontrer sa convergence et d'établir de nouvelles estimations a posteriori qui sont d'une grande importance pratique. Nous considérons ensuite le problème de courbure moyenne prescrite en milieu périodique. A l'aide de la théorie des ensembles de périmètre fini, nous démontrons l'existence de solutions approchées compactes de ce problème. Nous étudions également le comportement asymptotique de ces solutions lorsque leur volume tend vers l'infini. Les deux dernières parties de la thèse sont consacrées à l'étude de problèmes géométriques dans les espaces de Wiener. Nous étudions d'une part les liens entre symétrisations, semi-continuité et inégalités isopérimétriques ce qui permet d'obtenir un résultat d'approximation et de relaxation pour le périmètre dans ces espaces de dimension infinie. Nous démontrons d'autre part la convexité des solutions de certains problèmes variationnels dans ces espaces, en développant au passage l'étude de la semi-continuité et de la relaxation dans ce contexte.

On étudie quelques problèmes singuliers d'homogénéisation en élasticité linéarisée ou électricité non linéaire où en plus de la période de distributions des hétérogénéités apparaissent d'autres paramètres comme la très forte (ou faible) rigidité (ou permittivité) d'une des phases et la taille relative de celle-ci. Sont visés des milieux fibrés ou stratifiés et des maçonneries planes et minces.

Cette thèse de doctorat est consacrée à l'étude mathématique de deux types de problèmes de jonction. Le premier modèle est obtenu comme limite variationnelle d'un problème d'élasticité avec jonction de faible épaisseur, l'adhésif occupant la jonction a une rigidité de l'ordre de l'épaisseur. La densité élastique W de l'adhésif est complétée par une densité d'énergie surfacique convexe h non nécessairement régulière. Cette densité traduit une contrainte mécanique entre adhérents et l'adhésif imparfaitement collés. On montre que le modèle limite consiste à remplacer la jonction par une contrainte qui est l'inf-convolution de h et de la densité surfacique limite de W. Dans un cadre scalaire on effectue l'analyse des concentrations de gradient à l'interface au moyen d'outils récents issus de la théorie de la mesure. Dans le second modèle, la rigidité de l'adhésif est de l'ordre inverse de l'épaisseur de le jonction, la densité élastique du matériaux adhérent a une croissance super-linéaire alors que celle de l'adhésif croit linéairement. Suivant la stratégie utilisée pour le premier problème on propose un modèle simplifié mais fiable comme limite variationnelle lorsque l'épaisseur tend vers zéro. A la limite la fine couche intermédiaire est remplacée par une interface pseudo-plastique prédisant la formation de fissures.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:27:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 3744.pdf: 1323892 bytes, checksum: 71a7a7180d61db167b8cbec4db2bbe8b (MD5) Previous issue date: 2011-05-30 / Universidade Federal de Sao Carlos / We address the question of existence of stationary stable solutions to a class of reaction-diffusion equations with spatial dependence in 2 and 3-dimensional bounded domains. The approach consists of proving the existence of local minimizer of the corres-ponding energy functional. For existence, it was enough to give sufficient conditions on the diffusion coefficient and on the reaction term to ensure the existence of isolated mi¬nima of the Γlimit functional of the energy functional family. In the second part we take the techniques developed in the first part to minimize functional in 2 and 3-dimensional rectangles, with and without constraint, solving in a more general form this problem, which was originaly proposed in 1989 by Robert Kohn and Peter Sternberg. / Na primeira parte deste trabalho, abordamos a existência de soluções estacioná-rias estáveis para uma classe de equações de reação-difusão com dependência espacial em domínios limitados 2 e 3-dimensionais. Esta abordagem foi feita via existência de míni¬mos locais dos funcionais de energia correspondentes. Para tal, foi suficiente encontrar condições no coeficiente de difusão e no termo de reação que garantam existência de míni¬mos isolados do funcional Γlimite da família de funcionais de energia. Na segunda parte, aproveitamos as técnicas desenvolvidas na primeira parte para minimizar funcionais em retângulos e paralelepípedos, com e sem vínculo, resolvendo de forma bem mais geral este problema, originalmente proposto em 1989 por Robert Kohn e Peter Sternberg.