Le but ultime de ce travail est la réalisation d'un logiciel de calcul de chimie quantique ab initio utilisant une base d'orbitales atomiques de Slater et capable d'évaluer les déplacements chimiques de RMN. Pour traiter le cas compliqué des intégrales multicentriques, nous avons utilisé la méthode de la transformée de Fourier des fonctions B. Un développement original des termes d'ordres non-nuls est présenté. Les expressions obtenues impliquent des intégrales semi-infinies dont l'intégrande est très oscillante. Dans ce travail, nous avons mis au point de nouveaux algorithmes récursifs de la (permittivité) de Wynn, du (u )de Levin et de la transformation non-linéaire SD, extrêmement rapides et qui garantissent la précision du résultat final. Les tableaux de résultats montrent l'efficacité de ces approches et plus particulièrement de SD pour accélérer la convergence des intégrales semi-finies. Les résultats obtenus permettent d'envisager la programmation d'un logiciel ab initio utilisant nos algorthimes.

Certains dispositifs électrotechniques présentent une couche de faible conductivité et de faible épaisseur qui modifie considérablement les répartitions des potentiels et des champs électriques. Cette situation se rencontre, par exemple, dans l'étude des isolateurs pollués ou des traversées comportant un revêtement semi-conducteur. La zone conductrice a une épaisseur très faible devant les autres dimensions du système et il est difficile d'en tenir compte, telle quelle, dans une méthode numérique. Ce travail est consacré à la modélisation (2D et 3D axisymétrique) d'une couche conductrice présente à l'interface de deux diélectriques. Celle-ci est simulée par une surface munie d'une conductivité surfacique qui peut dépendre ou non du champ électrique. Les équations qui caractérisent le modèle ont été implantées dans un logiciel de calcul de champ basé sur la méthode des équations intégrales de frontière. Le premier chapitre décrit les divers phénomènes physiques liés à la présence d'une couche conductrice entre deux isolants. Le second chapitre rappelle d'abord les résultats très classiques sur les équations de Maxwell. Ensuite, il établit une équation de conservation de l'électricité au niveau de la zone conductrice. Le troisième chapitre passe en revue les différentes méthodes numériques généralement utilisées en électrotechnique. Le quatrième chapitre est consacré à la résolution numérique. Le cinquième chapitre présente les résultats et la validation du nouveau module logiciel. Les résultats obtenus, dans le cas d'une configuration simplifiée, sont en accord avec la solution analytique (problème linéaire) et la solution numérique (problème non linéaire).

La mise en œuvre de la méthode des éléments finis de frontière nécessite l'évaluation d'intégrales comportant un intégrand singulier. Un calcul fiable et précis de ces intégrales peut dans certains cas se révéler à la fois crucial et difficile. La méthode que nous proposons consiste en une réduction récursive de la dimension du domaine d'intégration et aboutit à une représentation de l'intégrale sous la forme d'une combinaison linéaire d'intégrales mono-dimensionnelles dont l'intégrand est régulier et qui peuvent s'évaluer numériquement mais aussi explicitement. L'équation de Helmholtz 3-D sert d'équation modèle mais ces résultats peuvent être utilisés pour les équations de Laplace et de Maxwell 3-D. L'intégrand est décomposé en une partie homogène et une partie régulière ; cette dernière peut être traitée par les méthodes usuelles d'intégration numérique. Pour la discrétisation du domaine, des triangles plans sont utilisés ; par conséquent, nous évaluons des intégrales sur le produit de deux triangles. La technique que nous avons développée nécessite de distinguer entre diverses configurations géométriques ; c'est pourquoi nous traitons séparément le cas de triangles coplanaires, dans des plans sécants ou parallèles. Divers prolongements significatifs de la méthode sont présentés : son extension à l'électromagnétisme, l'évaluation de l'intégrale du noyau de Green complet pour les coefficients d'auto-influence, et le calcul de la partie finie d'intégrales hypersingulières.

L'objectif de ce travail est la résolution des équations intégrales singulières à noyau Cauchy. On y traite les équations singulières de Cauchy de première espèce par la méthode des approximations successives. On s'intéresse aussi aux équations intégrales à noyau de Cauchy de seconde espèce, en utilisant les polynômes trigonométriques et les techniques de Fourier. Dans la même perspective, on utilise les polynômes de Tchebychev de quatrième degré pour résoudre une équation intégro différentielle à noyau de Cauchy. Ensuite, on s'intéresse à une autre équation intégro-différentielle à noyau de Cauchy, en utilisant les polynômes de Legendre, ce qui a donné lieu à développer deux méthodes basées sur une suite de projections qui converge simplement vers l'identité. En outre, on exploite les méthodes de projection pour les équations intégrales avec des opérateurs intégraux bornés non compacts et on a appliqué ces méthodes à l'équation intégrale singulière à noyau de Cauchy de deuxième espèce

Les méthodes intégrales sont des méthodes particulièrement bien adaptées à la modélisation des systèmes électromagnétiques car contrairement aux méthodes par éléments finis elles ne nécessitent pas le maillage des matériaux inactifs tel que l'air. Ces modèles sont donc légers en terme du nombre de degrés de liberté. Cependant ceux sont des méthodes à interactions totales qui génèrent des matrices de systèmes d'équations pleines. Ces matrices sont longues à calculer en temps processeur et coûteuses à stocker dans la mémoire vive de l'ordinateur. Nous réduisons dans ces travaux les temps de calcul grâce au parallélisme, c'est-à-dire l'utilisation de plusieurs processeurs, notamment sur cartes graphiques (GPGPU). Nous réduisons également le coût du stockage mémoire via de la compression matricielle par ondelettes (il s'agit d'un algorithme proche de la compression d'images). C'est une compression par pertes, nous avons ainsi développé un critère pour contrôler l'erreur introduite par la compression. Les méthodes développées sont appliquées sur une formulation électrostatique de calcul de capacités, mais elles sont à priori également applicables à d'autres formulations.

Un des outils numériques les plus utilisés en ingénierie est la méthode des éléments finis, qui peut être mise en o euvre grâce à l'utilisation de nombreux codes de calcul. Toutefois, une difficulté apparaît lors de l'utilisation de la méthode des éléments finis, spécialement en géotechnique, lorsque la structure étudiée est en interaction avec un domaine de dimensions infinies. L'usage courant en ingénierie est alors de réaliser les calculs sur des domaines bornés, mais la définition de la frontière de tels domaines bornés pose de sérieux problèmes. Pour traiter convenablement les problèmes comportant des frontières à l'infini, l'utilisation d'éléments discrets "infinis" est maintenant souvent délaissée au profit de la méthode des équations intégrales ou "méthode des éléments de frontière" qui permet de résoudre un système d'équations aux dérivées partielles linéaire dans un domaine infini en ne maillant que la frontière du domaine à distance finie. La mise en oeuvre du couplage entre la méthode des éléments finis et la méthode des éléments de frontière apparaît donc comme particulièrement intéressante car elle permet de bénéficier de la flexibilité des codes de calcul par éléments finis tout en permettant de représenter les domaines infinis à l'aide de la méthode des éléments de frontière. La méthode est basée sur la construction de la "matrice de raideur" du domaine infini grâce à l'utilisation de la méthode des équations intégrales. Il suffit alors d'assembler la matrice de raideur du domaine infini avec la matrice de raideur du domaine fini représenté par éléments finis. L'utilisation de la méthode la plus simple de traitement des équations intégrales, dite méthode de " collocation " conduit à une matrice de raideur non-symétrique. Par ailleurs, la méthode dite "Singular Galerkin" conduit à une formulation symétrique, mais au prix du calcul d'intégrales hypersingulières. La thèse porte sur une nouvelle formulation permettant d'obtenir une matrice de raideur symétrique sans intégrales hypersingulières, dans le cas de problèmes plans. Quelques applications numériques sont abordées pour des problèmes courants rencontrés en géotechnique

L'utilisation des SIG pour la conception de modèles d'écoulements souterrains motive la recherche de méthodes numériques qui ne requièrent pas la discrétisation du domaine de l'écoulement : les SIG sont par nature vectorisés. Les méthodes numériques qui se fient à la discrétisation des frontières plutôt que du domaine offrent l'avantage de garder la description originale de l'information sous forme vecteur, telle que fournie par le SIG, réduisant ainsi les pertes inhérentes à la rastérisation et la vectorisation ultérieure. La méthode des éléments analytiques est particulièrement prometteuse. Cependant,il lui manque la capacité à gérer un type spécifique d'objets, les courbes NURBS. Les fonctions nécessaires à l'inclusion de ces courbes dans le cadre de l'AEM sont dérivées, et des exemples sont fournis. Leur souplesse est présentée, et on montre que les formes courbes exixtantes dans l'AEM peuvent être représentées par des NURBS, permettant ainsi la compatibilité, si elles devaient être supplantées. Une méthode est proposée pour améliorer le temps de réponse des modèles lorque les éléments curvilinéaires sont utilisés, basée sur la méthode des intégrales frontières directes. Les éléments linéaires classiques sont également améliorés pour permettre meilleurs précision et contrôle dans la technique d'accélération.

La méthode PEEC classique repose sur une méthode intégrale semi-analytique pour permettre la détermination d'un schéma électrique équivalent à l'aide de constantes localisées. Cette méthode est particulièrement bien adaptée pour la modélisation de régions conductrices du type filaire. S'il est possible actuellement de prendre en compte dans cette méthode des régions minces conductrices, cette approche demeure limitée et insatisfaisante. En effet, des contraintes très fortes pèsent sur les maillages qu'il est possible de traiter (discrétisation des géométries en quadrangles) et l'approche est limitée en fréquence (pas d'effet capacitif). L'objectif de cette thèse est d'introduire les effets capacitifs mais aussi magnétiques dans la méthode PEEC afin d'accéder à un outil général, performant et utilisable au niveau industriel. En particulier, la généralité de la formulation et sa flexibilité devrait permettre une utilisation simple à l'utilisateur du logiciel InCa3D non expert en méthode numérique. Le travail consistera donc à : • Consolider les travaux précédents par l'élargissement de l'approche, notamment en introduisant les effets capacitifs et magnétiques dans les formulations. • Proposer des méthodes de compressions matricielles adaptées pour limiter les temps de calcul et sauvegarder de la mémoire. / The classical method PEEC is based on a semi-analytical integral method to construct an equivalent electric circuit using lumped components. This method is particularly well-suited to modelise filiform conductors. It is actually possible to consider thin conductive regions with this method, but it's still limited and unsatisfactory. In fact, the meshes that can be used are very constrained (geometrically discretized by quadrangles) and the frequency approach is limited (capacitive effect is neglected). The aim of this thesis is to introduce the capacitive and magnetic effects into the method PEEC to get a general tool, efficient and usable at the industry level. Particularly, the generality of the formulation and its flexibility should enable a simple use of the software InCad3D for non-expert user on numerical methods. The work consists in : • Improving the last works by introducing the capacitive and magnetic effects in the formulations. • Suggesting some methods of matricial compression to improve the efficiency of the computation, and to lower the needed memory.

Cette thèse comprend deux parties principales:La première partie est une étude du problème d'élasticité linéaire en temps par une méthode de Galerkin discontinue (SIPG). Dans cette partie, nous avons toutd'abord obtenu un estimateur a posteriori pour la formulation semi-discrète. En utilisant une technique de reconstruction et des résultats montrés dans le cas stationnaire, on a établi un estimateur a posteriori d'erreur pour le problème d'onde élastique dépendant du temps. Afin de calculer l'estimateur d'erreur lié au cas stationnaire, nous avons présenté deux méthodes, l'une utilisant la technique de la dualité ce qui nous a donné un calcul d'erreur en norme L^2 et l'autre en calculant l'erreur en norme énergie. Pour la discrétisation en temps l'équation, nous utilisons un schéma numérique d'Euler. En utilisant une technique et de reconstruction spatio-temporelle, on propose un nouvel estimateur a posteriori.La deuxième partie a pour but l'établissement d'un développement asymptotiquepour la solution de problème résolvant Stokes avec une petite perturbation dudomaine. Dans ce travail, nous avons appliqué la théorie du potentiel. On a écrit la solution du problème non perturbé et du problème perturbé sous forme d'opérateurs intégraux. En calculant la différence, et en utilisant des propriétés liées aux noyaux des opérateurs on a établi un développement asymptotique de la solution. / This thesis contains two main parts:The first part concerning the discontinuous Galerkin method for the timedependentlinear elasticity problem. In this part, we have derived the a posteriorierror bounds for semi-discrete and fully discrete formulation, by makinguse of the SE reconstruction technique which allows to estimate the errorbound for time-dependent problem through the error estimation of the ascociatedstationary elasticity problem. Then to derive the error bound for thestationary problem, we have presented two methods to obtain two different aposteriori bounds, by L2 duality technique and via energy norm. For fully discretescheme, we make use of the backward-Euler scheme and an appropiatespace-time reconstruction which has the zero-mean value in time.The second part concerning the derivation of an asymptotic expansionfor the solution of Stokes resolvent problem with a small perturbation of thedomain. In this work, we have applied the potential theory, boundary integralequation method and geometric properties of perturbed boundary. Thederivation is rigorous, and this method allows to derive high-order terms inasymptotic expansion. Also, it can be used for many other boundary valueproblems, whenever a suitable potential theory is available.

Les surfaces sélectives en fréquence (FSS) pour la furtivité radar ou l’optique ont été largement étudiées. Depuis plus de vingt ans, des matériaux artificiels ont été conçus, permettant d’obtenir des propriétés particulières, notamment l’existence de bandes permises ou interdites, réfraction négative, ultra-réfraction. Par ailleurs, des antennes basées sur la mise en réseau d’un élément rayonnant sont plus compactes et plus facilement intégrables. Le problème de la diffraction d’une onde plane par des réseaux tridimensionnels bipériodiques peut être résolu par éléments finis ou par équations intégrales bipériodiques ; il l’est souvent par une méthode hybride combinant la méthode des éléments finis et la méthode aux équations intégrales. Nous avons choisi de développer une méthode hybride utilisant deux variantes de la méthode aux équations intégrales. Les domaines semi-infinis (l’extérieur du réseau) sont traités par des équations intégrales bipériodiques (EI3D2D), et les domaines bornés (l’intérieur du réseau) sont traités par des équations intégrales tridimensionnelles (EI3D), auxquelles on impose des conditions aux limites de pseudopériodicité. Ce code numérique est développé dans le cadre du code SPECTRE de Dassault-Aviation, qui est un code généraliste 3D, afin de bénéficier de la richesse des modèles qui y ont déjà été développés (modèle composé d’un nombre quelconque de sous-domaines de formes et de matériaux quelconques, traitement des différents cas de jonctions entre sous-domaines, matériaux de faible épaisseur). L’efficacité en termes de précision et en temps de calcul de la méthode numérique est validée par comparaison des résultats avec d’autres simulations numériques et également avec des résultats de mesures. Les cas testés sont représentatifs de plusieurs des principaux phénomènes liés aux métamatériaux : surfaces sélectives en fréquence, transmission « extraordinaire », surfaces à haute impédance. Enfin, nous étudions un radôme passe-bande indépendant à l’angle d’incidence, à l’aide de la méthode numérique que nous proposons. La structure retenue se base sur un réseau de cavités coaxiales dans une couche métallique. Nous expliquons l’origine physique des résonances qui apparaissent et nous suggérons une évolution géométrique du profil des cavités, afin d’augmenter la largeur de bande passante. / Frequency selective surfaces (FSS) for radar stealth or in optics have been widely studied. For more than two decades, articial materials have been designed to highlight specific behaviour, like the existence of allowed or forbidden bands, negative refraction, ultra-refraction... Moreover, antennas based upon an array of radiating elements improve the compactness and integration of these features. The problem of the diffraction of a plane wave by 3D biperiodic scatterers can be solved by finite-elements methods (FEM) or biperiodic boundary integral equations (BIE). It is often done by hybrid methods, that combine FEM and BIE. We choose to develop a hybrid method that uses two variants of the BIE method. Semiinfinite outer domains are treated by biperiodic integral equations (3D2D IE) and inner bounded domains are treated by 3D free-space integral equations (3D IE). Pseudoperiodic boundary conditions are enforced in the scattering biperiodic structure. The numerical code is developed in the framework of Dassault Aviation’s SPECTRE code, which is a general 3D code, in order to take advantage of the various models that have already been developed : arbitrary number of sub-domains of various shapes or materials, treatment of the different types of junctions between sub-domains, thin slabs. The efficiency in terms of accuracy and computation time of the numerical code is validated by comparison of the results from other numerical simulations or measurements. All the test cases are representative of several of the main phenomena that can be observed in metamaterials : FSS, “extraordinary” transmission, high-impedance surfaces. Finally, a bandpass radome which is independent to the angle of incidence is studied. The proposed numerical method is used. The chosen structure is based upon an array of coaxial cavities in a metallic slab. We explain the physical origin of resonances that appear and we suggest a geometrical evolution of the profile of the cavities, to favor a wideband behavior.