Le travail présenté ici porte sur la simulation numérique de l'écoulement d'un mélange de fluide et de particules solides. Le fluide obéit à une loi de comportement newtonien, et les particules solides sont des bâtonnets ou des sphères, considérées comme des corps indéformables. Ce modèle defluide complexe est une représentation de composites utilisés en injection. Le but est de connaître le comportement rhéologique en cisaillement de ce type de suspension. Pour cela nous étudions l'évolution d'un tel mélange dans une cellule cubique, soumise à un cisaillement plan, avec des conditions limites pseudo-périodiques. Les équations décrivant les champs de vitesse et pression dans le fluide sont étendues au domaine solide, en ajoutant une contrainte d'indéformabilité. On se ramène ainsi à un système d'équation en vitesse pression sur le domaine fictif total, résolu par une méthode d'éléments finis. Dans cette approche multidomaine, il est nécessaire de suivre l'évolution des positions des particules solides. Le domaine solide est suivi par sa fonction caractéristique. Une méthode de transport lagrangien est utilisée pour actualiser les positions des particules, puis une méthode de level-set permet d'en déduire à chaque instant la fonction caractéristique associée. Une technique de correction des positions des particules à posteriori permet de réimposer la condition de non-interpénétration des particules. Des calculs d'homogénéisation ont été effectués, permettant notamment de calculer des viscosités équivalentes pour des suspensions de sphères, et de construire des lois de comportement et d'évolution des tenseurs d'orientation pour des suspensions de fibres. L'utilisation de conditions limites pseudo-périodiques permet de limiter les effets de bords dans les calculs d'homogénéisation. Par ailleurs une technique de h-adaptation a été appliquée pour mieux décrire les interfaces. Les premiers résultats obtenus sont en assez bon accord avec les modèles théoriques, et une première simulation d'écoulement d'un mélange a été menée.

Un modèle mathématique d'interfaces diffuses pour l'interaction de N solides élasto-plastiques a été construit. C'est une extension du modèle développé par Favrie & Gavrilyuk (2012) pour l'interaction d'un fluide et d'un solide. En dépit du grand nombre d'équations présentes dans ce modèle, deux propriétés remarquables ont été démontrées : ce modèle est hyperbolique (quelles que soient les déformations admissibles) et il vérifie le second principe de la thermodynamique. En dépit du grand nombre d'équations présentes dans ce modèle, deux propriétés remarquables ont été démontrées: ce modèle est hyperbolique (quelles que soient les déformations admissibles) et il vérifie le second principe de la thermodynamique. L'énergie interne de chaque solide est prise sous forme séparable: c'est la somme d'une énergie hydrodynamique qui ne dépend que de la densité et de l'entropie, et d'une énergie de cisaillement. L'équation d'état de chaque solide est telle que si nous prenons le module de cisaillement du solide égale à zéro, on retrouve les équations de la mécanique des fluides. Ce modèle permet, en particulier, de:- prédire les déformations de solides élasto-plastiques en petites déformations et en très grandes déformations.- prédire l'interaction d'un nombre arbitraire de solides élasto-plastiqueset de fluides. L'aptitude de ce modèle à résoudre des problèmes complexes a été démontrée. Sans être exhaustif, on peut citer:-le phénomène d'écaillage dans les solides.- La fracturation et la fragmentation dynamique dans les solides. / A mathematical model of diffuse interface for the interaction of N elasto-plastic solidS was built. It is an extension of the model developed by Favrie & Gavrilyuk (2012) for a fluid-solid interaction. Despite the large number of equations present in this model, two remarkable properties have been demonstrated: it is hyperbolic for any admissible deformations and satisfies the second principle of thermodynamics. In this model, the internal energy of each solid is taken in separable form: it is the sum of a hydrodynamic energy (which depends only on the density and entropy) and shear energy. The equation of state of each solid is such that if we take the shear modulus of the solid vanishes, we find the equations of fluid mechanics. This model allows, in particular:- predict the deformation of elastic-plastic solids in small and very large deformations.- predict the interaction of an arbitrary number of elasto-plastic solids and fluids.The ability of this model to solve complex problems has been demonstrated. Without being exhaustive, one can mention:- the spall phenomenon in solids.- fracturing and fragmentation in solids.

L’Anévrisme de l’Aorte Abdominale (AAA) est une pathologie qui est définie par une dilatation localisée et permanente de l’artère et qui concerne plus de 8.8% des personnes âgées. Actuellement, lorsqu’un patient présente une dilatation de l’aorte impliquant l’éventualité d’une intervention chirurgicale en raison du risque de rupture, la décision thérapeutique est prise en fonction du rapport des diamètres de l’artère au niveau de l’anévrisme et à proximité de celui-ci. Pour déterminer ces diamètres, il est généralement procédé à un examen par imagerie médicale (Echographie, Tomographie, IRM,..). On constate cependant que le diagnostic ne peut pas se contenter d’une mesure dimensionnelle simple face aux risques induits: d’une part, passé une certaine excroissance, le risque de rupture peut atteindre 50% mais d’autre part plus de 5% des interventions chirurgicales provoquent le décès du patient. D’autres paramètres de mesure comme la compliance de l’artère, peuvent être à la base de la décision d’une intervention chirurgicale. La compliance correspond à une définition précise utilisée par les cardiologues : c’est une grandeur qui permet de caractériser l’aptitude à la déformation, décrivant la capacité de l'aorte à se distendre sous l'influence de la pression sanguine. De notre point de vue cette notion est insuffisante car, généralement, dans le cas d’un anévrisme, la rupture est très localisée du fait de la complexité de la forme de celui-ci. Il est donc nécessaire d’étendre sa définition à une grandeur localisée non pas au niveau d’une section mais à un endroit précis de la paroi. Les moyens de diagnostics seront d’autant plus fiables qu’ils pourront détecter la compliance localisée. De point de vue mécanique, la détermination de la compliance se transforme donc en la mesure de l'élasticité pariétale aortique localisée. L’élasticité n’est pas un paramètre mesurable directement. Donc, la problématique revient à la détermination de la déformation locale de la paroi aortique sous la sollicitation hémodynamique. La résolution de ce problème reste complexe. En effet, les sollicitations mécaniques dépendent de l’écoulement du sang, des organes environnants l’artère, des propriétés matérielles de l’artère et de la géométrie de l’anévrisme qui sont spécifiques à chaque patient. A l’heure actuelle, beaucoup de travaux numériques et expérimentaux sont effectués mais peu d’études ont permis de bien corréler les techniques d’imageries médicales pour l’aide au diagnostic. C’est dans ce contexte que se situent les travaux de ma thèse, réalisée en collaboration, à la fois avec le CHU de Dijon où ont été effectuées toutes les expérimentations à l’aide d’IRM, le laboratoire GMedTech, GMIT (Galway-Mayo Institute of Technology) en Irlande qui nous a fourni les répliques ainsi que leur savoir-faire dans le domaine cardio-vasculaire et le Laboratoire DRIVE situé à Nevers où ont été menées les mesures d’écoulement par PIV. Les travaux, menés sur des fantômes de diverses formes in vitro, ont pour finalité, d’une part, de construire une méthodologie métrologique pour aider les médecins à comprendre et à valider les mesures d’IRM à l’aide d’autres dispositifs de mesure, d’autre part, de permettre d’améliorer les méthodes de diagnostic des pathologies de type d’anévrisme de l’aorte abdominale. Le principe de ces travaux est donc de mettre en place une modélisation expérimentale in Vitro dans un cadre métrologique d’intercomparaison par divers moyens de mesure et de corréler leurs résultats au long d’un cycle reproduisant les conditions hémodynamiques de mesure, mais aussi de confronter ces résultats à de modélisations numériques. Pour prendre en compte le problème dans sa globalité, non seulement l’évolution de la déformation, représentant l’élasticité de l’aorte, a dû être étudiée mais aussi l’évolution du flux sollicitant la paroi (…). / The Abdominal Aorta Aneurysm (AAA) is a pathology that is defined by a localized and permanent dilation of the artery and which involves over 8.8% of the seniors. Currently, when a patient has a dilatation of the aorta leading to a surgery because of the rupture risk, the therapeutic decision is made depending on the diameter of the aneurysm. To determine this diameter, it is usually conducted an examination by medical imaging (ultrasound, CT, MRI...). However, it notes that the diagnosis can’t be satisfied with a single dimensional measurement face to induced risks: first of all, when the diameter exceed a certain growth, the risk of rupture can reach 50% but more than 5% of surgical procedures may cause the patient's death. Other metrics such as compliance of the artery can be used for the decision for surgery. Compliance corresponds to a precise definition by cardiologists: this is a quantity that characterizes the deformability, describing the ability of aorta to distend under the influence of blood pressure. From our point of view, this concept is insufficient because, generally, in the case of an aneurysm, rupture is highly localized because of the complexity of the shape. It is therefore necessary to extend its definition in a quantity not localized at a section or a specific location but to the whole wall. Diagnostics methods will be more reliable if they can determine localized compliance. From a mechanical standpoint, determining compliance is thus transformed into the measurement of localized parietal elasticity of aorta. The elasticity is not a directly measurable parameter. Therefore, the problem comes down to determining the local strain of the aortic wall in the hemodynamic condition. Solving this problem is complex. Indeed, the mechanical stresses are dependent on the flow of blood, the artery surrounding organs, the material properties of the artery and the geometry of the aneurysm which are specific to each patient. At present, many numerical and experimental works is done but few studies have well correlated medical imaging techniques for the diagnostic aid. It is in this context that are my thesis in collaboration both with the Dijon University Hospital where were performed all experiments using MRI and GMedTech laboratory GMIT (Galway- Mayo Institute of Technology) in Ireland who provided the replicas and their expertise in the cardiovascular area. This work, conducted on various form of phantoms in Vitro, are intended, first to build a metrological methodology to help doctors understand and validate MRI measurements using other devices measurement, on the other hand, to improve the methods of diagnosing the abdominal aortic aneurysm. The principle of this work is to develop experimental modeling in vitro in a metrology framework and correlate the results from different measurement techniques and numerical modeling throughout a cycle reproducing the hemodynamic conditions. To consider the problem as a whole, not only the evolution of deformation representing the elasticity of the aorta should be studied, but also the evolution of soliciting flow. Therefore, in this thesis, several devices such as stereovision, Particle image velocimetry (PIV), MRI kinetic sequence but also the flow 2D and 4D were employed. Various numerical models were established to not only correlate the results with those obtained experimentally, therefore, to improve the credibility of our study, but also to be part of the aid protocol to the diagnosis that we have proposed. In the end, all the results from different experimental and numerical models have led to propose a validated and feasible diagnosis protocol based on MRI sequences. The application of this protocol on a realistic AAA complex phantom showed its feasibility. We can therefore say that the feasibility of the proposed protocol is demonstrated and that based on MRI (…).

Cette thèse est consacrée à l’analyse mathématique du problème du mouvement d’un nombre fini de corps rigides homogènes au sein d’un fluide visqueux incompressible homogène. Les fluides visqueux sont classés en deux catégories: les fluides newtoniens et les fluides non newtoniens. En premier lieu, nous considérons le système formé par les équations de Navier Stokes incompressible couplées aux lois de Newton pour décrire le mouvement de plusieurs disques rigides dans un fluide newtonien visqueux homogène dans l’ensemble de l’espace R^2. Nous montrons que ce problème est bien posé jusqu’à l’apparition de la première collision. Ensuite, nous éliminons tous les types de contacts pouvant survenir si le domaine fluide reste connexe à tout moment. Avec cette hypothèse, le système considéré est globalement bien posé. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous montrons la non-unicité des solutions faibles au problème d’interaction fluide-solide 3D, dans le cas d’un fluide newtonien, après collision. Nous montrons qu’il existe des conditions initiales telles que nous pouvons étendre les solutions faibles après le temps pour lequel le contact a eu lieu de deux manières différentes. Enfin, dans la dernière partie, nous étudions le mouvement bidimensionnel d’un nombre fini de disques immergés dans une cavité remplie d’un fluide viscoélastique tel que des solutions polymériques. Les équations de Navier Stokes incompressible sont utilisées pour modéliser le solvant, dans lesquelles un tenseur de contrainte élastique supplémentaire apparaît comme un terme source. Dans cette partie, nous supposons que le tenseur de contrainte supplémentaire satisfait la loi différentielle d’Oldroyd ou sa version régularisée. Dans les deux cas, nous prouvons l’existence et l’unicité des solutions fortes locales en temps du problème considéré. / This thesis is devoted to the mathematical analysis of the problem of motion of afinite number of homogeneous rigid bodies within a homogeneous incompressible viscous fluid. Viscous fluids are classified into two categories: Newtonian fluids, and non-Newtonian fluids. First, we consider the system formed by the incompressible Navier-Stokes equations coupled with Newton’s laws to describe the movement of several rigid disks within a homogeneous viscous Newtonian fluid in the whole space R^2. We show the well-posedness of this system up to the occurrence of the first collision. Then we eliminate all type of contacts that may occur if the fluid domain remains connected at any time. With this assumption, the considered system is well-posed globally in time. In the second part of this thesis, we prove the non-uniqueness of weak solutions to the fluid-rigid body interaction problem in 3D in Newtonian fluid after collision. We show that there exist some initial conditions such that we can extend weak solutions after the time for which contact has taken place by two different ways. Finally, in the last part, we study the two-dimensional motion of a finite number of disks immersed in a cavity filled with a viscoelastic fluid such as polymeric solutions. The incompressible Navier–Stokes equations are used to model the flow of the solvent, in which the elastic extra stress tensor appears as a source term. In this part, we suppose that the extra stress tensor satisfies either the Oldroyd or the regularized Oldroyd constitutive differential law. In both cases, we prove the existence and uniqueness of local-in-time strongsolutions of the considered moving-boundary problem.

Les micronageurs et parmi eux les microangeurs artificiels sont en général, limités à exister dans des écoulements dominés par des forces visqueses. Ces écoulements sont caractérisés par un bas nombre de Reynolds (Re). Cela impacte la stratégie de nage et plus particulièrement les séquences de forme possibles, qui doivent nécessairement être non-réciproques dans l'espace de déformation pour espérer induire un déplacement net non-nul. De plus, due aux forts effets de traînée, les vitesses de nage sont limités à des valeurs faibles.Dans cette thèse, on examine la possibilité d'utiliser un mécanisme de nage basé sur l'instabilité de flambage d'une sphère creuse. Cette instabilité est provoquée en soumettant la sphère à une onde de pression. La particularité de ce mécanisme est qu'il satisfait par construction la condition nécessaire de nage à bas Reynolds exposée précédemment. De plus, la rapidité de la déformation lors de l'instabilité pousse à prévoir l'apparition d'effets inertiels, et ce même à l'échelle microscopique.Une étude expérimentale a été conduite à l'échelle macroscopique dans le but de comprendre la dynamique de l'instabilité et son impact sur le fluide qui entoure la coque creuse. Ces expériences nous permettent de montrer qu'un déplacement net non-nul est produit pour tous les régimes d'écoulements.On met en évidence le rôle de paramètres géométriques, des propriétés du matériau composant la coque creuse et de la rhéologie du fluide sur l'efficacité de la nage.On montre l'existence d'un optimum de déplacement net pour des valeurs intermédiaires du nombre de Reynolds. Pour expliquer cela, on se sert de mesures de PIV résolues temporellement pour mettre en évidence la présence d'effets d'histoire non-triviaux qui augmentent le déplacement net.On dérive un simple modèle en se basant sur les observations expérimentales pour montrer que ce régime optimal de nage est atteignable pour des sphères microscopiques, ceci est possible grâce l'activation rapide de l'instabilité. Cette propriété permet aussi une excitation à haute fréquence en utilisant des ultrasons. Une étude d'échelle nous permet de prédire une vitesse de nage de 1 cm/s pour un micro-robot contrôlé à distance. Cet ordre de grandeur de vitesse est idéal pour des applications biologiques comme la distribution ciblée de médicaments. / Microswimmers, and among them aspirant microrobots, are generally bound to cope with flows where viscous forces are dominant, characterized by a low Reynolds number (Re). This implies constraints on the possible sequences of body motion, which have to be nonreciprocal. Furthermore, the presence of a strong drag limits the range of resulting velocities.Here, we propose a swimming mechanism which uses the buckling instability triggered by pressure waves to propel a spherical hollow shell. The particularity of this mechanism is that it fulfills naturally the necessary condition of swimming at low Re. In addition, the swiftness of the instability might produce inertial effects even at the microscopic scale.With a macroscopic experimental model we show that a net displacement is produced at all Re regimes. We put in evidence the role of geometrical parameters, shell material properties and rheology of the surrounding fluid on the swimming efficiency.An optimal displacement is reached at intermediate Re. Using time-resolved PIV measurements, we explain that non-trivial history effects take place during the instability and enhance net displacement.Using a simple model, derived from the study of shell dynamics, we show that due to the fast activation induced by the instability, this regime is reachable by microscopic shells. The rapid dynamics would also allow high frequency excitation with standard traveling ultrasonic waves. Scale considerations predict a swimming velocity of order 1 cm/s for a remote controlled microrobot, a suitable value for biological applications such as drug delivery.

La détermination de la forme d'un obstacle élastique immergé dans un milieu fluide à partir de mesures du champ d'onde diffracté est un problème d'un vif intérêt dans de nombreux domaines tels que le sonar, l'exploration géophysique et l'imagerie médicale. A cause de son caractère non-linéaire et mal posé, ce problème inverse de l'obstacle (IOP) est très difficile à résoudre, particulièrement d'un point de vue numérique. De plus, son étude requiert la compréhension de la théorie du problème de diffraction direct (DP) associé, et la maîtrise des méthodes de résolution correspondantes. Le travail accompli ici se rapporte à l'analyse mathématique et numérique du DP élasto-acoustique et de l'IOP. En particulier, nous avons développé un code de simulation numérique performant pour la propagation des ondes associée à ce type de milieux, basé sur une méthode de type DG qui emploie des éléments finis d'ordre supérieur et des éléments courbes à l'interface afin de mieux représenter l'interaction fluide-structure, et nous l'appliquons à la reconstruction d'objets par la mise en oeuvre d'une méthode de Newton régularisée.

La détermination de la forme d'un obstacle élastique immergé dans un milieu fluide à partir de mesures du champ d'onde diffracté est un problème d'un vif intérêt dans de nombreux domaines tels que le sonar, l'exploration géophysique et l'imagerie médicale. A cause de son caractère non-linéaire et mal posé, ce problème inverse de l'obstacle (IOP) est très difficile à résoudre, particulièrement d'un point de vue numérique. De plus, son étude requiert la compréhension de la théorie du problème de diffraction direct (DP) associé, et la maîtrise des méthodes de résolution correspondantes. Le travail accompli ici se rapporte à l'analyse mathématique et numérique du DP élasto-acoustique et de l'IOP. En particulier, nous avons développé un code de simulation numérique performant pour la propagation des ondes associée à ce type de milieux, basé sur une méthode de type DG qui emploie des éléments finis d'ordre supérieur et des éléments courbes à l'interface afin de mieux représenter l'interaction fluide-structure, et nous l'appliquons à la reconstruction d'objets par la mise en oeuvre d'une méthode de Newton régularisée. / The determination of the shape of an elastic obstacle immersed in water from some measurements of the scattered field is an important problem in many technologies such as sonar, geophysical exploration, and medical imaging. This inverse obstacle problem (IOP) is very difficult to solve, especially from a numerical viewpoint, because of its nonlinear and ill-posed character. Moreover, its investigation requires the understanding of the theory for the associated direct scattering problem (DP), and the mastery of the corresponding numerical solution methods. The work accomplished here pertains to the mathematical and numerical analysis of the elasto-acoustic DP and of the IOP. More specifically, we have developed an efficient numerical simulation code for wave propagation associated to this type of media, based on a DG-type method using higher-order finite elements and curved edges at the interface to better represent the fluid-structure interaction, and we apply it to the reconstruction of objects with the implementation of a regularized Newton method.