Les processus markoviens déterministes par morceaux (PMDM) ont été introduits dans la littérature par M.H.A. Davis en tant que classe générale de modèles stochastiques non-diffusifs. Les PMDM sont des processus hybrides caractérisés par des trajectoires déterministes entrecoupées de sauts aléatoires. Dans cette thèse, nous développons des méthodes numériques adaptées aux PMDM en nous basant sur la quantification d'une chaîne de Markov sous-jacente au PMDM. Nous abordons successivement trois problèmes : l'approximation d'espérances de fonctionnelles d'un PMDM, l'approximation des moments et de la distribution d'un temps de sortie et le problème de l'arrêt optimal partiellement observé. Dans cette dernière partie, nous abordons également la question du filtrage d'un PMDM et établissons l'équation de programmation dynamique du problème d'arrêt optimal. Nous prouvons la convergence de toutes nos méthodes (avec le plus souvent des bornes de la vitesse de convergence) et les illustrons par des exemples numériques. / Piecewise-deterministic Markov processes (PDMP’s) have been introduced by M.H.A. Davis as a general class of non-diffusive stochastic models. PDMP’s are hybrid Markov processes involving deterministic motion punctuated by random jumps. In this thesis, we develop numerical methods that are designed to fit PDMP's structure and that are based on the quantization of an underlying Markov chain. We deal with three issues : the approximation of expectations of functional of a PDMP, the approximation of the moments and of the distribution of an exit time and the partially observed optimal stopping problem. In the latter one, we also tackle the filtering of a PDMP and we establish the dynamic programming equation of the optimal stopping problem. We prove the convergence of all our methods (most of the time, we also obtain a bound for the speed of convergence) and illustrate them with numerical examples.

La production de carburants est possible à partir d’eau, d’énergie solaire et de CO2 par la voie de la photosynthèse artificielle. L’optimisation de ce processus est un thème de recherche de l’Institut Pascal. À la petite échelle contrôlant ce procédé, il est indispensable de déterminer les propriétés radiatives des microalgues photosynthétiques pour résoudre l’équation de transfert radiatif au sein des photobioréacteurs. La grande variété des micro-organismes liée à la forme, à l’élongation et aux paramètres de taille fait que la mise en œuvre des méthodes numériques existantes échoue pour des raisons de précision ou de capacité mémoire. De nombreuses communautés scientifiques se heurtent à ce problème d’électromagnétisme non encore résolu surtout pour les particules de grands paramètres de taille. Les travaux réalisés dans le cadre de cette thèse ont consisté à résoudre ce problème par la méthode modale de Fourier, une méthode numérique a priori développée et optimisée pour modéliser les problèmes de l’optique électromagnétique. Dans cette méthode, chaque micro-organisme est approché par un empilement de couches ce qui revient à approcher son profil par des marches d’escalier. L’approche proposée a été validée par comparaison avec les résultats disponibles dans la littérature. Une validation expérimentale des calculs théoriques a également été faite dans le domaine des micro-ondes grâce à une collaboration avec l’équipe HIPE de l’Institut Fresnel (Marseille, UMR 7249). Les résultats obtenus montrent la pertinence de la méthode développée. / The production of fuels is possible from water, solar energy and CO2 through artificial photosynthesis. The optimization of this process is a research topic of Pascal Institute. At a small scale controlling this process, it is essential to determine the radiative properties of photosynthetic microalgae to solve the radiative transfer equation in photobioreactors. The wide variety of microorganisms related to the form, the elongation and size parameters make that the implementation of existing numerical methods fails because of lack of accuracy or memory. Many scientific communities face this problem of electromagnetism unresolved especially for particles of large size settings. The work achieved in this research is aimed at solving this problem by the Fourier modal method which is a numerical method first developed and optimized for modelling the electromagnetic optics problems. In this method, each microorganism is approached by a stack of layers which leads to replace the profile by the staircase approximation. The proposed approach was validated by comparison with results available in the literature. An experimental validation of theoretical calculations was also made in the microwave spectrum thanks to a collaboration with the HIPE team from Fresnel Institute (Marseille, UMR 7249). The results show the accomodation of the developed method.

Cette thèse est constituée de deux parties indépendantes. Dans le premier chapitre, nous introduisons une méthode numérique permettant d'intégrer des équations aux dérivées partielles représentant la dynamique Hamiltonienne de théories des champs. Cette méthode est un intégrateur multi-symplectique qui préserve localement le tenseur énergie-impulsion sur de très longues périodes de temps et avec précision. Son principal avantage est d'être extrêmement simple tout en restant bien définie localement. Nous la mettons à l'épreuve sur le cas particulier du modèle phi^4 en 1+1 dimensions; nous expliquons également comment l'implémenter en dimensions supérieures. De plus, nous faisons une présentation géométrique de la structure multi-symplectique et nous introduisons une construction permettant de résoudre le problème de dégénérescence pouvant l'affecter.Le second chapitre traite d'aspects hors équilibre dans les systèmes statistiques: nous nous intéressons en particulier à la question de l'impact d'un taux de refroidissement fini lors d'une trempe à travers une transition de phase du second ordre. Pour décrire plus fidèlement le régime hors équilibre qui se produit avant la transition de phase, nous étendons le mécanisme dit de Kibble-Zurek. Nous décrivons comment la taille caractéristique des objets géométriques présents dans le système dépend du temps et du taux de refroidissement; ceci, avant et une fois le point critique atteint. Ces prédictions théoriques sont mises à l'épreuve sur l'exemple du modèle d'Ising ferromagnétique. Nous décrivons également les propriétés géométriques des domaines qui apparaissent dans le système au cours de la dynamique de refroidissement. / This thesis is made up of two independent parts. In the first chapter, we introduce a novel numerical method to integrate partial differential equations representing the Hamiltonian dynamics of field theories. It is a multi-symplectic integrator that locally conserves the stress-energy tensor with an excellent precision over very long periods. Its major advantage is that it is extremely simple (it is basically a centered box scheme) while remaining locally well defined. We put it to the test in the case of the non-linear wave equation (with quartic potential) in one spatial dimension, and we explain how to implement it in higher dimensions. A formal geometric presentation of the multi-symplectic structure is also given as well as a technical trick allowing to solve the degeneracy problem that potentially accompanies the multi-symplectic structure. In the second chapter, we address the issue of the influence of a finite cooling rate while performing a quench across a second order phase transition. We extend the Kibble-Zurek mechanism to describe in a more faithfully way the out-of-equilibrium regime of the dynamics before crossing the transition. We describe the time and cooling rate dependence of the typical growing size of the geometric objects, before and when reaching the critical point. These theoretical predictions are demonstrated through a numerical study of the emblematic kinetic ferromagnetic Ising model on the square lattice. A description of the geometric properties of the domains present in the system in the course of the annealing and when reaching the transition is also given.

Les très basses fréquences (VLF) sont aujourd’hui principalement utilisées pour les communications sous-marines. Ces fréquences ont en effet l’avantage de pénétrer dans l’eau de mer jusqu’à quelques dizaines de mètre de profondeur, ainsi que de permettre des communications à très longue distance, au-delà de l’horizon. Les antennes nécessaires à l’établissement de ces communications sont nécessairement de très petite taille par rapport aux longueurs d’onde mises en jeu. Ces antennes sont des structures composées de centaines de mètre de câbles métalliques, situées à un emplacement étudié pour les qualités diélectriques du sol ou les avantages structurels du relief. Pour étudier de telles antennes, nous proposons l’utilisation d’un code basé sur une méthode temporelle, la TLM. Cette méthode peut se révéler être très efficace pour des études sur de larges bandes de fréquence et en présence d’un environnement diélectrique complexe. Pour cela, nous avons amélioré le modèle du Fil Mince permettant de modéliser une structure métallique en une dimension et avons cherché à valider son fonctionnement en présence d’un environnement réaliste. Dans ce document, nous présentons ainsi les différentes étapes ayant abouties aux améliorations apportées au modèle de Fil Mince. Notre code a été validé en comparant nos résultats à ceux de FEKO, un logiciel commercial basé sur la MoM considéré comme la méthode la plus adaptée à ce type de problème. Nous avons proposé, en particulier, une solution permettant de garantir une bonne précision du modèle quel que soit l’orientation du fil dans le maillage cartésien 3D. Nous avons ensuite précisé le domaine de validité des fils coudés ainsi que des jonctions de plusieurs fils. Nous avons étudié également l’interaction entre le fil et des milieux inhomogènes. Il s’agit là d’une problématique ambitieuse pour laquelle nous avons apporté quelques éléments de réponse mais qui reste à ce jour un verrou technologique à lever. Enfin, nous avons étudié des structures antennaires réalistes. Les simulations d’un système composé d’antennes en T déployé dans une vallée ont permis d’appréhender le fonctionnement d’une telle structure et ont montré l’intérêt de notre méthode. En effet, les temps de calcul nécessaires à la résolution du problème sont significativement plus faibles avec le code TLM qu’avec le logiciel FEKO sur ce type de sol complexe. Les simulations d’une antenne Trideco avec un plan de masse radial aérien ou enterré ont quant à elles montré les limites actuelles du code TLM qui reste handicapé par une modélisation imprécise des nœuds de connexion entre plusieurs fils et de leur interaction avec les milieux inhomogènes. / Submarine communications are the main usage of the very low frequency (VLF). This frequency band allows to radiate up to a few tens meter of depth and to a very long distance. Antennas for such telecommunications are necessarily small in regard to the wavelength. However, these structures are composed of hundred meters of thin metallic cables and their locations are often chosen for their dielectric characteristics or the structural advantage provided by the relief. To evaluate such antennas, we propose to use a home-made software, based on the TLM method. Such technique can be efficient for studying wide band electromagnetic problems in complex dielectric environment. Then we have improved the TLM Thin Wire model and we have evaluated its performances in realistic environment. In this document, we present our work and its validation by comparing our results to those obtained with the commercial software FEKO, based on the MoM, considered as the most suitable technique for this kind of problem. A solution assuring a good accuracy of the model for an arbitrary orientation of the Thine Wire in the 3D cartesian grid was proposed. We have also specified the limitations of the bent wire and the wires junction. In addition, we have studied the interaction between the wire and inhomogeneous media. This is an ambitious problem for which we brought some elements of answer but which remains a challenge. Finally, we have tested our software on some realistic antenna systems. The simulations of a valley span T antennas system allow to understand the functioning of such radiating structure and to show the interest of our method. The computation times are significantly lower with the TLM method than with FEKO to deal with antennas above such complex ground. However, the simulations of a Trideco antenna with aerial or buried radial ground plane showed the actual limitations of the TLM software which remains handicapped by an insufficient accuracy of the wires junction model and the inhomogeneous media interactions.

Au cœur des moyens de transport, de transformation d'énergie, et de biens d'équipements, les machines tournantes peuvent avoir des comportements dynamiques complexes dus à de multiples sources de non linéarités liées aux paliers hydrodynamiques, à la présence de fissures, aux touches rotor-stator, ... Des phénomènes comme les décalages fréquentiels et donc de vitesses critiques, les cycles d'hystérésis avec sauts d'amplitudes, le changement brutal du contenu fréquentiel des réponses, sont des expressions de ces comportements. Résoudre les équations du mouvement induites par des modélisations avec des éléments finis de type poutre ou volumique, pour calculer les réponses à des sollicitations diverses (comme le balourd ou le poids propre), est réalisable avec des méthodes d'intégration pas à pas dans le temps mais au prix de temps de calcul prohibitifs. Cela devient particulièrement préjudiciable au stade du pré-dimensionnement où il est nécessaire de réaliser rapidement des études paramétriques. Aussi une alternative intéressante est de mettre en {\oe}uvre une méthode numérique, à la fois générale et efficace pour analyser la réponse non linéaire des rotors en régime stationnaire. La démarche proposée combine, dans un premier temps, la méthode de la balance harmonique (HBM) et la technique de bascule Temps-Fréquence (AFT) afin d'obtenir rapidement dans le domaine fréquentiel les réponses périodiques des rotors à grand nombre de degrés de liberté apportés par les éléments finis volumiques. Puis, l'association à la méthode de continuation par pseudo-longueur d'arc aboutit à établir continûment l'ensemble des solutions d'équilibre dynamique sur la plage de vitesse de rotation. Enfin la stabilité dynamique locale de la solution périodique est analysée grâce à des indicateurs de bifurcation basés sur l'évolution des exposants de Floquet. Ainsi sont détectées les bifurcations de branches de solutions périodiques de type point limite, point de branchement et notamment Neimark-Sacker. Leur localisation est déterminée précisément en résolvant un système augmenté constitué de l'équation du mouvement et d'une équation supplémentaire caractérisant le type de bifurcation considéré. En déclarant un paramètre du système (coefficient de frottement, jeu rotor/stator, amplitude de l'excitation,...) comme nouvelle variable, l'utilisation de la technique de continuation conjointement avec le système augmenté détermine directement le cheminement des bifurcations en fonction de ce paramètre sur la nappe des réponses non linéaires. Les suivis de bifurcations délimitent les zones de fonctionnement spécifiques, extraient efficacement l'essentiel du comportement dynamique et offrent ainsi une nouvelle approche pour dimensionner de façon efficace les systèmes notamment en rotation. Nombre des développements réalisés sont implantés dans le code de calcul Cast3M. / Generally speaking, the rotating systems utilized in the energy production have a small rotor-stator gap, are able to run during long periods, and are mounted on hydrodynamic bearings. Rotor-stator interactions in case of blade loss, crack propagation due to fatigue, and a variable stiffness due to the nonlinear restoring forces of the bearings can make the rotordynamics nonlinear and the responses complicated: significant amplitude and frequency shifts are introduced, sub- and super-harmonics appear, and hysteresis occurs. It is of great importance to understand, predict and control this complicated dynamics. Due to the large number of DOFs and the broad range of study frequency, the computation time for solving the equations of motion by a temporal integration method can be quite prohibitive. It becomes particularly disadvantageous at the design stage where a parametrical study need to be quickly performed. An alternative numerical method, which is general and effective at the same time, is proposed in order to analyse the nonlinear response of the rotors at steady state. Firstly, the periodic responses of nonlinear rotors are calculated in the frequency domain by combining harmonic balance method (HBM) and alternating frequency-time (AFT). With the help of continuation method, all dynamic equilibrium solutions of nonlinear systems are determined for the range of study frequency. Then, Floquet exponents which are the eigenvalues of Jacobian are sought for stability analysis of periodic solutions. Then the local stability of the periodic solution is analysed through the bifurcation indicators which are based on the evolution of Floquet exponents. The bifurcations of periodic solution branch, such as limit point, branch point, and Neimark-Sacker bifurcation, are thus detected. By declaring a system parameter (friction coefficient, rotor / stator gap, excitation amplitude, ...) as a new variable, applying once again the continuation method to the augmented system determines directly the bifurcation's evolution as a function of this parameter. Thus, parametric analysis of the nonlinear dynamic behaviour is achieved, the stability boundary or the regime change boundary is directly determined. Numerous developments are implemented in the calculation code Cast3M.

Ce travail présente une approche modulaire bien adaptée à l'analyse de situations complexes d'assemblages de structures élastiques. L'approche CONTRAST (CONtact TRidimensionnel dans les Assemblages en STatique) prend facilement en compte les non-linéarités locales dues au contact ou à des éléments technologiques particuliers (joints élastomères, boulons fortement précontraints,...). Elle est basée sur une décomposition de l'assemblage en sous-structures et interfaces, qui sont des entités mécaniques à part entière avec leurs propres équations et leurs propres inconnues. Les interfaces jouent un rôle majeur en modélisant simplement les non-linéarités locales. Le schéma itératif de résolution est issu de la méthode à grand incrément de temps (LATIN method). L'approche CONTRAST est ainsi basée sur une formulation et une stratégie parallèles. Ce parallélisme est avant tout utilisé pour introduire flexibilité et modularité dans la définition du problème et autorise l'utilisation de maillages incompatibles sur les interfaces. Il permet aussi une réduction des coûts de calcul par rapport aux techniques éléments finis classiques. Des comparaisons avec un code de calcul industriel valident le traitement des problèmes de contact et de frottement. Des exemples d'assemblages industriels présentent les possibilités de l'approche ainsi que son comportement sur calculateur parallèle

Ce travail de thèse a été consacré au développement d'outils numériques pour aider à la compréhension, par simulation numérique, de l'aérodynamique d'un inverseur de poussée à portes (écoulement turbulent compressible). Dans cette étude, nous avons adopté deux approches complémentaires : résolution des équations de Navier-Stokes moyennées RANS (stationnaires) ou filtrées LES (instationnaires). Dans un premier temps, les divers phénomènes physiques présents dans un inverseur de poussée sont décomposés et étudiés séparément. On simule ainsi successivement :<br /> (1) un écoulement décollé (marche descendante - calcul RANS),<br /> (2) un écoulement cisaillé libre (couche de mélange plane - calculs RANS et LES), <br />(3) des écoulements présentant de fortes courbures des lignes de courant (conduite rectangulaire courbée (calcul RANS) et couche de mélange courbe - calculs RANS et LES). Ensuite, deux configurations simplifiées d'inverseurs de poussée à portes sont étudiées numériquement par simulations RANS et LES.

L'objet de cette thèse est l'étude de quelques aspects de <br />la notion d'hyperbolicité, plus particulièrement de la <br />relation qui existe entre celle-ci et la nature bien posée <br />d'un problème de Cauchy obtenu à partir d'un système<br />d'équations aux dérivées partielles issu de la mécanique <br />des fluides ou la réalisation de la simulation numérique <br />d'un tel problème.<br /><br />Dans un premier temps, nous rappelons en quoi la notion de<br />linéarisation d'un système d'équations aux dérivées <br />partielles semble naturelle à l'étude de ce système et <br />comment, de l'étude de ces problèmes linéarisés, plus <br />précisément de leur nature bien posée c'est-à-dire de leur <br />stabilité, découle la notion d'hyperbolicité.<br /><br />Nous étudions ensuite le cas particulier d'un modèle à <br />quatre équations pour un écoulement bifluide comportant des <br />termes de diffusion pour les équations de quantité de <br />mouvement. Nous montrons alors que, bien que, pour ce <br />système, l'ajout des termes de diffusion n'entraîne pas <br />l'hyperbolicité du modèle obtenu, les problèmes de Cauchy <br />construits à partir de la linéarisation de ce système, <br />autour d'un état constant, sont désormais bien posés.<br /><br />Enfin, nous considérons le cas d'un modèle à cinq équations <br />pour un écoulement bifluide. Ce modèle ne nécessite pas de <br />loi de fermeture algébrique (équations d'état ou lois <br />tabulées) mais comporte une équation aux dérivées <br />partielles portant sur la pression. Le système ainsi <br />obtenu n'est pas hyperbolique mais les valeurs propres de <br />l'opérateur d'advection sont toutes réelles. La simulation<br />numérique d'un écoulement régi par ce modèle, pour le cas <br />test du robinet de Ransom, ne fait néanmoins pas apparaître <br />les instabilités numériques que la nature mal posée du<br />linéarisé nous faisait craindre et qui sont présentes dans <br />les simulations réalisées à partir du modèle isentropique <br />classique à quatre équations.

Les méthodes de restauration en coupe ou en carte sont des outils performants pour estimer les déplacements dans les domaines déformés. De plus, elles permettent de tester la cohésion géométrique d'une carte ou d'une coupe, laquelle est considérée comme acceptable d'un point de vu cinématique si son état restauré est géologiquement acceptable. Etant donné que les méthodes de restauration en coupe sont limitées aux domaines de déformation plane, nous avons mis au point une méthode numérique de restauration en carte conçue pour les domaines faillés en extension. Nous utilisons des cartes de niveaux stratigraphiques sur lesquelles sont reportés le champ de failles et la composante horizontale du rejet normal sur chacune de ces failles (carte de rejets horizontaux). Nous considérons que le niveau est restauré lorsque le rejet sur les failles a été inversé. Pour ce faire, nous "découpons" la carte de rejets horizontaux en un ensemble de blocs limités par des failles. Les rejets sur les failles sont inversés en ajustant les blocs les uns par rapport aux autres par une série de rotations et de translations rigides visant à minimiser par moindre carré les vides et les recouvrements entre les blocs. A partir de l'état déformé et de l'état restauré de l'horizon stratigraphique, nous établissons (1) un champ des déplacements finis (2) un champ de rotations finies des blocs et (3) un champ de déformation. Nous avons appliqué cette méthode à trois exemples: deux bassins sédimentaires (le bassin de Campos sur la marge atlantique brésilienne et le delta du Niger sur la marge atlantique nigériane) et un domaine d'extension à l'échelle de la croûte (la dépression Afar à la jonction de la Mer Rouge, du Golfe D'Aden et du Rift Est Africain). Nous avons choisi d'appliquer notre méthode dans le bassin de Campos parce que le glissement gravitaire divergent de la couverture sédimentaire a produit un étirement affectant plusieurs directions horizontales c'est à dire une déformation non plane. Le jeu de données dans le delta du Niger nous permet de calculer des champs de déplacements et de déformation incrémentaux en restaurant plusieurs niveaux stratigraphiques au sein d'un même bassin. Dans les deux cas, les données sont issues d'une couverture sismique. La dépression Afar est un exemple qui nous permet d'illustrer notre méthode lorsqu'elle est appliquée à une échelle différente en utilisant des cartes issues de l'interprétation d'image satellites SPOT. Dans le bassin de Campos nous avons restauré deux marqueurs stratigraphiques: un marqueur oligocène et un marqueur crétacé supérieur. Dans les deux cas nous obtenons un champ de déplacement avec des vecteurs divergents vers le large. Cependant le champ de déplacement et le champ de failles sont différents d'un horizon à l'autre. Nous suggérons que ce soit le résultat de la mise en place au Tertiaire d'un delta avec un front de propagation triangulaire. La surcharge sédimentaire associée serait le moteur du l'étalement gravitaire divergent et aurait induit un nouveau champ de failles. Dans le delta du Niger, nous avons appliqué notre méthode à six marqueurs stratigraphiques au sein d'un système de failles de croissance correspondant à deux failles majeures antithétiques et à un "roll-over" faillé. Nous avons calculé les champs de déplacements correspondant aux incréments de temps entre les dépôts des horizons successifs. Nous montrons que les déplacements horizontaux les plus importants ont lieu au cours des dernières étapes du développement du roll-over, au moment de son effondrement gravitaire. Deux modèles ont été proposés jusqu'à maintenant pour expliquer la structuration du Sud-Est de la dépression Afar. Soit l'extension est considérée comme le résultat du recouvrement entre deux rifts' se propageant dans des directions opposées et est accommodée par un mécanisme de rotations de blocs (bookshelt). Soit elle est produite par la rotation anti-horaire de la bordure Est de la dépression. Nous avons déterminé les champs de déplacements, de rotations et de déformations dans ce secteur. Nous montrons qu'il existe un gradient SW-NE dans l'intensité des rotations de blocs, des déformations et des déplacements. De plus il existe un changement des directions de déformation et de délpacement depuis une direction NNE-SSW dans la partie ouest de la dépression vers une direction NE-SW à l'Est. Ces résultats sont compatibles avec une rotation antihoraire de la bordure Est mais pas avec un mécanisme de bookshelf qui devrait être associé à une distribution uniforme des intensités de rotations et de déformation.

On développe un modèle viscoélastique non linéaire en grandes déformations, appelé modèle pseudo-linéaire. Ce modèle est basé sur un choix particulier d'une mesure de déformation permettant d'écrire le potentiel d'énergie libre sous forme quadratique et la loi de comportement sous forme d'une convolution simple. Afin de valider ce modèle, on compare le potentiel pseudo-linéaire à un potentiel d'énergie libre écrit sous la forme générale d'un développement de Fréchet d'ordre 4. Les fonctions de relaxation de ce potentiel sont écrites sous forme d'exponentielles décroissantes à un temps caractéristique par décade. Cette comparaison montre une bonne concordance entre les deux descriptions. La formulation proposée permet de calculer simplement la dissipation dans le matériau. Une illustration est donnée dans le cas d'oscillations harmoniques. On développe alors une formulation variationnelle associée au modèle pseudo-linéaire basée sur la minimisation de l'énergie totale. On effectue une approximation linéaire en temps et on propose une procédure numérique de résolution. On construit alors un code de calcul par éléments finis et on le valide dans le cas de comportements simples en comparant les solutions analytiques aux résultats numériques.