Cette thèse concerne l'étude de modèles mathématiques et méthodes numériques motivés par la filtration des globules blancs du sang. <br /><br />Dans la première partie, nous définissons des modèles mathématiques qui réprésentent les principaux phénomènes physiques qui entrent en jeu dans le procédé de la filtration.<br /><br />La deuxième partie est dédiée à l'analyse mathématique de systèmes d'équations aux dérivées partielles modélisant le procédé de la filtration. Tout d'abord, nous considérons un système d'équations semi-linéaires de type hyperbolique-parabolique avec une diffusion anisotrope dégénérée. Nous étudions ce problème avec une théorie $L^{1}$; nous considérons en particulier l'existence et l'unicité de solutions faibles ainsi que d'autres propriétés comme le principe du maximum; puis nous établissons la limite quand la constante de réaction devient grande. Nous montrons que le système converge vers une équation non linéaire parabolique-hyperbolique qui généralise le problème de Stefan. Nous étudions également, par des techniques de l'homogénéisation, la filtration au travers de milieux poreux fibrés. Le réseau des fibres étudié est celui utilisé par M. Briane dans le cadre d'une étude sur la conduction thermique des tissus biologiques. Nous dérivons et justifions l'équation de Darcy ainsi que la forme du tenseur de perméabilité pour un tel milieu fibreux. Les résultats théoriques concernant la perméabilité sont illustrés par quelques simulations numériques. Finalement, nous considérons le cas où le diamètre des fibres tend vers zéro. En appliquant des résultats de G. Allaire à notre cas, nous justifions rigoureusement la forme du terme dominant dans les formules de perméabilité efficace utilisées en ingénierie. Ces résultats sont également confirmés par un calcul numérique direct de la perméabilité, dans lequel la petitesse du diamètre des fibres rend nécessaire le recours à des approximations de précision élevée.<br /><br />La définition des méthodes numériques efficaces pour approximer la solution des modèles mathématiques est envisagée dans la troisième partie. Précisément, concernant les équations de Darcy, nous avons utilisé la méthode des éléments finis mixtes hybrides. Pour la résolution de l'équation du transport, nous avons implémenté une méthode numérique utilisant des volumes finis pour la discrétisation du terme convection/réaction associé à une approximation mixte hybride pour la discrétisation du terme dispersif.

Identifier la géométrie et l'évolution chimique des écoulements souterrains est un objectif majeur de l'hydrologie. Les outils géophysiques (radar, méthodes électriques et magnétiques) apportent des informations complémentaires aux mesures en puits. Le suivi du potentiel spontané (PS) est particulièrement attractif, le champ électrique dans le sous-sol ayant une origine dynamique, résultant d'un déséquilibre hydraulique (écoulement) ou chimique (diffusion, réactions chimiques) des nappes. L'objectif de cette thèse est d'isoler les contributions individuelles de ces différents couplages.<br /> Des expériences de laboratoire ont donc été menées pour mesurer séparément et indépendamment la signature électrique de l'écoulement d'un fluide homogène, de la diffusion d'un front salin en conditions de fluide stagnant, du transport d'un front de concentration, et des réactions acide-base et redox. La partie principale du dispositif expérimental est un bac rectangulaire de dimensions décimétriques, rempli de sable, connecté hydrauliquement à deux réservoirs indépendants, permettant de générer des écoulements uni ou bi-dimensionnels. Pour mesurer le signal, des électrodes impolarisables au cuivre – sulfate de cuivre, de diamètre réduit, ont été mises au point.<br /> Les résultats démontrent la capacité de la PS pour suivre la progression de fronts de concentration. La réponse électrique à la diffusion est due au potentiel de jonction fluide. La réponse à l'advection est la somme de ce potentiel et de la variation du signal électrocinétique qui résulte des modifications du coefficient de couplage en fonction de la conductivité du fluide (advection de sels) ou du pH (advection d'acide). Lorsque deux fluides se mélangent ou réagissent, la comparaison des courbes de PS dans les différentes zones permet de déterminer l'extension et l'évolution temporelle de la zone de mélange ou de réaction. L'hétérogénéité du milieu, structurelle et chimique, semble aussi jouer un grand rôle.

La thèse est une contribution expérimentale et théorique à la modélisation d'écoulements de bruts pétroliers produits par dépressurisation du réservoir. Il s'agit de produire l'huile en dessous du point de bulle et de profiter de l'expansion de la phase gaz pour déplacer l'huile (procédé appelé "Solution Gas Drive"). Jusqu'à présent les simulateurs de réservoir permettaient la simulation d'un tel mécanisme pour les huiles légères. Un problème se pose avec les huiles lourdes dont la forte viscosité et la physico-chimie intensifient l'état hors d'équilibre dû au mécanisme de changement de phase. Les simulateurs numériques classiques ne prennent pas en compte ce type de mécanisme hors équilibre, ni l'écoulement du gaz sous forme dispersée. Bien qu'un grand nombre de travaux aient déjà été réalisés essentiellement à l'échelle des pores, l'étude bibliographique montre qu'il est nécessaire d'avoir un modèle décrit par des équations continues (approche de Darcy). L'étude expérimentale des propriétés physico-chimiques (tension dynamique, élasticité de surface) des principaux constituants des bruts montre que les asphaltènes ont un effet tensioactif favorisant la formation de mousse au dessus d'une concentration seuil. Enfin, l'étude théorique des différents processus physiques permet d'établir un modèle d'écoulement continu, ne faisant intervenir que des grandeurs macroscopiques mesurables. La nucléation et le transfert de masse sont modélisés par une fonction volumique de transfert, la nucléation étant basée sur le modèle de bulles préexistantes. Deux phases gaz peuvent coexister : l'une continue à l'échelle du milieu, l'autre dispersée dans l'huile sous forme de bulles. Les simulations de plusieurs expériences, réalisées avec des roches et des fluides différents, montrent que le modèle permet d'interpréter et de prédire les productions de gaz et d'huile.

La prédiction de la propagation des feux de forêts consiste à trouver l'évolution du front du feu. Cette thèse reprend le modèle monodimensionnel de propagation du feu sous forme d'ellipses de Richards afin de trouver l'expression intrinsèque de la vitesse de ce front. Une formulation équivalente variationnelle de ce modèle en utilisant les principes de l'optique géométrique est aussi dérivée. Un modèle tridimensionnel de la propagation du feu grâce à une homogénéisation par prise de moyennes et à l'utilisation de la thermodynamique des processus irréversibles est alors obtenu. Une simplification de ce modèle, suivie d'une réduction bidimensionnelle sur la surface gauche du sol, nous conduisent alors à un modèle bidimensionnelle, qui tient compte des principaux paramµetres de la propagation des feux de forêts. Celui-ci permet d'obtenir des formes de corrélations utilisées par le modèle des ellipses. Le caractère non local de l'intervention du flux radiatif en provenance de la zone en feu qui se trouve au-dessus de la végétation est alors introduit. Des simulations numériques, de ce modèle bidimensionnel de propagation du feu avec terme de rayonnement non local, ont enfin été réalisées.

Ce mémoire est consacré à l'analyse des effets du confinement de l'air et du caractère multidimensionnel de l'écoulement lors des essais de caractérisation hydrodynamique d'un sol par la méthode du drainage interne. L'étude expérimentale et numérique de la compression de l'air au cours de l'infiltration montre que les caractéristiques du sol ne sont pas affectées par l'écoulement de l'air, dès lors que la pression capillaire est mesurée et non celle de l'eau uniquement. L'étude numérique du caractère axisymétrique de l'écoulement lors d'un essai à l'infiltromètre double anneaux montre que malgré l'importance du transfert radial, son influence sur la caractérisation d'un milieu homogène reste faible. En revanche, la caractérisation de milieux stratifiés horizontalement est très délicate.

Ce travail propose tout d'abord une synthèse des principales méthodes sans maillage (i.e. meshfree) existant actuellement (DEM, EFGM, h-p Clouds, SPH, RKPM, RKI, MLS/RK, PIM, RPIM, MLS/RBF, etc.), en fournissant une écriture commune à toutes les méthodes et en mettant ainsi directement en évidence les spécificités de chacune vis-à-vis de la construction des fonctions de forme. Plusieurs techniques spécifiques à la mise en œuvre numérique des méthodes meshfree sont également présentées et discutées. Les performances des différentes méthodes et techniques sont enfin comparées pour des tests mécaniques standards. Ce travail présente par ailleurs le modèle dynamique non linéaire utilisé pour modéliser les milieux poreux saturés en transformations finies, ainsi que les approches classiques pour établir la loi de comportement de la phase solide. Ce modèle est évalué sur diverses applications géomécaniques, en comparant les résultats obtenus pour différentes méthodes avec et sans maillage.

Mes différentes activités de recherche qui s'insèrent dans une problématique axée autour du transport multi-échelle en milieu poreux sont détaillées ici au travers de 3 volets: (1) Influence des hétérogénéités sur les processus de transfert (2) Prise en compte des effets de couplage en transport réactif (3) Impact des processus biologiques sur l'hydrodynamique et le transport Un survol des défis qui restent à surmonter et des perspectives à venir de ce travail de recherche concluent le document.

Ce travail vise à la construction d'un modèle élastoplastique endommageable pour une céramique poreuse à deux populations de pores saturés : le combustible nucléaire d'oxyde d'uranium fortement irradié et à haute température. La démarche suivie consiste en une approche multi-échelle basée sur l'hypothèse de séparation des échelles entre les deux populations de cavités (pores intragranulaires sphériques et pores intergranulaires ellipsoïdaux) et sur celle de l'isotropie macroscopique. Le modèle élastoplastique endommageable proposé traite séparément de l'élasticité, de la surface de plasticité et de l'évolution des paramètres internes du modèle avec le chargement. La prise en compte de pressions différentes dans chaque population de cavités est effectuée pour les trois régimes élasticité-plasticité-endommagement.

Ce travail de thèse de doctorat, effectué au sein du Département de Chimie Appliquée (au Laboratoire de Génie Chimique, LGC), vise à réaliser létude de lécoulement dun fluide dans des géométries complexes rencontrées en Génie Chimique (les empilages aléatoires et structurés, souvent utilisés dans des colonnes dadsorption et de distillation) par la méthode de Boltzmann sur réseau (Lattice Boltzmann Method, LBM) et à développer un outil numérique de simulation sous la forme dun code de calcul tridimensionnel. Dans le but daméliorer les performances de ces éléments complexes, qui conduisent à une efficacité et une sélectivité accrue des procédés se produisant dans les colonnes de distillation et dadsorption, il est donc intéressant dexaminer avec plus de précision la description des phénomènes de transport se produisant à léchelle locale dans ces milieux. Dans un premier temps, les concepts et les équations macroscopiques qui dérivent de lécoulement dun fluide ont été succinctement passés en revue, ainsi que le modèle de turbulence qui a été utilisé. Nous présentons ensuite, les éléments théoriques de la méthode de Boltzmann sur réseau, après quelques détails sur le modèle Gaz sur réseau, dont elle est dérivée. La méthode de Boltzmann sur réseau se démarque des schémas traditionnels en résolvant numériquement une équation basée sur la physique statistique. Les codes des modèles SRTLBE (équation de Boltzmann sur réseau à un seul temps de relaxation) et MRTLBE (équation de Boltzmann sur réseau à plusieurs temps de relaxation) à trois dimensions, de même que des conditions aux limites convenables ont été écrits dans un langage de programmation, puis validées sur des cas types de la littérature : un écoulement laminaire dans un conduit de section carrée et un écoulement de jet turbulent rectangulaire à 3D. Les codes implémentés dans une grille de calcul ont permis de simuler des écoulements de fluides dans des structures très complexes qui ont été obtenues par une technique expérimentale avancée : la microtomographie à rayons X. Létude dune mousse métallique, dun filtre à charbons actifs et dun filtre de capture daérosols ont été présentés. Les résultats numériques ont été comparés avec succès aux mesures expérimentales et à des corrélations de la littérature. Une autre étude a concerné létude de lécoulement à travers deux feuilles de Mellapak 250 Y. Les champs et contours de vitesse ainsi obtenus ont été soigneusement analysés et commentés à la fois en régime laminaire et en régime turbulent. Les résultats hydrodynamiques ont été comparés avec des mesures expérimentales ainsi quavec des valeurs calculées par des corrélations disponibles dans la littérature. Les modèles existant ont été analysés. Enfin, ces simulations (LBM) ont été comparées à celles effectuées dans les mêmes conditions opératoires, avec le code de calcul classique FLUENT.

Dans une démarche de modélisation hydrogéologique, la méthode des éléments analytiques présente une alternative intéressante par rapport aux méthodes numériques usuellement employées pour l'hydrodynamique souterraine. C'est une méthode aux frontières qui a été développée spécifiquement pour la modélisation des écoulements souterrains. Après avoir identifié sa place parmi les autres méthodes existantes et discuté de ses avantages et inconvénients, il s'agit d'approfondir cette comparaison sur un cas d'étude réel. C'est pourquoi, cette méthode est comparée à la méthode des différences finies à travers une méthodologie envisageant toutes les étapes de la modélisation ; de la création du modèle conceptuel jusqu'aux résultats de simulation. Cette comparaison fait apparaître l'importance de l'étape de la discrétisation et l'importance cruciale qu'elle représente pour l'utilisateur sur la qualité générale de la modélisation. Après avoir identifié les approximations inhérentes à la méthode des éléments analytiques, une analyse mathématique de problèmes simplifiés et localisés sur quelques éléments analytiques permet de quantifier ces erreurs et d'y extraire une analyse de leur comportement numérique. Cela permet d'introduire par la même occasion des éléments de théorie de la méthode des éléments analytiques. La représentation objet et vectorielle des éléments analytiques permet de bien valoriser les interactions possibles avec les SIG. En particulier, il s'agit d'élaborer des algorithmes de discrétisation adaptés aux spécificités et aux besoins de la méthode, mais aussi de mettre en valeur des critères d'évaluation de la qualité de cette discrétisation. La synthèse de ces outils et méthodes permet à l'utilisateur de disposer d'un outil d'aide à la discrétisation pour réduire au mieux ses effets sur la qualité de modélisation. Il s'agit ensuite d'étudier le comportement numérique des éléments analytiques adaptés à la simulation en régime transitoire. Pour cela, des éléments analytiques 1D sont d'abord développés pour faciliter cette étude. Leur comportement numérique reste similaire tout en réduisant les erreurs numériques qui sont induites par le calcul des éléments analytiques euxmême. Cette analyse permet de mettre en évidence une méthode de résolution adaptée au régime transitoire qui est ensuite transposée au problème 2D. Elle y expose en particulier une méthode pour estimer le champ d'influence de l'élément transitoire, utilisant un critère de discrétisation spatial qui doit être corrélé avec le pas de discrétisation temporel.