Québec Université Laval, Bibliothèque 2019

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2016-2017 / La connaissance des nombres, un précurseur des habiletés mathématiques, est essentielle à la maitrise de concepts fondamentaux en début de scolarisation. On sait toutefois peu de choses des mécanismes qui sous-tendent la connaissance des nombres, des facteurs qui influencent son développement et de sa contribution à long terme au développement des mathématiques. Dans le cadre de cette thèse doctorale, des trajectoires de développement de la connaissance des nombres ont été établies entre l’âge de 4 et 7 ans auprès de 1597 enfants. Quatre trajectoires ont été identifiées, dont l’une est constituée d’enfants (10%) qui se caractérisent par une connaissance des nombres constamment inférieure aux autres. Ces enfants ont été comparés aux autres sur leurs compétences en mathématiques à 8 et 10 ans, et ont également été évalués sur différents aspects de leur environnement familial et sur leurs habiletés cognitives à 41 mois. Les résultats montrent que les enfants avec une faible connaissance des nombres à l’âge préscolaire demeurent avec un rendement en mathématiques inférieur à celui des autres enfants et ce, jusqu’à la fin de l’école primaire. Ces enfants se caractérisent d’ailleurs par un revenu familial moindre, une faible scolarité du père, et des habiletés visuospatiales, une capacité de rétention et un développement cognitif général inférieurs à ceux des autres enfants. De plus, des modélisations génétiques effectuées à 5, 7, et 10-12 ans montrent que l’environnement commun aux jumeaux (p.ex., l’éducation familiale) explique principalement les variations individuelles de la connaissance des nombres à l’enfance alors qu’en vieillissant, ces variations s’expliquent davantage par les facteurs génétiques et spécifiques à l’environnement de chaque individu. Ces résultats sont similaires pour les garçons et les filles. Les résultats montrent également que la variance génétique est associée à la stabilité de la connaissance des nombres et à son association prédictive au rendement en mathématiques. Ces facteurs génétiques expliquent aussi des changements qui sont spécifiques au rendement en mathématiques, ce qui suggère l’apport de nouveaux gènes au rendement en mathématiques à la fin de l’école primaire. Les facteurs de l’environnement, commun et unique à chacun des jumeaux, contribuent tous deux à la stabilité de l’association entre la connaissance des nombres et le rendement en mathématiques, sans apport additionnel significatif de ces facteurs après la période préscolaire. Ensemble, les résultats de cette thèse révèlent que la période préscolaire s’avère la plus propice pour intervenir auprès d’enfants afin de prévenir les difficultés en mathématiques. / Number knowledge and skills (NKS), the conceptual and procedural understanding of whole numbers, predicts later scholastic achievement. However, little is known about the mechanisms underlying the NKS, its antecedents in early childhood, and its predictive validity to later math achievement. Children’s NKS was assessed four times at regular intervals between the ages 4 and 7 years in a large, representative population-based sample. Developmental trajectories of NKS were established for 1597 children. Four different groups of preschoolers were identified. About 10% of the children belonged to a trajectory of constantly and significantly lower performance compared with the other trajectories. These children were compared with others on their mathematics achievement at ages 8 and 10, and were also evaluated with respect to several features of their family environment at 5, 18 and 30 months, as well as their cognitive skills at age 41 months. The results showed significant differences between the trajectories of NKS with respect to later math achievement in elementary school, with the low trajectory-group remaining low throughout these years. The onset and developmental course of low NKS were associated with low household income and father educational background, low children’s early cognitive development, and more specifically, weak visual-spatial skills and memory span. Children with low cognitive abilities and poor living condition are at risk of low NKS profile from late preschool to school entry, and therefore, deserve special attention to alleviate later mathematic difficulties. Moreover, genetic multivariate analysis at ages 5, 7, and 10-12 years showed that shared environmental factors between twins of the same family (e.g. sharing the same home environment) mainly explained individual variations in preschool NKS, with increased heritability with time – genetic factors play the dominant role in later math achievement, suggesting different mechanisms in math-related tasks over the years. However, these mechanisms were similar for boys and girls. Genetic factors accounted for continuity from preschool NKS to late primary math achievement, but also explained specific variations in mathematics achievement, which suggest activation of new genes relevant to mathematics in late primary school years. The shared and non-shared environmental factors involved in preschool NKS were carried over to mathematics achievement, with no additional age-specific effect after the preschool period. Altogether, the results of this thesis highlight the preschool age as an optimum window for prevention and intervention of math difficulties. Given this, screening for early NKS and math difficulties should be afforded before school entry in order to provide additional support as soon as difficulties emerge in this area.

Titre de l'écran-titre (visionné le 29 mai 2023) / Introduction : Dans une perspective de prévention des difficultés scolaires, le rendement en mathématiques est à privilégier, notamment parce qu'il est fortement associé à la réussite scolaire et professionnelle ultérieure. Des facteurs environnementaux et génétiques contribuent à l'explication des différences individuelles quant au rendement en mathématiques. Néanmoins, les facteurs génétiques spécifiques et leur importance relative dans la prédiction du rendement en mathématiques demeurent inconnus. L'objectif de la présente étude est de mieux comprendre le rôle des facteurs génétiques mesurés en regard des facteurs sociodémographiques dans le développement des mathématiques à l'enfance. Méthode : La présente étude se base sur les données de 712 participants génotypés dans le cadre de l'Étude longitudinale du développement des enfants du Québec (ÉLDEQ). Un modèle d'équations structurelles de médiation a été testé, dans lequel deux scores polygéniques (Polygenic Scores, PGS) récemment construits, soit le PGS associé au niveau de diplomation (EduYears3 ou EY3) et le PGS lié aux habiletés cognitives générales (IQ3), ainsi que des facteurs sociodémographiques de la famille (revenu familial et niveau de scolarité des parents) prédisent le rendement en mathématiques à la fin du primaire via la connaissance des nombres à l'âge préscolaire. Résultats : La continuité du développement des mathématiques à l'enfance (de la connaissance des nombres au préscolaire au rendement en mathématiques à la fin du primaire) est prédite par un ensemble commun de facteurs étiologiques génétiques (IQ3) et sociodémographiques de la famille. Ces facteurs précoces prédisent la connaissance des nombres dans la direction attendue. La connaissance des nombres médie l'association prédictive entre ces facteurs précoces et le rendement ultérieur en mathématiques et tous les prédicteurs précoces, y compris EY3, contribuent directement au rendement ultérieur en mathématiques. La contribution de la connaissance précoce des nombres au rendement ultérieur en mathématiques s'avère plus importante pour les filles que pour les garçons et EY3 prédit la connaissance des nombres chez les garçons uniquement. Conclusion : Les résultats suggèrent qu'au-delà des facteurs sociodémographiques, les scores polygéniques EY3 et IQ3 prédisent de manière unique le rendement en mathématiques à la fin du primaire et que le rôle prédictif de IQ3 est en partie médiée par la connaissance des nombres à l'âge préscolaire. Cette étude souligne l'importance de considérer la génétique dans la compréhension des voies de développement des mathématiques. Les résultats contribuent au développement d'un modèle théorique du développement des mathématiques à l'enfance. / Background : From the perspective of preventing academic difficulties, mathematical achievement is to be given priority, because it is strongly associated with subsequent academic and professional success. Environmental and genetic factors contribute to individual differences in mathematical achievement. Nevertheless, the specific genetic factors and their relative importance in predicting math achievement remain unknown. The objective of this study is to better understand the role of specific genetic factors above sociodemographic factors in the development of mathematics in childhood. Method : This study is based on data from 712 participants genotyped as part of the Quebec Longitudinal Study of Child Development (QLSCD). An integrated structural equation model (SEM) was tested, whereby two recently constructed polygenic scores (PGSs), namely the PGS associated with educational attainment (Eduyears3 or EY3) and the PGS associated with general cognitive abilities (IQ3), as well as family sociodemographic factors (family income and parents' educational attainment) predict math achievement at the end of primary school via preschool number knowledge. Results : Continuity in childhood mathematics development (from preschool number knowledge to math achievement at the end of primary school) is predicted by a common set of genetic (IQ3) and family sociodemographic factors. These early factors predict number knowledge in the expected direction. Number knowledge mediate the predictive association between these early factors and later math achievement and all early predictors, including EY3, directly contribute to later achievement in mathematics. The contribution of early number knowledge to later math achievement is greater for girls than for boys and EY3 predicts number knowledge in boys only. Conclusion : The results suggest that the polygenic scores EY3 and IQ3 predict achievement in mathematics at the end of primary school beyond well known sociodemographic factors and that the prediction from IQ3 is partly mediated by preschool number knowledge. This study highlights the importance of considering genetics in understanding the developmental pathways of mathematics. The results contribute to the development of a theoretical model of childhood mathematics development.

De nombreux micro-organismes vivants se propulsent en utilisant des cils ou des flagelles. Cette nage à petit nombre de Reynolds a fait l'objet de nombreuses études théoriques et expérimentales sur les organismes vivants. Toutefois il existe très peu de modèles physiques expérimentaux. Nous décrivons ici la construction des cils artificiels microscopiques actionnés par un champ magnétique. Ces cils artificiels ont en commun avec les cils réels un très grand allongement, une grande flexibilité et un mode d'actuation par couple réparti. Nous avons étudié les dynamiques de battement (planaire et tridimensionnel) de ces cils magnétiques. Nous avons également caractérisé les forces et les écoulements qu'ils induisent dans le fluide environnant.

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Une coloration des sommets de G s'appelle une b-coloration si chaque classe de couleur contient au moins un sommet qui a un voisin dans toutes les autres classes de couleur. Le nombre b-chromatique b(G) de G est le plus grand entier k pour lequel G a une b-coloration avec k couleurs. Ces notions ont été introduites par Irving et Manlove en 1999. Elles permettent d'évaluer les performances de certains algorithmes de coloration. Irving et Manlove ont montré que le calcul du nombre b-chromatique d'un graphe est un problème NP-difficile et qu'il peut être résolu en temps polynomial pour les arbres. Une question qui se pose naturellement est donc d'enquêter sur les graphes qui ont une structure proche des arbres: cactus, graphes triangulés, graphes série-parallèles, "block" graphes, etc. Dans cette thèse, nous généralisons le résultat d'Irving et Manlove pour les cactus dont le "m-degré" est au moins 7 et pour les graphes planaires extérieurs dont la maille est au moins 8. (Le m-degré m(G) est le plus grand entier d tel que G a au moins d sommets de degré au moins d −1.) Nous démontrons un résultat semblable pour le produit cartésien d'un arbre par une chaîne, un cycle ou une étoile. Pour ce qui concerne les graphes dont les blocs sont des cliques, nous montrons que le problème avec un nombre de couleurs fixé peut être résolu en temps polynomial et nous présentons des cas où le problème de décision peut être résolu. Toutefois, nous avons constaté que la différence m(G)−b(G) peut être arbitrairement grande pour les graphes blocs, ce qui montre qu'avoir une structure arborescence n'est pas suffisant pour que le graphe satisfasse b(G)>= m(G) − 1.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique des gaz à faible nombre de Mach. Le modèle étudié provient des équations de Navier-Stokes complètes lorsque le nombre de Mach tend vers zéro. On cherche à montrer que le problème de Cauchy correspondant est bien posé. Les cas visqueux et non visqueux sont tous deux considérés. Les coefficients physiques peuvent dépendre de la densité (ou de la température) inconnue. En particulier, nous prenons en compte les effets de conductivité thermique et on autorise de grandes variations d'entropie. Rappelons qu'en absence de diffusion thermique, la limite à faible nombre de Mach implique la condition d'incompressibilité. Dans le cadre étudié ici, en introduisant un nouveau champ de vitesses à divergence nulle, le système devient un couplage non linéaire entre une équation quasi-parabolique pour la densité et un système de type Navier-Stokes (ou Euler) pour la vitesse et la pression. Pour le cas avec viscosité, on établit le résultat classique, à savoir qu'il existe une solution forte existant localement (resp. globalement) en temps pour des données initiales grandes (resp. petites). On considère ici le problème de Cauchy avec données initiales dans des espaces de Besov critiques. Lorsque les coefficients physiques du système vérifient une relation spéciale, le système se simplifie considérablement, et on peut alors établir qu'il existe des solutions faibles globales en temps à énergie finie. Par un argument d'unicité fort-faible, on en déduit que les solutions fortes à énergie finie existent pour tous les temps positifs en dimension deux. Pour le cas sans viscosité, on montre d'abord le caractère bien posé dans des espaces de Besov limites, qui s'injectent dans l'espace des fonctions lipschitziennes. Des critères de prolongement et des estimations du temps de vie sont établis. Si l'on suppose la donnée initiale à énergie finie dans l'espace de Besov limite à exposant de Lebesgue infini, on a également un résultat d'existence locale. En dimension deux, le temps de vie tend vers l'infini quand la densité tend vers une constante positive. Des estimations de produits et de commutateurs, ainsi que des estimations a priori pour les équations paraboliques et pour le système de Stokes (ou d'Euler) à coefficients variables, se trouvent dans l'annexe. Ces estimations reposent sur la théorie de Littlewood-Paley et le calcul paradifférentiel

La thèse porte sur l’analyse qualitative de situations didactiques intégrées au programme de prévention au préscolaire Fluppy. Conçu pour la prévention de la violence et du décrochage scolaire (Tremblay et al., 1992, Tremblay et al., 1995), ce programme s’est enrichi depuis une dizaine d’années de différentes composantes d’intervention, dont une sur l’enseignement du français et des mathématiques. Ce programme, relevant aujourd’hui d’une approche multimodale, a fait l’objet d’une évaluation d’impact en 2002-2004 (Capuano et al., 2010). Le devis quasi-expérimental n’a cependant pas permis de procéder à une analyse appropriée au cadre méthodologique, l’ingénierie didactique (Artigue, 1990), sur lequel se fondent les situations didactiques en mathématiques. La thèse procède donc à la validation interne des trois séquences numériques, issues de la composante mathématique, telles qu’expérimentées dans deux classes du préscolaire en 2011-2012. La première séquence vise au développement des connaissances sur la désignation de quantités. La deuxième sur la comparaison numérique et, la troisième, sur la composition additive des nombres. Les analyses mettent en évidence : 1) certains décalages entre la proposition didactique et la réalisation effective des situations; 2) l’évolution des connaissances numériques des élèves; 3) les forces et les limites de l’analyse a priori. L’interprétation des résultats ouvre sur un enrichissement de l’analyse a priori des situations didactiques ainsi que sur de nouvelles considérations relatives aux processus de dévolution et d’institutionnalisation dans le cadre de l’appropriation de situations didactiques par des enseignants du préscolaire. / The thesis focuses on the qualitative analysis of didactic situations incorporated in the prevention program, Fluppy, intended for preschool children. Originally designed for the prevention of violence and school dropout (Tremblay et al., 1992; Tremblay et al.,1995), over the last decade, this program has abundantly been enhanced of different intervention components, including French and mathematics teaching. This program, which is now part of a multimodal approach, has been the subject of an impact assessment in 2002-2004 (Capuano et al., 2010). The quasi-experimental instrument, has however failed to conduct a proper analysis of the methodological framework, the didactical engineering (Artigue, 1990); basis of the theory of didactical situations in mathematics. The thesis undertakes the internal validation of three numeric sequences –from the mathematical component– such as they were tested in two preschool classes in 2011-2012. The first sequence studies the development of C-knowledge regarding the designation of quantities. The second one tackles the numerical comparison, and the third one studies the additive composition of numbers. Analyzes reveal: 1) some discrepancies between the didactical proposal and the actual situations, 2) the development of students’ c-knowledge, and 3) the strengths and limitations of the a priori analysis. The interpretation of the results broadens the a priori analysis of didactical situations as well as arises new considerations on the devolution and institutionalization phenomena within the framework of preschool teachers’ appropriation of didactical situations.

L’hypertension artérielle essentielle (HTA) est une pathologie complexe, multifactorielle et à forte composante génétique. L’impact de la variabilité dans le nombre de copies sur l’HTA est encore peu connu. Nous envisagions que des variants dans le nombre de copies (CNVs) communs pourraient augmenter ou diminuer le risque pour l’HTA. Nous avons exploré cette hypothèse en réalisant des associations pangénomiques de CNVs avec l’HTA et avec l’HTA et le diabète de type 2 (DT2), chez 21 familles du Saguenay-Lac-St-Jean (SLSJ) caractérisées par un développement précoce de l’HTA et de la dyslipidémie. Pour la réplication, nous disposions, d’une part, de 3349 sujets diabétiques de la cohorte ADVANCE sélectionnés pour des complications vasculaires. D’autre part, de 187 sujets de la cohorte Tchèque Post-MONICA (CTPM), choisis selon la présence/absence d’albuminurie et/ou de syndrome métabolique. Finalement, 134 sujets de la cohorte CARTaGENE ont été analysés pour la validation fonctionnelle. Nous avons détecté deux nouveaux loci, régions de CNVs (CNVRs) à effets quantitatifs sur 17q21.31, associés à l’hypertension et au DT2 chez les sujets SLSJ et associés à l’hypertension chez les diabétiques ADVANCE. Un modèle statistique incluant les deux variants a permis de souligner le rôle essentiel du locus CNVR1 sur l’insulino-résistance, la précocité et la durée du diabète, ainsi que sur le risque cardiovasculaire. CNVR1 régule l’expression du pseudogène LOC644172 dont le dosage est associé à la prévalence de l’HTA, du DT2 et plus particulièrement au risque cardiovasculaire et à l’âge vasculaire (P<2×10-16). Nos résultats suggèrent que les porteurs de la duplication au locus CNVR1 développent précocement une anomalie de la fonction bêta pancréatique et de l’insulino-résistance, dues à un dosage élevé de LOC644172 qui perturberait, en retour, la régulation du gène paralogue fonctionnel, MAPK8IP1. Nous avons également avons identifié six CNVRs hautement hérités et associés à l'HTA chez les sujets SLSJ. Le score des effets combinés de ces CNVRs est apparu positivement et étroitement relié à la prévalence de l’HTA (P=2×10-10) et à l’âge de diagnostic de l’HTA. Dans la population SLSJ, le score des effets combinés présente une statistique C, pour l’HTA, de 0.71 et apparaît aussi performant que le score de risque Framingham pour la prédiction de l’HTA chez les moins de 25 ans. Un seul nouveau locus de CNVR sur 19q13.12, où la délétion est associée à un risque pour l’HTA, a été confirmé chez les Caucasiens CTPM. Ce CNVR englobe le gène FFAR3. Chez la souris, il a été démontré que l’action hypotensive du propionate est en partie médiée par Ffar3, à travers une interférence entre la flore intestinale et les systèmes cardiovasculaire et rénal. Les CNVRs identifiées dans cette étude, affectent des gènes ou sont localisées dans des QTLs reliés majoritairement aux réponses inflammatoires et immunitaires, au système rénal ainsi qu’aux lésions/réparations rénales ou à la spéciation. Cette étude suggère que l’étiologie de l’HTA ou de l’HTA associée au DT2 est affectée par des effets additifs ou interactifs de CNVRs. / Essential hypertension (HT) is a multifactorial complex disease with a strong genetic component. However, little is known about the effects of copy number variance on HT. We hypothesized common Copy Number Variants (CNVs) could increase or decrease the risk for HT. We performed GWAS of CNVs with HT and, with HT and Type 2 Diabetes (T2D), in 21 families of the Saguenay-Lac-St-Jean region of Quebec (FC) affected by early-onset hypertension and dyslipidemia. Replication was tested in a cohort of 3349 unrelated diabetic subjects of Caucasian origin from the ADVANCE trial. Replication was also tested in 187 individuals from the Czech Post-Monica (CPM) cross-sectional survey, ascertained by the presence/absence of albuminuria and/or metabolic syndrome. We performed locus-specific transcriptional analyses in 134 subjects from the CARTaGENE population cohort. We identified two CNV Regions (CNVRs), at 17q21.31, associated with HT and T2D in FC and associated with hypertension in ADVANCE diabetics. A statistical model of association including both CNVRs underlined the main effect size of CNVR1 on insulin resistance, T2D early onset and duration, and risk for cardiovascular diseases (CVD). CNVR1 appeared to influence LOC644172 expression, whose transcript abundance was associated with the prevalence of HT and T2D, and strongly with the risk of CVD and vascular age (P<2×10-16). Our results suggest carriers of copy-number gain at these 17q21.31 loci, principally at the CNVR1 locus, undergo premature β-cell functional deregulation and insulin resistance, due to increase dosage of the LOC644172 pseudogene, which might in turn affect the regulation of expression of its functional paralog, MAPK8IP1. We also report six different CNVR loci, highly heritable and contributing to the risk of hypertension, in French Canadians. The combined CNV risk score appeared robustly related to prevalence of hypertension (p=2×10-10) and age at diagnosis of hypertension. In FC, this combined CNV risk score model showed a C-statistic of 0.71 for HT and appeared as powerful as Framingham HT risk score in predicting hypertension in individuals aged less than 25. We validated the association of a new locus, 19q13.12 deletion-CNVR, with hypertension, in CPM. FFAR3 surrounds this 19q13.12 deletion-CNVR. It has been demonstrated that in mice, a portion of propionate hypotensive effect is mediated by Ffar3, and involves a cross-talk between the gut microbiota and the renal-cardiovascular system. The identified CNVRs appear to influence genes and QTLs mainly related to immune and inflammatory responses and renal damaged and repair. Some CNVRs are exclusive to primates. This study suggests that additive and interactive actions of multiple copy-number variants are involved in the etiology of hypertension or of hypertension associated with T2D.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique des gaz à faible nombre de Mach. Le modèle étudié provient des équations de Navier-Stokes complètes lorsque le nombre de Mach tend vers zéro. On cherche à montrer que le problème de Cauchy correspondant est bien posé. Les cas visqueux et non visqueux sont tous deux considérés. Les coefficients physiques peuvent dépendre de la densité (ou de la température) inconnue. En particulier, nous prenons en compte les effets de conductivité thermique et on autorise de grandes variations d'entropie. Rappelons qu'en absence de diffusion thermique, la limite à faible nombre de Mach implique la condition d'incompressibilité. Dans le cadre étudié ici, en introduisant un nouveau champ de vitesses à divergence nulle, le système devient un couplage non linéaire entre une équation quasi-parabolique pour la densité et un système de type Navier-Stokes (ou Euler) pour la vitesse et la pression. Pour le cas avec viscosité, on établit le résultat classique, à savoir qu'il existe une solution forte existant localement (resp. globalement) en temps pour des données initiales grandes (resp. petites). On considère ici le problème de Cauchy avec données initiales dans des espaces de Besov critiques. Lorsque les coefficients physiques du système vérifient une relation spéciale, le système se simplifie considérablement, et on peut alors établir qu'il existe des solutions faibles globales en temps à énergie finie. Par un argument d'unicité fort-faible, on en déduit que les solutions fortes à énergie finie existent pour tous les temps positifs en dimension deux. Pour le cas sans viscosité, on montre d'abord le caractère bien posé dans des espaces de Besov limites, qui s'injectent dans l'espace des fonctions lipschitziennes. Des critères de prolongement et des estimations du temps de vie sont établis. Si l'on suppose la donnée initiale à énergie finie dans l'espace de Besov limite à exposant de Lebesgue infini, on a également un résultat d'existence locale. En dimension deux, le temps de vie tend vers l'infini quand la densité tend vers une constante positive. Des estimations de produits et de commutateurs, ainsi que des estimations a priori pour les équations paraboliques et pour le système de Stokes (ou d'Euler) à coefficients variables, se trouvent dans l'annexe. Ces estimations reposent sur la théorie de Littlewood-Paley et le calcul paradifférentiel / This thesis is devoted to the study of the dynamics of the gases with small Mach number. The model comes from the complete Navier-Stokes equations when the Mach number goes to zero, and we aim at showing that it is well-posed. The viscous and inviscid cases are both considered. The physical coefficients may depend on the unknown density (or on the unknown temperature).In particular, we consider the effects of the thermal conductivity and hence large variations of entropy are allowed. Recall that if there is no thermal diffusion, then the low Mach number limit just implies the incompressibility condition. In the framework considered here, by introducing a new solenoidal velocity field, the system becomes a nonlinear coupling between a quasi-parabolic equation for the density and an evolutionary Stokes (or Euler) system for the velocity and the pressure. For the case with viscosity, we establish classical results, namely the strong solutions exist locally (resp. globally) in time for big (resp. small) initial data. We consider the Cauchy problem in the critical Besov spaces with the lowest regularity. Under a special relationship between the two physical coefficients, the system recasts in a simpler form and one may prove that there exist weak solutions with finite energy. In dimension two, this implies that strong solutions with finite energy exist for all positive times. In the inviscid case, we first prove the well-posedness result in endpoint Besov spaces, which can be embedded into the set of Lipschitzian functions. Continuation criterions and estimates for the lifespan are both established.If we suppose the initial data to be in the borderline Besov spaces with infinite Lebesgue exponent and to be of finite energy, we also have a local existence result. In dimension two, the lifespan goes to infinity when the density tends to a positive constant. Estimates for products and commutators, together with a priori estimates for the parabolic equations and the Stokes (or Euler) system with variable coefficients, are postponed in the appendix. These estimates are based on the Littlewood-Paley theory and the paradifferential calculus