Ce manuscrit décrit la synthèse d’un moteur moléculaire rotatif photoactivable. Il est montré que la molécule cible peut être intégrée dans un réseau de chaînes PEG, et que l’irradiation UV du matériau obtenu mène à sa contraction à macroscopique. Ces mouvements moléculaires collectifs permettent donc de convertir de l’énergie lumineuse pour produire un travail mécanique de huit ordres de grandeur au-delà de leur échelle. Une combinaison d’études de rhéologie et de diffusion de neutron a permis de définir les paramètres de formation de gels pour obtenir une contraction maximale, mais aussi l’observation expérimentale que la rotation des moteurs initie des enroulements de chaînes PEG, ce qui est responsable de la contraction du matériau. De plus, la synthèse d’une unité modulatrice et son intégration dans ces matériaux sont décrites. Les gels résultants présentent des propriétés de contraction réversibles et le caractère hors-équilibre de l’ensemble du système est ensuite discuté. / This manuscript describes the gram-scale synthesis of a light-driven rotary molecular motor. It is shown that the target molecule can be integrated into a PEG chains network, and that the UV irradiation of the obtained material leads to its macroscopic contraction. These collective molecular movements are then able to convert light energy to produce a mechanical work of eight orders of magnitude beyond their scale. A combination of rheology and small angle neutron scattering studies defined the of gel formation parameters to obtain maximum contraction, but also the experimental observation that motor rotation initiates PEG chain windings, which is responsible of the contraction of the material.In addition, the synthesis of a modulator unit and its integration into these materials is described. The resulting gels present reversible contraction properties and the out-of-equilibrium behavior of the entire system is then discussed.

No description available.

La matière dense et tiède (WDM pour Warm Dense Matter) est caractérisée par des températures proches de celle de Fermi et des densités proches du solide. Cette thèse présente des études expérimentales de la WDM éventuellement hors équilibre électron-ion, à l'aide de la spectroscopie d'absorption X près des seuils (XANES) résolue en temps. Nous avons développé un dispositif expérimental de XANES résolu en temps, basé sur un spectromètre à deux cristaux de Bragg, qui permet d'obtenir d'une part le signal émis par la source X utilisée, et d'autre part le signal transmis à travers un échantillon fin d'aluminium. La comparaison de ces deux grandeurs permet de mesurer l'absorption absolue de l'échantillon. L'échantillon est excité par un faisceau laser ultra-bref afin d'atteindre les conditions thermodynamiques attendues.Le dépôt laser étant réalisé sur les électrons de l'échantillon, les ions restent froids pendant l'interaction. L'équilibration thermique qui suit a une durée attendue de l'ordre de quelques picosecondes. Lors d'une première expérience, nous avons étudié la dynamique des transitions de phase subies par une feuille d'aluminium de 100 nm d'épaisseur, chauffée par un laser de 120 fs, avec un flux relativement élevé (6 J/cm²). La transition solide-liquide a lieu sur une échelle de temps plus faible que la résolution (environ 3 ps). La transition liquide-vapeur atomique a lieu après une vingtaine de picosecondes, en accord avec des simulations hydrodynamiques. Afin d'observer plus précisément la transition solide-liquide, nous avons réalisé une seconde expérience avec des flux plus faibles (< 1J/cm²). La feuille d'aluminium reste dans un état localement structuré aux temps longs. L'observation de la diminution progressive des modulations XANES, correspondant à une perte partielle d'ordre local, permet de déterminer la dynamique de l'augmentation de la température ionique. La comparaison des résultats expérimentaux avec des simulations hydrodynamiques, et de dynamique moléculaire quantique, a montré que le XANES est un diagnostic pertinent de la température ionique pendant et au delà de la fusion, permettant de suivre l'équilibration thermique électrons-ions. Nous avons constaté un temps caractéristique de l'équilibration significativement plus long qu'attendu, ce qui questionne la détermination du taux de collisions électrons-ions dans le régime dense et tiède. Ce même diagnostic a été exploité lors de deux expériences où nous avons étudié la silice comprimée par un choc laser jusqu'à des densités atteignant plus de deux fois celle du solide. Nous avons ainsi pu suivre l'évolution des structures électronique et ionique de la silice. Pour obtenir une meilleure résolution temporelle, nous avons réalisé deux autres expériences en utilisant une source X bêtatron et un laser X à électrons libres. La faisabilité d'expériences de XANES avec des résolutions femtosecondes a ainsi été démontrée. / Warm Dense Matter (WDM) is characterized by temperatures near the Fermi one and densities close to the solid. Experimental studies of WDM eventually out of electron-ion equilibrium are presented in this thesis with the help of time-resolved X-ray Absorption Near Edge Spectroscopy(XANES).We have developed a time-resolved XANES set-up, based on a two-Bragg-crystals spectrometer, allowing to record in one hand the X-ray source emitted signal, and in the other hand the transmitted one through a thin aluminum sample. The absolute absorption of the sample is measured comparing these two signals. The aluminum sample is heated by an ultrafast laser beam in order to reach the required thermodynamical conditions. Note that the energy is deposited on the electrons, whereas the ions keep cold during the interaction. The thermal equilibration follows with an expected picosecond time scale. We performed a first experiment with the aim of studying the phase transitions undergone by a 100 nm depth aluminum foil, heated with a 120fs laser with a high fluence (6 J/cm²). The solid-liquid transition occurs on a time-scale shorter than the experimental resolution (about 3 ps). Le liquid-vapor transition occurs after about 20 ps, consistent with hydrodynamical simulations. In order to study more precisely the solid-liquid transition, we performed a second experiment with the same set-up but lower laser fluences (< 1 J/cm²). The aluminum foil stays in a locally-structured state even after long delays. The dynamics of the ionic temperature increase can be followed watching the progressive lessening of XANES modulations, corresponding to a partial decrease of the local order. Then one can reach the thermal electron-ion equilibration dynamics. The comparison of experimental data with hydrodynamics and quantum molecular dynamics simulations have revealed the relevance of XANES measurements in order to follow the ionic temperature during and above melting. The precision of the measurements allow to notice a significantly longer equilibration time-scale than expected, questioning the electron-ion collision rate determination in the warm dense regime. The same diagnostic has been operated during two experiments in order to study laser-shock compressed silica up to densities doubling the solid one. We have been able to follow the evolution of the electronic and ionic structures of silica. In order to reach a shorter time resolution, we performed experiments with two other X-ray sources : betatron and a X-ray free electron laser. The feasibility of femtosecond time-resolved XANES experiments have been demonstrated.

Cette thèse est dédiée à l'étude de l'analogue du rayonnement de Hawking dans les condensats de Bose-Einstein. Le premier chapitre présente de nouvelles configurations d'intérêt expérimental permettant de réaliser l'équivalent acoustique d'un trou noir gravitationnel dans l'écoulement d'un condensat atomique unidimensionnel. Nous donnons dans chaque cas une description analytique du profil de l'écoulement, des fluctuations quantiques associées et du spectre du rayonnement de Hawking. L'analyse des corrélations à deux corps de la densité dans l'espace des positions et des impulsions met en évidence l'émergence de signaux révélant l'effet Hawking dans nos systèmes. En démontrant une règle de somme vérifiée par la matrice densité à deux corps connexe, on montre que les corrélations à longue portée de la densité doivent être associées aux modifications diagonales de la matrice densité à deux corps lorsque l'écoulement du condensat présente un horizon acoustique. Motivés par des études expérimentales récentes de profils d'onde générés dans des condensats de polaritons en microcavité semi-conductrice, nous analysons dans un second chapitre les caractéristiques superfluides et dissipatives de l'écoulement autour d'un obstacle localisé d'un condensat de polaritons unidimensionnel obtenu par pompage incohérent. Nous examinons la réponse du condensat dans la limite des faibles perturbations et au moyen de la théorie de Whitham dans le régime non-linéaire. On identifie un régime dépendant du temps séparant deux types d'écoulement stationnaire et dissipatif : un principalement visqueux à faible vitesse et un autre caractérisé par un rayonnement de Cherenkov d'ondes de densité à grande vitesse. Nous présentons enfin des effets de polarisation obtenus en incluant le spin des polaritons dans la description du condensat et montrons dans le troisième chapitre que des effets similaires en présence d'un horizon acoustique pourraient être utilisés pour démontrer expérimentalement le rayonnement de Hawking dans les condensats de polaritons. / This thesis is devoted to the study of the analogue of Hawking radiation in Bose-Einstein condensates. The first chapter presents new configurations of experimental interest making it possible to realize the acoustic equivalent of a gravitational black hole in the flow of a one-dimensional atomic condensate. In each case we give an analytical description of the flow pattern, the associated quantum fluctuations, and the spectrum of Hawking radiation. Analysis of the two-body density correlations in position and momentum space emphasizes the occurrence of signals revealing the Hawking effect in our systems. By demonstrating a sum rule verified by the connected two-body density matrix we show that the long-range density correlations have to be associated to the diagonal modifications of the two-body density matrix when the flow of the condensate presents an acoustic horizon. Motivated by recent experimental studies of wave patterns generated in semiconductor microcavity polariton condensates we analyze in a second chapter superfluid and dissipative characteristics of the flow of a nonresonantly pumped one-dimensional polariton condensate past a localized obstacle. We examine the response of the condensate in the weak-perturbation limit and by means of Whitham theory in the nonlinear regime. We identify a time-dependent regime separating two types of stationary and dissipative flow: a mostly viscous one at low velocity and another one characterized by Cherenkov radiation of density waves at large velocity. Finally we present polarization effects obtained by including the spin of polaritons in the description of the condensate and show in the third chapter that similar effects in the presence of an acoustic horizon could be used to experimentally demonstrate Hawking radiation in polariton condensates.

Un grand nombre des problèmes d'optimisation, ainsi que des problèmes inverses, combinatoires ou hors équilibre qui apparaissent en physique statistique des systèmes complexes, peuvent être représentés comme un ensemble des variables en interaction sur un certain réseau. Bien que la recette universelle pour traiter ces problèmes n'existe pas, la compréhension qualitative et quantitative des problèmes complexes sur des graphes a fait des grands progrès au cours de ces dernières années. Un rôle particulier a été joué par des concepts empruntés de la physique des verres de spin et la théorie des champs, qui ont eu beaucoup de succès en ce qui concerne la description des propriétés statistiques des systèmes complexes et le développement d'algorithmes efficaces pour des problèmes concrets.En première partie de cette thèse, nous étudions des problèmes de diffusion sur des réseaux, avec la dynamique hors équilibre. En utilisant la méthode de cavité sur des trajectoires dans le temps, nous montrons comment dériver des équations dynamiques dites "message-passing'' pour une large classe de modèles avec une dynamique unidirectionnelle -- la propriété clef qui permet de résoudre le problème. Ces équations sont asymptotiquement exactes pour des graphes localement en arbre et en général représentent une bonne approximation pour des réseaux réels. Nous illustrons cette approche avec une application des équations dynamiques pour résoudre le problème inverse d'inférence de la source d'épidémie dans le modèle "susceptible-infected-recovered''.Dans la seconde partie du manuscrit, nous considérons un problème d'optimisation d'appariement planaire optimal sur une ligne. En exploitant des techniques de la théorie de champs et des arguments combinatoires, nous caractérisons une transition de phase topologique qui se produit dans un modèle désordonné simple, le modèle de Bernoulli. Visant une application à la physique des structures secondaires de l'ARN, nous discutons la relation entre la transition d'appariement parfait-imparfait et la transition de basse température connue entre les états fondu et vitreux de biopolymère; nous proposons également des modèles généralisés qui suggèrent une correspondance exacte entre la matrice des contacts et la séquence des nucléotides, permettant ainsi de donner un sens à la notion des alphabets effectifs non-entiers. / A large number of optimization, inverse, combinatorial and out-of-equilibrium problems, arising in the statistical physics of complex systems, allow for a convenient representation in terms of disordered interacting variables defined on a certain network. Although a universal recipe for dealing with these problems does not exist, the recent years have seen a serious progress in understanding and quantifying an important number of hard problems on graphs. A particular role has been played by the concepts borrowed from the physics of spin glasses and field theory, that appeared to be extremely successful in the description of the statistical properties of complex systems and in the development of efficient algorithms for concrete problems.In the first part of the thesis, we study the out-of-equilibrium spreading problems on networks. Using dynamic cavity method on time trajectories, we show how to derive dynamic message-passing equations for a large class of models with unidirectional dynamics -- the key property that makes the problem solvable. These equations are asymptotically exact for locally tree-like graphs and generally provide a good approximation for real-world networks. We illustrate the approach by applying the dynamic message-passing equations for susceptible-infected-recovered model to the inverse problem of inference of epidemic origin. In the second part of the manuscript, we address the optimization problem of finding optimal planar matching configurations on a line. Making use of field-theory techniques and combinatorial arguments, we characterize a topological phase transition that occurs in the simple Bernoulli model of disordered matching. As an application to the physics of the RNA secondary structures, we discuss the relation of the perfect-imperfect matching transition to the known molten-glass transition at low temperatures, and suggest generalized models that incorporate a one-to-one correspondence between the contact matrix and the nucleotide sequence, thus giving sense to the notion of effective non-integer alphabets.

Ces travaux de thèse présentent une étude expérimentale des fluctuations d'une particule Brownienne soumise à deux différentes conditions hors-équilibre dans un fluide . Le but est de comprendre d'une manière générale la relation entre les fluctuations spontanées, la fonction de réponse linéaire et la production totale d'entropie des processus loin de l'équilibre thermique. La première partie est consacrée à l'étude du mouvement d'une particule colloïdale dans un état stationnaire périodique hors-équilibre induit par une force non-conservative et à sa réponse à une perturbation externe. Nous analysons la dynamique du système dans le contexte des différentes approches généralisées de fluctuation-dissipation. Nous montrons que ces relations théoriques sont satisfaites par les données expérimentales quand on prend en compte le rôle du courant du à la rupture du bilan détaillé. Dans une deuxième partie nous étudions les fluctuations et la réponse d'une particule Brownienne dans deux types de bains vieillissants qui relaxent vers l'équilibre thermique: un verre colloïdal de Laponite et une solution aqueuse de gélatine. Dans ce cas-là nous montrons que le flux de chaleur de la particule vers le bain pendant sa relaxation représente une correction hors-équilibre du théorème de fluctuation-dissipation. Donc, le flux de chaleur joue le même rôle que le courant dans un état stationnaire. En conséquence, les résultats de la thèse mettent en évidence l'importance générale de la production totale d'entropie pour quantifier les relations de fluctuation-dissipation généralisées dans les systèmes hors-équilibre. / This thesis describes an experimental study on fluctuations of a Brownian particle immersed in a fluid, confined by optical tweezers and subject to two different kinds of non-equilibrium conditions. We aim to gain a rather general understanding of the relation between spontaneous fluctuations, linear response and total entropy production for processes away from thermal equilibrium. The first part addresses the motion of a colloidal particle driven into a periodic non-equilibrium steady state by a nonconservative force and its response to an external perturbation. The dynamics of the system is analyzed in the context of several generalized fluctuation-dissipation relations derived from different theoretical approaches. We show that, when taking into account the role of currents due to the broken detailed balance, the theoretical relations are verified by the experimental data. The second part deals with fluctuations and response of a Brownian particle in two different aging baths relaxing towards thermal equilibrium: a Laponite colloidal glass and an aqueous gelatin solution. The experimental results show that heat fluxes from the particle to the bath during the relaxation process play the same role of steady state currents as a non-equilibrium correction of the fluctuation-dissipation theorem. Then, the present thesis provides evidence that the total entropy production constitutes a unifying concept which links the statistical properties of fluctuations and the linear response function for non-equilibrium systems either in stationary or non stationary states.

Nous avons étudié expérimentalement les fluctuations de micro-particules browniennes piégées à l'aide de pinces optiques dans un réseau de puits de potentiels voisins. Nous donnons un descriptif général du montage expérimental, puis détaillons quatre utilisations différentes du système. Nous avons d'abord utilisé une unique particule dans un double puits de potentiel pour modéliser un système mémoire à deux niveaux, avec lequel nous avons vérifié le principe de Landauer sur le coût minimal en énergie pour l'effacement d'un bit d'information. Nous avons également appliqué une version détaillée d'un théorème de fluctuation à la procédure d'effacement de l'information pour retrouver la limite énergétique attendue. Nous avons ensuite étudié l'interaction hydrodynamique entre deux particules dont l'une est soumise à une température effective. Nous avons montré qu'il n'y a pas de fluctuations anormales lors de la transition sol-gel de la gélatine, contrairement à ce qui avait été observé précédemment, et que ce système ne pouvait donc pas être utilisé pour étudier des températures effectives. En revanche, nous avons montré que l'ajout d'un forçage aléatoire bien choisi sur la position d'un piège créait une température effective. Nous avons montré que le forçage d'une des particules résultait en une corrélation instantanée entre les mouvements des deux particules, et s'accompagnait d'un échange de chaleur de la particule virtuellement chaude à la particule froide en équilibre avec le bain thermique. Nous avons obtenu un bon accord entre les données expérimentales et les prédictions d'un modèle de couplage hydrodynamique. Enfin, nous décrivons l'utilisation de canaux micro-fluidiques pour réaliser un écoulement cisaillé à l'échelle micrométrique, et nous discutons de la possibilité d'interpréter un cisaillement en terme de température effective en testant une relation de fluctuation-dissipation. / We experimentally study the fluctuations of Brownian micro-particles trapped with optical tweezers arranged in various spatial configurations. We give a general description of the set-up and detail four different experiments we conducted. We first use a single particle in a double-well potential to model a two-state memory system. We verify the Landauer principle on the minimal energetic cost to erase one bit of information, and we use a detailed version of a fluctuation theorem to retrieve the expected energetic bound. We then use two particles in two different traps to study the hydrodynamic interactions between two systems kept at different effective temperatures. Contrary to what was previously observed, we show that the sol-gel transition of gelatine does not provide any anomalous fluctuations for the trapped particle when the sample is quenched below gelification temperature. However, we show that an effective temperature is created when a well chosen random noise is added on one trap position. We demonstrate that the random forcing on one particle induces an instantaneous correlation between the two particles motions, and an energy exchange from the virtually hot particle to the cold one, which is in equilibrium with the thermal bath. We show a good agreement between the experimental data and the predictions from an hydrodynamic coupling model. Finally, we describe the use of micro-fluidic channels to create a shear flow at the micron size, and we discuss the possibility to interpret the force due to the shear-flow in terms of an effective temperature by testing a fluctuation-dissipation relation.

Les systèmes en interaction à longue portée sont connus pour avoir des propriétés statistiques et dynamiques particulières. Pour décrire leur évolution dynamique, on utilise des équations cinétiques décrivant leur densité dans l'espace des phases. Ce manuscrit est divisé en deux parties indépendantes. La première traite de notre collaboration avec une équipe expérimentale sur un Piège Magnéto-Optique. Ce dispositif à grand nombre d'atomes présente des interactions coulombiennes effectives provenant de la rediffusion des photons. Nous avons proposé des tests expérimentaux pour mettre en évidence l'analogue d'une longueur de Debye, et son influence sur la réponse du système. Les expériences réalisées ne permettent pour l'instant pas de conclure de façon définitive. Dans la deuxième partie, nous avons analysé les modèles cinétiques de Vlasov et de Kuramoto. Pour étudier leur dynamique de dimension infinie, nous avons examiné les bifurcations autour des états stationnaires instables, l'objectif étant d'obtenir des équations réduites décrivant la dynamique de ces états. Nous avons réalisé des développements en variété instable sur cinq systèmes différents. Ces réductions sont parsemées de singularités, mais prédisent correctement la nature de la bifurcation, que nous avons testée numériquement. Nous avons conjecturé une réduction exacte (obtenue via la forme normale Triple Zero) autour des états inhomogènes de l'équation de Vlasov. Ces résultats génériques pourraient être pertinents dans un contexte astrophysique. Les autres résultats s'appliquent aux phénomènes de synchronisation du modèle de Kuramoto pour les oscillateurs avec inertie et/ou interactions retardées. / Long-range interacting systems are known to display particular statistical and dynamical properties.To describe their dynamical evolution, we can use kinetic equations describing their density in the phase space. This PhD thesis is divided into two distinct parts. The first part concerns our collaboration with an experimental team on a Magneto-Optical Trap. The physics of this widely-used device, operating with a large number of atoms, is supposed to display effective Coulomb interactions coming from photon rescattering. We have proposed experimental tests to highlight the analog of a Debye length, and its influence on the system response. The experimental realizations do not allow yet a definitive conclusion. In the second part, we analyzed the Vlasov and Kuramoto kinetic models. To study their infinite dimensional dynamics, we looked at bifurcations around unstable steady states. The goal was to obtain reduced equations describing the dynamical evolution. We performed unstable manifold expansions on five different kinetic systems. These reductions are in general not exact and plagued by singularities, yet they predict correctly the nature and scaling of the bifurcation, which we tested numerically. We conjectured an exact dimensional reduction (obtained using the Triple Zero normal form) around the inhomogeneous states of the Vlasov equation. These results are expected to be very generic and could be relevant in an astrophysical context. Other results apply to synchronization phenomena through the Kuramoto model for oscillators with inertia and/or delayed interactions.

The physics of ultracold quantum gases has been the subject of a long-lasting and intense research activity, which started almost a century ago with purely theoretical studies and had a fluorishing experimental development after the implementation of laser and evaporative cooling techniques that led to the first realization of a Bose Einstein condensate (BEC) over 25 years ago. In recent years, a great interest in ultracold atoms has developed for their use as platforms for quantum technologies, given the high degree of control and tunability offered by ultracold atom systems. These features make ultracold atoms an ideal test bench for simulating and studying experimentally, in a controlled environment, physical phenomena analogous to those occurring in other, more complicated, or even inaccessible systems, which is the idea at the heart of quantum simulation. In the rapidly developing field of quantum technologies, it is highly important to acquire an in-depth understanding of the state of the quantum many-body system that is used, and of the processes needed to reach the desired state. The preparation of the system in a given target state often involves the crossing of second order phase transitions, bringing the system strongly out-of-equilibrium. A better understanding of the out-of-equilibrium processes occurring in the vicinity of the transition, and of the relaxation dynamics towards the final equilibrium condition, is crucial in order to produce well-controlled quantum states in an efficient way. In this thesis I present the results of the research activity that I performed during my PhD at the BEC1 laboratory of the BEC center, working on ultracold gases of 23Na atoms in an elongated harmonic trap. This work had two main goals: the accurate determination of the equilibrium properties of a Bose gas at finite temperature, by the measurement of its equation of state, and the investigation of the out-of-equilibrium dynamics occurring when a Bose Einstein condensate is prepared by cooling a thermal cloud at a finite rate across the BEC phase transition.To study the equilibrium physics of a trapped atomic cloud, it is crucial to be able to observe its density distribution in situ. This requires a high optical resolution to accurately obtain the density profile of the atomic distribution, from which thermodynamic quantities can then be extracted. In particular, in a partially condensed atomic cloud at finite temperature, it is challenging to resolve well also the boundaries of the BEC, where the condensate fraction rapidly drops in a narrow spatial region. This required an upgrade of the experimental apparatus in order to obtain a high enough resolution. I designed, tested and implemented in the experimental setup new imaging systems for all main directions of view. Particular attention was paid for the vertical imaging system, which was designed to image the condensates in trap with a resolution below 2 μm, with about a factor 4 improvement compared to the previous setup. The implementation of the new imaging systems involved a partial rebuilding of the experimental apparatus used for cooling the atoms. This created the occasion for an optimization of the whole system to obtain more stable working conditions. Concurrently I also realized and included in the experiment an optical setup for the use of a Digital Micromirror Device (DMD) to project time-dependent arbitrary light patterns on the atoms, creating optical potentials that can be controlled at will. The use of this device opens up exciting future scenarios where it will be possible to locally modify the trapping potential and to create well-controlled barriers moving through the atomic cloud. Another challenge in imaging the density distribution in situ is determined by the fact that the maximum optical density (OD) of the BEC, in the trap center, exceeds the low OD of the thermal tails by several orders of magnitude. In order to obtain an accurate image of the whole density profile, we developed a minimally destructive, multi-shot imaging technique, based on the partial transfer of a fraction of atoms to an auxiliary state, which is then probed. Taking multiple images at different extraction fractions, we are able to reconstruct the whole density profile of the atomic cloud avoiding saturation and maintaining a good signal to noise ratio. This technique, together with the improvements in the imaging resolution, has allowed us to accurately obtain the optical density profile of the Bose gas in trap, from which the 3D density profile was then calculated applying an inverse Abel transform, taking advantage of the symmetry of the trap. From images of the same cloud after a time-of-flight expansion, we measured the temperature of the gas. From these quantities we could find the pressure as a function of the density and temperature, determining the canonical equation of state of the weakly interacting Bose gas in equilibrium at finite temperature. These measurements also allowed us to clearly observe the non-monotonic temperature behavior of the chemical potential near the critical point for the phase transition, a feature that characterizes also other superfluid systems, but that had never been observed before in weakly interacting Bose gases. The second part of this thesis work is devoted to the study of the dynamical processes that occur during the formation of the BEC order parameter within a thermal cloud. The cooling at finite rate across the Bose-Einstein condensation transition brings the system in a strongly out-of-equilibrium state, which is worth investigating, together with the subsequent relaxation towards an equilibrium state. This is of interest also in view of achieving a better understanding of second order phase transitions in general, since such phenomena are ubiquitous in nature and relevant also in other platforms for quantum technologies. A milestone result in the study of second order phase transitions is given by the Kibble-Zurek mechanism, which provides a simple model capturing important aspects of the evolution of a system that crosses a second-order phase transition at finite rate. It is based on the principle that in an extended system the symmetry breaking associated with a continuous phase transition can take place only locally. This causes the formation of causally disconnected domains of the order parameter, at the boundaries of which topological defects can form, whose number and size scale with the rate at which the transition is crossed, following a universal power law. It was originally developed in the context of cosmology, but was later successfully tested in a variety of systems, including superfluid helium, superconductors, trapped ions and ultracold atoms. The BEC phase transition represents in this context a paradigmatic test-bench, given the high degree of control at which this second-order phase transition can be crossed by means of cooling ramps at different rates. Already early experiments investigated the formation of the BEC order parameter within a thermal cloud, after quasi-instantaneous temperature quenches or very slow evaporative cooling. In the framework of directly testing the Kibble-Zurek mechanism, further experiments were performed, both in 2D and 3D systems, focusing on the emergence of coherence and on the statistics of the spontaneously generated topological defects as a function of the cooling rate. The Kibble-Zurek mechanism, however, does not fully describe the out-of-equilibrium dynamics of the system at the transition, nor the post-quench interaction mechanisms between domains that lead to coarse-graining. Most theoretical models are based on a direct linear variation of a single control parameter, e.g. the temperature, across the transition. In real experiments, the cooling process is controlled by the tuning of other experimental parameters and a global temperature might not even be well defined, in a thermodynamic sense, during the whole process. Moreover, the temperature variation is usually accompanied by the variation of other quantities, such as the number of atoms and the collisional rate, making it difficult to accurately describe the system and predict the post-quench properties. Recent works included effects going beyond the Kibble-Zurek mechanism, such as the inhomogeneity introduced by the trapping potential, the role of atom number losses, and the saturation of the number of defects for high cooling rates. These works motivate further studies, in particular of the dynamics taking place at early times, close to the crossing of the critical point. The aim of the work presented in this thesis is to further investigate the timescales associated to the formation and evolution of the BEC order parameter and its spatial fluctuations, as a function of the rate at which the transition point is crossed. We performed experiments producing BECs by means of cooling protocols that are commonly used in cold-atom laboratories, involving evaporative cooling in a magnetic trap. We explored a wide range of cooling rates across the transition and found a universal scaling for the growth of the BEC order parameter with the cooling rate and a finite delay in its formation. The latter was already observed in earlier works, but for a much more limited range of cooling rates. The evolution of the fluctuations of the order parameter was also investigated, with an analysis of the timescale of their decay during the relaxation of the system, from an initial strongly out-of-equilibrium condition to a final equilibrium state. This thesis is structured as follows: The first chapter presents the theoretical background, starting with a brief introduction to the concept of Bose Einstein condensation and a presentation of different models describing the thermodynamics of an equilibrium Bose gas. The second part of this chapter then deals with the out-of-equilibrium dynamics that is inevitably involved in the crossing of a second-order phase transition such as the one for Bose-Einstein condensation. The Kibble-Zurek mechanism is briefly reviewed and beyond KZ effects are pointed out, motivating a more detailed investigation of the timescales involved in the BEC formation. In the second chapter, I describe the experimental apparatus that we use to cool and confine the atoms. Particular detail is dedicated to the parts that have been upgraded during my PhD, such as the imaging system. In the third chapter I show our experimental results on the measurement of the equation of state of the weakly interacting uniform Bose gas at finite temperature. In the fourth chapter I present our results on the out-of-equilibrium dynamics in the formation of the condensate order parameter and its spatial fluctuations, as a function of different cooling rates.