Este trabalho contém um estudo para isolar os zeros reais de polinômios cujos coeficientes podem ser perturbados, isto é, os coeficientes possuem variações que constituem intervalos. Assim chamamos a tais polinômios de Polinômios Intervalares do mesmo modo que chamamos de polinômios complexos àqueles que possuem coeficientes complexos. Isolar os zeros, delimitar regiões que os contenham, dizer se um polinômio estável ou determinar qual a perturbação aceitável nos seus coeficientes, de modo a preservar certas características são problemas que aparecem em diversos setores da Computação Científica e em especial, na Teoria de Controle. Neste trabalho, a família dos polinômios intervalares é inicialmente analisada dentro das possibilidades algébricas que as operações intervalares, conforme definidas por Moore, permitem. Dentro deste contexto, são definidas as operações elementares entre polinômios intervalares assim como são estudadas as suas novas propriedades. Em função das limitações inerentes à abordagem anterior, a família [p] dos polinômios intervalares, é também, caracterizada por um novo enfoque, através de 4 polinômios reais específicos da família, - os polinômios limítrofes - a partir dos quais podemos obter informações relevantes a respeito da enumeração e localização dos seus zeros reais ou eventualmente sobre os zeros complexos. Obtivemos, com o uso dos polinômios limítrofes, um resultado mais eficiente para determinar se um polinômio intervalar possui apenas zeros reais, de modo que, neste caso, eles possam ser isolados num algoritmo algébrico de complexidade menor, do que uma outra alternativa baseada no cálculo de autovalores. Além disso. localizar os zeros de polinômios intervalares é uma fase importante para o cálculo aproximado ou mesmo exato da região que contém efetivamente os zeros do polinômio intervalar. Em geral, os métodos de cálculo aproximado dos zeros precisam de uma região inicial que contenha apenas um zero a ser pesquisado. Esta é uma fase crítica de todo o processo, feito pela abordagem algébrica ou pela abordagem de aproximações numéricas. / The aim of this work is to isolate through algebraic process the real polynomial roots that have coefficients which can be perturbed. These perturbations (variations) on the coefficients can be enclosed in intervals. Then we call these polynomials. interval polynomials, in the same way that we call complex polynomial those ones formed with coefficients that are complex numbers. One of the main points in the solution of polynomial problems is to limit the regions that have all roots, all the negative ones, the stability, and so on. These questions present good solutions when the polynomials are real or complex, on the other hand, when the coefficients are perturbed or we need to decide what kind of variation can be done, in order to preserve the main features of the polynomial, then we are workin g with problems that appear in Scientific Computation and, specially, in Control Theory. Besides this, we need to isolate the roots of interval polynomial before calculating them. In general, the methods for approximating zeros need an initial region that has just one root. In the case where the accuracy is necessary or if we already know of the result instability, the algebraic processes are recommended.

Resumo: O objetivo deste trabalho e discutir o método pseudoespectral com pontos de colocacao de Legendre-Gauss-Radau (LGR) apresentado em [22], para determinar solucoes numericas de algumas classes de problemas de controle ótimo. Nesta dissertaçao revisa-se [22], e se deriva a discretizacão do metodo pseudoespectral LGR, de problemas de controle otimo (sem restricoes nas variaveis de estado e de controle) utilizando notacao tensorial. Adicionalmente se derivam as condiçães de otimalidade de Karush-Kuhn- Tucker (KKT) associadas ao problema. Para avaliar a precisao do metodo em problemas de controle otimo específicos, e necessario conhecer a solucão exata dos problemas escolhidos. Procurando replicar os resultados em [22], trabalhou-se num primeiro exemplo com um Problema de Bolza (tipo LQR) sem restricoes nas variáveis de estado e de controle. Se apresenta uma derivacao detalhada da solucao exata deste problema quadrático, utilizando o Princípio do Maximo de Pontryagin. O problema de minimizacao resultante foi resolvido atraves da rotina quadprog do MATLAB. A precisao do metodo pseudoespectral LGR e comparada, com bons resultados, com o metodo de Euler (aplicado ao problema de otimizacao quadrático produto da discretizacao por Euler do problema de Bolza tipo LQR original). Para evidenciar que o metodo pseudoespectral LGR de discretizaçao pode ser aplicado a problemas de controle otimo com restricoes nas variaveis de controle e de estado (o que nao e abordado em [22]), dois exemplos adicionais, apresentados em [31], sao discutidos nesta dissertaçao. No segundo exemplo a funcao custo e nao quadrática e a rotina fmincon do MATLAB e encarregada de fazer o trabalho de otimizacao a partir das equacoes discretizadas pelo metodo pseudoespectral LGR. No terceiro exemplo, o problema de otimizcao foi resolvido pela rotina quadprog. Existem poucos problemas nao-lineares de controle otimo (com restrições) cujas soluções exatas sao conhecidas. Usualmente argumentos de convexidade e outros, sao necessarios para encontrar as solucoes exatas.

Um problema matemático interessante consiste no estudo do conjunto das raízes de uma família de polinômios cujos coeficientes são restritos por certas condições. O trabalho [2] analisa polinômios cujos coeficientes são zeros ou uns, provando que o fecho do conjunto das raízes complexas destes polinômios é conexo por caminhos. Neste trabalho vamos considerar a família de polinômios cujos coeficientes são inteiros entre - M e M, para M dado. Vamos mostrar que o fecho do conjunto das raízes reais não-nulas destes polinômios é a união de dois intervalos. Para isso, será necessário analisar também séries de potências com coeficientes restritos pelas mesmas condições. / An interesting mathematical problem is the study of the set of zeros of a family of polynomials whose coefficients are restricted by certain conditions. The paper [2], for example, analyses polynomials which coefficients are O or 1, proving that the closure o f the set of complex zeros of these polynomials is path connected. We will consider here the family of polynomials with integers coefficients between - M and M , for M given. We will show that the closure of the set of non-zero real zeros ofthese polynomials is the union oftwo intervals. For this purpose, it will be necessary to analyze also power series with coefficients restricted by the same conditions.

Este trabalho contém um estudo para isolar os zeros reais de polinômios cujos coeficientes podem ser perturbados, isto é, os coeficientes possuem variações que constituem intervalos. Assim chamamos a tais polinômios de Polinômios Intervalares do mesmo modo que chamamos de polinômios complexos àqueles que possuem coeficientes complexos. Isolar os zeros, delimitar regiões que os contenham, dizer se um polinômio estável ou determinar qual a perturbação aceitável nos seus coeficientes, de modo a preservar certas características são problemas que aparecem em diversos setores da Computação Científica e em especial, na Teoria de Controle. Neste trabalho, a família dos polinômios intervalares é inicialmente analisada dentro das possibilidades algébricas que as operações intervalares, conforme definidas por Moore, permitem. Dentro deste contexto, são definidas as operações elementares entre polinômios intervalares assim como são estudadas as suas novas propriedades. Em função das limitações inerentes à abordagem anterior, a família [p] dos polinômios intervalares, é também, caracterizada por um novo enfoque, através de 4 polinômios reais específicos da família, - os polinômios limítrofes - a partir dos quais podemos obter informações relevantes a respeito da enumeração e localização dos seus zeros reais ou eventualmente sobre os zeros complexos. Obtivemos, com o uso dos polinômios limítrofes, um resultado mais eficiente para determinar se um polinômio intervalar possui apenas zeros reais, de modo que, neste caso, eles possam ser isolados num algoritmo algébrico de complexidade menor, do que uma outra alternativa baseada no cálculo de autovalores. Além disso. localizar os zeros de polinômios intervalares é uma fase importante para o cálculo aproximado ou mesmo exato da região que contém efetivamente os zeros do polinômio intervalar. Em geral, os métodos de cálculo aproximado dos zeros precisam de uma região inicial que contenha apenas um zero a ser pesquisado. Esta é uma fase crítica de todo o processo, feito pela abordagem algébrica ou pela abordagem de aproximações numéricas. / The aim of this work is to isolate through algebraic process the real polynomial roots that have coefficients which can be perturbed. These perturbations (variations) on the coefficients can be enclosed in intervals. Then we call these polynomials. interval polynomials, in the same way that we call complex polynomial those ones formed with coefficients that are complex numbers. One of the main points in the solution of polynomial problems is to limit the regions that have all roots, all the negative ones, the stability, and so on. These questions present good solutions when the polynomials are real or complex, on the other hand, when the coefficients are perturbed or we need to decide what kind of variation can be done, in order to preserve the main features of the polynomial, then we are workin g with problems that appear in Scientific Computation and, specially, in Control Theory. Besides this, we need to isolate the roots of interval polynomial before calculating them. In general, the methods for approximating zeros need an initial region that has just one root. In the case where the accuracy is necessary or if we already know of the result instability, the algebraic processes are recommended.

Um problema matemático interessante consiste no estudo do conjunto das raízes de uma família de polinômios cujos coeficientes são restritos por certas condições. O trabalho [2] analisa polinômios cujos coeficientes são zeros ou uns, provando que o fecho do conjunto das raízes complexas destes polinômios é conexo por caminhos. Neste trabalho vamos considerar a família de polinômios cujos coeficientes são inteiros entre - M e M, para M dado. Vamos mostrar que o fecho do conjunto das raízes reais não-nulas destes polinômios é a união de dois intervalos. Para isso, será necessário analisar também séries de potências com coeficientes restritos pelas mesmas condições. / An interesting mathematical problem is the study of the set of zeros of a family of polynomials whose coefficients are restricted by certain conditions. The paper [2], for example, analyses polynomials which coefficients are O or 1, proving that the closure o f the set of complex zeros of these polynomials is path connected. We will consider here the family of polynomials with integers coefficients between - M and M , for M given. We will show that the closure of the set of non-zero real zeros ofthese polynomials is the union oftwo intervals. For this purpose, it will be necessary to analyze also power series with coefficients restricted by the same conditions.

Orientador : Roberto Celso Fabricio Costa / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-07-15T09:24:51Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Santos_ClotilzioMoreirados_M.pdf: 1069648 bytes, checksum: 0cde537f16a456a2de4880bec450de47 (MD5) Previous issue date: 1982 / Resumo: Não encontrado / Abstract: Not informed / Mestrado / Mestre em Matemática

La teoría de polinomios ortogonales matriarcales ha experimentado un desarrollo importante en las últimas décadas. El primer contacto de nuestro grupo de investigación con el tema surgio al dearrollar un método de Frobenius matriarcal para resolver ecuaciones diferenciales matriarcales de segundo orden sin aumentar la dimensión del problema. De esta forma, aparecieron soluciones de tipo polinomial matriarcal de ecuaciones diferenciales matriarcales que generalizaban las ecuaciones escalares clásicas de Hermite, Laguerre; Legendre.En la Tesis doctoral de R. Company [3] y en los trabajos siguientes [34],[35],[40],se introdujeron los polinomios matriarcales de Laguerre, Gegenbauer y Hermite, que verificaban ciertas propiedades de ortogonalidad de naturaleza no del todo transparente. Nos encontramos entonces, al disponer de ejemplos de clases concretas de polinomios ortogonales, sin estructurar la idea de ortogonalidad, a pesar de que ya se habían publicado, incluso en un contexto abstracto, pero próximo, resultados sobre ortogonalidad de polinomios en un álgebra no conmutativa [10],[11]. El objetivo de esta tesis es bidireccional; por una parte se trata de estructurar satisfactoriamente la idea de ortogonalidad para polinomios matriarcales, pero, con la intención dirigida a conseguir la utilidad en las aplicaciones que suministran las familias clásicas de polinomios ortogonales escalares. Estamos pensando, a corto plazo, en este trabajo, en utilizar la idea de ortoganalidad de polinomios matriarcales para aproximar integrales matriarcales y, también en desarrollar funciones matriarcales en serie de polinomios ortogonales matriarcales. Estas ambiciones han estado influidas por el enfoque de Chihara [5] y los trabajos de Stone [70] y Ghizzetti [29]. en la memoria se resuelven algunas de las dificultades que aparecen y, se suministran algunas respuestas, parcialmente publicadas en [36], [38], [39], [41], que no son ni mucho menos, el final de los muchos objetivos que en esta línea, pensamos se pueden conseguir. Entre las cuestiones a resolver objeto de este trabajo se encuentran: - Definición del concepto de ortogonalidad para polinomios matriarcales y funciones matriarcales. - Estructurar un espacio normado base donde yacen las funciones ortogonales matriarcales. - Estudio de la relación de la norma del espacio base y el concepto de ortogonalidad en ausencia de espacio Hilbert. - Solución del problema de la mejor aproximación matriarcal respecto a un funcional matriarcal definido positivo. - Series de Fourier matriarcales. - Obtención de análogos de Lema de Riemann-Lebesgue y de la igualdad (desigualdad) de Bessel-Parseval, en ausencia de estructura hilbertiana. - Introducción del concepto de totalidad para una familia de funciones ortogonales matriarcales en ausencia de estructura hilbertiana. - Posibilidad de desarrollo en serie de polinomios ortogonales matriarcales (solamente para el caso de Hermite) - Aplicación al desarrollo de la exponencial de una matriz. / Defez Candel, E. (1996). Polinomios ortogonales matriciales. Teoría y aplicaciones [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/5641 / Palancia

Resumo: Foram estimados parâmetros genéticos da produção de leite acumulada até os 305 dias de lactação (P305) de 1.946 búfalas da raça Murrah no decorrer da idade ao parto utilizando os modelos de repetibilidade, multi-característica e de regressão aleatória (MRA), e correlações de ordem entre os valores genéticos para a P305 nas diferentes idades ao parto preditos pelos modelos de regressão aleatória e de repetibilidade e para a P305 acumulada até os 8 anos de idade, considerando diferentes intensidades seletivas, número de filhas e sua distribuição nos rebanhos. Também foram estimados parâmetros genéticos para a produção de leite no dia do controle (PLDC) de 1.433 primeiras lactações de búfalas da raça Murrah utilizando MRA. Os modelos de repetibilidade e multi-característica incluíram para a P305 os efeitos fixos de grupo de contemporâneos composto por rebanho, ano e estação do parto, número de ordenhas (1 ou 2 ordenhas diárias) e o efeito linear e quadrático da covariável idade da vaca ao parto e os efeitos aleatórios de animal, ambiente permanente e residual, com exceção do efeito de ambiente permanente para o segundo modelo. No MRA, as análises tanto para a P305 quanto para a PLDC foram realizadas por meio de um modelo uni-característica de regressão aleatória, considerando os mesmos efeitos aleatórios e fixos dos modelos de repetibilidade e multi-característica. No entanto, para a PLDC o GC foi composto por rebanho, ano e mês do controle. Uma regressão ortogonal de terceira ordem foi usada para modelar a trajetória média da população e os efeitos genéticos aditivos e de ambiente permanente. O MRA considerando um polinômio de Legendre de terceira ordem para os efeitos genético aditivo e de ambiente permanente e uma função de variância de segunda ordem (3.3.fv2) foi o mais adequado para o ajuste... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo) / Abstract: Genetic parameters were estimated for accumulated 305-day milk yields (P305) of 1,946 Murrah buffaloes in different ages of calving using repeatability, multi-trait and random regression models (RRM) and Spearman correlation among the breeding values for P305 in different ages of calving predicted using RRM and repeatability models and for accumulated P305 until 8 years old, considering different selective intensities, number of daughters and its distribution in herds. Were also estimated genetic parameters for first lactation test day milk yields (PLDC) of 1,433 Murrah buffaloes using RRM. repeatability and multi-trait models for the P305 included the fixed effects of contemporary group, composed by herd, year and season of calving, milking frequency (1 or 2), age at calving as covariable with linear and quadratic effect and animal, permanent environmental and residual random effects, with exception of the permanent environmental effect for the second model. In the RRM, the analyses for the P305 and PLDC were both achieved through a uni-trait model of random regression, included the same random effects and fixed effects of the repeatability and multi-trait models. However, for the PLDC the contemporary group was composed by herd, year and month of test. A third order regression on Legendre orthogonal polynomial of milk yields was used to model the population mean trend and the additive genetic and permanent environmental regressions. The RRM with a third order covariance function for genetic and permanent environmental effects and a second order variance function (3.3.fv2) was indicated as the best for P305. Heritability estimated for RRM to P305 ranges from 0.19 (6 years) to 0.23 (11 years) and for multi-trait ranged from 0.13 (6 years) to 0.36 (4 years). Heritability estimated for repeatability model was 0.20. Genetics and phenotypic correlation among the P305 in different ages... (Complete abstract click electronic access below) / Orientador: Humberto Tonhati / Coorientadora: Lúcia Galvão de Albuquerque / Coorientadora: Lenira El Faro Zadra / Banca: Danísio Prado Munari / Banca: Maria Eugênia Zerlotti Mercadante / Mestre

En general, encontrar una solución analítica de una ecuación diferencial parcial no es fácil, y más aún cuando ésta ecuación es no lineal. Debido a esto, surgieron varios métodos numéricos para encontrar una solución aproximada a la deseada. Los métodos numéricos más conocidos son: • Métodos de Diferencias Finitas que tuvo su gran auge en la década de 1950. • Métodos de Elementos Finitos que tuvo su gran auge en la década de 1960. • Métodos Espectrales que tuvo su gran auge en la década de 1970. Mientras que los métodos de diferencias finitas dan soluciones aproximadas en los puntos de la malla computacional elegida, los métodos de elementos finitos dan aproximaciones polinomiales continuas o continuas por partes en regiones poligonales (generalmente triangulares en dos dimensiones), mientras que los métodos espectrales brindan soluciones aproximadas en la forma de polinomios sobre todo su dominio. Los métodos espectrales son una clase de discretización espacial para ecuaciones diferenciales. Las componentes claves para su formulación son las funciones base (llamadas también funciones de aproximación o expansión) y las funciones de prueba. Las funciones base se usan para dar una representación aproximada de la solución. Las funciones de prueba se usan para asegurar que la ecuación diferencial y quizás algunas condiciones de frontera se cumplan tanto como sea posible por la serie truncada de expansión. Esto se consigue minimizando, con respecto a una norma adecuada, el residuo producido por el uso de la expansión truncada en lugar de la solución exacta. Los métodos espectrales tienen un amplio uso en diferentes áreas como: teoría cuántica ([31], [36]) basado en la ecuación Schrödinger que proporciona la descripción teórica de numerosos sistemas en química y física; teoría cinética basada en la ecuación de Boltzmann ([27], [32]) o en la ecuación de Fokker-Planck ([5], [45]); problemas en mecánica de fluidos ([4], [20], [42]). También hay importantes aplicaciones en el escape átomos de la atmósfera del planeta ([14], [51]) como la pérdida de carga de partículas de la tierra ([33], [43]) y del sol [11]. El presente trabajo pretende contribuir en sentar los fundamentos sobre métodos espectrales, para que sean aplicados en futuras investigaciones más elaboradas, así como brindar los códigos de implementación (en Matlab), los cuales raramente se encuentran en forma explícita en la literatura. Este trabajo está organizado de la siguiente manera: el Capítulo 1 abarca las propiedades más importantes de los polinomios ortogonales; en particular, los polinomios de Chebyshev, los cuales son adecuados para representar funciones de dominio finito y sus relaciones de recurrencia asociadas. Además, se presenta un breve repaso de las fórmulas de cuadratura gaussiana. En el Capítulo 2, se presenta en forma detallada los métodos espectrales polinomiales, útiles para problemas con condiciones de frontera no periódicas. Presentamos los métodos de Galerkin, Tau y de Colocación. En el Capítulo 3 se da ejemplos de la implementación numérica de la ecuación del calor usando los métodos de diferencias finitas y los métodos espectrales, usando los polinomios de Chebyshev. Además, se brindan los detalles necesarios para implementar la ecuación de Burger usando los métodos espectrales. / Tesis

Orientador: Humberto Tonhati / Coorientador: Rusbel Raúl Aspilcueta Borquis / Coorientador: Lenira El Faro / Banca: Henrique Nunes / Banca: Josineudson Vasconcelos / Banca: Franciso Araujo Neto / Banca: Leonardo Seno / Resumo: O objetivo deste estudo foi verificar a existência da interação genótipo ambiente(IGA) para características de importância econômica em bubalinos leiteiros do Brasil e Colômbia. No primeiro capitulo é apresentada uma descrição dos problemas e consequências do efeito da IGA, e seus efeitos sobre os parâmetros genéticos em bovinos leiteiros. Alem disso, são revisados as formas de se avaliar o efeito da IGA, e sua relevância na genética quantitativa. No segundo capitulo foi verificada a existência de heterogeneidade de variâncias(Hv) para a produção de leite(PL), gordura(PG) e proteína(PP) até 270 dias da lactação(P270) em rebanhos do Brasil e Colômbia. Na análise da norma de reação, os componentes de variâncias foram regredidos sobre a média da PL, PG e PP, ajustada para cada classe dos descritores ambientais (ED) em análises uni-características em modelos animais. As estimativas médias das distribuições das funções de densidade a posteriori dos componentes de variância e estimativas de correlação genética (CG) e herdabilidade das P270, tenderam a aumentar conforme maior o desvio-padrão fenotípico, e evidenciaram efeito de escala. As estimativas de CG, indicaram a existência de IGA para PL e PP. Entretanto, as CG para PG não evidenciaram IGA. Com base nos valores genéticos preditos foi observado minima alteração na reclassificação dos reprodutores em comum. Como conclusão sugerese que no momento da seleção dos animais de forma conjunta é necessário levar em conta a Hv residual devido a sua influencia sobre os componentes de variância. No terceiro capitulo foi verificado o efeito de IGA para a produção de leite no dia do controle(PLDC) mediante análises multi-característicos em modelos animais. Na análise dos modelos de regressão aleatória(RRM), os componentes de variância das PLDC, foram regredidos sobre a média da produção de leite até 270 dias da lac- tação (PL270) ... / Abstract: The aim of this study was verified the existence of genotype environment interaction (GxE) for traits of economic importance for dairy buffaloes in Brazil and Colombia. A description the problem and the consequences of GxE, and their effect on the genetic parameters in dairy cattle is presented in the first chapter. Moreover, the forms are reviewed to evaluate the effect of GxE, and its relevance to quantitative genetics. In the second chapter was verified the existence of heterogeneity of variances (Hv) for milk yield (MY), fat (FY) and protein (PY) to 270 days of lactation (Y270) in herds in Brazil and Colombia. In analyses reaction norm, the variance components were regressed on the average of MY, FY and PY, adjusted for each class of environmental descriptors (ED) in univariate-traits in animal models. The median estimates of the distributions functions posterior density of variance components and corresponding estimates of heritability and genetic correlations (GC) of Y270, tended to increase as a greater phenotypic standard deviation, and show a scale effect. Estimates of CG, suggested the existence of GxE for MY and PY. However, the GC showed no FY for GxE. Based on the genetic predicted values minimal change was observed in the reclassification of common sires. In conclusion, it is suggested that at the time of selection of animals jointly is necessary to take into account the residual Hv due to its influence on the variance components. In the third chapter was verified the GxE for test-day milk yield (TDMY) for multi-trait analysis in animal models. In the analysis of random regression models (RRM), the variance components of TDMY were regressed to the mean of milk yield to 270 days (MY270) adjusted for each class of ED (high and low level of MY270). The estimated Variance components and heritability for TDMY, were heterogeneous depending of levels MY270. The GC between TDMY were high and positive for adjacent test-days and ... / Doutor