Les comportements critiques des systèmes de mécanique statistique en 2 dimensions ou de mécanique quantique en 1+1 dimensions, ainsi que certains aspects des systèmes sans interactions en 2+1 dimensions, sont efficacement décrits par les méthodes de la théorie des champs conforme et de l'intégrabilité, dont le développement a été spectaculaire au cours des 40 dernières années. Plusieurs problèmes résistent cependant toujours à une compréhension exacte, parmi lesquels celui de la transition entre plateaux dans l'Effet Hall Quantique Entier. La raison principale en est que de tels problèmes sont généralement associés à des théories non unitaires, ou théories conformes logarithmiques, dont la classification se révèle être d'une grande difficulté mathématique. Se tournant vers la recherche de modèles discrets (chaînes de spins, modèles sur réseau), dans l'espoir en particulier d'en trouver des représentations en termes de modèles exactement solubles (intégrables), on se heurte à la deuxième difficulté représentée par le fait que les théories associées sont la plupart du temps non compactes, ou en d'autres termes qu'elles donnent lieu à un continuum d'exposants critiques. En effet, le lien entre modèles discrets et théories des champs non compactes est à ce jour loin d'être compris, en particulier il a longtemps été cru que de telles théories ne pouvaient pas émerger comme limites continues de modèles discrets construits à partir d'un ensemble compact de degrés de libertés, par ailleurs les seuls qui donnent a accès à une construction systématique de solutions exactes.Dans cette thèse, on montre que le monde des modèles discrets compacts ayant une limite continue non compacte est en fait beaucoup plus grand que ce que les quelques exemples connus jusqu'ici auraient pu laisser suspecter. Plus précisément, on y présente une solution exacte par ansatz de Bethe d'une famille infinie de modèles(les modèles $a_n^{(2)}$, ainsi que quelques résultats sur les modèles $b_n^{(1)}$, où il est observé que tous ces modèles sont décrits dans un certain régime par des théories conformes non compactes. Parmi ces modèles, certains jouent un rôle important dans la description de phénomènes physiques, parmi lesquels la description de polymères en deux dimensions avec des interactions attractives et des modèles de boucles impliqués dans l'étude de modèles de Potts couplés ou dans une tentative de description de la transition entre plateaux dans l'Effet Hall par un modèle géométrique compact.On montre que l'existence insoupçonnéede limite continues non compacts pour de tels modèles peut avoir d'importantes conséquences pratiques, par exemple dans l'estimation numérique d'exposants critiques ou dans le résultats de simulations de Monte Carlo. Nos résultats sont appliqués à une meilleure compréhension de la transition theta décrivant l'effondrement des polymères en deux dimensions, et des perspectives pour une potentielle compréhension de la transition entre plateaux en termes de modèles sur réseaux sont présentées. / The critical points of statistical mechanical systems in 2 dimensions or quantum mechanical systems in 1+1 dimensions (this also includes non interacting systems in 2+1 dimensions) are effciently tackled by the exact methods of conformal fieldtheory (CFT) and integrability, which have witnessed a spectacular progress during the past 40 years. Several problems have however escaped an exact understanding so far, among which the plateau transition in the Integer Quantum Hall Effect,the main reason for this being that such problems are usually associated with non unitary, logarithmic conformal field theories, the tentative classification of which leading to formidable mathematical dificulties. Turning to a lattice approach, andin particular to the quest for integrable, exactly sovable representatives of these problems, one hits the second dificulty that the associated CFTs are usually of the non compact type, or in other terms that they involve a continuum of criticalexponents. The connection between non compact field theories and lattice models or spin chains is indeed not very clear, and in particular it has long been believed that the former could not arise as the continuum limit of discrete models built out of acompact set of degrees of freedom, which are the only ones allowing for a systematic construction of exact solutions.In this thesis, we show that the world of compact lattice models/spin chains with a non compact continuum limit is much bigger than what could be expected from the few particular examples known up to this date. More precisely we propose an exact Bethe ansatz solution of an infinite family of models (the so-called $a_n^{(2)}$ models, as well as some results on the $b_n^{(1)}$ models), and show that all of these models allow for a regime described by a non compact CFT. Such models include cases ofgreat physical relevance, among which a model for two-dimensional polymers with attractive interactions and loop models involved in the description of coupled Potts models or in a tentative description of the quantum Hall plateau transition by somecompact geometrical truncation. We show that the existence of an unsuspected non compact continuum limit for such models can have dramatic practical effects, for instance on the output of numerical determination of the critical exponents or ofMonte-Carlo simulations. We put our results to use for a better understanding of the controversial theta transition describing the collapse of polymers in two dimensions, and draw perspectives on a possible understanding of the quantum Hall plateautransition by the lattice approach.

The dissertation covers phase transitions in the realm of the Anderson model of localization on topologically disordered Voronoi-Delaunay lattices. The disorder is given by random connections which implies correlations due to the restrictive lattice construction. Strictly speaking, the system features "strong anticorrelation", which is responsible for quenched long-range fluctuations of the coordination number. This attribute leads to violations of universal behavior in various system, e.g. Ising and Potts model, and to modifications of the Harris and the Imry-Ma criteria. In general, these exceptions serve to further understanding of critical phenomena. Hence, the question arises whether such deviations also occur in the realm of the Anderson model of localization in combination with random Voronoi-Delaunay lattice. For this purpose, four cases, which are distinguished by the spatial dimension of the systems and by the presence or absence of a magnetic field, are investigated by means of two different methods, i.e the multifractal analysis and the recursive Green function approach. The behavior is classified by the existence and type of occurring phase transitions and by the critical exponent v of the localization length. The results for the four cases can be summarized as follows. In two-dimensional systems, no phase transitions occur without a magnetic field, and all states are localized as a result of topological disorder. The behavior changes under the influence of the magnetic field. There are so-called quantum Hall transitions, which are phase changes between two localized regions. For low magnetic field strengths, the resulting exponent v ≈ 2.6 coincides with established values in literature. For higher strengths, an increased value, v ≈ 2.9, was determined. The deviations are probably caused by so-called Landau level coupling, where electrons scatter between different Landau levels. In contrast, the principle behavior in three-dimensional systems is equal in both cases. Two localization-delocalization transitions occur in each system. For these transitions the exponents v ≈ 1.58 and v ≈ 1.45 were determined for systems in absence and in presence of a magnetic field, respectively. This behavior and the obtained values agree with known results, and thus no deviation from the universal behavior can be observed. / Diese Dissertation behandelt Phasenübergange im Rahmen des Anderson-Modells der Lokalisierung in topologisch ungeordneten Voronoi-Delaunay-Gittern. Die spezielle Art der Unordnung spiegelt sich u.a. in zufälligen Verknüpfungen wider, welche aufgrund der restriktiven Gitterkonstruktion miteinander korrelieren. Genauer gesagt zeigt das System eine "starke Antikorrelation", die dafür sorgt, dass langreichweitige Fluktuationen der Verknüpfungszahl unterdrückt werden. Diese Eigenschaft hat in anderen Systemen, z.B. im Ising- und Potts-Modell, zur Abweichung vom universellen Verhalten von Phasenübergängen geführt und bewirkt eine Modifikation von allgemeinen Aussagen, wie dem Harris- and Imry-Ma-Kriterium. Die Untersuchung solcher Ausnahmen dient zur Weiterentwicklung des Verständnisses von kritischen Phänomenen. Somit stellt sich die Frage, ob solche Abweichungen auch im Anderson-Modell der Lokalisierung unter Verwendung eines solchen Gitters auftreten. Dafür werden insgesamt vier Fälle, welche durch die Dimension des Gitters und durch die An- bzw. Abwesenheit eines magnetischen Feldes unterschieden werden, mit Hilfe zweier unterschiedlicher Methoden, d.h. der Multifraktalanalyse und der rekursiven Greensfunktionsmethode, untersucht. Das Verhalten wird anhand der Existenz und Art der Phasenübergänge und anhand des kritischen Exponenten v der Lokalisierungslänge unterschieden. Für die vier Fälle lassen sich die Ergebnisse wie folgt zusammenfassen. In zweidimensionalen Systemen treten ohne Magnetfeld keine Phasenübergänge auf und alle Zustände sind infolge der topologischen Unordnung lokalisiert. Unter Einfluss des Magnetfeldes ändert sich das Verhalten. Es kommt zur Ausformung von Landau-Bändern mit sogenannten Quanten-Hall-Übergängen, bei denen ein Phasenwechsel zwischen zwei lokalisierten Bereichen auftritt. Für geringe Magnetfeldstärken stimmen die erzielten Ergebnisse mit den bekannten Exponenten v ≈ 2.6 überein. Allerdings wurde für stärkere magnetische Felder ein höherer Wert, v ≈ 2.9, ermittelt. Die Abweichungen gehen vermutlich auf die zugleich gestiegene Unordnungsstärke zurück, welche dafür sorgt, dass Elektronen zwischen verschiedenen Landau-Bändern streuen können und so nicht das kritische Verhalten eines reinen Quanten-Hall-Überganges repräsentieren. Im Gegensatz dazu ist das Verhalten in dreidimensionalen Systemen für beide Fälle ähnlich. Es treten in jedem System zwei Phasenübergänge zwischen lokalisierten und delokalisierten Bereichen auf. Für diese Übergänge wurde der Exponent v ≈ 1.58 ohne und v ≈ 1.45 unter Einfluss eines magnetischen Feldes ermittelt. Dieses Verhalten und die jeweils ermittelten Werte stimmen mit bekannten Ergebnissen überein. Eine Abweichung vom universellen Verhalten wird somit nicht beobachtet.

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Le concept de théorie effective, en tant que modèle s'appliquant dans une certaine gamme d'énergie et/ou pour un régime restreint de paramètres, s'est enrichi des idées du groupe de renormalisation qui peut relier deux modèles a priori bien distincts par un changement continu d'échelle. L'intuition physique resurgit, même pour des problèmes d'apparence formelle, où il s'agit bien souvent de deviner les briques élémentaire, les quasiparticules, qui vont façonner le comportement physique, par exemple à basse énergie. Dans cet exposé, je soulignerai la récurrence de ce concept dans mes recherches en atomes froids et en physique mésoscopique de ces cinq dernières années. Je débuterai par une introduction aux problèmes à trois et quatre corps dans les gaz d'atomes froids où des propriétés universelles émergent lorsque les interactions entre atomes deviennent résonantes. Je parlerai ensuite des gaz de fermions fortement déséquilibrés, étudiés par exemple dans le groupe de Christophe Salomon et Frédéric Chevy au LKB, et de la pertinence de la notion de gaz de Fermi de polarons pour décrire les profils de densités observés. Je présenterai pour poursuivre les expériences de transport dans les nanotubes de carbone, comme celles réalisées au LPA dans le groupe de Takis Kontos, et le modèle Kondo pour le couplage d'une impureté aux électrons des électrodes. Je profiterai de cette occasion pour introduire l'approche de liquide de Fermi de ce problème initiée par Nozières. Je finirai mon exposé par une discussion du circuit RC quantique, un sujet auquel je me suis beaucoup intéressé ces dernières années en lien avec une expérience remarquable réalisée au LPA dans le groupe de physique mésoscopique. Je montrerai comment le concept de liquide de Fermi permet de comprendre l'apparition de résistances universelles quantifiées pour ce circuit quantique.

The dissertation covers phase transitions in the realm of the Anderson model of localization on topologically disordered Voronoi-Delaunay lattices. The disorder is given by random connections which implies correlations due to the restrictive lattice construction. Strictly speaking, the system features "strong anticorrelation", which is responsible for quenched long-range fluctuations of the coordination number. This attribute leads to violations of universal behavior in various system, e.g. Ising and Potts model, and to modifications of the Harris and the Imry-Ma criteria. In general, these exceptions serve to further understanding of critical phenomena. Hence, the question arises whether such deviations also occur in the realm of the Anderson model of localization in combination with random Voronoi-Delaunay lattice. For this purpose, four cases, which are distinguished by the spatial dimension of the systems and by the presence or absence of a magnetic field, are investigated by means of two different methods, i.e the multifractal analysis and the recursive Green function approach. The behavior is classified by the existence and type of occurring phase transitions and by the critical exponent v of the localization length. The results for the four cases can be summarized as follows. In two-dimensional systems, no phase transitions occur without a magnetic field, and all states are localized as a result of topological disorder. The behavior changes under the influence of the magnetic field. There are so-called quantum Hall transitions, which are phase changes between two localized regions. For low magnetic field strengths, the resulting exponent v ≈ 2.6 coincides with established values in literature. For higher strengths, an increased value, v ≈ 2.9, was determined. The deviations are probably caused by so-called Landau level coupling, where electrons scatter between different Landau levels. In contrast, the principle behavior in three-dimensional systems is equal in both cases. Two localization-delocalization transitions occur in each system. For these transitions the exponents v ≈ 1.58 and v ≈ 1.45 were determined for systems in absence and in presence of a magnetic field, respectively. This behavior and the obtained values agree with known results, and thus no deviation from the universal behavior can be observed.:1. Introduction 2. Random Voronoi-Delaunay lattice 2.1. Definition 2.2. Properties 2.3. Numerical construction 3. Anderson localization 3.1. Conventional Anderson transition 3.1.1. Fundamentals 3.1.2. Scaling theory of localization 3.1.3. Universality 3.2. Quantum Hall transition 3.2.1. Universality 3.3. Random Voronoi-Delaunay Hamiltonian 4. Methods 4.1. Multifractal analysis 4.1.1. Fundamentals 4.1.2. Box-size scaling 4.1.3. Partitioning scheme 4.1.4. Numerical realization 4.2. Recursive Green function approach 4.2.1. Fundamentals 4.2.2. Recursive formulation 4.2.3. Layer construction 4.3. Finite-size scaling approach 4.3.1. Scaling functions 4.3.2. Numerical determination 5. Electron behavior on 2D random Voronoi-Delaunay lattices 5.1. 2D orthogonal systems 5.2. 2D unitary systems 5.2.1. Density of states and principal behavior 5.2.2. Criticality in the lowest Landau band 5.2.3. Criticality in higher Landau bands 5.2.4. Edge states 6. Electron behavior on 3D random Voronoi-Delaunay lattices 6.1. 3D orthogonal systems 6.1.1. Pure connectivity disorder 6.1.2. Additional potential disorder 6.2. 3D unitary systems 6.2.1. Pure topological disorder 7. Conclusion Bibliography A. Appendices A.1. Quantum Hall effect on regular lattices A.1.1. Simple square lattice A.1.2. Triangular lattice A.2. Further quantum Hall transitions on 2D random Voronoi-Delaunay lattices Lebenslauf Publications / Diese Dissertation behandelt Phasenübergange im Rahmen des Anderson-Modells der Lokalisierung in topologisch ungeordneten Voronoi-Delaunay-Gittern. Die spezielle Art der Unordnung spiegelt sich u.a. in zufälligen Verknüpfungen wider, welche aufgrund der restriktiven Gitterkonstruktion miteinander korrelieren. Genauer gesagt zeigt das System eine "starke Antikorrelation", die dafür sorgt, dass langreichweitige Fluktuationen der Verknüpfungszahl unterdrückt werden. Diese Eigenschaft hat in anderen Systemen, z.B. im Ising- und Potts-Modell, zur Abweichung vom universellen Verhalten von Phasenübergängen geführt und bewirkt eine Modifikation von allgemeinen Aussagen, wie dem Harris- and Imry-Ma-Kriterium. Die Untersuchung solcher Ausnahmen dient zur Weiterentwicklung des Verständnisses von kritischen Phänomenen. Somit stellt sich die Frage, ob solche Abweichungen auch im Anderson-Modell der Lokalisierung unter Verwendung eines solchen Gitters auftreten. Dafür werden insgesamt vier Fälle, welche durch die Dimension des Gitters und durch die An- bzw. Abwesenheit eines magnetischen Feldes unterschieden werden, mit Hilfe zweier unterschiedlicher Methoden, d.h. der Multifraktalanalyse und der rekursiven Greensfunktionsmethode, untersucht. Das Verhalten wird anhand der Existenz und Art der Phasenübergänge und anhand des kritischen Exponenten v der Lokalisierungslänge unterschieden. Für die vier Fälle lassen sich die Ergebnisse wie folgt zusammenfassen. In zweidimensionalen Systemen treten ohne Magnetfeld keine Phasenübergänge auf und alle Zustände sind infolge der topologischen Unordnung lokalisiert. Unter Einfluss des Magnetfeldes ändert sich das Verhalten. Es kommt zur Ausformung von Landau-Bändern mit sogenannten Quanten-Hall-Übergängen, bei denen ein Phasenwechsel zwischen zwei lokalisierten Bereichen auftritt. Für geringe Magnetfeldstärken stimmen die erzielten Ergebnisse mit den bekannten Exponenten v ≈ 2.6 überein. Allerdings wurde für stärkere magnetische Felder ein höherer Wert, v ≈ 2.9, ermittelt. Die Abweichungen gehen vermutlich auf die zugleich gestiegene Unordnungsstärke zurück, welche dafür sorgt, dass Elektronen zwischen verschiedenen Landau-Bändern streuen können und so nicht das kritische Verhalten eines reinen Quanten-Hall-Überganges repräsentieren. Im Gegensatz dazu ist das Verhalten in dreidimensionalen Systemen für beide Fälle ähnlich. Es treten in jedem System zwei Phasenübergänge zwischen lokalisierten und delokalisierten Bereichen auf. Für diese Übergänge wurde der Exponent v ≈ 1.58 ohne und v ≈ 1.45 unter Einfluss eines magnetischen Feldes ermittelt. Dieses Verhalten und die jeweils ermittelten Werte stimmen mit bekannten Ergebnissen überein. Eine Abweichung vom universellen Verhalten wird somit nicht beobachtet.:1. Introduction 2. Random Voronoi-Delaunay lattice 2.1. Definition 2.2. Properties 2.3. Numerical construction 3. Anderson localization 3.1. Conventional Anderson transition 3.1.1. Fundamentals 3.1.2. Scaling theory of localization 3.1.3. Universality 3.2. Quantum Hall transition 3.2.1. Universality 3.3. Random Voronoi-Delaunay Hamiltonian 4. Methods 4.1. Multifractal analysis 4.1.1. Fundamentals 4.1.2. Box-size scaling 4.1.3. Partitioning scheme 4.1.4. Numerical realization 4.2. Recursive Green function approach 4.2.1. Fundamentals 4.2.2. Recursive formulation 4.2.3. Layer construction 4.3. Finite-size scaling approach 4.3.1. Scaling functions 4.3.2. Numerical determination 5. Electron behavior on 2D random Voronoi-Delaunay lattices 5.1. 2D orthogonal systems 5.2. 2D unitary systems 5.2.1. Density of states and principal behavior 5.2.2. Criticality in the lowest Landau band 5.2.3. Criticality in higher Landau bands 5.2.4. Edge states 6. Electron behavior on 3D random Voronoi-Delaunay lattices 6.1. 3D orthogonal systems 6.1.1. Pure connectivity disorder 6.1.2. Additional potential disorder 6.2. 3D unitary systems 6.2.1. Pure topological disorder 7. Conclusion Bibliography A. Appendices A.1. Quantum Hall effect on regular lattices A.1.1. Simple square lattice A.1.2. Triangular lattice A.2. Further quantum Hall transitions on 2D random Voronoi-Delaunay lattices Lebenslauf Publications