Submitted by Erika Demachki (erikademachki@gmail.com) on 2014-08-28T17:49:12Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Numeros Reais Um Corpo Ordenado Completo.pdf: 4328358 bytes, checksum: 5062827ca2822fd04229310850171740 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-08-28T17:49:12Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Numeros Reais Um Corpo Ordenado Completo.pdf: 4328358 bytes, checksum: 5062827ca2822fd04229310850171740 (MD5) Previous issue date: 2013-03-22 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This paper aims to expand knowledge about the real numbers, providing a new perspective on their conceptual construction. Initially, covers up some historical facts that were of utmost importance in the process of conceptual evolution of the real numbers. Secondly, through the development of theories of abstract algebra, sets and mathematical analysis, is used a axiomatic method to expose the complete ordered field of real, stating and proving some of its properties. Finally, we discuss some relevant aspects of the correspondence between the real field and line, and also the correspondence between the real field and decimals. / Este trabalho tem como objetivo ampliar os conhecimentos sobre os números reais, proporcionando uma nova perspectiva sobre sua construção conceitual. Inicialmente, aborda-se alguns fatos históricos que foram de maior importância no processo da evolução conceitual dos números reais. Posteriormente, por meio do desenvolvimento das teorias de álgebra, de conjuntos e de análise matemática, utiliza-se de um método axiomático para expor uma construção do corpo ordenado e completo dos reais, enunciando e provando algumas de suas propriedades. Finalmente, abordam-se alguns aspectos relevantes da correspondência entre o corpo dos reais e a reta, e ainda da correspondência entre o corpo dos reais e os decimais.

Submitted by Rosivalda Pereira (mrs.pereira@ufma.br) on 2017-06-12T20:44:03Z No. of bitstreams: 1 SebastiaoAlvesSilva.pdf: 1093667 bytes, checksum: 7d7111ace431e2e93ddfa2af4ec78c6c (MD5) / Made available in DSpace on 2017-06-12T20:44:03Z (GMT). No. of bitstreams: 1 SebastiaoAlvesSilva.pdf: 1093667 bytes, checksum: 7d7111ace431e2e93ddfa2af4ec78c6c (MD5) Previous issue date: 2016-09-06 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / In this work we make a presentation on continued fractions, from its intuitive historical origin, along with the evolution and maturation of their concept to get your formal mathematical definition. We use continued fractions to represent the real numbers, sort irrational numbers, as well as some of its applications in solving problems ranging from real numbers approximations by rational numbers, solving linear Diophantine equations in two variables, calculation of numerical roots resolution exponential and logarithmic equations, solving geometry problems. In addition, we present what we consider to be classic problems solved by continued fractions, they are: construction of gears, analysis of lunar eclipses, and analysis of construction schedules. / Neste trabalho fazemos uma apresentação sobre frações contínuas, desde sua origem histórica intuitiva, juntamente com a evolução e maturação de seu conceito até chegar a sua definição matemática formal. Utilizamos frações contínuas para representar os números reais, classificar números irracionais, bem como algumas de suas aplicações na resolução de problemas, que vão de aproximações de números reais por números racionais, resolução de equações diofantinas lineares de duas variáveis, cálculo de raízes numéricas, resolução de equações exponenciais e logarítmicas, resolução de problemas de Geometria. Além disso, apresentamos o que consideramos serem problemas clássicos resolvidos por fações contínuas, são eles: construção de engrenagens, análises de eclipses lunares, e análise da construção de calendários.

Submitted by Rosivalda Pereira (mrs.pereira@ufma.br) on 2017-08-25T20:16:22Z No. of bitstreams: 1 RubensNetto.pdf: 2421411 bytes, checksum: bee2aacb0b0ca366a59fd77459463bff (MD5) / Made available in DSpace on 2017-08-25T20:16:22Z (GMT). No. of bitstreams: 1 RubensNetto.pdf: 2421411 bytes, checksum: bee2aacb0b0ca366a59fd77459463bff (MD5) Previous issue date: 2017-05-30 / In this work we will present a new theorem that consists of the restriction of the Theorem of the Average Value to a particular case. This theorem applies to real, continuous, and derivable functions in a given interval. Its application allows us to calculate a determinated point on a curve where the straight line tangent to this curve has a specific inclination. As this theorem is related to the concepts of inclination, tangent and secant, this one can be applied in the High School to solve problems of Analytical Geometry that involve such concepts, as we will see in some examples given. / Nesta dissertação apresentamos uma aplicação do Teorema do Valor Médio que consiste em sua restrição a um caso particular. Este resultado se aplica às funções reais, contínuas e deriváveis em um dado intervalo. Geometricamente esse resultado diz que, dados uma função f contínua em [a, b] e derivável em (a, b) e dois pontos P(a, f(a)) e Q(b, f(b)) do gráfico de f, existe um ponto (c, f(c)) entre os pontos A e B onde a reta tangente à curva possui inclinação igual ao coeficiente angular da reta suporte da corda que une os pontos P(a, f(a)) e Q(b, f(b)) adicionado a um m´ultiplo da distˆancia vertical entre o ponto (c, f(c)) do gráfico de f e o ponto correspondente na reta secante ↔ P Q.

This thesis focuses on the computational interpretation of Cohen's forcing through the classical Curry-Howard correspondence, using the tools of classical realizability. In a first part, we start by a general introduction to classical realizability in second-order arithmetic (PA2). We cover the description of the Krivine Abstract Machine (KAM), the construction of the realizability models, the realizers for arithmetic and the main two computational topics: specification and witness extraction. To illustrate the flexibility of this approach, we show that it can be effortlessly adapted to several extensions such as new instructions in the KAM or primitive datatypes like natural, rational and real numbers. These various works are formalized in the Coq proof assistant.In the second part, we redesign this framework in a higher-order setting and compare it to PA2.This change is necessary to fully express the forcing transformation, but it also allows us to uniformize the theory and integrate all datatypes. We present forcing in classical realizability, initially due to Krivine, and extend it to generic filters whenever the forcing conditions form a datatype. We can then see forcing as a program transformation adding a memory cell with its access primitives. Our aim is to find more efficient realizers rather than independence results, which are the common use of forcing techniques. The methodology is illustrated on the example of Herbrand's theorem, the proof by forcing of which gives a much more efficient program than the usual proof. Furthermore, we can recover the natural algorithm that one can write to solve the underlying computational problem if we use a datatype as forcing poset.

Cette thèse s'intéresse à la correspondance de Curry-Howard classique et son interaction avec le forcing de Cohen, en s'appuyant sur les outils de la réalisabilité classique. Dans une première partie, nous commençons par une introduction générale à la réalisabilité classique dans PA2, avec pour fil directeur l'extraction de témoin. Cette introduction couvre la description de la machine abstraite de Krivine (KAM), la construction des modèles, la réalisation de l'arithmétique et les deux principales problématiques calculatoires : la spécification et l'extraction de témoin. Pour illustrer la flexibilité de ce cadre, nous montrons ensuite qu'il s'adapte sans effort à diverses extensions : l'ajout d'instructions supplémentaires dans la KAM ou l'introduction de types de données primitifs tels que les entiers, les rationnels et les réels. Ces divers travaux ont été formalisés dans l'assistant de preuves Coq.Dans une seconde partie, nous redéfinissons ce cadre à l'ordre supérieur et le comparons à PA2. Ce changement, nécessaire pour exprimer pleinement la transformation de forcing, uniformise la théorie et permet d'intégrer tous les types de données. Nous présentons ensuite le forcing en réalisabilité classique, initialement dû à Krivine, puis l'étendons aux filtres génériques, lorsque les conditions de forcing forment un type de données. Cela permet de relire le forcing comme une transformation de programmes, dans le but d'obtenir des réalisateurs plus efficaces plutôt que des résultats d'indépendance. Cette méthode est illustrée notamment par l'exemple du théorème de Herbrand, dont la preuve par forcing donne un programme nettement plus efficace que la preuve habituelle. / This thesis focuses on the computational interpretation of Cohen's forcing through the classical Curry-Howard correspondence, using the tools of classical realizability. In a first part, we start by a general introduction to classical realizability in second-order arithmetic (PA2). We cover the description of the Krivine Abstract Machine (KAM), the construction of the realizability models, the realizers for arithmetic and the main two computational topics: specification and witness extraction. To illustrate the flexibility of this approach, we show that it can be effortlessly adapted to several extensions such as new instructions in the KAM or primitive datatypes like natural, rational and real numbers. These various works are formalized in the Coq proof assistant.In the second part, we redesign this framework in a higher-order setting and compare it to PA2.This change is necessary to fully express the forcing transformation, but it also allows us to uniformize the theory and integrate all datatypes. We present forcing in classical realizability, initially due to Krivine, and extend it to generic filters whenever the forcing conditions form a datatype. We can then see forcing as a program transformation adding a memory cell with its access primitives. Our aim is to find more efficient realizers rather than independence results, which are the common use of forcing techniques. The methodology is illustrated on the example of Herbrand's theorem, the proof by forcing of which gives a much more efficient program than the usual proof. Furthermore, we can recover the natural algorithm that one can write to solve the underlying computational problem if we use a datatype as forcing poset.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:31:43Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2007-04-13Bitstream added on 2014-06-13T19:42:15Z : No. of bitstreams: 1 pasquini_rcg_dr_rcla.pdf: 1007339 bytes, checksum: 43892a0ae82fdfd1ac9fc740266e4bb3 (MD5) / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) / Entendendo o Material Um tratamento, via medição para os números reais como uma alternativa para abordar os números reais em cursos de formação de professores, buscou-se as possibilidades que o mesmo poderia apresentar ao introduzir os números reais a partir de um processo de medição de segmentos. Esta investigação foi realizada a partir do acompanhamento da utilização do Material numa sala de aula, cujos alunos eram professores de Matemática. A análise foi conduzida em dois momentos. Um deles denominado Apresentação/Comentário, que situou os dados do Diário de Campo ao centro, e, o outro, que traz essas possibilidades da análise de Entrevistas. A literatura mostra que a forma como o conjunto dos números reais tem sido apresentada aos futuros professores furta a oportunidade de que noções e conceitos inerentes ao mesmo sejam discutidos. Introduzir os números reais via medição, oportuniza que noções e conceitos intrínsecos ao número real possam ser explorados, em particular, conceitos básicos da Análise, como convergência, continuidade, completude, etc., e mesmo que indiretamente àqueles relacionados a outros campos da Matemática como a Álgebra, a Geometria e a História da Matemática. / Understanding the Material A treatment, via measurement for the real numbers as an alternative to deal with the real numbers in teacher education courses, we looked for the possibilities the Material presents when introducing the real numbers from a process of measuring segments. This investigation was done through the observation of using the Material in a classroom, whose students were Mathematics teachers. The analysis was conducted in two moments. One of them denominated Presentation/Comment, sited the data of the Camp Diary to the center, and, the other one that brought these possibilities of the analysis of the Interviews. The literature shows that the way how the set of the real numbers has been presented to the future teachers steals the opportunity for notions and concepts inherent to this set to be discussed. Introducing the real numbers via measurement, gives the opportunity that notions and intrinsic concepts to the real number can be explored, in particular, basic concepts of Analysis as convergence, continuity, completion, etc; and even indirectly those related to other branches of Mathematics as Algebra, Geometry and History of Mathematics.

Submitted by BRUNO CHIODEROLI GREGIO null (brunogregio@hotmail.com) on 2017-05-30T23:45:02Z No. of bitstreams: 1 dissertação-versão-final.pdf: 1021988 bytes, checksum: c0924e4811037991cd26568ddd59ae7a (MD5) / Approved for entry into archive by Luiz Galeffi (luizgaleffi@gmail.com) on 2017-05-31T18:33:45Z (GMT) No. of bitstreams: 1 gregio_bc_me_sjrp.pdf: 1021988 bytes, checksum: c0924e4811037991cd26568ddd59ae7a (MD5) / Made available in DSpace on 2017-05-31T18:33:45Z (GMT). No. of bitstreams: 1 gregio_bc_me_sjrp.pdf: 1021988 bytes, checksum: c0924e4811037991cd26568ddd59ae7a (MD5) Previous issue date: 2017-04-28 / Este trabalho apresenta uma proposta para o estudo de sequências de números reais, sobretudo no ensino médio. A partir da definição de uma sequência, estudamos os casos particulares das progressões aritméticas e geométricas. Como sabemos, é praxe os livros didáticos encerrarem o assunto sobre sequências por aqui, porém neste trabalho avançamos os estudos apresentando a noção de limite de uma sequência e os principais resultados sobre sequências convergentes. Tendo compreendido que cada número real pode ser obtido como o limite de uma sequência de Cauchy de números racionais, apresentamos as famosas constantes matemáticas e, π e φ, além dos números da forma √ a, como o limite de certas sequências de Cauchy de números racionais. / This work presents a proposal for the study on sequences of real numbers, especially in high school. From the de nition of a sequence, we study the particular cases of arithmetic and geometric progressions. As we know, it is usual for textbooks to terminate the subject of sequences here, but in this work we have advanced the studies presenting the notion of limit of a sequence and the main results on convergent sequences. Having understood that each real number can be obtained as the limit of a Cauchy sequence of rational numbers, we introduce the famous mathematical constants e, π and ϕ, beyond the numbers of the form √a, as the limit of certain Cauchy sequences of rational numbers.

Orientador: Rosa Lúcia Sverzut Baroni / Banca: Antonio Vicente Marafioti Garnica / Banca: Wagner Rodrigues Valente / Resumo: A pesquisa visou a investigar livros didáticos de Matemática editados entre a última metade do século XIX e o século XX, no que diz respeito ao conteúdo dos corpos numéricos, focalizando a extensão do corpo dos números racionais para os reais. Nesse estudo, procurou-se observar como a geometria foi explorada, nesses livros didáticos, para o tratamento dessa questão. Mais precisamente, tomando como base o teorema de Thales, que relaciona o tratamento geométrico e algébrico por meio de medidas, buscou-se evidências no que diz respeito à questão da comensurabilidade. Para isso, selecionou-se sete livros didáticos de Matemática editados no período em questão: Elementos de Geometria e Trigonometria Rectilínea, C. B. Ottoni, 1904; Elementos de Geometria, F.I.C, 1923; Curso de Mathematica, E. Roxo, C. Thiré e J. C. Mello e Souza, 1940-1942; Matemática - Curso Moderno, A. Quintella, 1960- 1963; Matemática - Curso Ginasial, O. Sangiorgi, 1968-1970; A Conquista da Matemática, J. R. Giovanni e B. Castrucci, 1985; e Matemática, L. M. P Imenes e M. Lellis, 1999. Em seguida, analisou-se cada coleção, observando o tratamento geométrico que foi dado aos números reais, em particular, no teorema de Thales. Nessa análise percebeu-se que a maioria dos livros didáticos selecionados na pesquisa apresentou o teorema de Thales remetendo a demonstração para o caso em que os segmentos eram comensuráveis. Porém, o primeiro livro analisado, faz uma discussão na demonstração, tanto para o caso em que os segmentos eram comensuráveis quanto incomensuráveis. Foi possível perceber que, nesse período, o assunto foi perdendo a precisão nos manuais escolares analisados. Considera-se plausível que a idéia subjacente ao teorema de Thales _ ligada às condições de proporcionalidade de segmentos isto é, medição de segmentos... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo) / Abstract: This research aimed to investigate Mathematics textbooks published from the late century XIX until the century XX, concerning the content of numerical fields, focusing on the extension from the rational to the real field. In the study, we tried to observe how geometry was explored in such books to address that issue. More precisely, taking the Thales' theorem, which relates the geometric and algebraic approach by measuring, research tries to find indications regarding measurability. To accomplish this proposal, seven Mathematics textbooks published within the aforementioned period were selected: Elementos de Geometria e Trigonometria Rectilínea, C. B. Ottoni, 1904; Elementos de Geometria, F.I.C, 1923; Curso de Mathematica, E. Roxo, C. Thiré e J. C. Mello e Souza, 1940-1942; Matemática - Curso Moderno, A. Quintella, 1960-1963; Matemática - Curso Ginasial, O. Sangiorgi, 1968-1970; A Conquista da Matemática, J. R. Giovanni e B. Castrucci, 1985; e Matemática, L. M. P Imenes e M. Lellis, 1999. Soon afterwards, each collection was analyzed, observing the geometric approach that was given to the real numbers, particularly in the Thales' Theorem. In that analysis it was noticed that most of the selected textbooks in the research presented the Thales' theorem but its demonstration was restricted to the case in which the segments were commensurable. However, the first analyzed book makes a discussion on the demonstration for both cases, commensurable and incommensurable. It was possible to notice that through that period, the topic was being lessened in its precision in the analyzed school manuals. It's plausible that the underlying idea to the Thales' theorem, linked to conditions of proportionality between segments, that is, segment measurement, can be a way to introducing positive real numbers... (Complete abstract, click electronic address below) / Mestre

Made available in DSpace on 2015-09-25T12:18:13Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Jozan Medeiros.pdf: 1991947 bytes, checksum: d4c78939f632949bce7c05986e4635e1 (MD5) Previous issue date: 2010-12-23 / This research was the development of a didactic approach in its implementation and evaluation in a class of 3rd year of high school, the purpose of developing real numbers with the goal of enabling students to acquire knowledge on the sets of numbers, both formative and functional Recommended official documents for basic education, plus a teaching module, containing texts, educational activities, methodology and a proposal for evaluation. From the assumption that students have difficulties in articulating the different sets of numbers, both in relation to cognitive aspects such as the representational, this approach was developed following the model suggested by Ulrich Christiansen, who uses the line number as the context articulator, enriched with situations and problems of mathematical history, seeking to associate numbers to geometry and algebra. The results of the implementation of educational module was analyzed using the students' participation in the activities performed during the didactic analysis of data obtained from a pretest and a posttest on the cognitive domain and representational of the students, as well as by direct observations, indicating its suitability to the proposed objectives. / Esta pesquisa consistiu no desenvolvimento de uma abordagem didática, na sua aplicação e avaliação em uma turma do 3º ano do Ensino Médio, visando à construção dos números reais com o objetivo de possibilitar ao aluno apreender conhecimentos sobre os conjuntos numéricos, tanto formativos como funcionais recomendados pelos documentos oficiais para a educação básica, acrescida de um módulo de ensino, contendo textos, atividades didáticas, metodologia e uma proposta de avaliação. A partir da hipótese de que os alunos apresentam dificuldades em articular os diferentes conjuntos numéricos, tanto no que se refere aos aspectos cognitivos como aos representacionais, esta abordagem foi elaborada seguindo o modelo sugerido por Ulrich Christiansen, que utiliza a reta numérica como contexto articulador, enriquecida por situações problemas e da história da matemática, procurando associar números a geometria e à álgebra. Os resultados da aplicação do módulo didático foram analisados por meio da participação dos alunos nas atividades realizadas durante a intervenção didática, da análise dos dados obtidos a partir de um pré-teste e de um pós-teste sobre o domínio cognitivo e representacional dos alunos, bem como por observações diretas, indicando a sua adequação aos objetivos propostos.

Nesta dissertação são apresentadas algumas propriedades de números reais. Descrevemos de maneira breve os conjuntos numéricos N, Z, Q e R e apresentamos demonstrações detalhadas da irracionalidade dos números \'pi\' e e. Também, apresentamos um texto sobre o número e, menos técnico e mais intuitivo, na tentativa de auxiliar o professor no preparo de aulas sobre o número e para alunos do Ensino Médio, bem como, alunos de cursos de Licenciatura em Matemática / In this thesis we present some properties of real numbers. We describe briefly the numerical sets N, Z, Q and R, and we present detailed proofs of irrationality of numbers \'pi\' and e. We also present a text about the number e less technical and more intuitive in an attempt to assist the teacher in preparing lessons about number e for High School students as well as for Teaching degree in Mathematics students