A existência de inevitáveis violações em propriedades de simetria de amplitudes físicas é certamente um dos problemas mais sutis e intrigantes no contexto de Teoria Quântica de Campos (TQC). Estas violações as quais denominamos anomalias terminam por desempenhar um papel crucial na construção de teorias fundamentais devido à exigência de renormalizabilidade. Tais fenômenos podem ser estabelecidos através de argumentos matemáticos bem gerais, válidos, inclusive, para eventuais soluções exatas das equações de movimento. Soluções exatas, entretanto, são raras neste contexto. Diante desta limitação a verificação explícita da existência de violações em relações de simetria necessita ser feita no contexto de soluções perturbativas. O fator complicador desta tarefa é a ocorrência de divergências nas amplitudes físicas e toda uma classe de problemas associados a elas tais como ambigüidades associadas às arbitrariedades existentes na rotulação dos momentos para as linhas internas de loops, que invariavelmente contaminam as amplitudes anômalas. Em razão disto, tornou-se comum a associação de anomalias com as ambigüidades acima citadas. Esta associação tem sido questionada à luz de uma nova estratégia para manipulações e cálculos envolvendo amplitudes divergentes em TQC em cujo contexto as ambiguidades recém mencionadas, entre outras, podem ser consistentemente eliminadas. No ponto de vista desta técnica, todas as amplitudes de todas as teorias e modelos são tratadas de modo idêntico. As relações de simetria, de amplitudes não anômalas, são simultaneamente satisfeitas para as versões consistentemente regularizadas das amplitudes (livres de ambiguidades). É possível obter também uma adequada descrição das amplitudes anômalas de modo simultâneo, isto é com a utilização da mesma prescrição adotada para aquelas não anômalas, o que pretendemos mostrar com detalhes no presente trabalho. As investigações que relataremos aqui complementam outras já realizadas sobre o mesmo tema. Em particular, em uma destas investigações um trabalho pioneiro e tradicional neste tema foi revisitado com a utilização da estratégia de cálculo que adotaremos. Na ocasião, um estudo sistemático para funções de Green puramente fermiônicas de um, dois e três pontos associadas às densidades Scalar, Pseudo-scalar, Vetor e Axial-vetor foi refeito. Em tal estudo somente as formas explícitas para as funções de um e dois pontos são consideradas. As conclusões apontaram claramente para uma inconsistência na associação das violações de propriedades de simetria em amplitudes físicas com possíveis ambigüidades intrínsecas aos cálculos, indicando claramente que tais verificações somente poderiam ser realizadas de modo claro e conclusivo sobre as formas explícitas das funções de três pontos. Isto se deve ao fato de, nas propriedades de simetria relevantes, estarem envolvidas três identidades de Ward e um limite de baixa energia. Este é precisamente o objetivo do presente trabalho; promover um estudo detalhado e sistemático das relações entre funções de Green e das identidades de Ward, para um modelo contendo uma única espécie de férmion de spin meio, que inclua todas as amplitudes para as quais o grau superficial de divergência supere o logarítmico, aos moldes do trabalho pioneiro de Gerstein e Jackiw, considerando porém as formas explícitas das funções de três pontos de modo a incluir, simultaneamente, o limite de baixa energia das amplitudes anômalas nas propriedades de simetria consideradas. Mostraremos que nossos resultados podem ser mapeados naqueles correspondentes obtidos através da utilização da Regularização Dimensional ou naqueles de Gerstein e Jackiw. Os dois mapeamentos são, entretanto obtidos através de interpretações conflitantes para propriedades envolvendo integrais divergentes. Finalmente, mostraremos que, no contexto da técnica que adotamos, os resultados desejados emergem naturalmente em uma interpretação universal para as amplitudes na qual as ambigüidades são automaticamente eliminadas.

Este trabalho tem como objetivo estudar as propriedades termodinâmicas do Hamiltoniano Kondo de duas impurezas. Desenvolvemos uma extensão da técnica do grupo de renormalização numérico (GRN) que permite diagonalizar o modelo Kondo de duas impurezas convencional preservando a sua assimetria partícula-buraco. Essa assimetria elimina o ponto crítico, com propriedades de líquido não de Fermi, encontrado dez anos atrás em trabalhos que estudaram o modelo simétrico usando o GRN ou a invariância conforme. Nossos resultados para a susceptibilidade, o calor específico e a defasagem da banda de condução em T = 0 mostram uma dependência contínua com a razão I/kbTk, onde I é a interação RKKY e Tk é a temperatura de Kondo. Esses resultados contrastam com os do Hamiltoniano simétrico que apresenta uma divergência no calor específico e uma descontinuidade na defasagem para o ponto crítico I/kbTk ~ 2.2. Calculamos, também, a dependência térmica da susceptibilidade magnética das impurezas. Nossas curvas são qualitativamente equivalente às encontradas num cálculo recente do GRN no modelo simétrico e confirmam os resultados qualitativos, obtidos no início dos anos 80, baseados na técnica de \"scaling\" perturbativos: (i) Para | I | << kbTk a susceptibilidade magnética por impureza é idêntica à de uma impureza isolada. (ii) Para I >> kbTk (interação RKKY antiferromagnética) as impurezas formam um estado fundamental singleto desacoplado da banda de condução. (iii) Para -I >> kbTk (acoplamento RKKY ferromagnético), com o decréscimo da temperatura, as impurezas se acoplam inicialmente num estado tripleto, cujo momento efetivo é, então, compensado por um efeito Kondo de dois estágios. Para confirmar essa interpretação dos resultados numéricos, apresentamos expressões fenomenológicas que ajustam muita bem a susceptibilidade calculada para os regimentos quais as energias características do sistema dividem o eixo de temperatura. / This thesis studies the thermodynamical properties of the two-impurity Kondo Hamiltonian. Our generalized numerical renormalization-group approach maintains the particle-hole asymmetry found in the conventional model, which asymmetry washes out the critical point with non-Fermi liquid properties discovered ten years ago in numerical and analytical studies of the symmetric model. Our computation of the low-temperature susceptibility, linear coefficient of the specific heat, and ground-state phase shifts shows smooth dependencies on the ratio I/kbTk where I is the RKKY interaction and Tk the Kondo temperature. This contrasts with the symmetric Hamiltonian, which yields a specific-heat singularity and a sharp phase-shift discontinuity at the critical ratio I/kbTk ~ 2.2. We have also computed the temperature dependence of the impurity magnetic susceptibility. Our curves show the qualitative features encountered in a recent numerical renormalization-group study of the symmetric model and confirm the predictions of a scaling analysis carried out in the early 80\'s: (i) For | I | << kbTk the per-impurity susceptibility mimics that of an isolated impurity. (ii) For I >> kbTk (antiferromagnetic RKKY interaction), the impurities tend to lock into a ground-state singlet decoupled from the conduction electrons. (iii) For -I >> kbTk (ferromagnetic RK KY coupling), as the temperature decreases, the impurities first lock into a triplet, whose effective moment is then screened in a two-stage Kondo effect. To further confirm this interpretation of the numerical results, we present phenomenological expressions that fit well the calculated susceptibilities for each regime into which the characteristic energy scales divide the temperature axis.

Resultados do Grupo de Renormalização Numérico (GRN) para a condutância linear dependente da temperatura associada a corrente de tunelamento através de uma ponta de prova nas proximidades de uma impureza magnética são apresentados. Nós usamos o Modelo de Anderson de uma impureza para descrever o metal hospedeiro e um Hamiltoniano livre para simular a ponta de prova do MVT (Microscópio de Varredura por Tunelamento). O cálculo da condutância é obtida a partir da fórmula de Kubo com o Hamiltoniano de tunelamento tratado como uma perturbação com dois canais de tunelamento, ponta-impureza e ponta-substrato, com o objetivo de descrever esse sistema que está totalmente fora do equilíbrio. Esse cálculo é guiado pelo GRN de Wilson para determinar a fórmula da condutância em termos de densidades espectrais: a densidade local da impureza e a densidade relativa ao primeiro sítio de condução da rede tight-binding do GRN. Esse resultado para o operador do GRN transforma esse objeto teórico em uma quantidade mensurável. Mostramos sob condições especiais, que o gráfico da condutância em função da temperatura é uma curva universal. Como função da posição ponta-impureza, as correntes de tunelamento mostram oscilações de Friedel, que determinam o tamanho da nuvem Kondo. Finalmente, mostramos como função da energia da impureza, a corrente da impureza para a ponta mostra um platô de Kondo. A interferência entre essa corrente e a que flui da banda de condução para a ponta exibe anti-ressonâncias de Fano como as observadas em medidas espectroscópicas. / Numerical Renormalization Group (NRG) results for the temperature dependent linear conductance associated with the scanning-tunneling current through a probe near a magnetic impurity are reported. We used the Single Impurity Anderson Model to describe the host metal and a free electron Hamiltonian to simulate a STM (Scanning Tunneling Microscope) biased tip. The calculation of the conductance is obtained from the Kubo Formula with the Tunneling Hamiltonian treated as a perturbation with two tunneling channels, STM tip-impurity and STM tip-host metal, with the objective to describe this fully nonequilibrium system. This calculation is guided by Wilson\'s NRG to determine a conductance formula as a funciton of spectral densities: the local impurity density and the density relative to the first conduction site of the NRG tight-binding chain. This result for the NRG operator transforms this theoretical object into a measurable quantity. We show that, under special conditions, plotted as a function of temperature, this zero-bias conductance follows a universal curve. As a function of tip-impurity separation, the tunneling currents display Friedel Oscilations, which determine the size of the Kondo cloud. Finally, plotted as a function of impurity energy, the current from the impurity to the tip displays a Kondo plateau. The inferference between this current and that flowing from the conduction band to the tip displays Fano anti-ressonances analogous to those seen in spectroscopic measurements.

As correções perturbativas da QCD aos decaimentos hadrônicos do tau são obtidas a partir da expansão da função de Adler. Acredita-se que esta série é assintótica e melhor entendida quando sua transformada de Borel é considerada. Usamos o método matemático dos Aproximantes de Padé para reconstruir a transformada de Borel da série e extrair informação sobre as correções de ordens mais altas bem como os pólos devidos aos renôrmalons associados com a divergência da série. Primeiramente, testamos o método no limite large-&beta;0 da QCD, onde a série perturbativa é conhecida em todas as ordens. Neste limite observamos que a variação de esquema de renormalização do acoplamento forte, &alpha;s, pode ser útil para a construção de aproximantes que convergem mais rapidamente. Aplicamos o método na QCD completa para obtermos previsões sobre as principais características da série. Em QCD a estrutura analítica da transformada de Borel da função de Adler torna as aproximações com Padés menos eficientes, o que se reflete em incertezas maiores. Chegamos ao resultado de 570 &plusmn; 285 para o coeficiente do termo &alpha;5s. Devido ao fato de a série prevista pelos aproximantes apresentar comportamento divergente de sinal não-alternado, há uma indicação de que singularidades do tipo infra-vermelho contribuem mais para os coeficientes da série em ordens intermediárias. Além disso, apesar de os resultados para a soma de Borel da função &delta;(0) serem compatíveis com as duas prescrições mais usadas para fixar a escala de renormalização em decaimentos do tau, o Padé apresenta uma leve preferência pela prescrição de ordem fixa (ou FOPT). / Perturbative QCD corrections to hadronic tau decays are obtained from the expansion of the Adler function. This series is believed to be asymptotic and is better understood when its Borel transform is considered. We use the mathematical method of Padé approximants to reconstruct the Borel transformed series and extract information about higher order corrections as well as renormalon poles associated with the divergence of the series. First, the method is tested in the large-&beta;0 limit of QCD, where the perturbative series is known to all orders. In this limit, we observe that the renormalization scheme variation of the strong coupling, &alpha;s, can be useful in constructing approximants that converge faster. We apply the method in complete QCD to obtain predictions about the main characteristics of the series. In QCD, the analytical structure of the Borel transform of the Adler function makes the approximations with Padés less efficient, which is reflected in larger uncertainties. We obtain the result 570 &plusmn; 285 for the coefficient of the term &alpha;5s. The fixed sign nature of the series predicted by the PAs indicates that there is an indication that infrared singularities contribute more to the coefficients of the series in intermediate orders. In addition, although the results for the Borel sum of the function &delta;(0) are compatible with the two most frequently used prescriptions for setting the renormalization scale in tau decays, Padé approximants show a slight preference for fixed order prescription (or FOPT).

As correções perturbativas da QCD aos decaimentos hadrônicos do tau são obtidas a partir da expansão da função de Adler. Acredita-se que esta série é assintótica e melhor entendida quando sua transformada de Borel é considerada. Usamos o método matemático dos Aproximantes de Padé para reconstruir a transformada de Borel da série e extrair informação sobre as correções de ordens mais altas bem como os pólos devidos aos renôrmalons associados com a divergência da série. Primeiramente, testamos o método no limite large-&beta;0 da QCD, onde a série perturbativa é conhecida em todas as ordens. Neste limite observamos que a variação de esquema de renormalização do acoplamento forte, &alpha;s, pode ser útil para a construção de aproximantes que convergem mais rapidamente. Aplicamos o método na QCD completa para obtermos previsões sobre as principais características da série. Em QCD a estrutura analítica da transformada de Borel da função de Adler torna as aproximações com Padés menos eficientes, o que se reflete em incertezas maiores. Chegamos ao resultado de 570 &plusmn; 285 para o coeficiente do termo &alpha;5s. Devido ao fato de a série prevista pelos aproximantes apresentar comportamento divergente de sinal não-alternado, há uma indicação de que singularidades do tipo infra-vermelho contribuem mais para os coeficientes da série em ordens intermediárias. Além disso, apesar de os resultados para a soma de Borel da função &delta;(0) serem compatíveis com as duas prescrições mais usadas para fixar a escala de renormalização em decaimentos do tau, o Padé apresenta uma leve preferência pela prescrição de ordem fixa (ou FOPT). / Perturbative QCD corrections to hadronic tau decays are obtained from the expansion of the Adler function. This series is believed to be asymptotic and is better understood when its Borel transform is considered. We use the mathematical method of Padé approximants to reconstruct the Borel transformed series and extract information about higher order corrections as well as renormalon poles associated with the divergence of the series. First, the method is tested in the large-&beta;0 limit of QCD, where the perturbative series is known to all orders. In this limit, we observe that the renormalization scheme variation of the strong coupling, &alpha;s, can be useful in constructing approximants that converge faster. We apply the method in complete QCD to obtain predictions about the main characteristics of the series. In QCD, the analytical structure of the Borel transform of the Adler function makes the approximations with Padés less efficient, which is reflected in larger uncertainties. We obtain the result 570 &plusmn; 285 for the coefficient of the term &alpha;5s. The fixed sign nature of the series predicted by the PAs indicates that there is an indication that infrared singularities contribute more to the coefficients of the series in intermediate orders. In addition, although the results for the Borel sum of the function &delta;(0) are compatible with the two most frequently used prescriptions for setting the renormalization scale in tau decays, Padé approximants show a slight preference for fixed order prescription (or FOPT).

Made available in DSpace on 2016-05-17T16:51:00Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2007-12-20. Added 1 bitstream(s) on 2016-05-17T16:54:18Z : No. of bitstreams: 1 000855902.pdf: 1054323 bytes, checksum: 8821779dca285c4030ab51997270af7e (MD5) / Revisamos o método de Monte Carlo aplicado a modelos de spin discretos e a uma teoria de campos escalar na rede, com espcial ênfase no algoritmo de Metropolis. Inicialmente consideramos um modelo de spins de Ising com interacções de longo alcance em uma rede complexa de mundo pequeno. Em vista da não extensividade do modelo, generalizamos o modelo de Metropolis para a termoestatística não extensiva de Tsallis. Simulações numéricas são implementadas com o algoritmo generalizado para redes bi- e tridimensionais. A seguir, revisamos o método de regularização na rede para a teoria quântica de um campo escalar autointeragente. Empregamos o algoritmo de Metropolis para simular a teoria nar ede e estudamos o comportamento das constantes de acoplamento renormalizadas quártica and sêxtupla em função da constante de acoplamento não renormalizada. Apresentamos resultados de simulações para redes Euclideanas em duas e três dimensões nos regimes de acoplamento intermediário e forte / We review the application of the Monte Carlo method to a discrete spin model and to a scalar field theory on the lattice with special emphasis on the Metropolis algorithm. Initially we consider an Ising spin model with long range interactions on a complex small world network. In view of the nonextensive nature of the model, we have have generalized the Metropolis algorithm to the Tsallis nonextensive thermostatistics. Numerical simulations with the generalized algorithm are implemented for two-and three-dimensional lattices. Next we review the lattice regularization method for the quantum theory of a selfinteracting scalar field. We use the Metropolis algorithm to simulate the theory on the lattice and study the behavior of the renormalized quartic and sextic coupling constants as a function of the unrenormalized coupling constant. Results of simulations are presented for Euclidean lattices in two and three dimensions at intermediate and strong couplings

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas. / Made available in DSpace on 2012-10-17T02:58:30Z (GMT). No. of bitstreams: 0Bitstream added on 2016-01-08T21:32:03Z : No. of bitstreams: 1 152554.pdf: 2069354 bytes, checksum: 2737bf510df2e63e94536462aa0bca70 (MD5) / Neste trabalho são calculadas a auto-energia e a densidade de energia para a matéria de nêutrons com o auxílio da expansão d otimizada, uma aproximação não perturbativa que combina técnicas de teoria de perturbação e o princípio variacional. Foi utilizado para descrever a matéria de nêutrons em altas densidades o modelo relativístico de Walecka. No estudo da densidade de energia foram considerados somente os termos diretos, provenientes do vácuo e do meio, e foram obtidos dois resultados, um que reproduz a solução obtida utilizando a aproximação relativística de Hartree e outro que dá origem a um estado altamente denso para a matéria de nêutrons.

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / O objetivo desta dissertação é apresentar uma conexão entre a condição de Gribov-Zwanziger para o gap de massa e o mecanismo de quebra espontânea de simetria, através do estudo de um operador composto introduzido numa maneira localizada. Para tornar esta relação mais clara, um modelo é apresentado e alguns aspectos quânticos são discutidos. / The aim of this work is to present a connection between the Gribov-Zwanziger condition for the mass gap and the spontaneous symmetry breaking mechanism, by studying a composite operator introduced in a localized form. In order to clarify these relationship a toy model is presented and some quantum aspects are discussed.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / We use a very general calculational method, concerning the divergences manipulations and calculations, in order to treat the perturbative solution of quantum electrodynamics (QED), at the one loop level, as well as to study the perturbative origin of the axial triangle anomaly related with the electromagnetic decay of the neutral pion. Within the context of the referred method, all one-loop divergent amplitudes are evaluated by taking the most general choices for the routing of internal lines momentum and without assuming an explicit form of regularization in intermediary steps. The expressions for the evaluated Green functions are written in terms of a small set of basic divergent objects and standard one-loop finite structure functions. The relations among Green functions are all verified without any assumption for the involved arbitrariness. A set of conditions, for the consistency in perturbative calculations, is identified by requiring that the evaluated amplitudes become free from ambiguities and symmetry preserving. The renormalization, at the one loop level, is discussed. Adopting then the consistent point of view emerged from the QED analysis we consider the treatment of the axial-vector-vector (AVV) triangle amplitude. As a consequence of our investigations, we can conclude that the traditional way to look at triangle anomalies, based on intrinsic arbitrariness, could be questionable in its role of justifying the perturbative origin of the associated symmetry violations. We show then, by performing exact, analytical and off the mass shell calculations for the involved amplitudes that the anomaly emerges in a natural way and with the correct value for the violations, in the adopted approach, in spite of its nonambiguous character. The advantage of the used strategy, relative to traditional ones, resides in the fact that only one prescription is needed to treat all amplitudes in all theories and models. In addition, the results thus obtained can always be mapped into those corresponding to traditional regularization techniques including the Dimensional Regularization and the surface's terms evaluation approach, providing the specific interpretations of each treatment are adopted for the undefined quantities involved. This means that the consistent QED results of DR as well as the usual surface's term evaluation for the AVV anomaly can be recovered from those obtained within the context of the adopted method but this implies to assume di¤erent values for identical mathematical object. Only the alternative strategy adopted in the present work, to manipulate and calculate the divergences of perturbative solutions of QFT's can give a consistent treatment of both problems in a simultaneous way. Perspectives for additional investigations are pointed out. / Nós usamos um método muito geral de cálculo, concernente a manipulação e cálculo de divergências a fim de tratar a solução perturbativa da Eletrodinâmica quântica (EDQ), a nível um "loop", bem como estudar a origem perturbativa da anomalia triangular axial relacionada ao decaimento do Píon neutro. No contexto do método mencionado, todas as amplitudes divergentes a um "loop" são calculadas assumindo as escolhas mais gerais para os rótulos dos momentos das linhas internas e sem assumir uma forma de regularização explícita em etapas intermediárias. As expressões para as funções de Green são escritas em termos de um pequeno conjunto de objetos divergentes básicos e de conjunto de funções de estruturas finitas padrão de um "loop". As relações entre funções de Green são todas verificadas sem qualquer hipótese para as arbitrariedades envolvidas. Um conjunto de condições, para a consistência nos cálculos perturbativos, é identificado pela exigência que as amplitudes calculadas tornam-se livres de ambigüidades e que a simetria deve ser preservada. A renormalização ao nível um "loop" é discutida. Adotando então um ponto de vista consistente obtido a partir da análise da EDQ, nós consideramos o tratamento da amplitude triangular axial-vector-vetor (AVV). Como uma conseqüência de nossas investigações, concluímos que o modo tradicional de olhar para as anomalias triangulares, baseada nas arbitrariedades intrínsecas, poderia ser questionável em seu papel de justificar a origem perturbativa das violações de simetria associadas. Nós mostramos então, efetuando cálculos exatos, analíticos e fora da camada de massa para as amplitudes envolvidas que a anomalia emerge de uma maneira natural e com o valor correto para as violações, na aproximação adotada, apesar do caráter não ambíguo. A vantagem da estratégia usada, relativa àquelas tradicionais, reside no fato que somente uma prescrição é necessária para tratar todas as amplitudes em todas as teorias e modelos. Adicionalmente, os resultados da estratégia adotada podem sempre ser mapeados naqueles correspondentes a técnicas de regularização tradicionais, incluindo a Regularização Dimensional (RD) e a aproximação de cálculo de termos de superfície, provendo as interpretações específicas de cada tratamento são adotados valores diferentes para as quantidades indefinidas envolvidas. Isto significa que os resultados consistentes para a EDQ produzidos pela RD, assim como os resultados produzidos pelo cálculo de termos de superfície para a anomalia AVV, podem ser recuperados a partir daqueles obtidos dentro do contexto do método adotado mas isto implica assumir valores diferentes para objetos matemáticos idênticos. Somente a estratégia alternativa adotada no presente trabalho, para manipular e calcular as divergências de soluções perturbativas de TQC's podem dar um tratamento consistente de ambos os problemas em modo simultâneo. Perspectivas para investigações adicionais são apontadas.

Orientador: Gastão Inácio Krein / Banca: Makoto Yoshida / Banca: Rogério Rosenfeld / Resumo: Revisamos o método de Monte Carlo aplicado a modelos de spin discretos e a uma teoria de campos escalar na rede, com espcial ênfase no algoritmo de Metropolis. Inicialmente consideramos um modelo de spins de Ising com interacções de longo alcance em uma rede complexa de mundo pequeno. Em vista da não extensividade do modelo, generalizamos o modelo de Metropolis para a termoestatística não extensiva de Tsallis. Simulações numéricas são implementadas com o algoritmo generalizado para redes bi- e tridimensionais. A seguir, revisamos o método de regularização na rede para a teoria quântica de um campo escalar autointeragente. Empregamos o algoritmo de Metropolis para simular a teoria nar ede e estudamos o comportamento das constantes de acoplamento renormalizadas quártica and sêxtupla em função da constante de acoplamento não renormalizada. Apresentamos resultados de simulações para redes Euclideanas em duas e três dimensões nos regimes de acoplamento intermediário e forte / Abstract: We review the application of the Monte Carlo method to a discrete spin model and to a scalar field theory on the lattice with special emphasis on the Metropolis algorithm. Initially we consider an Ising spin model with long range interactions on a complex small world network. In view of the nonextensive nature of the model, we have have generalized the Metropolis algorithm to the Tsallis nonextensive thermostatistics. Numerical simulations with the generalized algorithm are implemented for two-and three-dimensional lattices. Next we review the lattice regularization method for the quantum theory of a selfinteracting scalar field. We use the Metropolis algorithm to simulate the theory on the lattice and study the behavior of the renormalized quartic and sextic coupling constants as a function of the unrenormalized coupling constant. Results of simulations are presented for Euclidean lattices in two and three dimensions at intermediate and strong couplings / Mestre