Stuttgart, Univ., Diss., 2006.

In der vorliegenden Arbeit wird das Konzept der Renormierung im Impulsraum nach Bogoliubov, Parasiuk, Hepp und Zimmermann in einen Ortsraumformalismus übertragen und auf analytische Raumzeiten im Rahmen von algebraischen Quan- tenfeldtheorien erweitert. Der Beweis des Schemas benutzt dabei keines der Argumente aus dem Impulsraum. Dennoch wird der Zusammenhang zwischen beiden Formulierungen analysiert und Unterschiede sowie Grenzen unter Fouriertransformation aufgezeigt. Weiterhin werden Normalprodukte, die eine Verallgemeinerung der Wick-Ordnung darstellen, Zimmermannidentitäten und die lineare Feldgleichung im Rahmen der neuen Renormierungsvorschrift hergeleitet.

Quantenchromodynamik mit zwei leichten Quarks wird in der Gitterregularisierung mit verbesserten Wilson Fermionen betrachtet. Die chirale Symmetrie in dieser Formulierung wird von Gitterartefakten, die linear im Gitterabstand a sind, explizit gebrochen. Daher erfordern die axialen Isospin Ströme Verbesserung (im Symanzik Sinn), sowie eine endliche Renormierung, wenn sie die Ward--Takahashi Identitäten des Kontinuums bis auf kleine Gitterkorrekturen proportional zu a^2 erfüllen sollen. Algorithmische Probleme bei großen Gitterabständen machen die numerischen Simulationen der Gittertheorie schwierig. Der Hybrid Monte Carlo Algorithmus leidet unter einem verformten Dirac Spektrum in Form unphysikalisch kleiner Eigenwerte. Es wird gezeigt, daß dies ein Gitterartefakt ist, welches schnell verschwindet, wenn der Gitterabstand verringert wird. Ein alternativer Algorithmus, der polynomische Hybrid Monte Carlo Algorithmus, zeigt erheblich bessere Eigenschaften im Umgang mit den außergewöhnlich kleinen Eigenwerten. Durch Erweiterung und Verbesserung vorher verwendeter Methoden wird die nicht-perturbative Verbesserung und Renormierung des Axialstroms durch Korrelationsfunktionen im Schrödinger Funktional implementiert. In beiden Fällen wird dies erzielt, indem man Ward Identitäten des Kontinuums bei endlichem Gitterabstand erzwingt. Zusammen stellt dies die chirale Symmetrie bis zur quadratischen Ordnung im Gitterabstand wieder her. Mit wenig zusätzlichem Aufwand wird auch der Normierungsfaktor des lokalen Vektorstroms berechnet. Die Methoden, die hier entwickelt und implementiert wurden, können leicht auch für andere Wirkungen verwendet werden, die im Schrödinger Funktional formuliert werden können. Dies umfaßt verbesserte Eichwirkungen sowie Theorien mit mehr als zwei dynamischen Quarks. / Quantum Chromodynamics with two light quark flavors is considered in the lattice regularization with improved Wilson fermions. In this formulation chiral symmetry is explicitly broken by cutoff effects linear in the lattice spacing a. As a consequence the isovector axial currents require improvement (in the Symanzik sense) as well as a finite renormalization if they are to satisfy the continuum Ward-Takahashi identities associated with the isovector chiral symmetries up to small lattice corrections of order a^2. In exploratory numerical simulations of the lattice theory algorithmic difficulties were encountered at coarse lattice spacings. There the hybrid Monte Carlo algorithm used suffers from a distorted Dirac spectrum in the form of unphysically small eigenvalues. This is shown to be a cutoff effect, which disappears rapidly as the lattice spacing is decreased. An alternative algorithm, the polynomial hybrid Monte Carlo algorithm, is found to perform significantly better in the presence of exceptionally small eigenvalues. Extending previously used methods both the improvement and the renormalization of the axial current are implemented non-perturbatively in terms of correlation functions formulated in the framework of the Schrödinger functional. In both cases this is achieved by enforcing continuum Ward identities at finite lattice spacing. Together, this restores the isovector chiral symmetry to quadratic order in the lattice spacing. With little additional effort the normalization factor of the local vector current is also obtained. The methods developed and implemented here can easily be applied to other actions formulated in the Schrödinger functional framework. This includes improved gauge actions as well as theories with more than two dynamical quark flavors.

The goal of this Thesis is to give a presentation of some key issues regarding the non-perturbative renormalization of the periodic scalar field theories. As an example of the non-perturbative methods, we use the differential renormalization group approach, particularly the Wegner-Houghton and the Polchinski renormalization group equations, in order to investigate the renormalization of a one-component periodic scalar field theory. The Wegner-Houghton equation provides a resummation of the loop-expansion, and the Polchinski equation is based on the resummation of the perturbation series. Therefore, these equations are exact in the sense that they contain all quantum corrections. In the framework of these renormalization group equations, field theories with periodic self interaction can be considered without violating the essential symmetry of the model: the periodicity. Both methods - the Wegner-Houghton and the Polchinski approaches - are inspired by Wilson's blocking construction in momentum space: the Wegner-Houghton method uses a sharp momentum cut-off and thus cannot be applied directly to non-constant fields (contradicts with the "derivative expansion"); the Polchinski method is based on a smooth cut-off and thus gives rise naturally to a "derivative expansion" for varying fields. However, the shape of the cut-off function (the "scheme") is not fixed a priori within Polchinski's ansatz. In this thesis, we compare the Wegner--Houghton and the Polchinski equation; we demonstrate the consistency of both methods for near-constant fields in the linearized level and obtain constraints on the regulator function that enters into Polchinski's equation. Analytic and numerical results are presented which illustrate the renormalization group flow for both methods. We also briefly discuss the relation of the momentum-space methods to real-space renormalization group approaches. For the two-dimensional Coulomb gas (which is investigated by a real-space renormalization group method using the dilute-gas approximation), we provide a systematic method for obtaining higher-order corrections to the dilute gas result.

Despite remarkable progress made in the past century, which has revolutionized our understanding of the universe, there are numerous open questions left in theoretical physics. Particularly important is the fact that the theories describing the fundamental interactions of nature are incompatible. Einstein's theory of general relative describes gravity as a dynamical spacetime, which is curved by matter and whose curvature determines the motion of matter. On the other hand we have quantum field theory, in form of the standard model of particle physics, where particles interact via the remaining interactions - electromagnetic, weak and strong interaction - on a flat, static spacetime without gravity. A theory of quantum gravity is hoped to cure this incompatibility by heuristically replacing classical spacetime by quantum spacetime'. Several approaches exist attempting to define such a theory with differing underlying premises and ideas, where it is not clear which is to be preferred. Yet a minimal requirement is the compatibility with the classical theory, they attempt to generalize. Interestingly many of these models rely on discrete structures in their definition or postulate discreteness of spacetime to be fundamental. Besides the direct advantages discretisations provide, e.g. permitting numerical simulations, they come with serious caveats requiring thorough investigation: In general discretisations break fundamental diffeomorphism symmetry of gravity and are generically not unique. Both complicates establishing the connection to the classical continuum theory. The main focus of this thesis lies in the investigation of this relation for spin foam models. This is done on different levels of the discretisation / triangulation, ranging from few simplices up to the continuum limit. In the regime of very few simplices we confirm and deepen the connection of spin foam models to discrete gravity. Moreover, we discuss dynamical, e.g. diffeomorphism invariance in the discrete, to fix the ambiguities of the models. In order to satisfy these conditions, the discrete models have to be improved in a renormalisation procedure, which also allows us to study their continuum dynamics. Applied to simplified spin foam models, we uncover a rich, non--trivial fixed point structure, which we summarize in a phase diagram. Inspired by these methods, we propose a method to consistently construct the continuum theory, which comes with a unique vacuum state. / Trotz bemerkenswerter Fortschritte im vergangenen Jahrhundert, die unser Verständnis des Universums revolutioniert haben, gibt es noch zahlreiche ungeklärte Fragen in der theoretischen Physik. Besondere Bedeutung kommt der Tatsache zu, dass die Theorien, welche die fundamentalen Wechselwirkungen der Natur beschreiben, inkompatibel sind. Nach Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie wird die Gravitation durch eine dynamische Raumzeit dargestellt, die von Materie gekrümmt wird und ihrerseits durch die Krümmung die Bewegung der Materie bestimmt. Dem gegenüber steht die Quantenfeldtheorie, die die verbliebenen Wechselwirkungen - elektromagnetische, schwache und starke Wechselwirkung - im Standardmodell der Teilchenphysik beschreibt, in dem Teilchen auf einer statischen Raumzeit -- ohne Gravitation -- miteinander interagieren. Die Hoffnung ist, dass eine Theorie der Quantengravitation diese Inkompatibilität beheben kann, indem, heuristisch, die klassische Raumzeit durch eine 'Quantenraumzeit' ersetzt wird. Es gibt zahlreiche Ansätze eine solche Theorie zu definieren, die auf unterschiedlichen Prämissen und Ideen beruhen, wobei a priori nicht klar ist, welche zu bevorzugen sind. Eine Minimalanforderung an diese Theorien ist Kompatibilität mit der klassischen Theorie, die sie verallgemeinern sollen. Interessanterweise basieren zahlreiche Modelle in ihrer Definition auf Diskretisierungen oder postulieren eine fundamentale Diskretheit der Raumzeit. Neben den unmittelbaren Vorteilen, die Diskretisierungen bieten, z.B. das Ermöglichen numerischer Simulationen, gibt es auch gravierende Nachteile, die einer ausführlichen Untersuchung bedürfen: Im Allgemeinen brechen Diskretisierungen die fundamentale Diffeomorphismensymmetrie der Gravitation und sind in der Regel nicht eindeutig definiert. Beides erschwert die Wiederherstellung der Verbindung zur klassischen, kontinuierlichen Theorie. Das Hauptaugenmerk dieser Doktorarbeit liegt darin diese Verbindung insbesondere für Spin-Schaum-Modelle (spin foam models) zu untersuchen. Dies geschieht auf sehr verschiedenen Ebenen der Diskretisierung / Triangulierung, angefangen bei wenigen Simplizes bis hin zum Kontinuumslimes. Im Regime weniger Simplizes wird die bekannte Verbindung von Spin--Schaum--Modellen zu diskreter Gravitation bestätigt und vertieft. Außerdem diskutieren wir dynamische Prinzipien, z.B. Diffeomorphismeninvarianz im Diskreten, um die Ambiguitäten der Modelle zu fixieren. Um diese Bedingungen zu erfüllen, müssen die diskreten Modelle durch Renormierungsverfahren verbessert werden, wodurch wir auch ihre Kontinuumsdynamik untersuchen können. Angewandt auf vereinfachte Spin-Schaum-Modelle finden wir eine reichhaltige, nicht-triviale Fixpunkt-Struktur, die wir in einem Phasendiagramm zusammenfassen. Inspiriert von diesen Methoden schlagen wir zu guter Letzt eine konsistente Konstruktionsmethode für die Kontinuumstheorie vor, die einen eindeutigen Vakuumszustand definiert.

Viele Phaenomene in der Natur sind eng verknuepft mit dem Niederenergieverhalten der QCD und damit von nicht-perturbative Natur. Viele Groeßen benoetigen auch eine nicht-perturbative Renormierung. Als nicht-perturbative Renormierungsschema schlagen wir das chiral gedrehte Schroedingerfunktional, χSF, in einer Gitterregularisierung vor. Auf dem Baumgraphenniveau wird eine analytische Rechnung im Kontinuum und auf dem Gitter durchgefuehrt. Weitere Untersuchungen werden dann in der Valenzquark-Approximation der Gitter QCD durchgefuehrt. Eines der Hauptziele ist es dabei, die im χSF benoetigten Koeffizienten nicht-perturbativ so einzustellen, dass ein wohl-definierter Kontinuumlimes durchgefuehrt werden kann. Es wird gezeigt, dass solch eine Feineinstellung der Parameter des χSF durchfuehrbar ist und dass physikalische Groeßen nicht sensitiv auf die spezielle Wahl der Bedingung zur Einstellung der Parameter sind. Es wird gezeigt, dass das Skalierungsverhalten physikalischer Groeßen konsistent mit fuehrenden O(a2) Diskretisierungseffekten ist. Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist der Nachweis, dass das χSF mit den hier berechneten Verbesserungskoeffizienten, zu einem korrekten Kontinuumlimes fuehrt. Dazu wurden drei unterschiedliche Werte der Renormierungsskala verwendet und mehrere uns interessierende physikalische Groeßen berechnet. Wir koennen deshalb den Schluss ziehen, dass das χSF ein viel versprechendes Renormierungsschema darstellt, um eine nicht-perturbative Renormierung vorzunehmen und dabei gleichzeitig die automatische O(a)-Verbesserung aufrecht erhalten. Dies eroeffnet den sehr wichtigen Ausblick, dass das χSF in zukuenftigen nicht-perturbativen Berechnungen von Renormierungskonstanten auch ueber die Valenzquark-Approximation hinaus eingesetzt werden kann. / There are many phenomena in nature which are closely linked to the low energy regime of QCD. Theoretically, these can be dealt with only by means of non-perturbative methods. Often, a non-perturbative renormalization of QCD is required. We employ a 4-dimensional lattice as a regulator of QCD. As a non-perturbative renormalization scheme, we propose the chirally rotated Schrödinger functional, χSF. We perform analytical studies at tree-level of perturbation theory, in the continuum and on the lattice. Beyond tree-level, all studies are performed in the quenched approximation of QCD. One of the main targets has been to perform the non-perturbative tuning of the two required coefficients of the χSF scheme, such that a well defined continuum limit can be reached. We demonstrate that the tuning is feasible and physical quantities are insensitive to the tuning condition. There are also a couple of improvement counterterms at the boundaries. However, besides these boundary O(a) effects, the χSF is expected to be compatible with bulk automatic O(a)-improvement. We show that the scaling behavior of physical quantities is consistent with automatic O(a)-improvement. The other most important achievement has been to demonstrate that the χSF, with the here computed tuning coefficients, leads to the correct continuum limit. For this, we have performed universality tests of the continuum limit, at three different values of the renormalization scale and through the computation of several physical quantities of interest. The conclusion of these results is that the χSF is a promising scheme to perform non-perturbative renormalizations while maintaining bulk automatic O(a)-improvement. This opens the most relevant prospect that the χSF can be safely used in future non-perturbative computations of renormalization factors also beyond the quenched approximation.

The goal of this Thesis is to give a presentation of some key issues regarding the non-perturbative renormalization of the periodic scalar field theories. As an example of the non-perturbative methods, we use the differential renormalization group approach, particularly the Wegner-Houghton and the Polchinski renormalization group equations, in order to investigate the renormalization of a one-component periodic scalar field theory. The Wegner-Houghton equation provides a resummation of the loop-expansion, and the Polchinski equation is based on the resummation of the perturbation series. Therefore, these equations are exact in the sense that they contain all quantum corrections. In the framework of these renormalization group equations, field theories with periodic self interaction can be considered without violating the essential symmetry of the model: the periodicity. Both methods - the Wegner-Houghton and the Polchinski approaches - are inspired by Wilson's blocking construction in momentum space: the Wegner-Houghton method uses a sharp momentum cut-off and thus cannot be applied directly to non-constant fields (contradicts with the "derivative expansion"); the Polchinski method is based on a smooth cut-off and thus gives rise naturally to a "derivative expansion" for varying fields. However, the shape of the cut-off function (the "scheme") is not fixed a priori within Polchinski's ansatz. In this thesis, we compare the Wegner--Houghton and the Polchinski equation; we demonstrate the consistency of both methods for near-constant fields in the linearized level and obtain constraints on the regulator function that enters into Polchinski's equation. Analytic and numerical results are presented which illustrate the renormalization group flow for both methods. We also briefly discuss the relation of the momentum-space methods to real-space renormalization group approaches. For the two-dimensional Coulomb gas (which is investigated by a real-space renormalization group method using the dilute-gas approximation), we provide a systematic method for obtaining higher-order corrections to the dilute gas result.

Die sogenannten wunderbaren Modelle für Teilraumanordnungen, eingeführt von DeConcini und Procesi, basierend auf den Techniken der Fulton und MacPherson''schen Kompaktifzierung von Konfigurationsräumen, ermöglichen es, eine Fortsetzung von Feynmandistributionen auf die ihnen zugeordneten divergenten Teilräume in kanonischer Weise zu definieren. Dies wurde in der Dissertation von Christoph Bergbauer ausgearbeitet und diese Arbeit führt die dort präsentierten Ideen weiter aus. Im Unterschied formulieren wir die zentralen Begriffe nicht in geometrischer Sprache, sondern mit Hilfe der partiell geordneten Menge der divergenten Subgraphen eines Feynmangraphen. Dieser Ansatz ist inspiriert durch Feichtners Formulierung der wunderbaren Modellkonstruktion aus kombinatorischer Sicht. Diese Betrachtungsweise vereinfacht die Darstellung deutlich und führt zu einem besseren Verständnis der Fortsetzungs- bzw. Renormierungsoperatoren. Darüber hinaus erlaubt sie das Studium der Renormierungsgruppe, d.h. zu untersuchen, wie sich die renormierten Distributionen unter einem Wechsel des Renormierungspunktes verhalten. Wir zeigen, dass eine sogenannte endliche Renormierung sich darstellen läßt als eine Summe von durch die divergenten Subgraphen bestimmten Distributionen. Dies alles unterstreicht den wohlbekannten Fakt, dass perturbative Renormierung zum größten Teil durch die Kombinatorik von Feynmangraphen bestimmt ist und die analytischen Aspekte nur eine untergeordnete Rolle spielen. / The so-called wonderful models of subspace arrangements, developed in by DeConcini and Procesi, based on Fulton and MacPherson''s seminal paper on a compactification of configuration space, serve as a systematic way to resolve the singularities of Feynman distributions and define in this way canonical renormalization operators. In this thesis we continue the work of Bergbauer where wonderful models were introduced to solve the renormalization problem in position space. In contrast to the exposition there, instead of the subspaces in the arrangement of divergent loci we use the poset of divergent subgraphs of a given Feynman graph as the main tool to describe the wonderful construction and the renormalization operators. This is based on a review article by Feichtner where wonderful models were studied from a purely combinatorial viewpoint. The main motivation for this approach is the fact that both, the renormalization process and the model construction, are governed by the combinatorics of this poset. Not only simplifies this the exposition considerably, but it also allows to study the renormalization operators in more detail. Moreover, we explore the renormalization group in this setting, i.e. we study how the renormalized distributions change if one varies the renormalization points. We show that a so-called finite renormalization is expressed as a sum of distributions determined by divergent subgraphs. The bottom line is that - as is well known, at the latest since the discovery of a Hopf algebra structure underlying renormalization - the whole process of perturbative renormalization is governed by the combinatorics of Feynman graphs while the calculus involved plays only a supporting role.

Im ersten Teil dieser Dissertation untersuchen wir Formfaktoren von allgemeinen eichinvarianten lokalen zusammengesetzten Operatoren in der N=4 Super-Yang-Mills-Theorie bei verschiedenen Schleifenordnungen und Anzahlen externer Felder. Wir zeigen, wie Masseschalen-Methoden zu ihrer Berechnung genutzt werden können, und extrahieren aus ihnen insbesondere den Dilatationsoperator. Wir untersuchen auch die Eigenschaften der zugehörigen Rückstandsfunktionen. Des Weiteren verallgemeinern wir Masseschalen-Diagramme, Graßmann-Integrale und die integrabilitätsinspirierte Technik der R-Operatoren zur Anwendung auf Formfaktoren, wobei wir uns auf das Beispiel des chiralen Teils des Energie-Impuls-Tensors konzentrieren. Im zweiten Teil untersuchen wir die Beta- und die Gamma-i-Deformation. Bei diesen handelt es sich um die allgemeinste supersymmetrische beziehungsweise nicht-supersymmetrische feldtheoretische Deformation von N=4 Super-Yang-Mills-Theorie, welche auf der Ebene des asymptotischen Bethe-Ansatzes integrabel sind. Hierbei tritt ein neuer Effekt der endlichen Systemgröße auf, der durch Doppelspurstrukturen in der deformierten Lagrange-Dichte hervorgerufen wird und den wir Vorwickeln nennen. Während die Beta-Deformation für sich an ihren nicht-verschwindenden IR-Fixpunkten befindliche Doppelspurkopplungen konform invariant ist, weist die Gamma-i-Deformation rennende Doppelspurkopplungen ohne Fixpunkte auf, was die konforme Invarianz selbst im planaren Limes bricht. Nichtsdestotrotz erlaubt die Gamma-i-Deformation hochgradig nicht-triviale Tests der Integrabilität bei beliebig hohen Schleifenordnungen. / In the first part of this thesis, we study form factors of general gauge-invariant local composite operators in N=4 super Yang-Mills theory at various loop orders and for various numbers of external legs. We show how to use on-shell methods for their calculation and in particular extract the dilatation operator from the result. We also investigate the properties of the corresponding remainder functions. Moreover, we extend on-shell diagrams, a Graßmannian integral formulation and an integrability-based construction via R-operators to form factors, focussing on the chiral part of the stress-tensor supermultiplet as an example. In the second part, we study the beta- and the gamma-i-deformation, which were respectively shown to be the most general supersymmetric and non-supersymmetric field-theory deformations of N=4 super Yang-Mills theory that are integrable at the level of the asymptotic Bethe ansatz. For these theories, a new kind of finite-size effect occurs, which we call prewrapping and which emerges from double-trace structures that are required in the deformed Lagrangians. While the beta-deformation is conformal when the double-trace couplings are at their non-trivial IR fixed points, the gamma-i-deformation has running double-trace couplings without fixed points, which break conformal invariance even in the planar theory. Nevertheless, the gamma-i-deformation allows for highly non-trivial field-theoretic tests of integrability at arbitrarily high loop orders.

Thema dieser Dissertation ist die Renormierung von perturbativer skalarer Quantenfeldtheorie bei großer Schleifenzahl. Der Hauptteil der Arbeit ist dem Einfluss von Renormierungsbedingungen auf renormierte Greenfunktionen gewidmet. Zunächst studieren wir Dyson-Schwinger-Gleichungen und die Renormierungsgruppe, inklusive der Gegenterme in dimensionaler Regularisierung. Anhand zahlreicher Beispiele illustrieren wir die verschiedenen Größen. Alsdann diskutieren wir, welche Freiheitsgrade ein Renormierungsschema hat und wie diese mit den Gegentermen und den renormierten Greenfunktionen zusammenhängen. Für ungekoppelte Dyson-Schwinger-Gleichungen stellen wir fest, dass alle Renormierungsschemata bis auf eine Verschiebung des Renormierungspunktes äquivalent sind. Die Verschiebung zwischen kinematischer Renormierung und Minimaler Subtraktion ist eine Funktion der Kopplung und des Regularisierungsparameters. Wir leiten eine neuartige Formel für den Fall einer linearen Dyson-Schwinger Gleichung vom Propagatortyp her, um die Verschiebung direkt aus der Mellintransformation des Integrationskerns zu berechnen. Schließlich berechnen wir obige Verschiebung störungstheoretisch für drei beispielhafte nichtlineare Dyson-Schwinger-Gleichungen und untersuchen das asymptotische Verhalten der Reihenkoeffizienten. Ein zweites Thema der vorliegenden Arbeit sind Diffeomorphismen der Feldvariable in einer Quantenfeldtheorie. Wir präsentieren eine Störungstheorie des Diffeomorphismusfeldes im Impulsraum und verifizieren, dass der Diffeomorphismus keinen Einfluss auf messbare Größen hat. Weiterhin untersuchen wir die Divergenzen des Diffeomorphismusfeldes und stellen fest, dass die Divergenzen Wardidentitäten erfüllen, die die Abwesenheit dieser Terme von der S-Matrix ausdrücken. Trotz der Wardidentitäten bleiben unendlich viele Divergenzen unbestimmt. Den Abschluss bildet ein Kommentar über die numerische Quadratur von Periodenintegralen. / This thesis concerns the renormalization of perturbative quantum field theory. More precisely, we examine scalar quantum fields at high loop order. The bulk of the thesis is devoted to the influence of renormalization conditions on the renormalized Green functions. Firstly, we perform a detailed review of Dyson-Schwinger equations and the renormalization group, including the counterterms in dimensional regularization. Using numerous examples, we illustrate how the various quantities are computable in a concrete case and which relations they satisfy. Secondly, we discuss which degrees of freedom are present in a renormalization scheme, and how they are related to counterterms and renormalized Green functions. We establish that, in the case of an un-coupled Dyson-Schwinger equation, all renormalization schemes are equivalent up to a shift in the renormalization point. The shift between kinematic renormalization and Minimal Subtraction is a function of the coupling and the regularization parameter. We derive a novel formula for the case of a linear propagator-type Dyson-Schwinger equation to compute the shift directly from the Mellin transform of the kernel. Thirdly, we compute the shift perturbatively for three examples of non-linear Dyson-Schwinger equations and examine the asymptotic growth of series coefficients. A second, smaller topic of the present thesis are diffeomorphisms of the field variable in a quantum field theory. We present the perturbation theory of the diffeomorphism field in momentum space and find that the diffeomorphism has no influence on measurable quantities. Moreover, we study the divergences in the diffeomorphism field and establish that they satisfy Ward identities, which ensure their absence from the S-matrix. Nevertheless, the Ward identities leave infinitely many divergences unspecified and the diffeomorphism theory is perturbatively unrenormalizable. Finally, we remark on a third topic, the numerical quadrature of Feynman periods.