Mein Ziel ist eine Begründung der Physik aus der Operationalisierung ihrer Grundmaße. Wir beginnen mit der klassischen und relativistischen Kinematik. Dann greifen wir einen programmatischen Entwurf von Heinrich Hertz auf und gelangen über die Quantifizierung von Energie und Impuls zu den Bewegungsgleichungen und dem Wirkungsfunktional. Den Abschluß bildet eine relativistische Revision der Energie, Impuls und Massenvorstellung. Das Ziel ist nicht primär, den mathematischen Aufbau der Mechanik zu ändern oder zu verbessern, sondern ein tieferes physikalisches Verständnis der Mechanik zu erlangen, so wie Einstein mit seinen Gedankenexperimenten zur relativistischen Kinematik. Ausgehend von anerkannten Messhandlungen und Naturprinzipien wird der mathematische Formalismus erst erzeugt und somit neu beleuchtet. Die Arbeit steht damit im selben Kontext wie die aktuellen Bemühungen zur "Fundierung der Quantenmechanik", nur eben mit Bezug auf die Interpretation der klassischen und relativistischen Kalküle. / My objective is a foundation of physics from the operationalization of its basic observables. We begin with classical and relativistic kinematics. Seizing on a programmatic proposal by Heinrich Hertz we arrive via quantification of energy-momentum at the equations of motion and the action functional. Finally we present a relativistic revision of energy, momentum and inertial mass. The goal is not primarily to change or improve the mathematical structure of mechanics, but to gain a deeper physical understanding of mechanics like Einstein with his gendanken experiments on relativistic kinematics. Starting from undisputed measurement operations and natural principles the mathematical formalism is only created and thus shown in a new light. This work is in the same context as current efforts to the "foundation of quantum mechanics", just with respect to the interpretation of the classical and relativistic calculuses.

Das globale Klimasystem ist ein ausgesprochen komplexes und hochgradig nichtlineares System mit einer Vielzahl von Einflüssen und Interaktionen zwischen Variablen und Parametern. Komplementär zu der Beschreibung des Systems mit globalen Klimamodellen, kann Klima anhand der Interaktionsstruktur des Gesamtsystems durch Netzwerke beschrieben werden. Statt Details so genau wie möglich zu modellieren, werden hier Zeitreihendaten verwendet um zugrundeliegende Strukturen zu finden. Die Herausforderung liegt dann in der Interpretation dieser Strukturen. Um mich der Frage nach der Interpretation von Netzwerkmaßen zu nähern, suche ich nach einem allgemeinen Zusammenhang zwischen Eigenschaften der Netzwerktopologie und Eigenschaften des zugrundeliegenden physikalischen Systems. Dafür werden im Wesentlichen zwei Methoden entwickelt, die auf der Analyse von Temperaturentwicklungen gemäß der Advektions-Diffusions-Gleichung (ADE) basieren. Für die erste Methode wird die ADE mit offenen Randbedingungen und δ-peak Anfangsbedingungen gelöst. Die resultierenden lokalen Temperaturprofile werden verwendet um eine Korrelationsfunktion und damit ein Netzwerk zu definieren. Diese Netzwerke werden analysiert und mit Klimanetzen aus Daten verglichen. Die zweite Methode basiert auf der Diskretisierung der stochastischen ADE. Die resultierende lineare, stochastische Rekursionsgleichung wird verwendet um eine Korrelationsmatrix zu definieren, die nur von der Übergangsmatrix und der Varianz des stochastischen Störungsterms abhängt. Ich konstruiere gewichtete und ungewichtete Netzwerke für vier verschiedene Fälle und schlage Netzwerkmaße vor, die zwischen diesen Systemen zu unterscheiden helfen, wenn nur das Netzwerk und die Knotenpositionen gegeben sind. Die präsentierten Rekonstruktionsmethoden generieren Netzwerke, die konzeptionell und strukturell Klimanetzwerken ähneln und können somit als "proof of concept" der Methode der Klimanetzwerke, sowie als Interpretationshilfe betrachtet werden. / The earth’s climate is an extraordinarily complex, highly non-linear system with a multitude of influences and interactions between a very large number of variables and parameters. Complementary to the description of the system using global climate models, in recent years, a description based on the system’s interaction structure has been developed. Rather than modelling the system in as much detail as possible, here time series data is used to identify underlying large scale structures. The challenge then lies in the interpretation of these structures. In this thesis I approach the question of the interpretation of network measures from a general perspective, in order to derive a correspondence between properties of the network topology and properties of the underlying physical system. To this end I develop two methods of network construction from a velocity field, using the advection-diffusion-equation (ADE) for temperature-dissipation in the system. For the first method, the ADE is solved for δ-peak-shaped initial and open boundary conditions. The resulting local temperature profiles are used to define a correlation function and thereby a network. Those networks are analysed and compared to climate networks from data. Despite the simplicity of the model, it captures some of the most salient features of climate networks. The second network construction method relies on a discretisation of the ADE with a stochastic term. I construct weighted and unweighted networks for four different cases and suggest network measures, that can be used to distinguish between the different systems, based on the topology of the network and the node locations. The reconstruction methods presented in this thesis successfully model many features, found in climate networks from well-understood physical mechanisms. This can be regarded as a justification of the use of climate networks, as well as a tool for their interpretation.

Diese Arbeit liefert einen Beitrag zur mathematischen Untersuchung der Darwin-Howie-Whelan (DHW) Gleichungen. Sie werden üblicherweise zur Beschreibung und Simulation der Diffraktion schneller Elektronen in der Transmissionselektronenmikroskopie (TEM) verwendet. Sie bilden ein System aus Gleichungen für unendlich viele Enveloppenfunktionen, das aus der Schrödinger-Gleichung abgeleitet werden kann. Allerdings wird für Simulation von TEM Bildern nur ein endlicher Satz von Enveloppenfunktionen verwendet, was zu einem System von gewöhnlichen Differentialgleichungen in Richtung der Dicke der Probe führt. Bis jetzt gibt es keine systematische Analyse zur Genauigkeit dieser Näherungen in Abhängigkeit von der Auswahl der verwendeten endlichen Sätze von Enveloppenfunktionen. Diese Frage wird hier untersucht, indem die mathematische Struktur des Systems analysiert wird und Fehlerabschätzungen zur Bewertung der Genauigkeit spezieller Näherungen hergeleitet werden, wie der Zweistrahl-Approximation oder der sogennanten systematischen Reihe. Anschließend wird ein mathematisches Modell und eine Toolchain für die numerische Simulation von TEM-Bildern von Halbleiter-Quantenpunkten entwickelt. Es wird eine Simulationsstudie an Indium-Gallium-Arsenid-Quantenpunkten mit unterschiedlicher Geometrie durchgeführt und die resultierenden TEM Bilder werden mit experimentellen Bildern verglichen. Schließlich werden die in TEM Bildern beobachteten Symmetrien im Hinblick auf die DHW Gleichungen untersucht. Dazu werden mathematische Resultate formuliert und bewiesen, die zeigen dass die Intensitäten der Lösungen der DHW Gleichungen unter bestimmten Transformationen invariant sind. Durch die Kombination dieser Invarianten mit spezifischen Eigenschaften des Deformationsfeldes können dann die in TEM Bildern beobachteten Symmetrien erklärt werden. Die Ergebnisse werden anhand ausgewählter Beispiele aus dem Bereich der Halbleiter-Nanostrukturen wie Quantensichten und Quantenpunkte demonstriert. / In this thesis a mathematical study on the Darwin--Howie--Whelan (DHW) equations is provided. The equations are commonly used to describe and simulate the scattering of fast electrons in transmission electron microscopy (TEM). They are a system for infinitely many envelope functions, derived from the Schrödinger equation. However, for the simulation of images only a finite set of envelope functions is used, leading to a finite system of ordinary differential equations in the thickness direction of the specimen. Until now, there has been no systematic discussion about the accuracy of approximations depending on the choice of the finite sets used. This question is approached here by studying the mathematical structure of the system and providing error estimates to evaluate the accuracy of special approximations, like the two-beam and the systematic-row approximation. Then a mathematical model and a toolchain for the numerical simulation of TEM images of semiconductor quantum dots (QDs) is developed. A simulation study is performed on indium gallium arsenide QDs with different shapes and the resulting TEM images are compared to experimental ones. Finally, symmetries observed in TEM images are investigated with respect to the DHW equations. Then, mathematical proofs are given showing that the intensities of the solutions of the DHW equations are invariant under specific transformations. A combination of these invariances with specific properties of the strain profile can then explain symmetries observed in TEM images. The results are demonstrated by using selected examples in the field of semiconductor nanostructures, such as quantum wells and quantum dots.

Die sogenannten wunderbaren Modelle für Teilraumanordnungen, eingeführt von DeConcini und Procesi, basierend auf den Techniken der Fulton und MacPherson''schen Kompaktifzierung von Konfigurationsräumen, ermöglichen es, eine Fortsetzung von Feynmandistributionen auf die ihnen zugeordneten divergenten Teilräume in kanonischer Weise zu definieren. Dies wurde in der Dissertation von Christoph Bergbauer ausgearbeitet und diese Arbeit führt die dort präsentierten Ideen weiter aus. Im Unterschied formulieren wir die zentralen Begriffe nicht in geometrischer Sprache, sondern mit Hilfe der partiell geordneten Menge der divergenten Subgraphen eines Feynmangraphen. Dieser Ansatz ist inspiriert durch Feichtners Formulierung der wunderbaren Modellkonstruktion aus kombinatorischer Sicht. Diese Betrachtungsweise vereinfacht die Darstellung deutlich und führt zu einem besseren Verständnis der Fortsetzungs- bzw. Renormierungsoperatoren. Darüber hinaus erlaubt sie das Studium der Renormierungsgruppe, d.h. zu untersuchen, wie sich die renormierten Distributionen unter einem Wechsel des Renormierungspunktes verhalten. Wir zeigen, dass eine sogenannte endliche Renormierung sich darstellen läßt als eine Summe von durch die divergenten Subgraphen bestimmten Distributionen. Dies alles unterstreicht den wohlbekannten Fakt, dass perturbative Renormierung zum größten Teil durch die Kombinatorik von Feynmangraphen bestimmt ist und die analytischen Aspekte nur eine untergeordnete Rolle spielen. / The so-called wonderful models of subspace arrangements, developed in by DeConcini and Procesi, based on Fulton and MacPherson''s seminal paper on a compactification of configuration space, serve as a systematic way to resolve the singularities of Feynman distributions and define in this way canonical renormalization operators. In this thesis we continue the work of Bergbauer where wonderful models were introduced to solve the renormalization problem in position space. In contrast to the exposition there, instead of the subspaces in the arrangement of divergent loci we use the poset of divergent subgraphs of a given Feynman graph as the main tool to describe the wonderful construction and the renormalization operators. This is based on a review article by Feichtner where wonderful models were studied from a purely combinatorial viewpoint. The main motivation for this approach is the fact that both, the renormalization process and the model construction, are governed by the combinatorics of this poset. Not only simplifies this the exposition considerably, but it also allows to study the renormalization operators in more detail. Moreover, we explore the renormalization group in this setting, i.e. we study how the renormalized distributions change if one varies the renormalization points. We show that a so-called finite renormalization is expressed as a sum of distributions determined by divergent subgraphs. The bottom line is that - as is well known, at the latest since the discovery of a Hopf algebra structure underlying renormalization - the whole process of perturbative renormalization is governed by the combinatorics of Feynman graphs while the calculus involved plays only a supporting role.

Hochdurchsatzverfahren quantifizieren eine Vielzahl zellulärer Komponenten, können aber selten deren Interaktionen beschreiben. Daher wurden in den letzten 20 Jahren verschiedenste Netzwerk-Rekonstruktionsmethoden entwickelt. Insbesondere Perturbationsdaten erlauben dabei Rückschlüsse über funktionelle Mechanismen in der Genregulierung, Signal Transduktion, intra-zellulärer Kommunikation und anderen Prozessen zu ziehen. Dennoch bleibt Netzwerkinferenz ein ungelöstes Problem, weil die meisten Methoden auf ungeeigneten Annahmen basieren und die Identifizierbarkeit von Netzwerkkanten nicht aufklären. Diesbezüglich beschreibt diese Dissertation eine neue Rekonstruktionsmethode, die auf einfachen Annahmen von Perturbationsausbreitung basiert. Damit ist sie in verschiedensten Zusammenhängen anwendbar und übertrifft andere Methoden in Standard-Benchmarks. Für MAPK und PI3K Signalwege in einer Adenokarzinom-Zellline generiert sie plausible Netzwerkhypothesen, die unterschiedliche Sensitivitäten von PI3K-Mutanten gegenüber verschiedener Inhibitoren überzeugend erklären. Weiterhin wird gezeigt, dass sich Netzwerk-Identifizierbarkeit durch ein intuitives Max-Flow Problem beschreiben lässt. Dieses analytische Resultat erlaubt effektive, identifizierbare Netzwerke zu ermitteln und das experimentelle Design aufwändiger Perturbationsexperimente zu optimieren. Umfangreiche Tests zeigen, dass der Ansatz im Vergleich zu zufällig generierten Perturbationssequenzen die Anzahl der für volle Identifizierbarkeit notwendigen Perturbationen auf unter ein Drittel senkt. Schließlich beschreibt die Dissertation eine mathematische Weiterentwicklung der Modular Response Analysis. Es wird gezeigt, dass sich das Problem als analytisch lösbare orthogonale Regression approximieren lässt. Dies erlaubt eine drastische Reduzierung des nummerischen Aufwands, womit sich deutlich größere Netzwerke rekonstruieren und neueste Hochdurchsatz-Perturbationsdaten auswerten lassen. / 'Omics' technologies provide extensive quantifications of components of biological systems but rarely characterize the interactions between them. To fill this gap, various network reconstruction methods have been developed over the past twenty years. Using perturbation data, these methods can deduce functional mechanisms in gene regulation, signal transduction, intra-cellular communication and many other cellular processes. Nevertheless, this reverse engineering problem remains essentially unsolved because inferred networks are often based on inapt assumptions, lack interpretability as well as a rigorous description of identifiability. To overcome these shortcoming, this thesis first presents a novel inference method which is based on a simple response logic. The underlying assumptions are so mild that the approach is suitable for a wide range of applications while also outperforming existing methods in standard benchmark data sets. For MAPK and PI3K signalling pathways in an adenocarcinoma cell line, it derived plausible network hypotheses, which explain distinct sensitivities of PI3K mutants to targeted inhibitors. Second, an intuitive maximum-flow problem is shown to describe identifiability of network interactions. This analytical result allows to devise identifiable effective network models in underdetermined settings and to optimize the design of costly perturbation experiments. Benchmarked on a database of human pathways, full network identifiability is obtained with less than a third of the perturbations that are needed in random experimental designs. Finally, the thesis presents mathematical advances within Modular Response Analysis (MRA), which is a popular framework to quantify network interaction strengths. It is shown that MRA can be approximated as an analytically solvable total least squares problem. This insight drastically reduces computational complexity, which allows to model much bigger networks and to handle novel large-scale perturbation data.