Les cristaux liquides ont été tout le long un terrain fertile pour la recherche scientifique, des mathématiques à la science des matériaux, à l'optique. Leur utilisation ne se limite pas seulement à l'optique d'afficheurs mais s'étend à l'optique non linéaire, par exemple, à la commutation et au routage de faisceaux optiques. En raison de leur extrême sensibilité aux champs électriques, et ce sur une plage de fréquences allant du continu aux fréquences optiques, ils sont aussi utilises comme milieu non linéaires aptes à générer des faisceaux optiques auto-confinés, appelés solitons spatiaux optiques, à de très faibles puissances. Ces faisceaux ont la propriété de se propager sans diffraction, du fait que cette dernière est compensée par l’auto-focalisation non linéaire du milieu, avec formation de guides d'onde auto-induites. Dans les cristaux liquides nématiques, ces guides d'ondes peuvent à leur tours confiner et guider d’autres signaux optiques et peuvent être reconfigurés, soit optiquement, soit électriquement, du fait que la trajectoire des solitons peut être contrôlée par d'autres champs, ouvrant ainsi la voie à la manipulation tout-optique. Récemment, les cristaux liquides nématiques ont été également utilisés avec succès dans l'optique dite singulière, dans laquelle le paramètre clef est la singularité topologique portée par la phase de l'onde électromagnétique. Dans cette thèse, je rendrai compte de mon travail sur les solitons optiques spatiaux et les singularités optiques dans les cristaux liquides nématiques. / Liquid crystals have been all along a fertile background for scientific research, from mathematics to material science and optics; their use is not limited to displays but extends to nonlinear optics, for instance, to switching and routing of optical beams. Due to their extreme sensitivity to electric fields, and this at frequencies ranging from continuous to optical ones, they are also nonlinear media supporting the generation and propagation of self confined beams, called spatial optical solitons, at very low powers. Spatial optical solitons have the property to propagate without diffraction, since this is compensated by nonlinear self-focusing in the medium, resulting in self-induced waveguides. In nematic liquid crystals, these waveguides can in turn confine and route other optical signals and can be reconfigured, either optically or electrically, as soliton trajectories can be controlled by other fields, paving the way to all-optical manipulation. Nematic liquid crystals have also been recently employed with success in the so-called singular optics, in which the key parameter is the topologic singularity carried by the phase of an electromagnetic wave. In this thesis I will report on my work on spatial optical solitons and optical singularities in nematic liquid crystals.

Dans le cadre d'un consortium entre centres de recherche publics et industriels, ce travail de thèse de doctorat s'est attaché à démontrer l'intérêt des détecteurs photo-organiques (OPS) pour la caractérisation des suspensions et écoulements diphasiques. Les principes de plusieurs granulomètres permettant la caractérisation de ces milieux lorsqu'ils sont confinés dans une cuve cylindrique transparente (configuration standard du Process Analytical Technology) ont été proposés. Pour évaluer et optimiser les performances de ces systèmes, un code de simulation de type Monte-Carlo a été spécifiquement développé. Ce dernier permet de prendre en compte les nombreux paramètres du problème comme le profil du faisceau laser, les différentes surfaces spéculaires composant le montage, la composition du milieu particulaire (concentration, diamètre moyen, écart-type, matériau,...), la forme et la position des OPS. Les propriétés de diffusion des particules sont traitées à l'aide des théories de Lorenz-Mie et de Debye, de même qu'un modèle hydride prenant en compte les contributions géométriques et physiques. Pour les milieux dilués (diffusion simple), l'analyse repose sur l'inversion des diagrammes de diffusion obtenus sur une large plage angulaire ou au voisinage de singularités optiques remarquables (arc-en-ciel, diffusion critique, diffraction). Pour les milieux denses (diffusion multiple), les pistes étudiées reposent sur l'analyse des caractéristiques de la tache de rétrodiffusion. / As part of a consortium between academic and industry, this PhD work investigates the interest and capabilities of organic photo-sensors (OPS) for the optical characterization of suspensions and two-phase flows. The principle of new optical particle sizing instruments is proposed to characterize particle systems confined in a cylinder glass (standard configuration for Process Analytical Technologies). To evaluate and optimize the performance of these systems, a Monte-Carlo model has been specifically developed. This model accounts for the numerous parameters of the system: laser beam profile, mirrors, lenses, sample cell, particle medium properties (concentration, mean & standard deviation, refractive indices), OPS shape and positions, etc. Light scattering by particles is treated either by using Lorenz-Mie theory, Debye, or a hybrid model (that takes into account the geometrical and physical contributions). For diluted media (single scattering), particle size analysis is based on the inversion of scattering diagrams obtained over a wide angular range or near optical singularities (rainbow, critical scattering, diffraction). For dense media (multiple scattering), the solutions foreseen are based on the analysis of the backscattering spotlight characteristics.

Orientador: Tiago de Carvalho / Resumo: Nesta tese abordaremos aspectos qualitativos e dinâmicos de problemas envolvendo campos de vetores suaves por partes, também conhecidos como campos descontínuos. Primeiramente, apresentamos aplicações da teoria de campos de vetores descontínuos em modelos de tratamento intermitente de Câncer e Vírus da Imunodeficiência Humana onde exibimos a existência de singularidades típicas e órbitas periódicas. Ainda no contexto de aplicações, revisitamos um modelo predador-presa descontínuo de modo a concluir que o mesmo tem um comportamento caótico através da existência de uma órbita de Shilnikov. Posteriormente, respondemos questões sobre existência de conjuntos minimais e caóticos para campos de vetores descontínuos na esfera bidimensional. Em seguida, partimos ao estudo de bifurcação de ciclos limites em campos de vetores descontínuos tri e bidimensionais. No primeiro caso, perturbamos um campo descontínuo tangente a uma folheação por toros de modo a gerar uma quantidade finita ou infinita de ciclos limites. No segundo caso, estudamos uma família de campos descontínuos apresentando uma dobra-dobra invisível de costura, sua ciclicidade e a relação entre os coeficientes de Lyapunov desta família e sua regularização. Além disso, estudamos campos vetoriais suaves por partes Hamiltonianos contendo uma dobra-dobra invisível de costura donde apresentamos uma fórmula explícita para o cálculo dos cinco primeiros coeficientes de Lyapunov, além de explorar os diagramas de bifurcação gerados pe... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo) / Abstract: In this work we discuss qualitative and dynamic features of problems involving piecewise smooth vector fields, also known as discontinuous vector fields. Firstly, we present applications of discontinuous vector field theory in Human Immunodeficiency Virus and Cancer intermittent treatment models where we exhibit typical singularities and periodic orbits. Moreover, we revisit a discontinuous predator-prey model in order to conclude that it has a chaotic behavior through the existence of a Shilnikov orbit. Next, we answer questions about the existence of minimal and chaotic sets in the bidimensional sphere for discontinuous vector fields. Subsequently, we investigate the creation of limit cycles in three and two-dimensional discontinuous vector fields. In the first case, we perturb a discontinuous vector field tangent to a foliation composed by topological nested tori to generate a finite or infinite number of limit cycles. In the second case, we analyze a family of discontinuous vector fields containing a crossing invisible fold-fold, their cyclicity and the relation between the Lyapunov coefficients of this family and their regularization. Also, we study general piecewise Hamiltonian vector fields presenting a crossing invisible fold-fold where we give an explicit formula for the computation of the five first Lyapunov coefficients in addition to the investigation of the bifurcation diagrams. / Doutor

Le but principal de la thèse est d'étudier les liens entre les singularités du spectre d'un Hamiltonien quantique contrôlé et les questions de contrôlabilité de l'équation Schr"odinger associée.La principale question qui se pose est de savoir comment contrôler une famille de systèmes quantiques dépendant des paramètres avec une entrée de commande commune. Ce problème de contrôlabilité d'ensemble est lié à la conception d'une stratégie de contrôle robuste lorsqu'un paramètre (une fréquence de résonance ou une inhomogénéité de champ de contrôle par exemple) est inconnu, et constitue un enjeu important pour les expérimentateurs.Grâce à l'étude des familles à un paramètre de Hamiltoniens et de leurs singularités génériques, nous donnons une stratégie de contrôle explicite pour le problème de contrôlabilité d'ensemble lorsque les conditions géométriques sur le spectre des Hamiltoniens sont satisfaites. Le résultat est basé sur la théorie de l'approximation adiabatique et sur la présence de courbes d'intersections coniques de valeurs propres du Hamiltonien contrôlé. La technique proposée fonctionne pour des systèmes évoluant à la fois dans des espaces de Hilbert de dimension finie et de dimension infinie. Nous étudions ensuite le problème de la contrôlabilité d'ensemble sous des hypothèses moins restrictives sur le spectre, à savoir la présence de singularités non-coniques. Sous des conditions génériques, de telles singularités n'apparaissent pas pour des systèmes uniques, mais apparaissent pour des familles de systèmes à un paramètre.Pour l'étude d'un système unique, nous nous concentrons sur une classe de courbes dans l'espace des contrôles, appelées les courbes non-mixantes (définies dans cite{Bos}), qui peuvent optimiser la dynamique adiabatique près des intersections coniques et non coniques. Elles sont liées à la géométrie des espaces propres du Hamiltonien contrôlé et l'approximation adiabatique possède une meilleure précision le long de celles-ci.Nous proposons d'étudier la compatibilité de l'approximation adiabatique avec la Rotating Wave Approximation. De telles approximations sont généralement combinées par les physiciens. Mon travail montre que cela ne se justifie pour les systèmes quantiques à dimensions finies que dans certaines conditions sur les échelles de temps. Nous étudions également les questions de contrôle d'ensemble dans ce cas. / The main purpose of the thesis is to study the links between the singularities of the spectrum of a controlled quantum Hamiltonian and the controllability issues of the associated Schr"odinger equation.The principal issue that is developed is how to control a parameter-dependent family of quantum systems with a common control input. This problem of ensemble controllability is linked to the design of a robust control strategy when a parameter (a resonance frequency or a control field inhomogeneity for instance) is unknown, and is an important issue for experimentalists.Thanks to the study one-parametric families of Hamiltonians and their generic singularities, we give an explicit control strategy for the ensemble controllability problem when geometric conditions on the spectrum of the Hamiltonian are satisfied. The result is based on adiabatic approximation theory and on the presence of curves of conical eigenvalue intersections of the controlled Hamiltonian. The proposed technique works for systems evolving both in finite-dimensional and infinite-dimensional Hilbert spaces. Then we study the problem of ensemble controllability under less restrictive hypotheses on the spectrum, namely the presence of non-conical singularities. Under generic conditions such non-conical singularities are not present for single systems, but appear for one-parametric families of systems.For the study of a single system, we focus on a class of curves in the space of controls, called the non-mixing curves (defined in cite{Bos}), that can optimize the adiabatic dynamics near conical and non-conical intersections. They are linked to the geometry of the eigenspaces of the controlled Hamiltonian and the adiabatic approximation holds with higher precision along them.We propose to study the compatibility of the adiabatic approximation with the rotating wave approximation. Such approximations are usually done in cascade by physicists. My work shows that this is justified for finite dimensional quantum systems only under certain conditions on the time scales. We also study ensemble control issues in this case.

Cette thèse est consacrée aux méthodes symboliques de résolution locale des systèmes différentiels linéaires à coefficients dans K = C((x)), le corps des séries de Laurent, sur un corps effectif C. Plus précisément, nous nous intéressons aux algorithmes effectifs de réduction formelle. Au cours de la réduction, nous sommes amenés à introduire des extensions algébriques du corps de coefficients K (extensions algébriques de C, ramifications de la variable x) afin d’obtenir une structure plus fine. Du point de vue algorithmique, il est préférable de retarder autant que possible l’introduction de ces extensions. Dans ce but, nous développons un nouvel algorithme de réduction formelle qui utilise l’anneau des endomorphismes du système, appelé « eigenring », afin de se ramener au cas d’un système indécomposable sur K. En utilisant la classification formelle donnée par Balser-Jurkat-Lutz, nous déduisons la structure de l’eigenring d’un système indécomposable. Ces résultats théoriques nous permettent de construire une décomposition sur le corps de base K qui sépare les différentes parties exponentielles du système et permet ainsi d’isoler dans des sous-systèmes, indécomposables sur K, les différentes extensions de corps qui peuvent apparaître afin de les traiter séparément. Dans une deuxième partie, nous nous intéressons à l’algorithme de Miyake pour la réduction formelle. Celle-ci est basée sur le calcul du poids et d’une suite de Volevic de la matrice de valuation du système. Nous donnons des interprétations en théorie de graphe et en algèbre tropicale du poids et suites de Volevic, et obtenons ainsi des méthodes de calculs efficaces sur le plan pratique, à l’aide de la programmation linéaire. Ceci complète une étape fondamentale dans l’algorithme de réduction de Miyake. Ces différents algorithmes sont implémentés sous forme de librairies pour le logiciel de calcul formel Maple. Enfin, nous présentons une discussion sur la performance de l’algorithme de réduction avec l’eigenring ainsi qu’une comparaison en terme de temps de calcul entre notre implémentation de l’algorithme de réduction de Miyake par la programmation linéaire et ceux de Barkatou et Pflügel. / This thesis is devoted to symbolic methods for local resolution of linear differential systems with coefficients in K = C((x)), the field of Laurent series, on an effective field C. More specifically, we are interested in effective algorithms for formal reduction. During the reduction, we are led to introduce algebraic extensions of the field of coefficients K (algebraic extensions of C, ramification of the variable x) in order to obtain a finer structure. From an algorithmic point of view, it is preferable to delay as much as possible the introduction of these extensions. To this end, we developed a new algorithm for formal reduction that uses the ring of endomorphisms of the system, called "eigenring". Using the formal classification given by Balser-Jurkat-Lutz, we deduce the structure of the eigenring of an indecomposable system. These theoretical results allow us to construct a decomposition on the base field K that separates the different exponential parts of the system and thus allows us to isolate, in indecomposable subsystems in K, the different algebraic extensions that can appear in order to treat them separately. In a second part, we are interested in Miyake’s algorithm for formal reduction. This algorithm is based on the computation of the Volevic weight and numbers of the valuation matrix of the system. We provide interpretations in graph theory and tropical algebra of the Volevic weight and numbers, and thus obtain practically efficient methods using linear programming. This completes a fundamental step in the Miyake reduction algorithm. These different algorithms are implemented as libraries for the computer algebra software Maple. Finally, we present a discussion on the performance of the reduction algorithm using the eigenring as well as a comparison in terms of timing between our implementation of Miyake’s reduction algorithm by linear programming and the algorithms of Barkatou and Pflügel.

This paper is concerned with mesh refinement techniques for treating elliptic boundary value problems in domains with re- entrant edges and corners, and focuses on numerical experiments. After a section about the model problem and discretization strategies, their realization in the experimental code FEMPS3D is described. For two representative examples the numerically determined error norms are recorded, and various mesh refinement strategies are compared.

This thesis is concerned with the finite element analysis and the a posteriori error estimation for eigenvalue problems for general operator pencils on two-dimensional manifolds. A specific application of the presented theory is the computation of corner singularities. Engineers use the knowledge of the so-called singularity exponents to predict the onset and the propagation of cracks. All results of this thesis are explained for two model problems, the Laplace and the linear elasticity problem, and verified by numerous numerical results.

Der Vortrag beschreibt numerische Singularitäten bei der h- und p-FEM, wie sie erkannt werden und welche Lösungen möglich sind bzw. was nicht vermieden werden kann.

Dans le cadre de la thèse des modèles physico-mathématiques pour des microsystèmes électromécaniques avec une permittivité générale sont développés et analysés par des méthodes mathématiques modernes du domaine des équations aux dérivées partielles. En particulier ces systèmes sont à frontière libre et pour conséquence difficiles à traiter. Des méthodes numériques ont été développées pour valider les résultats analytiques obtenus. / In the framework of this thesis physical/mathematical models for microelectromechanical systems with general permittivity have been developed and analysed with modern mathematical methods from the domain of partial differential equations. In particular these systems are moving boundary problems and thus difficult to handle. Numerical methods have been developed in order to validate the obtained analytical results.

In 2020 Parusiński and Rond proved that every algebraic set X ⊂ R^n is homeomorphic to an algebraic set X’ ⊂ R^n which is described globally (and also locally) by polynomial equations whose coefficients are real algebraic numbers. In general, the following problem was widely open: Open Problem. Is every real algebraic set homeomorphic to a real algebraic set defined by polynomial equations with rational coefficients? The aim of my PhD thesis is to provide classes of real algebraic sets that positively answer to above Open Problem. In Chapter 1 I introduce a new theory of real and complex algebraic geometry over subfields recently developed by Fernando and Ghiloni. In particular, the main notion to outline is the so called R|Q-regularity of points of a Q-algebraic set X ⊂ R^n. This definition suggests a natural notion of a Q-nonsingular Q-algebraic set X ⊂ R^n. The study of Q-nonsingular Q-algebraic sets is the main topic of Chapter 2. Then, in Chapter 3 I introduce Q-algebraic approximation techniques a là Akbulut-King developed in collaboration with Ghiloni and the main consequences we proved, that are, versions ‘over Q’ of the classical and the relative Nash-Tognoli theorems. Last results can be found in in Chapters 3 & 4, respectively. In particular, we obtained a positive answer to above Open Problem in the case of compact nonsingular algebraic sets. Then, after extending ‘over Q’ the Akbulut-King blowing down lemma, we are in position to give a complete positive answer to above Open Problem also in the case of compact algebraic sets with isolated singularities in Chapter 4. After algebraic Alexandroff compactification, we obtained a positive answer also in the case of non-compact algebraic sets with isolated singularities. Other related topics are investigated in Chapter 4 such as the existence of Q-nonsingular Q-algebraic models of Nash manifolds over every real closed field and an answer to the Q-algebrization problem for germs of an isolated algebraic singularity. Appendices A & B contain results on Nash approximation and an evenness criterion for the degree of global smoothings of subanalytic sets, respectively.