La thèse de doctorat comporte trois parties rédigées en anglais. Les deux premières parties correspondent principalement à l'étude de l'énergie de l'état fondamental. La dernière partie est consacrée à l'analyse de l'effet de pinning dans la supraconductivité.Dans une première partie de cette thèse, nous considérons la fonctionnelle de Ginzburg -Landau avec un champ magnétique variable appliqué dans un domaine borné et régulier de dimension 2. Nous déterminons le comportement asymptotique du paramètre d'ordre dans le régime o\`u le paramètre de Ginzburg-Landau et le champ magnétique sont grands et de même ordre. Comme conséquence, nous montrons que le paramètre d'ordre est localisé asymptotiquement dans la région où le profil du champ magnétique appliqué est petit.Dans une autre partie, nous considérons la fonctionnelle de Ginzburg -Landau avec un champ magnétique variable appliqué dans un domaine borné et régulier de dimension 2. Le profil du champ magnétique appliqué varie régulièrement et peut s'annuler exactement à l'ordre 1 le long d'une courbe. En supposant que la l'intensité du champ magnétique appliqué varie entre deux échelles caractéristiques, et que le paramètre de Ginzburg- Landau tend vers l'infini, nous déterminons une formule asymptotique précise pour minimiser l'énergie et montrer que les minimiseurs de l'énergie ont des vortex. Nous mettons en évidence que la présence d'un champ magnétique variable implique que la distribution de la vorticité dans l'échantillon n'est pas uniforme.Dans la dernière partie, nous étudions l'énergie de Ginzburg-Landau d'un supraconducteur avec un champ magnétique variable et un terme de pinning dans un domaine borné et régulier de dimension 2. En supposant que le paramètre de Ginzburg-Landau et l'intensité du champ magnétique sont grands et de même ordre, nous déterminons une formule asymptotique précise pour l'énergie. De plus, nous discutons l'existence des solutions non-triviales et déterminons le comportement asymptotique du troisième champ critique de la supraconductivité. / The PHD thesis has three parts, the first and the second part correpond mainly to study the groundstate energy, the last one being devoted to the analysis of the pinning effect in superconductivity.In a first part of this thesis, we consider the Ginzburg-Landau functional with a variable applied magnetic field in a bounded and smooth two-dimensional domain. We determine an accurate asymptotic formula for the minimizing energy when the Ginzburg-Landau parameter and the magnetic field are large and of the same order. As a consequence, it is shown how bulk superconductivity decreases in average as the applied magnetic field increases.In another part, we consider the Ginzburg-Landau functional with a variable applied magnetic field in a bounded and smooth two-dimensional domain. The profile of the applied magnetic field varies smoothly and is allowed to vanish non-degenerately along a curve. Assuming that the strength of the applied magnetic field varies between two characteristic scales, and that the Ginzburg-Landau parameter tends to , we determine an accurate asymptotic formula for the minimizing energy and show that the energy minimizers have vortices. The new aspect in the presence of variable magnetic field is that the distribution of vortices in the sample is not uniform.In the final part, we study the Ginzburg-Landau energy of a superconductor with a variable magnetic field and a pinning term in a bounded and smooth two-dimensional domain . Supposing that the Ginzburg-Landau parameter and the intensity of magnetic field are large and of the same order, we determine an accurate asymptotic formula for the minimizing energy. Also, we discuss the existence of non-trivial solutions and prove an asymptotics of the third critical field.

Le but de cette thèse est d’obtenir des informations sur le spectre discret d’opérateurs non auto-adjoints définis par des perturbations relativement compactes d’opérateurs auto-adjoints. Ces opérateurs auto-adjoints sont choisis parmi les opérateurs classiques de mécanique quantique. Il s’agit des opérateurs de Dirac, de Klein-Gordon et le laplacien fractionnaire qui généralise l’opérateur de Schrödinger habituellement considéré pour de tels problèmes. La principale méthode utilisée ici relève d’un théorème d’analyse complexe donnant une condition de type Blaschke sur les zéros d’une fonction holomorphe du disque unité. Cette condition traduit lecomportement des valeurs propres de l’opérateur perturbé sous forme d’inégalités de type Lieb-Thirring. Une autre méthode venant d’analyse fonctionnelle a été employée pour obtenir de telles inégalités et les deux méthodes sont comparées entre elles. / The topic of this thesis concerns the discrete spectrum of non-selfadjoint operators defined by relatively compact perturbation of selfadjoint operators. These selfadjoint operators are choosen among classical operators of quantum mechanics. These areDirac operator, Klein-Gordon operator, and the fractional Laplacian who generalize the Schrödinger operator. The main method is based on a theorem of complex analysis which gives Blaschke-type condition on the zeros of a holomorphic function on the unit disc. This Blaschke condition gives the information on the behaviour of eigenvalues of the perturbed operator by mean of Lieb-Thirring-type inequalities. Another method using functional analysis is also used to obtain these kind of inequalities and both methods are compared to each other.

In dieser Dissertation untersuchen wir das Verhalten von Schrödinger-Operatoren unter Riemannschen Überlagerungen. Wir betrachten folgende Situation: Sei eine Riemannsche Überlagerung und ein Schrödinger-Operator S mit glattem, von unten beschränktem Potential auf der Basismannigfaltigkeit gegeben. Sei S‘ der Lift von S auf die Überlagerungsmannigfaltigkeit. Man sieht leicht, dass das Minimum des Spektrums von S nicht größer als das Minimum des Spektrums von S‘ ist. R. Brooks hat als erster untersucht, wann die Gleichheit gilt. Er bewies insbesondere, dass eine normale Riemannsche Überlagerung einer geschlossenen Mannigfaltigkeit genau dann amenabel ist, wenn sie das Minimum des Spektrums des Laplace-Operators unverändert lässt. Zusammen mit W. Ballmann und H. Matthiesen bewiesen wir, dass amenable Riemannsche Überlagerungen immer das Minimum des Spektrums von Schrödinger-Operatoren erhalten; dies verallgemeinert Resultate von R. Brooks sowie von P. Bérard und Ph. Castillon. In dieser Dissertation beweisen wir, dass im Fall vollständiger Mannigfaltigkeiten das Spektrum von S im Spektrum von S‘ enthalten ist. Tatsächlich beweisen wir diese Beziehung sogar für eine deutlich größere Klasse von Differentialoperatoren. Obwohl Amenabilität eine natürliche Bedingung für die Gleichheit der Minima der Spektren ist, ist es unklar, inwieweit diese Bedingung optimal ist. In dieser Dissertation beweisen wir: Wenn eine Riemannsche Überlagerung das Minimum des Spektrums eines Schrödinger-Operators erhält, und wenn dieses zum diskreten Spektrum des Operators auf der Basismannigfaltigkeit gehört, dann ist die Überlagerung amenabel. Man beachte, dass wir keinerlei geometrische oder topologische Bedingungen an die Mannigfaltigkeiten stellen. Dies verallgemeinert sowohl frühere Resultate von R. Brooks, T. Roblin und S. Tapie als auch ein kürzliches Resultat aus einer gemeinsamen Arbeit mit W. Ballmann und H. Matthiesen. / In this thesis, we investigate the behavior of the spectrum of Schrödinger operators under Riemannian coverings. To set the stage, consider a Riemannian covering and a Schrödinger operator S on the base manifold, with smooth potential bounded from below potential. Let S’ be the lift of S on the covering space. It is easy to see that the bottom (that is, the minimum) of the spectrum of S is no greater than the bottom of the spectrum of S’. R. Brooks was the first one to examine when the equality holds. In particular, he proved that a normal Riemannian covering of a closed manifold is amenable if and only if it preserves the bottom of the spectrum of the Laplacian. Generalizing former results of R. Brooks, and P. Berard and Ph. Castillon, in a joint work with W. Ballmann and H. Matthiesen, we proved that amenable Riemannian coverings preserve the bottom of the spectrum of Schrödinger operators. In this thesis, we prove that if, in addition, the manifolds are complete, then the spectrum of S is contained in the spectrum of S’. As a matter of fact, we establish this result for a quite wide class of differential operators. Although amenability is a natural assumption for the preservation of the bottom of the spectrum, it is not clear to what extent it is optimal. In this thesis, we prove that if a Riemannian covering preserves the bottom of the spectrum of a Schrödinger operator, which belongs to the discrete spectrum of the operator on the base manifold, then the covering is amenable. It is worth to point out that we do not impose any geometric or topological assumptions on the manifolds. This generalizes former results by R. Brooks, T. Roblin and S. Tapie, and a recent result of a joint work with W. Ballmann and H. Matthiesen.

The work of this Ph.D. thesis in mathematics concerns the problem of determining existence, uniqueness, and structure of zero-energy states in supersymmetric matrix models, which arise from a quantum mechanical description of the physics of relativistic membranes, reduced Yang-Mills gauge theory, and of nonperturbative features of string theory, respectively M-theory. Several new approaches to this problem are introduced and considered in the course of seven scientific papers, including: construction by recursive methods (Papers A and D), deformations and alternative models (Papers B and C), averaging with respect to symmetries (Paper E), and weighted supersymmetry and index theory (Papers F and G). The mathematical tools used and developed for these approaches include Clifford algebras and associated representation theory, structure of supersymmetric quantum mechanics, as well as spectral theory of (matrix-) Schrödinger operators. / QC20100629

I denna avhandling, som omfattar fyra forskningsartiklar, betraktas två operatorer inom den matematiska fysiken. De båda tidigare artiklarna innehåller resultat för Schrödingeroperatorn med Aharonov-Bohm-magnetfält. I artikel I beräknas spektrum och egenfunktioner till denna operator i R2 explicit i ett antal fall då en radialsymmetrisk skalärvärd potential eller ett konstant magnetfält läggs till. I flera av de studerade fallen kan den skarpa konstanten i Lieb-Thirrings olikhet beräknas för γ = 0 och γ ≥ 1. I artikel II bevisas semiklassiska uppskattningar för moment av egenvärdena i begränsade tvådimensionella områden. Vidare presenteras ett exempel då den generaliserade diamagnetiska olikheten, framlagd som en förmodan av Erdős, Loss och Vougalter, är falsk. Numeriska studier kompletterar dessa resultat. De båda senare artiklarna innehåller ett flertal spektrumuppskattningar för Heisenberg-Laplace-operatorn. I artikel III bevisas skarpa olikheter för spektret till Dirichletproblemet i (2n + 1)-dimensionella områden med ändligt mått. Låt λk och μk beteckna egenvärdena till Dirichlet- respektive Neumannproblemet i ett område med ändligt mått. N. D. Filonov har bevisat olikheten μk+1 < λk för den euklidiska Laplaceoperatorn. I artikel IV visas detta resultat för Heisenberg-Laplaceoperatorn i tredimensionella områden som uppfyller vissa geometriska villkor. / In this thesis, which comprises four research papers, two operators in mathe- matical physics are considered. The former two papers contain results for the Schrödinger operator with an Aharonov-Bohm magnetic field. In Paper I we explicitly compute the spectrum and eigenfunctions of this operator in R2 in a number of cases where a radial scalar potential and/or a constant magnetic field are superimposed. In some of the studied cases we calculate the sharp constants in the Lieb-Thirring inequality for γ = 0 and γ ≥ 1. In Paper II we prove semi-classical estimates on moments of the eigenvalues in bounded two-dimensional domains. We moreover present an example where the generalised diamagnetic inequality, conjectured by Erdős, Loss and Vougalter, fails. Numerical studies complement these results. The latter two papers contain several spectral estimates for the Heisenberg Laplacian. In Paper III we obtain sharp inequalities for the spectrum of the Dirichlet problem in (2n + 1)-dimensional domains of finite measure. Let λk and μk denote the eigenvalues of the Dirichlet and Neumann problems, respectively, in a domain of finite measure. N. D. Filonov has proved that the inequality μk+1 < λk holds for the Euclidean Laplacian. In Paper IV we extend his result to the Heisenberg Laplacian in three-dimensional domains which fulfil certain geometric conditions. / QC 20100712

Im Fokus dieser Diplomarbeit steht ein korreliertes Anderson Modell. Unser Modell beschreibt kurzreichweitige Einzelplatzpotentiale, wobei negative Korrelationen zugelassen werden. Für dieses korrelierte Modell wird mittels der fraktionalen Momentenmethode im Falle genügend großer Unordnung exponentieller Abfall der Greenschen Funktion bewiesen. Anschließend wird daraus für den nicht korrelierten Spezialfall Anderson Lokalisierung bewiesen. / This thesis (diploma) is devoted to a correlated Anderson model. Our model describes short range single site potentials, whereby negative correlations become certified. For this correlated model exponential decay of the Greens' function is proven in the case sufficient large disorder according to the fractional moment method. Subsequently, we prove Anderson localization for the not correlated special case.

Les contributions de cette thèse portent sur deux sujets.La première partie est dédiée à l'étude de modèles de champ moyen pour la structure électronique de matériaux avec des défauts.Dans le chapitre~ref{chap:ergodic_crystals}, nous introduisons et étudions le modèle de Hartree-Fock réduit (rHF) pour des cristaux désordonnés. Nous prouvons l'existence d'un état fondamental et établissons, pour les interactions de Yukawa (à courte portée), certaines propriétés de cet état. Dans le chapitre~ref{chap:défauts_étendus}, nous considérons des matériaux avec des défauts étendus. Dans le cas des interactions de Yukawa, nous prouvons l'existence d'un état fondamental, solution de l'équation auto-cohérente. Nous étudions également le cas de cristaux avec une faible concentration de défauts aléatoires. Dans le chapitre~ref{chap:numerical_simuation}, nous présentons des résultats de simulations numériques de systèmes aléatoires en dimension un.Dans la deuxième partie, nous étudions des modèles Monte-Carlo cinétique multi-échelles en temps. Nous prouvons, pour les trois modèles présentés au chapitre~ref{chap:kMC}, que les variables lentes convergent, dans la limite de la grande séparation des échelles de temps, vers une dynamique effective. Nos résultats sont illustrés par des simulations numériques. / The contributions of this thesis concern two topics.The first part is dedicated to the study of mean-field models for the electronic structure of materials with defects. In Chapter~ref{chap:ergodic_crystals}, we introduce and study the reduced Hartree-Fock (rHF) model for disordered crystals. We prove the existence of a ground state and establish, for (short-range)Yukawa interactions, some properties of this ground state. In Chapter~ref{chap:défauts_étendus}, we consider crystals with extended defects. Assuming Yukawa interactions, we prove the existence of an electronic ground state, solution of the self-consistent field equation. We also investigate the case of crystals with low concentration of random defects. In Chapter~ref{chap:numerical_simuation}, we present some numerical results obtained from the simulation of one-dimensional random systems.In the second part, we consider multiscale-in-time kinetic Monte Carlo models. We prove, for the three models presented in Chapter~ref{chap:kMC}, that in the limit of large time-scale separation, the slow variables converge to an effective dynamics. Our results are illustrated by numerical simulations.

Dans cette thèse nous étudions la bornitude des transformées de Riesz associées aux opérateurs de Schrödinger avec des potentiels qui admettent des parties négatives.Cette étude a lieu dans un premier temps sur les espaces de Lebesgue Lp(RN, dx), puissur les espaces Lp(M, dx) où M est une variété Riemannienne de type homogène et dans un dernier temps sur les espaces à poids Lp(RN,wdx). Nous considérons également,sur ces espaces à poids, la bornitude du calcul fonctionnel holomorphe associé et la bornitude des puissances négatives de l’opérateur de Schrödinger. / In this thesis we study the boundedness of Riesz transforms associated to Schrödinger operators with potentials having negative parts. First we consider the boundednesson Lp(RN, dx), then on Lp(M, dx) where M is a Riemannian manifold of homogeneous type. Finally we treat the boundedness of Riesz transforms on Lp(RN,wdx). As we consider, on the weighted spaces, the boundedness of the associated holomorphicfunctional calculus and the boundedness of the negative powers of the Schrödinger operator.

Cette thèse est consacrée à l'étude du spectre de l'opérateur de Laplace avec conditions de Dirichlet dans différents domaines du plan ou de l'espace. Dans un premier temps on s'intéresse à des triangles asymptotiquement plats et des cônes de petite ouverture. Ces problèmes admettent une reformulation semi-classique et nous donnons des développements asymptotiques à tout ordre des premières valeurs et fonctions propres. Ce type de résultat est déjà connu pour des domaines minces à profil régulier. Pour les triangles et les cônes, on prouve que le problème admet maintenant deux échelles. Dans un second temps, on étudie une famille de couches coniques indexées par leur ouverture. Là encore, on s'intéresse à la limite semi-classique quand l'ouverture tend vers zéro: on donne un développement asymptotique à deux termes des premières valeurs propres et on démontre un résultat de localisation des fonctions propres associées. Nous donnons également, à ouverture fixée, un équivalent du nombre de valeurs propres sous le seuil du spectre essentiel. / This thesis deals with the spectrum of the Dirichlet Laplacian in various two or three dimensional domains. First, we consider asymptotically flat triangles and cones with small aperture. These problems admit a semi-classical formulation and we provide asymptotic expansions at any order for the first eigenvalues and the associated eigenfunctions. These type of results is already known for thin domains with smooth profiles. For triangles and cones, we show that the problem admits now two different scales. Second, we study a family of conical layers parametrized by their aperture. Again, we consider the semi-classical limit when the aperture tends to zero: We provide a two-term asymptotics of the first eigenvalues and we prove a localization result about the associated eigenfunctions. We also estimate, for each chosen aperture, the number of eigenvalues below the threshold of the essential spectrum.

Im Fokus dieser Diplomarbeit steht ein korreliertes Anderson Modell. Unser Modell beschreibt kurzreichweitige Einzelplatzpotentiale, wobei negative Korrelationen zugelassen werden. Für dieses korrelierte Modell wird mittels der fraktionalen Momentenmethode im Falle genügend großer Unordnung exponentieller Abfall der Greenschen Funktion bewiesen. Anschließend wird daraus für den nicht korrelierten Spezialfall Anderson Lokalisierung bewiesen. / This thesis (diploma) is devoted to a correlated Anderson model. Our model describes short range single site potentials, whereby negative correlations become certified. For this correlated model exponential decay of the Greens' function is proven in the case sufficient large disorder according to the fractional moment method. Subsequently, we prove Anderson localization for the not correlated special case.