Le travail présenté dans la thèse s’inscrit dans le projet de recherche partenarial ANR-ABV 2009 dont l’objet est la conception d’un système de conduite automatisée à basse vitesse. Il décrit et analyse les principes d’un contrôle partagé d’un véhicule automobile entre un conducteur humain et un copilote électronique (E-copilote). L’objectif est de mettre en place une coopération Homme-Machine efficace entre le conducteur et l’E-copilote. Un des enjeux est notamment de permettre au conducteur d’interagir avec l’E-copilote de façon continue pour pouvoir exécuter les manœuvres qu’il souhaite sans nécessiter la désactivation ni être gêné par l’E-copilote. Cet enjeu répond au besoin de prise en compte des actions du conducteur entreprises pour pallier celles du E-copilote dans certaines situations par exemple éviter un obstacle non perçu par le système. L’objectif dans ce cas est de garantir le confort au conducteur ainsi que sa conscience du mode engagé (système actif ou pas). Le conducteur et l’E-copilote agissant simultanément sur le système de direction, chacun doit être conscient des actions de l’autre : une communication bidirectionnelle est essentielle. Pour atteindre cet objectif, nous avons retenu les interactions haptiques à travers le système de direction du véhicule. Le couple appliqué par le conducteur sur volant est utilisé par l’E-copilote pour prendre en compte ces actions de la même façon que le couple produit par l’E-copilote est ressenti par le conducteur et utilisé pour comprendre le comportement du système. D’autres aspects essentiels pour la coopération H-M ont également été abordés : l’´étude des changements de modes de fonctionnement du système ainsi que l’IHM via laquelle le conducteur interagit avec le système. / The work presented in the thesis is part of the research partnership project ANRABV 2009 which aims is to design an automated low-speed driving. It describes and analyzes the principles of shared control of a motor vehicle between a human driver and an electronic copilot (E-copilot). The objective is to establish effective human-machine cooperation between the driver and E-copilot. One issue is particular to allow the driver to interact with the E-copilot continuously in order to perform maneuvers he wants without requiring deactivation neither constrained by E-copilot. This issue addresses the need for consideration of driver actions taken to remedy those of E-copilot for example avoiding undetected obstacle by the system while ensuring operator comfort and the driver situation awareness. The driver and E-co-pilot acting simultaneously on the steering system, everyone must be aware of the actions of the other: twoway communication is essential. To achieve this goal, we used the haptic interactions through the steering system of the vehicle. The torque applied by the driver on the steering wheel is used by the E-copilot to take into account these actions as the torque produced by the E-copilot is felt by the driver and used to understand the system’s behavior. Other key issues for the Human-Machine Cooperation were also discussed: the study of changes in modes of operation of the system and HMI via which the driver interact with the system.

O presente trabalho apresenta um método de projeto de controlador com alocação de pólos em sistemas fuzzy utilizando funções de Lyapunov por partes e contínuas no espaço de estado. A idéia principal é utilizar controladores chaveados no espaço de estado para obter uma resposta transitória satisfatória do sistema, obtida pela localização dos pólos. A modelagem fuzzy Takagi-Sugeno é utilizada para representar um sistema não-linear em diversos pontos de linearização através de uma aproximação por vários modelos locais lineares invariantes no tempo. A análise de estabilidade e o projeto de sistemas de controle podem se formulados em termos de desigualdades matriciais lineares (em inglês, linear matrix inequalities (LMIs)), as quais são resolvidas por técnicas de programação convexa. Na análise de estabilidade ou na síntese de um controlador em sistemas fuzzy é necessário resolver um número determinado de LMIs de acordo com o número de modelos locais. Encontrar uma função de Lyapunov comum a todos os modelos locais pode ser inviável, especialmente quando se impõem critérios de desempenho, que aparecem como restrições no contexto de LMIs. A proposta de uma função de Lyapunov por partes objetiva diminuir o conservadorismo na busca de um controlador que leve os pólos de malha fechada à uma região desejada. Resultados de análise e síntese da teoria de sistemas lineares por partes contribuíram para a construção do resultado apresentado. Exemplos com simulação ilustram o método proposto. / This work presents a controller design method for fuzzy dynamic systems based on piecewise Lyapunov functions with constraints on the closed-loop pole location. The main idea is to use switched controllers to locate the poles of the system to obtain a satisfactory transient response. The pole placement strategy allows to specify the performance in terms of the desired time response of the feedback system. The Takagi-Sugeno fuzzy model can approximate the nonlinear system in several linearization points using linear time invariant systems. Thus, a global fuzzy model can be obtained from a fuzzy combination of these linear systems. Stability analysis and design of fuzzy control systems can be efficiently carried out in the context of linear matrix inequalities (LMIs). If the fuzzy system is described by many local models, the resulting set of LMIs may be infeasible. The search for a Lyapunov function in the fuzzy pole placement problem may be easier to be satisfied in a piecewise framework. Some results from piecewise linear systems theory have contributed to the development of the presented technique. Some examples are given to illustrate the proposed method.

O presente trabalho apresenta um método de projeto de controlador com alocação de pólos em sistemas fuzzy utilizando funções de Lyapunov por partes e contínuas no espaço de estado. A idéia principal é utilizar controladores chaveados no espaço de estado para obter uma resposta transitória satisfatória do sistema, obtida pela localização dos pólos. A modelagem fuzzy Takagi-Sugeno é utilizada para representar um sistema não-linear em diversos pontos de linearização através de uma aproximação por vários modelos locais lineares invariantes no tempo. A análise de estabilidade e o projeto de sistemas de controle podem se formulados em termos de desigualdades matriciais lineares (em inglês, linear matrix inequalities (LMIs)), as quais são resolvidas por técnicas de programação convexa. Na análise de estabilidade ou na síntese de um controlador em sistemas fuzzy é necessário resolver um número determinado de LMIs de acordo com o número de modelos locais. Encontrar uma função de Lyapunov comum a todos os modelos locais pode ser inviável, especialmente quando se impõem critérios de desempenho, que aparecem como restrições no contexto de LMIs. A proposta de uma função de Lyapunov por partes objetiva diminuir o conservadorismo na busca de um controlador que leve os pólos de malha fechada à uma região desejada. Resultados de análise e síntese da teoria de sistemas lineares por partes contribuíram para a construção do resultado apresentado. Exemplos com simulação ilustram o método proposto. / This work presents a controller design method for fuzzy dynamic systems based on piecewise Lyapunov functions with constraints on the closed-loop pole location. The main idea is to use switched controllers to locate the poles of the system to obtain a satisfactory transient response. The pole placement strategy allows to specify the performance in terms of the desired time response of the feedback system. The Takagi-Sugeno fuzzy model can approximate the nonlinear system in several linearization points using linear time invariant systems. Thus, a global fuzzy model can be obtained from a fuzzy combination of these linear systems. Stability analysis and design of fuzzy control systems can be efficiently carried out in the context of linear matrix inequalities (LMIs). If the fuzzy system is described by many local models, the resulting set of LMIs may be infeasible. The search for a Lyapunov function in the fuzzy pole placement problem may be easier to be satisfied in a piecewise framework. Some results from piecewise linear systems theory have contributed to the development of the presented technique. Some examples are given to illustrate the proposed method.

Submitted by Cleide Dantas (cleidedantas@ufpa.br) on 2014-03-07T15:37:09Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23898 bytes, checksum: e363e809996cf46ada20da1accfcd9c7 (MD5) Dissertacao_ProjetoControladorFuzzy.pdf: 1593015 bytes, checksum: 724013024cfa0539e49ad1f252cc7559 (MD5) / Approved for entry into archive by Ana Rosa Silva (arosa@ufpa.br) on 2014-05-13T17:01:18Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23898 bytes, checksum: e363e809996cf46ada20da1accfcd9c7 (MD5) Dissertacao_ProjetoControladorFuzzy.pdf: 1593015 bytes, checksum: 724013024cfa0539e49ad1f252cc7559 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-05-13T17:01:18Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23898 bytes, checksum: e363e809996cf46ada20da1accfcd9c7 (MD5) Dissertacao_ProjetoControladorFuzzy.pdf: 1593015 bytes, checksum: 724013024cfa0539e49ad1f252cc7559 (MD5) Previous issue date: 2013 / Este trabalho propõe o projeto de um controlador Fuzzy do tipo Takagi-Sugeno em uma estação de tratamento de esgoto por lodos ativados. Este tipo de tratamento ocorre na presença de oxigênio, pois microorganismos aeróbios presentes no licor misto irão proporcionar a remoção tanto da matéria carbonácea quanto nutrientes formados por compostos à base de nitrogênio. O controlador atua via mecanismo de aeração e foi projetado para interpolar os ganhos proporcionais e integrativos de três controladores fixos locais que, por sua vez, foram projetados a partir da linearização de um modelo contínuo de balanço de massa de oxigênio. O controlador auxiliará manter a concentração de oxigênio dissolvido desejável na faixa de operação do processo para que ocorra a nitrificação, reação química de oxiredução que transforma amônio em nitrito, que é fundamental para o sucesso do processo, e poderá também economizar energia elétrica utilizada pelo mecanismo de aeração. Os ensaios foram realizados via simulação computacional em quatro cenários idealizados comparando o desempenho do controlador fuzzy e o desempenho de um controlador fixo projetado em um ponto de operação diferente do qual se utilizou como valor de referência na planta. Ao aplicar um degrau no valor de referência estabelecido no cenário de análise, observou-se o tempo de subida, o tempo de acomodação e o erro em regime. Após os ensaios, observou-se que o desempenho do controlador fuzzy nos quesitos tempo de subida e tempo de acomodação em relação ao controlador fixo foi melhor, enquanto nos quesitos sobressinal e erro em regime foi semelhante. Após as análises, concluiu-se que a estratégia de controle escolhida neste trabalho é viável, pois de acordo com o valor auferido de oxigênio dissolvido na entrada da planta, o controlador fuzzy irá interpolar os ganhos proporcionais e integrativos de um controlador fixo projetado na vizinhança deste valor e assim, atuar de forma bastante satisfatória. / The mean goal of this work is the design of a Takagi-Sugeno fuzzy controller on an activated sludge wastewater treatment plant. This kind of process requires oxygen and aerobic microorganisms in the mixed liquor that are necessary to remove the carbonaceous matter and the nutrients based on nitrogen compounds. The controller acts on the aeration valve engine and has been designed to interpolate the proportional and integrative gain of three fixes controllers designed from the linearization of a continuous model of oxygen mass balance. The controller assists to keep the desirable dissolved oxygen concentration necessary to the nitrification, an oxi-reduction chemical reaction that transforms ammonia into nitrite and it is also possible to save electric energy used by the aeration engine. It is imperative the nitrification occurs for the success of the whole process. The Assays were performed by computerized simulation in four idealized scenarios analyzing the performances of the fuzzy controller and the fix controller designed to a different operation point of the set point defined in the plant. Applying a degree in the set point established in the scenario it was analyzed the rise time, settling time, overshoot and steady-state error. After the assays, the fuzzy controller performed better than the fix one at rise time and settling time criteria and equivalent performance at overshoot and steady-state error. After analysis, it was conclude that the control strategy chosen in the work is viable, according the dissolved oxygen measure at the plant entrance, the fuzzy controller interpolate the proportional and integrative gains of a fix controller designed near this value and thus act quite satisfactory.

Les travaux de recherche présentés dans cette thèse portent sur la stabilisation des systèmes descripteurs non linéaires représentés par des multi-modèles flous de type Takagi-Sugeno incertains et/ou perturbés. Dans ce cadre, des approches basées sur une fonction candidate quadratique de Lyapunov ont tout d'abord été développées. Celles-ci permettent la synthèse de lois de commande par la résolution d'un ensemble de contraintes LMIs (Inégalités Linéaires Matricielles). Les résultats de ces premières approches restent toutefois pessimistes vis-à-vis de l'ensemble des solutions accessible au problème de synthèse de lois de commande. Afin de réduire ce conservatisme, de nouvelles approches basées sur une fonction candidate non quadratique de Lyapunov et une loi de commande non PDC (Compensation Parallèle Distribuée) ont été proposées. Une autre source de conservatisme a ensuite été abordée. En effet, l'écriture classique de la dynamique de la boucle fermée introduit des termes croisés entre la commande et le modèle au sein des conditions LMIs à résoudre. L'utilisation de la propriété de redondance des descripteurs a alors permis de pallier cette source de conservatisme. En effet, l'écriture redondante de la dynamique de la boucle fermée permet de découpler les matrices du système à piloter de celles des gains de commande par retour d'état. Tirant parti de cette propriété, des problèmes réputés complexes en terme de formulation LMI ont étés traites tels que la synthèse de lois de commande robustes par retour de sortie dynamique et statique pour les systèmes standard de type Takagi-Sugeno incertains et/ou perturbés.

Cette thèse est consacrée au développement de techniques de commande avancées pour des classes de systèmes non linéaires en général et pour des applications automobiles en particulier.Pour répondre au besoin du contrôle moteur, la première partie propose des nouveaux résultats théoriques sur la technique de commande non linéaire à base de modèles de type Takagi-Sugeno soumis à la saturation de la commande. La saturation de la commande est traitée en utilisant sa représentation polytopique ou une stratégie anti-windup.La deuxième partie porte sur la commande du système d'air d'un moteur turbocompressé à allumage commandé. Deux approches originales sont proposées. Dans la première, l'outil théorique concernant les modèles Takagi-Sugeno à commutation développé dans la première partie est directement appliqué. La seconde approche est basée sur une commande linéarisante robuste. L'originalité de ces approches multivariables consiste dans sa simplicité de mise en œuvre et son efficacité par rapport à celles qui existent dans la littérature.La dernière partie vise à développer des stratégies pour la gestion énergétique des systèmes électriques d'un véhicule obtenues en se basant sur le Principe du Minimum de Pontryagin. À cet effet, deux approches sont considérées : l'approche hors ligne d'optimisation utilisant les informations du futur concernant les conditions de roulage et l'approche en ligne qui est adaptée de la précédente. Ensuite, ces deux approches sont implémentées et évaluées dans un simulateur avancé.

A novel fuzzy system named as 2-way fuzzy system is developed by combining the intuitionistic fuzzy set theory with the fuzzy systems theory. The developed system is used in modelling and minimizing uncertainty and inconsistency. Uncertainty is the width of the interval introduced by the independent assignment of membership and nonmembership functions of the intuitionistic fuzzy sets / and inconsistency is the violation of the consistency inequality in this assignment. The uncertainty and inconsistency is reduced through a 2 phase training. An evaluation of the degree of reduction of inconsistency is carried out at the end of the rst phase of training by forming the shadowed set patterns of the membership and nonmembership functions. The system is further trained for a second phase in order to reduce uncertainty. There are three dierent methods developed for the stability analysis of fuzzy systems. The rst method is based on the approximating sequences technique, and the design turns into an optimal control problem. In the sec ond analysis, describing function of a 2-way fuzzy system is evaluated analytically, and a systematic design approach is developed using describing function technique. The last analysis technique employs the Lie algebra theory in the stability analysis of Takagi-Sugeno fuzzy systems. The theoretical results are simulated on an application system, which is a exible-joint robot arm system.

Orientador: Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira / Banca: Edvaldo Assunção / Banca: José Paulo Fernandes Garcia / Banca: Aldayr Dantas de Araujo / Banca: Ramon Romankevicius Costa / Resumo: Neste trabalho são apresentados estudos teóricos, projetos de controladores e simulações numéricas de alguns sistemas de controle automáticos, que no decorrer das pesquisas geraram novas contribuições. Primeiramente foi feito um breve estudo sobre os sistemas fuzzy Takagi- Sugeno (TS) e realizadas algumas simulações envolvendo exemplos acadêmicos como o sistema bola-viga e o levitador magnético. Em decorrência desses estudos foi proposto um novo método para o controle de sistemas mecânicos não-lineares, descritos através de modelos fuzzy TS, considerando o acesso somente às derivadas das variáveis de estado da planta, com projeto baseado em desigualdades matriciais lineares, em inglês Linear Matrix Inequalities (LMIs) e estabilidade assegurada através de funções de Lyapunov. Adicionalmente, foram feitos estudos sobre realimentação derivativa, e proposto um novo método para projetar a matriz de realimentação discreta no tempo da derivada do vetor de estado, tal que o sinal de controle obtido seja equivalente a uma dada lei de controle contínua no tempo com realimentação do vetor de estado. O controlador discreto é obtido com base no controlador contínuo, utilizando um método de aproximação, baseado em LMIs. É suposto que a planta é controlável, linear e invariante no tempo, com uma (SI) ou múltiplas (MI) entradas. Este procedimento permite o uso de métodos de projeto bem conhecidos de realimentação das variáveis de estado em sistemas contínuos no tempo, para calcular diretamente os ganhos de realimentação da derivada das variáveis de estado em sistemas discretos no tempo. Os projetos com realimentação derivativa podem ser úteis no controle de sistemas mecânicos, utilizando-se acelerômetros como sensores. Finalizando, um outro assunto abordado neste trabalho e que também trouxe contribuições relevantes... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo) / Abstract: In this work, theoretical studies, controller designs and numeric simulations of several automatic control systems that generated new contributions are presented. Firstly, a study on Takagi-Sugeno fuzzy systems modeling, control designs and simulations with practical examples, such as a ball-beam system and a nonlinear magnetic suspension system, are described. With these studies a simple method, based on Linear Matrix Inequalities (LMIs) and Lyapunov functions, for designing a control system using the Takagi-Sugeno fuzzy models in mechanical systems, where the available signals for the control are state-derivative, is proposed. Additionally, new results about state-derivative feedback including a simple method for designing a digital state-derivative feedback gain such that the control law is equivalent to a known and adequate continuous-time state feedback control law with a guaranteed stability are proposed. The digital controller is obtained by the continuous controller, using an approach method, based on LMIs. It is assumed that the plant is a linear controllable, time-invariant, Single-Input (SI) or Multiple-Input (MI) system. This procedure allows the use of well-known continuous-time state feedback design methods to directly design discrete-time state-derivative feedback control systems. The state-derivative feedback can be useful in the vibration control of mechanical systems, where the main sensors are accelerometers. Finally, we have the study with the design of state-feedback Variable Structure Controllers (VSC) for a class of continuous-time switched plants where is assume that the state vector is available for feedback. The design is based on Lyapunov-Metzler (LM) inequalities and also on Strictly Positive Real (SPR) systems stability results. The recent definition of Lyapunov-Metzler-SPR (LMSPR) systems is presented and a new direct application... (Complete abstract click electronic access below) / Doutor

Orientadores: Wagner Caradori do Amaral, Ricardo Jose Gabrielli Barreto Campello / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computação / Made available in DSpace on 2018-08-06T08:36:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Medeiros_AndersonViniciusde_M.pdf: 896535 bytes, checksum: 48d0d75d38fcbbd0f47f7c49823806f1 (MD5) Previous issue date: 2006 / Resumo: Esta dissertação apresenta uma metodologia para a geração e otimização de modelos fuzzy Takagi-Sugeno (TS) com Funções de Base Ortonormal (FBO) para sistemas dinâmicos não lineares utilizando um algoritmo genético. Funções de base ortonormal têm sido utilizadas por proporcionarem aos modelos propriedades como ausência de recursão da saída e possibilidade de se alcançar uma razoável capacidade de representação com poucos parâmetros. Modelos fuzzy TS agregam a essas propriedades as características de interpretabilidade e facilidade de representação do conhecimento. Enfim, os algoritmos genéticos se apresentam como um método bem estabelecido na literatura na tarefa de sintonia de parâmetros de modelos fuzzy TS. Diante disso, desenvolveu-se um algoritmo genético para a otimização de duas arquiteturas, o modelo fuzzy TS FBO e sua extensão, o modelo fuzzy TS FBO Generalizado. Foram analisados modelos locais lineares e não lineares nos conseqüentes das regras fuzzy, assim como a diferença entre a estimação local e a global (utilizando o estimador de mínimos quadrados) dos parâmetros desses modelos locais. No algoritmo genético, cada arquitetura contou com uma representação cromossômica específica. Elaborou-se para ambas uma função de fitness baseada no critério de Akaike. Em relação aos operadores de reprodução, no operador de crossover aritmético foi introduzida uma alteração para a manutenção da diversidade da população e no operador de mutação gaussiana adotou-se uma distribuição variável ao longo das gerações e diferenciada para cada gene. Introduziu-se ainda um método de simplificação de soluções através de medidas de similaridade para a primeira arquitetura citada. A metodologia foi avaliada na tarefa de modelagem de dois sistemas dinâmicos não lineares: um processo de polimerização e um levitador magnético / Abstract: This work introduces a methodology for the generation and optimization of Takagi-Sugeno (TS) fuzzy models with Orthonormal Basis Functions (OBF) for nonlinear dynamic systems based on a genetic algorithm. Orthonormal basis functions have been used because they provide models with properties like absence of output feedback and the possibility to reach a reasonable approximation capability with just a few parameters. TS fuzzy models aggregate to these properties the characteristics of interpretability and easiness to knowledge representation in a linguistic manner. Genetic algorithms appear as a well-established method for tuning parameters of TS fuzzy models. In this context, it was developed a genetic algorithm for the optimization of two architectures, the OBF TS fuzzy model and its extension, the Generalized OBF TS fuzzy model. Local linear and nonlinear models in the consequent of the fuzzy rules were analyzed, as well as the difference between local and global estimation (using least squares estimation) of the parameters of these local models. Each architecture had a specific chromosome representation in the genetic algorithm. It was developed a fitness function based on the Akaike information criterion. With respect to the genetic operators, the arithmetic crossover was modified in order to maintain the population diversity and the Gaussian mutation had its distribution varied along the generations and differentiated for each gene. Besides, it was used, in the first architecture presented, a method for simplifying the solutions by using similarity measures. The whole methodology was evaluated in modeling two nonlinear dynamic systems, a polymerization process and a magnetic levitator / Mestrado / Automação / Mestre em Engenharia Elétrica

Le phénomène d'encrassement dans les échangeurs thermiques est actuellement un sujet important. En effet l'encrassement est un phénomène couteux qui provoque (directement ou indirectement via un surdimensionnement des installations) une augmentation des pertes énergétiques, une hausse de la consommation d'eau. Par effet lié, l’encrassement a un impact environnemental non négligeable dû principalement à une augmentation de l’émission de dioxyde de carbone. La détection de l'encrassement peut se faire de manière très ponctuelle en utilisant des capteurs spécifiques et coûteux ou, globalement, soit en mesurant la variation de masse de l’échangeur, soit en évaluant l’efficacité de l’échangeur à travers le coefficient de transfert – ces deux dernières méthodes exigeant des conditions de fonctionnement très particulières : l’arrêt pour la première et un fonctionnement en régime permanent pour la seconde. Les travaux présentés dans cette thèse consistent au développement d’observateurs non linéaires qui permettent de détecter l'encrassement suffisamment tôt pour mettre en place un système d'entretien efficace. Pour cela, un modèle de dimension finie d’un échangeur tubulaire à contre courant a été défini en début de thèse. Trois solutions basées sur le développement d'observateurs non linéaires de type Takagi-Sugeno appliqués au problème de détection d'encrassement dans les échangeurs thermiques sont proposées. La première consiste en une batterie d'observateurs qui estime les paramètres d'encrassement par une méthode d'interpolation. La deuxième propose un observateur polynomial de type Takagi-Sugeno en utilisant la théorie des sommes de carrés. Enfin, un observateur de type Takagi-Sugeno à entrées inconnues est développé. Une comparaison entre ces différentes méthodes est effectuée en conclusion cette thèse. / The phenomenon of fouling in heat exchangers is currently an important topic. Indeed, the fouling is a costly issue that increases the energy loss (directly or indirectly through an over-sizing of the equipment), and therefore increases the water consumption. As a side effect, fouling increases CO² consumption that leads to environmental consequences. Fouling can be detected either on local scale, using expensive and specific sensors or on global scale. Global estimation of fouling can be done by measuring the variation of the mass of the exchanger, or by estimating the efficiency of the exchanger through the transfer coefficient. These two methods require very restricting conditions: a powered exchanger to measure mass variation and a steady state exchanger to estimate the efficiency. The work introduced in this thesis deals with the development of non-linear observers that detect fouling early enough to start an efficient cleaning process. As a beginning, a finite element model of a counter current tubular exchanger was proposed. Then three approaches, based on non-linear Takagi-Sugeno observers, were suggested to detect early fouling in heat exchangers. First approach consisted in a set of observers that estimated the parameters of fouling effect through an interpolation method. The second approach proposed a polynomial Takagi-Sugeno observer, using the theory of sums of squares. Finally, a observer of Takagi-Sugeno type with unknown inputs was developed. As a conclusion, a comparison between those different methods was done.