Neste trabalho, provamos um caso particular do Teorema de Ratner de classificação de medidas, que nos diz que se X =Γ\\G é um espaço homogêneo, onde G é um grupo de Lie e Γ é um lattice de G, então dado um subgrupo unipotente U de G, conseguimos classificar as medidas ergódicas com relação a ação por translação do grupo U em X. Além do Teorema de Ratner de classificação de medidas, falamos sobre o Teorema de Ratner de equidistribuição e o Teorema de Ratner do fecho da órbita, que nos dizem como são as órbitas pela ação por translação do grupo U e como é sua dinâmica em X, do ponto de vista da Teoria Ergódica. Embora estes últimos resultados não sejam provados nesta dissertação, exibimos uma importante aplicação do Teorema de Ratner do fecho da órbita em teoria dos números, provando a Conjectura de Oppeinheim, também conhecida como Teorema de Margullis. / In this work, we prove a particular case of the Ratners measure classification theorem, which tell us that if X = Γ\\G is an homogeneous space, where G is a Lie group and Γ is a lattice of G, then given any unipotent group U of G, we can classify the measures that are ergodic with respect to the translation group action of U in X In addition to the Ratners measure classification theorem, we talk about the Ratners equidistribuition theorem and the Ratners orbit closure theorem, which tell us how the orbit due the action by translation by the group U are and how the dynamics in X is, in an Ergodic Theory point of view. While we didnt prove the last two Ratners theorems, we exhibit an important application of the Ratners orbit closure theorem in number theory, proving the Oppeinheim Conjecture, also know as Margullis Theorem.

Orientador: Rafael Santos Mendes / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computação / Made available in DSpace on 2018-08-03T20:57:03Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Pessanha_ChristianoPereira_M.pdf: 4407160 bytes, checksum: 0d35dfe9b59f63e7ff8b6a0bdbac52f2 (MD5) Previous issue date: 2004 / Resumo: Este trabalho objetiva o estudo da verificação de especificações em sistemas dinâmicos a eventos mscretos via lógica modal.Um grafo de eventos temporizado (ou GET) é utilizado para modelar o sistema dinâmicoque se deseja analisar. Asrelações entre as transições do GET e a especificaçãoque se deseja verificar são expressasatravés de fórmulas da lógica modal NK. Um tableau analítico é utilizado para verificar se a especificaçãoé conseqüência lógica do conjuntode fórmulas que representaa rede. Os ramos abertos retomados pelo tableau estão associados a modelos que falseiam a especificação.Introduz..seo conceitode terminaçãode um ramo e prova-seque a solução retomada por um ramo terminado está associada às caracteristicas de minimalidade, causalidade,unicidadee impulsividade.Com base nesses teoremas propoo-seum algoritmo para o tableau. Descreve-se a implementaçãocomputacionaldo algoritmo.Exemplos de sua utilizaçãosão apresentados / Abstract: This works is a study on the verification of specification in discrete event dynamicsystemsthroughthe use of modallogic. TimedEvent Graphs(TEG)describedby its eqmtions in dioids are used to model the systemwhose propertiesshouldbe verified. NK modallogic formulasexpressthe dynamicsof the systemas well as the specificationto be verified. An Analytic Tableau is used to verify if the formula correspondingto the specificationis a logica1consequenceof the formulasdescribingthe system.The tableau will retum open branchesassociatedto modelsthat falsifythe specification.The conceptof branch termination is introduced and proved to be associatedto featores as minimality, causality,unicity and impulsivity. A new algorithm, based on these conceptsis proposed and its computational implementation is described. Examples are presented. / Mestrado / Automação / Mestre em Engenharia Elétrica

[pt] Prova automática de teoremas consiste na prova de teoremas matemáticos por intermédio de programas de computador. Dependendo da linguagem lógica em uso, o processo de provar uma determinada fórmula pode não ser computável. Além disso, dependendo do cálculo dedutivo empregado, a busca por uma prova envolve lidar com a possibilidade de aplicação de longas sequências de axiomas e regras de inferência. Tudo isso reforça a necessidade da intervenção humana no processo de prova em sistemas denominados provadores interativos de teoremas ou assistentes de prova. Em um cenário típico, um usuário interage com a máquina de prova através de uma interface gráfica, normalmente implementada como um aplicativo desktop. Recentemente, porém, muitos aplicativos deste tipo passaram a ser oferecidos para seus usuários através da web. Esta forma de disponibilizar software evita que o usuário final se preocupe com questões de instalação e configuração e possibilita o acesso ao sistema de qualquer computador, com qualquer sistema operacional, bastando ter disponível uma conexão com a Internet. Nesta dissertação, estudamos possibilidades de uso da web como plataforma para a construção de ambientes interativos para prova de teoremas. Nossa proposta é estudar os diferentes modelos de interação entre usuário e ambientes de prova automatizados e verificar como estes modelos podem ser adaptados para a web. Como resultado, apresentamos uma ferramenta gráfica para visualização e manipulação direta de provas formais na web como uma interface alternativa entre usuários e provadores. / [en] Automatic theorem proving consists of proving mathematical theorems by means of computer programs. Depending on the logic used, the process of proving a formula is not computable. Moreover, depending of the deductive system applied to, the search for a proof can involve the application of long sequences of axioms and inference rules, reinforcing the need of human intervention in the proof process. Such systems are known as interactive theorem provers or proof assistants. In a typical scenario, the user interacts with the prover through a graphical interface, usually a desktop application. Recently, however, applications like those started to be delivered to users through the web. This way of software deployment avoids that final users have to deal with complex activities like prover installation and configuration and allows this user to access the system from different machines with a simple Internet connection. In this research we study the use of web as a platform for interactive theorem proving environments construction. Our purpose is to study some interaction models between user and automated proof environments and verify how these models can be adapted to work as a web application. As a result we show a graphical tool for visualization and direct manipulation of formal proofs on web to work as an alternative interface between user and proving machines.

Un tema central en la teoría de números es la distribución de los números primos sobre los enteros positivos. En una dirección, de los trabajos de Hadamard, de la Valleé Poussin y Newman, nosotros sabemos que el PNT (de su acrónimo en inglés Prime Number Theorem, Teorema del Número Primo) es cierto por métodos del análisis complejo. En otra dirección, Selberg, Breusch y Levinson probaron el PNT vía técnicas elementales, en el sentido de que solo usan análisis real. Hace menos de una década, Choudhary fortaleció la prueba de Levinson. Todas las pruebas elementales mencionadas derivan el PNT vía la identidad de Selberg. En esta tesis, establecemos otra prueba para la identidad de Selberg más simple que la de Choudhary en muchos aspectos. Ello se efectúa refinando los trabajos discutidos previamente. También presentamos un algoritmo de tiempo lineal para estimar una fórmula derivada de la identidad de Selberg. / Trabajo de investigación

En este trabajo presentamos una moderna introducción a las formas modulares cuyo contexto de desarrollo es principalmente analítico. Esto último lo aprovechamos sobremanera para evidenciar la naturaleza aritmética de las formas modulares, la cual emplearemos para demostrar completamente la conjetura de Bachet y parcialmente la conjetura de Ramanujan. / Tesis

CAVALCANTE, Alexandre Silva. Sistemas esquemáticos de dedução natural: um estudo prova-teórico. 2010. 201 f. Tese (Doutorado em ciência da computação)- Universidade Federal do Ceará, Fortaleza-CE, 2010. / Submitted by Elineudson Ribeiro (elineudsonr@gmail.com) on 2016-07-12T19:23:49Z No. of bitstreams: 1 2010_tese_ascavalcante.pdf: 842091 bytes, checksum: 559c5a97b93d42e7b0bb2d0c9b1d1520 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2016-07-25T11:32:56Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2010_tese_ascavalcante.pdf: 842091 bytes, checksum: 559c5a97b93d42e7b0bb2d0c9b1d1520 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-07-25T11:32:56Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2010_tese_ascavalcante.pdf: 842091 bytes, checksum: 559c5a97b93d42e7b0bb2d0c9b1d1520 (MD5) Previous issue date: 2010 / The term Theory Test was introduced by Hilbert to identify the study of formal proofs. Research in this area can be classified into: a) Proof Theory of reductive or interpretational, whose goal is to demonstrate, among other things, the consistency of mathematics using only methods finitistas, b) Structural Proof Theory, where the structural characteristics of the formal proofs are investigated by means of deductive systems as Natural Deduction and Sequent Calculus. Prawitz through Theory Proof set a Theory of Meaning for constants logics and proposed schematic introduction rules and elimination to characterize the propositional connectives. Schroeder-Heister settings Prawitz extended and formalized the use of rules as hypotheses, making possible the use of separate calculations for assumptions of calculations for logical constants. We are not interested in the investigation of schematic rules to give meaning to the logical constants. We intend to actually set schematic standardization procedures, based on such schematic rules? Attic, in order to identify sufficient conditions for a system to be normalizável. These results are relevant to the Abstract Theory of Evidence, a term used to identify the study of the conditions abstract and general to the proof-theoretical analysis of formal systems. Abstract Theory of Evidence do not study specific logical calculations, but families of calculations instances of rules schematic. Our proposal is therefore based on rules schematic rules can be instantiated for concrete, in particular, by introducing rules modal operators. We prove also theorems Normalizaçãoo Weak and Strong systems defined in schematic funçãoo schematic of our rules, we obtain sufficient conditions for a system instance is normalizável these rules, we define a procedure that normalizes deductions concrete evidence and compare our standards with evidence schematic standards for systems defined in the literature. / O termo Teoria da Prova foi introduzido por Hilbert para identificar o estudo sobre provas formais. Pesquisas nessa área podem ser classificadas em: a) Teoria da Prova Redutiva ou Interpretacional, cujo objetivo é demonstrar, entre outras coisas, a consistência da matemática utilizando somente métodos finitistas, e b) Teoria da Prova Estrutural, onde características estruturais das provas formais são investigadas por meio de sistemas dedutivos como Dedução Natural e Cálculo de Sequentes. Prawitz, por meio da Teoria da Prova, definiu uma Teoria dos Significados para constantes logicas e propôs regras esquemáticas de introdução e de eliminação para caracterizar os conectivos proposicionais. Schroeder-Heister estendeu as definições de Prawitz e formalizou o uso de regras como hipóteses, tornando possível a utilização de cálculos para suposições separados de cálculos para constantes lógicas. Não estamos interessados na investigação de regras esquemáticas para dar significado a constantes lógicas. Pretendemos, na verdade, definir procedimentos de normalização esquemáticos, baseados em tais regras esquemáticas, com objetivo de identificar condições suficientes para um sistema ser normalizável. Tais resultados são pertinentes à Teoria Abstrata da Prova, termo usado para identificar o estudo das condições abstratas e gerais para a análise prova-teórica de sistemas formais. Teoria Abstrata da Prova não estuda cálculos lógicos específicos, mas famílias de cálculos instâncias de regras esquemáticas. A nossa proposta, portanto, baseia-se em regras esquemáticas que podem ser instanciadas por regras concretas, em particular, por regras que introduzem operadores modais. Provamos, também, Teoremas de Normalização Fraca e Forte para sistemas esquemáticos definidos em função de nossas regras esquemáticas, obtemos condições suficientes para que um sistema instância destas regras seja normalizável, definimos um procedimento que normaliza deduções concretas e comparamos nossas provas de normalização esquemática com provas de normalização para sistemas definidos na literatura.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:27:38Z (GMT). No. of bitstreams: 1 3303.pdf: 932927 bytes, checksum: ea2dbce8b4c74b352bd38bd9e272f28e (MD5) Previous issue date: 2010-07-06 / Financiadora de Estudos e Projetos / Let G be a finite group acting freely in a Hausdorff paracompact topological space X and let Y be a k-dimensional metrizable space (or k-dimensional CW-complex). In this work, by using the genus of X; gen(X;G), we prove coincidence theorems for maps f : X ! Y . Such theorems generalize the main theorem proved by Aarts, Fokkink and Vermeer in [2]. Moreover, by using the Volovikov index defined in [39], we prove a Borsuk- Ulam theorem for compact Lie groups, which generalizes the main result proved by Biasi and Mattos in [7, 12]. / Sejam G um grupo finito agindo livremente sobre um espaço paracompacto Hausdorff X e Y um espaço metrizável de dimensão k (ou Y um cone CW-complexo de dimensão k). Neste trabalho, usando o gênus de X; gen(X; G), nós provamos teoremas de coincidências para aplicações contínuas f : X ! Y. Tais teoremas generalizam o resultado principal provado por Aarts, Fokkink e Vermeer em [2]. Mais ainda, usando o índice definido por Volovikov em [39], nós provamos uma versão do teorema de Borsuk-Ulam para grupos compactos de Lie, o qual generaliza o resultado principal provado por Biasi e Mattos em [7, 12].

CAPES / Organizou-se esta dissertação a partir da constatação de que teoremas de matemáticos como Matthew Stewart e Heron são pouco empregados nas aulas de matemática do ensino fundamental e médio. As contribuições desses matemáticos no cálculo das cevianas e da área de triângulos podem simplificar a solução de muitos problemas. Como ponto de partida, elaborou-se uma atividade extraclasse contendo quatro questões centradas no Teorema de Stewart e aplicou-se a mesma a três turmas do ensino m´edio do CPM-PR. A partir da análise dos resultados dessa atividade, definiu-se a pesquisa bibliográfica, a estrutura do texto e a organização de uma coleção de problemas aplicados. / This dissertation was organized from the observation that mathematical theorems as Stewart’s theorem and Heron’s theorem are rarely used in mathematics classes in middle and high schools. The contributions of these mathematicians in calculating cevians and area of triangles can simplify the solution of many problems. As a starting point, we prepared one extracurricular activity containing four questions centered on Stewart’s theorem and applied the same in three high school classes of CPM-PR. From the analysis of the results of this activity, we defined the literature, the text structure and organization of a collection of applied problems.

This study focuses on the discussion regarding mathematical knowledge involved in the work of rural farmers, the possible relations existing within the farmers‟ mathematical concepts, the social-cultural experience of students and the pedagogical practice of teachers of the rural Municipal Schools in the region of Irecê, BA, with respect to area calculation. The main objective was to investigate the practical mathematical knowledge of agricultural workers, specifically, area calculation, in order to establish possible conceptual differences between the informal conduct of rural workers and the formal conduct used in the school. The methodology used in this study was qualitative, as it evaluates the attitudes of the individuals in their social-cultural environment. The research was based on two distinct categories: one belonging to the school, comprising of students from Eighth and Ninth grades, and Math teachers; the other not being part of the school, represented by rural workers, all the residents of the city of Gameleira dos Crentes and the municipality of João Dourado, BA, situated in the micro-region of Irecê, Bahia. The theoretical references were taken from Ethnomathematics, as a possibility of interlocution between formal mathematical knowledge and knowledge stemming from everyday activities, as well as from the discussion of contributions of the social-cultural theory based on Vigotsky, on the anlaysis of concept development proposed by Vergnaud, by which the use of area calculation with fathoms, squares, acres and hectares can be considered in the context of this research, as theorems-in-action. / Este estudo centra-se na discussão sobre os conhecimentos matemáticos envolvidos na prática dos trabalhadores rurais, as possíveis relações existentes entre os conceitos matemáticos dos agricultores, a vivência sócio cultural dos alunos e a prática pedagógica dos professores das Escolas Municipais rurais na região de Irecê/BA, no que diz respeito ao cálculo de área. O objetivo principal foi investigar o conhecimento matemático prático de trabalhadores rurais, em especial, o cálculo de área, a fim de estabelecer possíveis diferenças conceituais entre os procedimentos não formais dos trabalhadores e os procedimentos formais usados na escola. A metodologia empregada configura-se como qualitativa, na medida em que avalia as atitudes dos indivíduos em seu ambiente sócio-cultural. A referida pesquisa conta com duas categorias distintas; uma pertencente à escola, constituída por alunos dos 8º e 9º anos do Ensino Fundamental, professores de matemática; e outra não pertencente à escola, representada por trabalhadores rurais, todos residentes no distrito de Gameleira dos Crentes e do município de João Dourado/BA, situados na micro-região rural de Irecê, na Bahia. Tomamos como referencial teórico as abordagens da Etnomatemática, como uma possibilidade de interlocução entre os saberes matemáticos formais e os saberes do cotidiano, bem como a discussão das contribuições da teoria sócio-cultural embasadas em Vigotsky, na análise do desenvolvimento dos conceitos, proposta por Vergnaud, pela qual a operacionalização de cálculos de área com braças, quadros, tarefas e aceros poderá ser considerada no contexto desta pesquisa, como teoremas-em-ação.

Orientador: Martinho da Costa Araujo / Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-13T09:34:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Souza_VeraLuciaGracianide_M.pdf: 1138543 bytes, checksum: 893a12834a41de0bedf2e0e1c71a3fc1 (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Este trabalho tem por objetivo fatorar número inteiro utilizando pontos racionais sobre o círculo unitário. Igualmente pretende determinar alguns grupos sobre cônicas. A pesquisa inicia com os conceitos básicos de Álgebra e Teoria dos Números, que fundamentam que o conjunto de pontos racionais sobre o círculo unitário tem uma estrutura de grupo. Desse conjunto é possível estender a idéia de grupo de pontos racionais sobre o círculo para pontos racionais sobre cônicas. Para encontrar os pontos racionais sobre o círculo foi usada uma parametrização do círculo por funções trigonométricas. Para cada ponto sobre o círculo unitário está associado um ângulo com o eixo positivo das abscissas, portanto adicionar pontos sobre o círculo equivale adicionar seus ângulos correspondentes. Com a operação "adição" de pontos sobre o círculo é possível definir uma estrutura de grupo que é utilizada para fatorar números inteiros. Para a cônica, a operação "adição" é determinada algebricamente ao calcular o coeficiente angular da reta que passa por dois pontos dados e o elemento neutro dessa cônica, também justificada geometricamente. No trabalho foram determinados os grupos de pontos racionais sobre cônicas e demonstrado alguns resultados sobre esses grupos usando os resíduos quadráticos e finalizando com a dedução de alguns resultados sobre a soma das coordenadas dos pontos sobre uma cônica. / Abstract: The objective of this paper is to factorize integer number using rational points on the unitary circle. Also, it intends to determinate some groups on the conics. The research begins with the basic concepts of Algebra and Number Theory ensuring that the rational points set on the unitary circle has a structure of group. From this set is possible to extend the idea of rational points on the circle toward rational points on conics. In order to find the rational points on the circle a parametrization by trigonometric function on it was used. For each point on the unitary circle it is associated an angle with abscissa positive axis, therefore adding points on the circle equals to add its corresponding angles. With the operation of "addition" points on the circle it is possible to define a group structure that is used to factorize integer numbers. For the conic, the "addition" operation is algebraically determinated when the angle coeficient of the line is calculated that joins two given points and the neutral element of that conic, which is geometrically justified. In the research the rational points groups on the conics were determined, and some result on these groups using quadratic residues were demonstrated, and it was finalized with the deduction of some results concerning the coordinates sum of points on a conics. / Mestrado / Mestre em Matemática