Fractal analysis is an important tool when we need to study geometrical objects less regular than ordinary ones, e.g. a set with a non-integer dimension value. It has developed intensively over the last 30 years which gives a hint to its young age as a branch within mathematics. In this thesis we take a look at some basic measure theory needed to introduce certain definitions of fractal dimensions, which can be used to measure a set's fractal degree. Comparisons of these definitions are done and we investigate when they coincide. With these tools different fractals are studied and compared. A key idea in this thesis has been to sum up different names and definitions referring to similar concepts.

In this thesis we present the Laplace transform method of option pricing and it's realization, also compare it with another methods. We consider vanilla and exotic options, but more attention we pay to the two-asset correlation options. We chose the one of the modifications of Black-Scholes model, the Kou double exponential jump-diffusion model with the double exponential distribution of jumps, as model of the underlying stock prices development. The computations was done by the Laplace transform and it's inversion by the Euler method. We will present in details proof of finding Laplace transforms of put and call two-asset correlation options, the calculations of the moment generation function of the jump-diffusion by Levy-Khintchine formulae in cases without jumps and with independent jumps, and direct calculation of the risk-neutral expectation by solving double integral. Our work also contains the programme code for two-asset correlation call and put options. We will show the realization of our programme in the real data. As a result we see how our model complies on the NASDAQ OMX Stock-holm Market, considering the two-asset correlation options on three cases by stock prices of Handelsbanken, Ericsson and index OMXS30.

Denna bok riktar sig till gymnasieelever som vill fördjupa sig i ämnet RSA-kryptografi . RSA-kryptografi är en avancerad metod för att kommunicera med hemliga meddelanden och används flitigt inom t.ex. bankvärlden. När du handlar med ditt kort eller använder din e-legitimation används RSA-kryptogra fi för att allt du gör ska vara skyddat och säkert. Vid stora transaktioner mellan olika banker används också RSA-kryptogra fi för att både den som betalar och den som får betalt ska vara säkra att allt går rätt till.Boken är uppdelad i fyra kapitel. Kapitel 3 och 4 är betydligt mer avancerade än kapitel 1 och 2. Kapitel 1 består mestadels av exempel och övningar som behandlar matematiken som krävs för att kunna utföra RSA-kryptogra fi med små tal. Kapitel 2 använder matematiken i kapitel 1 för att genom exempel och övingar metodiskt lära ut hur RSA-kryptogra fi med små tal går till. Kapitel 3 visar matematiken som ligger till grund för att RSA-kryptografi fungerar. Detta visas med hjälp av exempel, satser, förtydligade bevis samt några enstaka övningar. Kapitel 4 förklarar varför RSA-kryptografi är säkert och enkelt att använda. Primtalstester utgör det viktigaste ämnet i detta sista kapitel.

Södra Cell sells 1 900 000 ton pulp every year. Of this 490 000 tonne is sold with a contract system based on a pricing index called PIX NBSK. This index was started in 1996 and reflects the price of pulp from conferious forest. We study the NBSK PIX value of softwood from October 1996 to December 2006. People working in this branch known that there is strong periodicity in the prices. We use predictive analysis to see if clients can benefit from the periodicity and use the options in the contract system Södra offers today. We conclude that a drawback for the current contract system is that there are too many contracts in proportion to the duration time that is one year for all contracts. Using a time series model called ARMA we make successfull predictions the price difference between two contracts. Based on this prediction we change between these contracts, reducing the price with 0.81% in mean during 1997-2006. Due to the total turnover, if all clients would used such predictions during 1997-2006 Södra's income would have been reduced with 2.77 million USD a year in mean. The prices used before PIX are called list prices. The list prices seem to behave like the PIX index. Supposing that the same contract system we see in PIX today was used 1975-2006 with the list price as the base index I made a prediction of the list prices from 1986-2006. Thanks to my predictions, if I had been a client during this period and under mentioned considerations I would have been buying pulp to a price reduced with 0.57%. If clients had known the PIX between 1996-2006 in say 1995 Södra's contract system based on PIX would give them a price reduction that were 1.5% in mean during 1996-2006. Price reduction is not possible all years, but when it occurs it can be as big as 3% of the price. Suppose the clients always choose the contract with the lowest price and thereby get a reduced price over time. Then with 95% probability over a long period the price reduction is somewhere in between 0.4-2.7%. To strangle this price reduction possibility for the clients there are two ways to go: either reduce the number of contracts or extend the duration time of the contracts. To find a suitable duration time, we do spectral density estimation to get indications of which periods that are most important. From this we see that PIX index has a period of five years, wavelet approximated PIX index has 3.4 years and the list prices has a period of 5.6 years. This indicates that current duration time one year is too short. Therefore if it wouldn't effect Södra's clients, an extension of the duration time from one to five years would be good. If Södra don't extend the duration time of the contracts my recommendation is to have fewer contracts. The possibility to change between the contracts ''average last three months'' and ''average current month'' every other year is the weakest point of today's system. Therefore I recommend stop selling pulp to the contract ''average PIX last three months''. We can't prove any longterm difference between the contracts. If Södra chooses to have just one contract from this point of view it does not matter which one they choose. However, it seems like a good idea to follow the global market and therefore I recommend to choose ''average PIX current month'' rather than ''average PIX last three months'' which lags behind the market front. Since the price ''average current month'' is available at FOEX web page I think Södra should choose this contract if they decide to have only one contract. / Södra Cell säljer årligen 1 900 000 ton pappersmassa. Av denna mängd säljs 490 000 ton enligt ett kontraktsystem baserat på ett prisindex som heter PIX NBSK. Detta index introducerades 1996 och reflekterar priset på pappersmassa gjord av barrträd. Jag studerar priset på indexet från Oktober 1996 till December 2006. Dagens kontraktsystem är baserat på kontrakt med löptiden ett år. Jag undersöker om man kan prediktera prisskilllnaden mellan kontrakten, dra nytta att dagens löptid som bara är ett år och välja det kontrakt som ger det billigaste priset så ofta att priset över lång tid reduceras. När man predikterar gör man en uppskattningen av framtiden utifrån en modell av hur framtid beror på dåtid och nutid. Den modell jag har använt kallas ARMA. Denna tillsammans med priserna på pappersmassa från 1975 och framåt gav mig ett fruktbart sätt att förutsäga priserna. Resultatet blev ett pris reducerat med 0.81% i medel under perioden 1996-2006. Eftersom Södra ha så stor försäljningsvolym skulle de ha förlorat 2.27 miljoner dollar per ton i medel om alla kunder ha spekulerat utifrån den modellen jag använde. Om dagens kontraktsystem hade börjat användas 1975 med listpriserna som bas hade en kund som använt min prediktionsmetod fått ett pris reducerat med 0.57% under perioden 1986-2006. Om kunderna i förväg hade vetat priset under 1996-2001 gav det nuvarande systemet en reducerad medelintäkt med 1.5% av priset. Enskilda år reducerades intäkten med så mycket som 3%. Beräknar man konfidensintervall för prisreduktionerna så inser man att på lång sikt kommer dessa vara av storleksordningen 0.4-2.7% med sannolikheten 95%. Detta förutsatt att klienterna kan se in i framtiden. Siffran 2.7% alltså ett mått på hur stor risk man tar med dagens system. Jag tror inte att klienterna kommer reducera priset med 2.7% med nuvarande system, men det är en övre gräns. De gynsamma prediktionerna har sitt ursprung i att det finns periodicitet i priserna. Jag undersöker denna periodicitet med spektralanalys. Periodiciteten för PIX indexet är starkast kring 5 år. En wavelet-approximation av PIX-indexet hade störst periodicitet kring 3.4 år. Listpriserna hade starkast periodicitet kring 5.6 år. Detta indikerar att den nuvarande löptiden, ett år, är för kort. En lämpligare löptid för kontrakten är 5 år. Förmodligen är fem års löptid alltför lång tid att binda sig för många kunder. Därför föreslår jag att man reducerar antalet kontrakt istället. Den största svagheten i dagens system är den korta löptiden tillsammans med kontrakten ''average current month'' och ''average last three months''. Jag rekommenderar att man slutar erbjuda kontraktet ''average last three months''. Det allra säkraste är att endast erbjuda ett kontrakt. Vi har inte kunnat påvisa några skillnader över lång sikt mellan kontrakten såtillvida att något kontrakt skulle ge ett lägre medelpris än ett annat. Ur den aspekten är det godtyckligt vilket kontrakt man väljer, men det verkar vettigt att följa den globala marknaden. Därför är det eftersläpande kontraktet ''average PIX last three months'' inte att rekommendera, välj heller ''average PIX current month''. Ett annat argument för att välja ''average PIX current month'' är att dessa priser finns på FOEX hemsida och inga extra beräkningar behöver göras.

No description available.

<p>Södra Cell sells 1 900 000 ton pulp every year. Of this 490 000 tonne is sold with a contract system based on a pricing index called PIX NBSK. This index was started in 1996 and reflects the price of pulp from conferious forest. We study the NBSK PIX value of softwood from October 1996 to December 2006.</p><p>People working in this branch known that there is strong periodicity in the prices. We use predictive analysis to see if clients can benefit from the periodicity and use the options in the contract system Södra offers today. We conclude that a drawback for the current contract system is that there are too many contracts in proportion to the duration time that is one year for all contracts. Using a time series model called ARMA we make successfull predictions the price difference between two contracts. Based on this prediction we change between these contracts, reducing the price with 0.81% in mean during 1997-2006. Due to the total turnover, if all clients would used such predictions during 1997-2006 Södra's income would have been reduced with 2.77 million USD a year in mean.</p><p>The prices used before PIX are called list prices. The list prices seem to behave like the PIX index. Supposing that the same contract system we see in PIX today was used 1975-2006 with the list price as the base index I made a prediction of the list prices from 1986-2006. Thanks to my predictions, if I had been a client during this period and under mentioned considerations I would have been buying pulp to a price reduced with 0.57%.</p><p>If clients had known the PIX between 1996-2006 in say 1995 Södra's contract system based on PIX would give them a price reduction that were 1.5% in mean during 1996-2006. Price reduction is not possible all years, but when it occurs it can be as big as 3% of the price. Suppose the clients always choose the contract with the lowest price and thereby get a reduced price over time. Then with 95% probability over a long period the price reduction is somewhere in between 0.4-2.7%.</p><p>To strangle this price reduction possibility for the clients there are two ways to go: either reduce the number of contracts or extend the duration time of the contracts.</p><p>To find a suitable duration time, we do spectral density estimation to get indications of which periods that are most important. From this we see that PIX index has a period of five years, wavelet approximated PIX index has 3.4 years and the list prices has a period of 5.6 years. This indicates that current duration time one year is too short. Therefore if it wouldn't effect Södra's clients, an extension of the duration time from one to five years would be good.</p><p>If Södra don't extend the duration time of the contracts my recommendation is to have fewer contracts. The possibility to change between the contracts ''average last three months'' and ''average current month'' every other year is the weakest point of today's system. Therefore I recommend stop selling pulp to the contract ''average PIX last three months''.</p><p>We can't prove any longterm difference between the contracts. If Södra chooses to have just one contract from this point of view it does not matter which one they choose. However, it seems like a good idea to follow the global market and therefore I recommend to choose ''average PIX current month'' rather than ''average PIX last three months'' which lags behind the market front. Since the price ''average current month'' is available at FOEX web page I think Södra should choose this contract if they decide to have only one contract.</p> / <p>Södra Cell säljer årligen 1 900 000 ton pappersmassa. Av denna mängd säljs 490 000 ton enligt ett kontraktsystem baserat på ett prisindex som heter PIX NBSK. Detta index introducerades 1996 och reflekterar priset på pappersmassa gjord av barrträd. Jag studerar priset på indexet från Oktober 1996 till December 2006.</p><p>Dagens kontraktsystem är baserat på kontrakt med löptiden ett år. Jag undersöker om man kan prediktera prisskilllnaden mellan kontrakten, dra nytta att dagens löptid som bara är ett år och välja det kontrakt som ger det billigaste priset så ofta att priset över lång tid reduceras. När man predikterar gör man en uppskattningen av framtiden utifrån en modell av hur framtid beror på dåtid och nutid. Den modell jag har använt kallas ARMA. Denna tillsammans med priserna på pappersmassa från 1975 och framåt gav mig ett fruktbart sätt att förutsäga priserna. Resultatet blev ett pris reducerat med 0.81% i medel under perioden 1996-2006. Eftersom Södra ha så stor försäljningsvolym skulle de ha förlorat 2.27 miljoner dollar per ton i medel om alla kunder ha spekulerat utifrån den modellen jag använde.</p><p>Om dagens kontraktsystem hade börjat användas 1975 med listpriserna som bas hade en kund som använt min prediktionsmetod fått ett pris reducerat med 0.57% under perioden 1986-2006.</p><p>Om kunderna i förväg hade vetat priset under 1996-2001 gav det nuvarande systemet en reducerad medelintäkt med 1.5% av priset. Enskilda år reducerades intäkten med så mycket som 3%. Beräknar man konfidensintervall för prisreduktionerna så inser man att på lång sikt kommer dessa vara av storleksordningen 0.4-2.7% med sannolikheten 95%. Detta förutsatt att klienterna kan se in i framtiden. Siffran 2.7% alltså ett mått på hur stor risk man tar med dagens system. Jag tror inte att klienterna kommer reducera priset med 2.7% med nuvarande system, men det är en övre gräns.</p><p>De gynsamma prediktionerna har sitt ursprung i att det finns periodicitet i priserna. Jag undersöker denna periodicitet med spektralanalys. Periodiciteten för PIX indexet är starkast kring 5 år. En wavelet-approximation av PIX-indexet hade störst periodicitet kring 3.4 år. Listpriserna hade starkast periodicitet kring 5.6 år. Detta indikerar att den nuvarande löptiden, ett år, är för kort. En lämpligare löptid för kontrakten är 5 år.</p><p>Förmodligen är fem års löptid alltför lång tid att binda sig för många kunder. Därför föreslår jag att man reducerar antalet kontrakt istället. Den största svagheten i dagens system är den korta löptiden tillsammans med kontrakten ''average current month'' och ''average last three months''. Jag rekommenderar att man slutar erbjuda kontraktet ''average last three months''. Det allra säkraste är att endast erbjuda ett kontrakt. Vi har inte kunnat påvisa några skillnader över lång sikt mellan kontrakten såtillvida att något kontrakt skulle ge ett lägre medelpris än ett annat. Ur den aspekten är det godtyckligt vilket kontrakt man väljer, men det verkar vettigt att följa den globala marknaden. Därför är det eftersläpande kontraktet ''average PIX last three months'' inte att rekommendera, välj heller ''average PIX current month''. Ett annat argument för att välja ''average PIX current month'' är att dessa priser finns på FOEX hemsida och inga extra beräkningar behöver göras.</p>

Safety analysis is critical when developing new engineering systems. Many systems have to function under randomly occurring events, making stochastic processes useful in a safety modelling context. However, a general stochastic process is very challenging to analyse mathematically. Therefore, model restrictions are necessary to simplify the mathematical analysis. A popular simplified stochastic model is the Semi-Markov process (SMP), which is a generalization of the "memoryless" continuous-time Markov chain. However, only a subclass of Semi-Markov models can be analysed with non-simulation based methods. In these models, the cumulative density function (cdf) of the random variables describing the system is in the form of expolynomials. This thesis investigates the possibility to extend the number of Semi-Markov models that can be analysed with non-simulation based methods by approximating the non-expolynomial random variables with expolynomials. This thesis focus on approximation of models partially described by LogNormal and Weibull distributed random variables. The result shows that it is possible to approximate some Semi-Markov models with non-expolynomial random variables. However, there is an increasing difficulty in approximating a non-expolynomial random variable when the variability in the distribution increases. / Säkerhetsanalys är avgörande när man utvecklar nya tekniska system. Många system måste fungera under slumpmässigt inträffande händelser, vilket gör stokastiska processer användbara i ett säkerhetsmodellerande sammanhang. En allmän stokastisk process är dock mycket utmanande att analysera matematiskt. Därför är begränsningar på modellen nödvändiga för att förenkla den matematiska analysen. En populär förenklad stokastisk modell är Semi-Markov-processen (SMP), vilket är en generalisering av den "minneslösa" tids-kontinuerliga Markov-kedjan. Dock är det endast en underklass av Semi-Markov-modeller som kan analyseras med icke-simuleringsbaserade metoder. I dessa modeller är den kumulativa densitetsfunktionen (cdf) för de slumpmässiga variablerna som beskriver systemet i form av expolynomials. Denna rapport undersöker möjligheten att utöka antalet Semi-Markov-modeller som kan analyseras med icke-simuleringsbaserade metoder genom att approximera de icke-expolynomial slumpvariablerna med expolynomials. Vi fokuserar på approximering av modeller som delvis beskrivs av LogNormal distribuerade och Weibull distribuerade slumpmässiga variabler. Resultatet visar att det är möjligt att approximera vissa stokastiska variabler som är icke-expolynomial i Semi-Markov-modeller. Resultatet visar dock att det är en ökande svårighet att approximera en icke-expolynomial slumpmässiga variabeln när variabiliteten i fördelningen ökar.

The purpose of this thesis is to investigate how tractor swapping can be implemented in Vehicle Routing Problems (VRP) with electric heavy goods vehicles, and to evaluate how a model that allows for tractor swapping performs, in terms of schedule cost, against a model that does not. Hence, this thesis introduces a new rich VRP variant which includes tractor swapping, as well as time windows, pickup and delivery, and electric vehicles. The model is named Electric Tractor Swap Vehicle Routing Problem (E-TSVRP) and is formulated as a mixed integer linear program. As for the solver, Gurobi is used. The results show that utilizing tractor swapping can reduce the total cost of serving customers significantly by reducing en-route charging and utilizing drivers more efficiently. Specifically, it is shown that the cost reduction comes mainly from reducing driver work time. By demonstrating how tractor swapping works and how the results can be visualized on smaller cases, this thesis aims to serve as a foundation for future research within the field. To be able to fully implement the model for large logistics problem instances however, alternative solution methods such as heuristics or metaheuristics should be developed so that the problems can be solved in a reasonable amount of time. / Syftet med denna uppsats är att undersöka hur traktorbyten kan implementeras i "Vehicle Routing Problem" (VRP) med tunga, elektriska lastfordon, och att utvärdera hur en modell som tillåter traktorbyten presterar mot en modell som inte tillåter det, med avseende på den totala schemakostnaden. I uppsatsen introduceras därför en ny och generell VRP som har stöd för traktorbyten, men som också modellerar energikonsumtion och laddning av elektriska lastbilar, samt tillåter tidsfönster för när leveranser kan levereras och hämtas upp på godtyckliga platser. Modellen kallas för "Electric Tractor Swap Vehicle Routing Problem" (E-TSVRP) och formuleras som ett linjärt, blandat heltalsprogram. Programmet löses sedan med lösaren Gurobi. Resultaten visar att utnyttjandet av traktorbyten kan märkbart minska den totala kostnaden av att leverera varor till kunder genom att minska tiden som föraren väntar på att traktorn laddar. Mer specifikt tillåts möjligheten att byta till en ny traktor när den tidigare får slut på energi, vilket möjliggör en högre utnyttjandegrad av förarna, och den fakturerade tiden associerad till förarna kan minskas. Detta sker genom en avvägning mellan å ena sidan högre hårdvarukostnader för fler traktorer och å andra sidan lägre förarkostnader. Genom att demonstrera hur traktorbyten fungerar och hur resultaten kan visualiseras på mindre transportproblem, strävar denna uppsats efter att verka som en grund för framtida forskning. För att modellen ska kunna användas för stora logistikproblem bör dock alternativa lösningsmetoder som till exempel lösningsheuristiker eller metaheuristiker utvecklas så att problemen kan lösas inom en rimlig tid.

The threaded fastener is by far the most common method for securing components together and plays a significant role in determining the quality of a product. Atlas Copco offers industrial tools for tightening these fasteners, which are today suffering from errors in the applied torque. These errors have been found to behave in periodic patterns which indicate that the errors can be predicted and therefore compensated for. However, this is only possible by knowing the rotational position of the tool. Atlas Copco is interested in the possibility of acquiring this rotational position without installing sensors inside the tools. To address this challenge, the thesis explores the feasibility of estimating the rotational position by analysing the behaviour of the errors and finding periodicities in the data. The objective is to determine whether these periodicities can be used to accurately estimate the rotation of the torque errors of unknown data relative to errors of data where the rotational position is known. The tool analysed in this thesis exhibits a periodic pattern in the torque error with a period of 11 revolutions.  Two methods for estimating the rotational position were evaluated: a simple nearest neighbour method that uses mean squared error (MSE) as distance measure, and a more complex circular fully convolutional network (CFCN). The project involved data collection from a custom-built setup. However, the setup was not fully completed, and the models were therefore evaluated on a limited dataset. The results showed that the CFCN method was not able to identify the rotational position of the signal. The insufficient size of the data is discussed to be the cause for this. The nearest neighbour method, however, was able to estimate the rotational position correctly with 100% accuracy across 1000 iterations, even when looking at a fragment of a signal as small as 40%. Unfortunately, this method is computationally demanding and exhibits slow performance when applied to large datasets. Consequently, adjustments are required to enhance its practical applicability. In summary, the findings suggest that the nearest neighbour method is a promising approach for estimating the rotational position and could potentially contribute to improving the accuracy of tools. / Skruvförband är den vanligaste typen av förband för att sammanfoga komponenter och är avgörande för en produkts kvalitet. Atlas Copco tillverkar industriverktyg avsedda för sådana skruvförband, som dessvärre lider av små avvikelser i åtdragningsmomentet. Avvikelserna uppvisar ett konsekvent periodiskt mönster, vilket indikerar att de är förutsägbara och därför möjliga att kompenseras för. Det är dock endast möjligt genom att veta verktygets vinkelposition. Atlas Copco vill veta om det är möjligt att erhålla vinkelpositionen utan att installera sensorer i verktygen. Denna uppsats undersöker möjligheten att uppskatta vinkelpositionen genom att analysera beteendet hos avvikelserna i åtdragningsmomentet och identifiera periodiciteter i datan, samt undersöka om dessa periodiciteter kan utnyttjas för att uppskatta rotationen hos avvikelserna hos okänd data i förhållande till tidigare data. Det verktyget som används i detta projekt uppvisar en tydlig periodicitet med en period på 11 varv. Två metoder för att uppskatta vinkelpositionen utvärderades: en simpel nearest neighbour-metod som använder mean squared error (MSE) som mått för avstånd, och ett mer komplext circular fully convolutional network (CFCN). Projektet innefattade datainsamling från en egendesignad testrigg som tyvärr aldrig blev färdigställd, vilket medförde att utvärderingen av modellerna utfördes på ett begränsat dataset.  Resultatet indikerade att CFCN-metoden kräver en större datamängd för att kunna uppskatta rotationen hos den okända datan. Nearest neighbour-metoden lyckades uppskatta rotationen med 100% noggrannhet över 1000 iterationer, även när endast ett segment så litet som 40% av signalen utvärderades. Tyvärr lider denna metod av hög beräkningsbelastning och kräver förbättringar för att vara praktiskt tillämpbar. Sammantaget visade resultaten att nearest neighbour-metoden har potential att vara ett lovande tillvägagångssätt för att uppskatta vinkelpositionen och kan på så sätt bidra till förbättring av verktygens noggrannhet.

Investing in public real estate stocks can diversify a stock portfolio due to the nature of these companies. The industry is generally less sensitive to economic downturns and spikes in inflation are offset by increased real estate property and rent prices. Nevertheless, measures of the wider economy could be used as predictors of the real estate stock market.  This thesis attempts to model the Swedish real estate stock market with the index SX35PI (Stockholm Real Estate PI) using the fundamental economic factors and repo rate. Data was collected and formatted to a monthly interval for the period February 2012 to December 2021. This resulted in an exponential multiple regression model that used all the regressors that explained 95.7% of the variation in SX35PI, and an alternative autoregressive forecasting model that explained 82.3% of the variation in SX35PI. / Investeringar i fastighetsbolag kan diversifiera en aktieportfölj tack vare dessa bolags karaktär. Denna industri är nämligen mindre känslig för ekonomiska nedgångar och minskad efterfråga samt plötsliga ökningar i inflationen som vägs upp av ökningar i fastighetspriser och hyror. Aktiemarknaden för fastighetsaktier kan modelleras med makroekonomiska mått. Denna rapport försöker modellera aktiemarknaden för svenska fastighetsbolag med fundamentala ekonomiska mått samt reporäntan. Data samlades och transformerades för att få datapunkter varje månad under februari 2012 till december 2021. Resultatet blev en exponentiell multipel regressionsmodell som använde alla förklarande variabler vilka förklarade 95.7% av variationen i SX35PI, och en alternativ autoregressiv modell som förklarade 82.3% av variationen i SX35PI.