Soit p un nombre premier. Cette thèse est une contribution à la théorie des représentations modulo p des groupes réductifs p-adiques, jusque là essentiellement centrée sur le groupe linéaire général GL(n) défini sur un corps local non archimédien F complet pour une valuation discrète, de caractéristique résiduelle p et de corps résiduel fini. L’originalité de nos travaux réside notamment dans le fait qu’ils concernent d’autres groupes : nous nous intéressons en effet à la description des classes d’isomorphisme des représentations modulo p de groupes formés des F-points d’un groupe réductif connexe défini, quasi-déployé de rang semi-simple égal à 1 sur F. Une place particulière est accordée au groupe spécial linéaire SL(2) et au groupe unitaire quasi-déployé non ramifié en trois variables U(2,1). Dans ces deux cas, nous montrons que les classes d’isomorphisme des représentations lisses irréductibles admissibles à coefficients dans un corps algébriquement clos de caractéristique p se scindent en deux familles : les représentations non supersingulières et les représentations supersingulières. Nous décrivons complètement les représentations non supersingulières, et montrons que la notion de supersingularité est équivalence à la notion de supercuspidalité apparaissant dans la théorie complexe. Nous donnons aussi une description explicite des représentations supersingulières de SL(2,Q_{p}), ce qui nous permet de définir dans ce cas une correspondance de Langlands locale semi-simple modulo p compatible à celle construite par Breuil pour GL(2). Nous généralisons ensuite les méthodes utilisées jusqu’alors pour obtenir la description des représentations non supercuspidales de G(F) lorsque G est un groupe réductif connexe défini, quasi-déployé, et rang semi-simple égal à 1 sur F. Elle fait apparaître trois familles deux à deux disjointes de représentations : les caractères, les représentations de la série principale et celles de la série spéciale. Nous terminons par une classification des modules à droite simples sur la pro-p-algèbre de Hecke-Iwahori H de SL(2,F). On déduit en particulier que l’application qui envoie une représentation lisse modulo p de SL(2,F) sur son espace de vecteurs invariants sous l’action du pro-p-sous-groupe d'Iwahori induit une bijection entre l’ensemble des classes d’isomorphisme des représentations lisses irréductibles non supersingulières de SL(2,F) et l’ensemble des classes d’isomorphisme des H-modules à droite simples non supersinguliers. Cette bijection s’étend aux objets supersinguliers lorsque l’on suppose que F = Q_{p}, ce qui est de bon augure dans la recherche d’une équivalence de catégories analogue à celle obtenue par Ollivier dans le cadre de la théorie existant pour GL(2, Q_{p}). / Let p be a prime number. This thesis is a contribution to the theory of mod p representations of p-adic reductive groups, which was until now mainly focused on the general linear group GL(n) defined over a non-archimedean local field F complete with respect to a discrete valuation and with finite residue class field of characteristic p. Our work is original as it deals with other groups : we indeed look for a classification of isomorphism classes of modulo p representations of groups formed by the F-points of a connected reductive group defined, quasi-split and of semi-simple rank 1 over F. A special place is devoted to the special linear group SL(2) and to the unramified quasi-split unitary group. In these two cases, we prove that the isomorphism classes of irreducible smooth representations over an algebraically closed field of characteristic p split into two families : supersingular and non-supersingular representations. We give a complete description of non-supersingular representations and prove that supersingularity is equivalent to the notion of supercuspidality that appears in the complex theory. We also make explicit the supersingular representations of SL(2,Q_{p}), what allows us to define a mod p semi-simple local Langlands correspondence that is compatible to the one built by Breuil for GL(2). We then generalize the methods used above to classify the isomorphism classes of non-supercuspidal representations of G(F) for G a connected reductive group which is defined, quasi-split and of semi-simple rank 1 over F. This classification is made up of three pairwise disjoint families : characters, representations of the principal series, and representations of the special series. We finally come back to SL(2) as we give an exhaustive classification of isomorphism classes of simple right modules on the pro-p-Iwahori-Hecke algebra H of SL(2,F). It implies that the map sending a smooth mod p representation of SL(2,F) on its vector space of invariants vectors under the action of the pro-p-Iwahori subgroup induces a bijection between non-supersingular irreducible smooth representations of SL(2,F) and non-supersingular simple right H-modules. This bijection extends to supersingular objects when F = Q_{p}, what is the first step in the search for an equivalence of categories similar to the one built by Ollivier in the setting of mod p representations of GL(2, Q_{p}).

Soit K/F une extension quadratique modérément ramifiée de corps locaux non archimédiens. Soit GLm (D) une forme intérieure de GLn (F) et GLμ (∆) = (Mm (D) ⊗ K)× . Alors GLμ (∆) est une forme intérieure de GLn (K), les quotients GLμ (∆)/GLm (D) et GLn (K)/GLn (F) sont des espaces symétriques. En utilisant la paramétrisation de Silberger et Zink, nous déterminons des critères de GLm (D)-distinction pour les cuspidales de niveau 0 de GLμ (∆), puis nous prouvons qu’une cuspidale de niveau 0 de GLn (K) est GLn (F)-distinguée si et seulement si son image par la correspondance de Jacquet-Langlands est GLm (D)-distinguée. Puis, dans le cas particulier où μ = 2 et m = 1, nous regardons le cas des séries discrètes de niveau 0 non cuspidales, en utilisant le système de coefficients sur l’immeuble associé à la représentation, donné par Schneider et Stuhler. / Let K/F be a tamely ramified quadratic extension of non-archimedean locally compact fields. Let GLm (D) be an inner form of GLn (F) and GLμ (∆) = (Mm (D)⊗K)× . Then GLμ (∆) is an inner form of GLn (K), the quotients GLμ (∆)/GLm (D) and GLn (K)/GLn (F) are symmetric spaces. Using the parametrization of Silberger and Zink, we determine conditions of GLm (D)-distinction for level zero cuspidal representations of GLμ (∆). We also show that a level zero cuspidal representation of GLn (K) is GLn (F)-distinguished if and only if its image by the Jacquet-Langlands correspondence is GLm (D)-distinguished. Then, we treat the case of level zero non supercuspidal representations when μ = 2 and m = 1 using the coefficient system of the Bruhat-Tits building associated to the representation by Schneider and Stuhler.

Les algèbres centrales simples ont de nombreuses applications en théorie des nombres, mais leur algorithmique est encore peu développée. Dans cette thèse, j’apporte une contribution dans deux directions. Premièrement, je présente des algorithmes de complexité prouvée, ce qui est nouveau dans la plupart des cas. D’autre part, je développe des algorithmes heuristiques mais très efficaces dans la pratique pour les exemples qui nous intéressent le plus, comme en témoignent mes implantations. Les algorithmes sont à la fois plus rapides et plus généraux que les algorithmes existants. Plus spécifiquement, je m’intéresse aux problèmes suivants : calcul du groupe des unités d’un ordre et problème de l’idéal principal. Je commence par étudier le diamètre du domaine fondamental de certains groupes d’unités grâce à la théorie des représentations. Je décris ensuite un algorithme prouvé pour calculer des générateurs et une présentation du groupe des unités d’un ordre maximal dans une algèbre à division, puis un algorithme efficace qui calcule également un domaine fondamental dans le cas où le groupe des unités est un groupe kleinéen. Je donne en outre un algorithme de complexité prouvée qui détermine si un idéal d’un tel ordre est principal, et qui en calcule un générateur le cas échéant, puis je décris un algorithme heuristiquement sous-exponentiel pour résoudre le même problème dans le cas d’une algèbre de quaternions indéfinie. / Central simple algebras have many applications in number theory, but their algorithmic theory is not yet fully developed. I present algorithms to compute effectively with central simple algebras that are both faster and more general than existing ones. Some of these algorithms have proven complexity estimates, a new contribution in this area; others rely on heuristic assumptions but perform very efficiently in practice.Precisely, I consider the following problems: computation of the unit group of an order and principal ideal problem. I start by studying the diameter of fundamental domains of some unit groups using representation theory. Then I describe an algorithm with proved complexity for computing generators and a presentation of the unit group of a maximal order in a division algebra, and then an efficient algorithm that also computes a fundamental domain in the case where the unit group is a Kleinian group. Similarly, I present an algorithm with proved complexity that decides whether an ideal of such an order is principal and that computes a generator when it is. Then I describe a heuristically subexponential algorithm that solves the same problem in indefinite quaternion algebras.

Les masures ont été introduites en 2008 par Gaussent et Rousseau afin d’étudier les groupes de Kac-Moody sur les corps locaux. Elles généralisent les immeubles de Bruhat-Tits. Dans cette thèse, j’étudie d’une part les propriétés des masures et d’autre part leurs applications en arithmétique et en théorie des représentations. Rousseau a donné une définition axiomatique des masures, inspirée par la définition de Tits des immeubles de Bruhat-Tits. Je propose une axiomatique plus simple et plus agréable à manipuler et je montre que mon axiomatique est équivalente à celle de Rousseau.Nous étudions (en collaboration avec Ramla Abdellatif) les algèbres de Hecke sphériques et d’Iwahori-Hecke introduites par Bardy-Panse, Gaussent et Rousseau. Nous démontrons que contrairement au cas réductif, le centre de leur algèbre d’Iwahori-Hecke est quasiment trivial, et n’est en particulier pas isomorphe à l’algèbre de Hecke sphérique. Nous introduisons donc une algèbre d’Iwahori-Hecke complétée, dont le centre est isomorphe à l’algèbre de Hecke sphérique. Nous associons aussi des algèbres de Hecke à des faces sphériques comprises entre 0 et l’alcôve fondamentale de la masure,généralisant la construction de Bardy-Panse, Gaussent et Rousseau de l’algèbre d’Iwahori-Hecke.La formule de Gindikin-Karpelevich est une formule importante dans la théorie des groupes réductifs sur les corps locaux. Récemment, Braverman,Garland, Kazhdan, et Patnaik ont généralisé cette formule au cas des groupes de Kac-Moody affines. Une partie importante de leur preuve consiste à montrer que cette formule est bien définie, c’est à dire que les nombres intervenants dans cette formule, qui sont les cardinaux de certains sous groupes de quotients du groupe étudié sont bien finis. Je démontre cette finitude dans le cas des groupes de Kac-Moody généraux. J’étudie aussi les distances sur une masure. Je montre qu’on ne peux pas avoir de distance ayant les mêmes propriétés que dans le cas réductif. Je construis des distances ayant des propriétés moins forte mais qui semblent intéressantes. / Masures were introduced in 2008 by Gaussent and Rousseau in order to study Kac-Moody groups over local fields. They generalize Bruhat-Tits buildings. In this thesis, I study the properties of masures and the application of the theory of masures in arithmetic and representation theory. Rousseau gave an axiomatic of masures, inspired by the definition by Tits of Bruhat-Tits buildings. I propose an axiomatic, which is simpler and easyer to handle and I prove that my axiomatic is equivalent to the one of Rousseau. We study (in collaboration with Ramla Abdellatif) the spherical and Iwahori-Hecke algebras introduced by Bardy-Panse, Gaussent and Rousseau. We prove that on the contrary to the reductive case, the center of the Iwahori-Hecke algebra is almost trivial and is in particular not isomorphic to the spherical Hecke algebra. We thus introduce a completed Iwahori-Hecke algebra, whose center is isomorphic to the spherical Hecke algebra. We also associate Hecke algebras to spherical faces between 0 and the fundamental alcove of the masure, generalizing the construction of Bardy-Panse, Gaussent and Rousseau of the Iwahori-Hecke algebra.The Gindikin-Karpelevich formula is an important formula in the theory of reductive groups over local fields. Recently, Braverman, Garland, Kazhdanand Patnaik generalized this formula to the case of affine Kac-Moody groups. An important par of their prove consists in proving that this formula iswell-defined, which means that the numbers involved in this formula, which are the cardinals of certain subgroup of quotients of the studied subgroupare finite. I prove this finiteness in the case of general Kac-Moody groups.I also study distances on a masure. I prove that there is no distance having the same properties as in the reductive case. I construct distances having weaker properties, but which seem interesting.

Im ersten Teil wird eine neue Konstruktion der parabolischen Induktion für pro-p Iwahori-Heckemoduln gegeben. Dabei taucht eine neue Klasse von Algebren auf, die in gewisser Weise als Interpolation zwischen der pro-p Iwahori-Heckealgebra einer p-adischen reduktiven Gruppe $G$ und derjenigen einer Leviuntergruppe $M$ von $G$ gedacht werden kann. Für diese Algebren wird ein Induktionsfunktor definiert und eine Transitivitätseigenschaft bewiesen. Dies liefert einen neuen Beweis für die Transitivität der parabolischen Induktion für Moduln über der pro-p Iwahori-Heckealgebra. Ferner wird eine Funktion auf einer parabolischen Untergruppe untersucht, die als Werte nur p-Potenzen annimmt. Es wird gezeigt, dass sie eine Funktion auf der (pro-p) Iwahori-Weylgruppe von $M$ definiert, und dass die so definierte Funktion monoton steigend bzgl. der Bruhat-Ordnung ist und einen Vergleich der Längenfunktionen zwischen der Iwahori-Weylgruppe von $M$ und derjenigen der Iwahori-Weylgruppe von $G$ erlaubt. Im zweiten Teil wird ein allgemeiner Zerlegungssatz für Polynome über der sphärischen (parahorischen) Heckealgebra einer p-adischen reduktiven Gruppe $G$ bewiesen. Diese Zerlegung findet über einer parabolischen Heckealgebra statt, die die Heckealgebra von $G$ enthält. Für den Beweis des Zerlegungssatzes wird vorausgesetzt, dass die gewählte parabolische Untergruppe in einer nichtstumpfen enthalten ist. Des Weiteren werden die nichtstumpfen parabolischen Untergruppen von $G$ klassifiziert. / The first part deals with a new construction of parabolic induction for modules over the pro-p Iwahori-Hecke algebra. This construction exhibits a new class of algebras that can be thought of as an interpolation between the pro-p Iwahori-Hecke algebra of a p-adic reductive group $G$ and the corresponding algebra of a Levi subgroup $M$ of $G$. For these algebras we define a new induction functor and prove a transitivity property. This gives a new proof of the transitivity of parabolic induction for modules over the pro-p Iwahori-Hecke algebra. Further, a function on a parabolic subgroup with p-power values is studied. We show that it induces a function on the (pro-p) Iwahori-Weyl group of $M$, that it is monotonically increasing with respect to the Bruhat order, and that it allows to compare the length function on the Iwahori-Weyl group of $M$ with the one on the Iwahori-Weyl group of $G$. In the second part a general decomposition theorem for polynomials over the spherical (parahoric) Hecke algebra of a p-adic reductive group $G$ is proved. The proof requires that the chosen parabolic subgroup is contained in a non-obtuse one. Moreover, we give a classification of non-obtuse parabolic subgroups of $G$.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux sous-groupes profinis et pro-p d'un groupe algébrique linéaire connexe défini sur un corps local. Dans le premier chapitre, on résume brièvement la théorie de Bruhat-Tits et on introduit les notations nécessaires à ce travail. Dans le second chapitre, on trouve des conditions équivalentes à l'existence de sous-groupes compacts maximaux d'un groupe algébrique linéaire G connexe quelconque défini sur un corps local K. Dans le troisième chapitre, on obtient un théorème de conjugaison des sous-groupes pro-p maximaux de G(K) lorsque G est réductif. On décrit ces sous-groupes, de plus en plus précisément, en supposant successivement que G est semi-simple, puis simplement connexe, puis quasi-déployé. Dans le quatrième chapitre, on s'intéresse aux présentations d'un sous-groupe pro-p maximal du groupe des points rationnels d'un groupe algébrique G semi-simple simplement connexe quasi-déployé défini sur un corps local K. Plus spécifiquement, on calcule le nombre minimal de générateurs topologiques d'un sous-groupe pro-p maximal. On obtient une formule linéaire en le rang d'un certain système de racines, qui dépend de la ramification de l'extension minimale L=K déployant G, explicitant ainsi les contributions de la théorie de Lie et de l'arithmétique du corps de base. / In this thesis, we are interested in the profinite and pro-p subgroups of a connected linear algebraic group defined over a local field. In the first chapter, we briefly summarize the Bruhat-Tits theory and introduce the notations necessary for this work. In the second chapter we find conditions equivalent to the existence of maximal compact subgroups of any connected linear algebraic group G defined over a local field K. In the third chapter, we obtain a conjugacy theorem of the maximal pro-p subgroups of G(K) when G is reductive. We describe these subgroups, more and more precisely, assuming successively that G is semi-simple, then simply connected, then quasi-split in addition. In the fourth chapter, we are interested in the pro-p presentations of a maximal pro-p subgroup of the group of rational points of a quasi-split semi-simple algebraic group G defined over a local field K. More specifically, we compute the minimum number of generators of a maximal pro-p subgroup. We obtain a formula which is linear in the rank of a certain root system, which depends on the ramification of the minimal extension L=K which splits G, thus making explicit the contributions of the Lie theory and of the arithmetic of the base field.

Soit p un nombre premier. Cette thèse est une contribution à la théorie des représentations modulo p des groupes réductifs p-adiques, jusque là essentiellement centrée sur le groupe linéaire général GL(n) défini sur un corps local non archimédien F complet pour une valuation discrète, de caractéristique résiduelle p et de corps résiduel fini. L'originalité de nos travaux réside notamment dans le fait qu'ils concernent d'autres groupes : nous nous intéressons en effet à la description des classes d'isomorphisme des représentations modulo p de groupes formés des F-points d'un groupe réductif connexe défini, quasi-déployé de rang semi-simple égal à 1 sur F. Une place particulière est accordée au groupe spécial linéaire SL(2) et au groupe unitaire quasi-déployé non ramifié en trois variables U(2,1). Dans ces deux cas, nous montrons que les classes d'isomorphisme des représentations lisses irréductibles admissibles à coefficients dans un corps algébriquement clos de caractéristique p se scindent en deux familles : les représentations non supersingulières et les représentations supersingulières. Nous décrivons complètement les représentations non supersingulières, et montrons que la notion de supersingularité est équivalence à la notion de supercuspidalité apparaissant dans la théorie complexe. Nous donnons aussi une description explicite des représentations supersingulières de SL(2,Q_{p}), ce qui nous permet de définir dans ce cas une correspondance de Langlands locale semi-simple modulo p compatible à celle construite par Breuil pour GL(2). Nous généralisons ensuite les méthodes utilisées jusqu'alors pour obtenir la description des représentations non supercuspidales de G(F) lorsque G est un groupe réductif connexe défini, quasi-déployé, et rang semi-simple égal à 1 sur F. Elle fait apparaître trois familles deux à deux disjointes de représentations : les caractères, les représentations de la série principale et celles de la série spéciale. Nous terminons par une classification des modules à droite simples sur la pro-p-algèbre de Hecke-Iwahori H de SL(2,F). On déduit en particulier que l'application qui envoie une représentation lisse modulo p de SL(2,F) sur son espace de vecteurs invariants sous l'action du pro-p-sous-groupe d'Iwahori induit une bijection entre l'ensemble des classes d'isomorphisme des représentations lisses irréductibles non supersingulières de SL(2,F) et l'ensemble des classes d'isomorphisme des H-modules à droite simples non supersinguliers. Cette bijection s'étend aux objets supersinguliers lorsque l'on suppose que F = Q_{p}, ce qui est de bon augure dans la recherche d'une équivalence de catégories analogue à celle obtenue par Ollivier dans le cadre de la théorie existant pour GL(2, Q_{p}).

Nous démontrons un résultat d'équidistribution sur les courbes modulaires: les orbites galoisiennes d'invariants modulaires a l'intérieur d'une même classe d'isogénie non~CM se répartissent le long de la mesure de Poincaré sur la courbe modulaire. Un corollaire est que la hauteur des points considérés diverge, retrouvant là un résultat de Szpiro et Ullmo. Pour obtenir cet énoncé nous combinons des propriétés galoisiennes (le théorème de Serre sur l'action du groupe de Galois sur les points de division) et des propriétés ergodiques (le théorème de Ratner sur les flots unipotents dans les espaces de réseaux, ou plutôt l'équidistribution des points de Hecke). Nous généralisons notre méthode dans le cadre des variétés de Shimura. Dans ce cadre, en~revanche, l'un de nos ingrédients repose sur une forme de la conjecture de Mumford-Tate. Cela nous amène à étudier, dans une seconde partie, des raffinements de l'équidistribution des points de Hecke. Apparaissent alors certaines questions de divergence dans les espaces de réseaux. La méthode de linéarisation de Dani-Margulis ramène cette question à un énoncé géométrique. Nous apportons une réponse à cette question. Dans le cas réel, il s'agit d'une collaboration avec Nimish Shah. Dans le cas p-adique, nous sommes amenés à utiliser la géométrie ultramétrique récemment développée par Berkovich, en relation avec la théorie de Bruhat-Tits, et plus particulièrement des résultats recents de B. Remy, A. Thuillier et A. Werner. Nous sommes amenés en particulier à démontrer - des propriétés de décomposition des immeubles inspirées des théorème de décomposition de Mostow sur les espaces symétriques; - des propriétés de convexité sur les immeubles de fonctions analytiques, au sens ultramétrique, sur le groupe associé. Nous illustrons enfin comment nos résultats, en combinaison avec les travaux de D. Kleinbock et G. Tomanov, et le théorème de Ratner, s'appliquent à l'étude de problèmes S-arithmétiques dans les espaces de réseaux.

I tested influence of a body size and overal colouration in feeders experiments on recognition of sparrowhawk (Accipiter nisus) by chosen species of passerine. Experiments were conducted in years 2015 ̶ 2018. I used a plush dummies which carried a specific featuress of raptor (hooked beak, claws) and specific features of genus Accipiter (yellow eyes, respectively yellow eyes and overal colouration). As a control, dummy of harmless pigeon was used. Smaller dummies (size of a great tit) were not recognized as a raptor regardless of colouration. Large dummies with colouration of great tit and pigeon were not recognized as a raptor as well. On a contrary, large dummy with colouration of robin was recognized as a raptor, respectively sparrowhawk. Most birds who were flying to the feeders, at first payed attention to global features (size, overal colouration). If these features belong to well-known harmless bird, then local features (particular) which characterize raptor or sparrowhawk had no effect. Birds did not pay attention to them. Therefore it depends on a context, in which potential local key features occure.

Bruhat-Tits buildings are a fundamental concept in the study of linear algebraic groups over general fields. The general goal of this thesis is to introduce buildings in the basic case of SLd(Qp) and to explicitly describe some of their geometrical and combinatorial properties - building are abstract simplicial complexes. After the general construction (Chapter 1) we focus in detail to the case of SL2(Qp). We work with simplices using certain matrix representatives. We explicitly describe the building and give a formula for graph distance. In Chapter 3 we consider the general case SLd(Qp), d ≥ 2. There we introduce a new concept of distance formulas. In Chapter 4 we prove some theorems which are satisfied by buildings in general. Chapter 5 studies the problem of determining so-called gallery distance of two simplices. In the last Chapter 6 we generalize the distance formulas to the case of three vertices. 1