Das Standardmodell der Teilchenphysik hat sich bis heute, mit Ausnahme der allgemeinen Relativitätstheorie, als erfolgreichste Theorie zur Beschreibung der Natur erwiesen. Störungstheoretische Rechnungen für bestimmte Mengen in Quantenchromodynamik (QCD) haben bisher unerreicht präzise Vorraussagen ermöglicht, die experimentell nachgewiesen wurden. Trotz dieser Erfolge gibt es Teile des Standardmodells und Energieskalen bei denen die Störungstheorie versagt und man nach Alternativen suchen muss. Vieles können wir hierbei verstehen, indem wir eine ähnliche Theorie untersuchen, die sogenannte planare N=4 Super Yang-Millstheorie in vier Dimensionen (N=4 SYM). Es existieren viele Indizien dafür, dass die Theorie exakte Lösungen zulässt. Dies lässt sich zurückführen auf die Integrabilität der Theorie, eine unendlich dimensionale Symmetriealgebra, die die Theorie stark einschränkt. Neben besagter Integrabilität besitzt diese Theorie auch andere spezielle Eigenschaften. So ist sie des am besten verstandenen Beispiels der Eich-/Gravitations Dualität durch die AdS/CFT Korrespondenz. Ausserdem sind die Streuamplituden von Gluonen auf Baumgraphenniveau in N=4 SYM die selben wie in Quantenchromodynamik. Diese Streuamplituden besitzen eine elegante Struktur und stellen sich als deutlich simpler heraus, als die dazugehörigen Feynmangraphen vermuten lassen. Tatsächlich umgehen viele der zur Berechnung von Streuamplituden entwickelten Masseschalenmethoden die Feynmangraphen, indem sie vorrübergehend manifeste Unitarität und Lokalität aufgeben und dadurch die Rechnungen stark vereinfachen. Alle diese Entwicklungen suggerieren, dass der konventionelle Formalismus der Theorie mit Hilfe der Wirkung im Minkowskiraum nicht der aufschlussreichste oder effizienteste Weg ist, die Theorie zu untersuchen. Diese Arbeit untersucht der Hypothese, ob dass stattdessen Twistorvariablen besser geeignet sind, die Theorie zu beschreiben. Der Twistorformalismus wurde zuerst von Roger Penrose eingeführt. Auf dem klassischen Level ist die holomorphe Chern-Simonstheorie im Twistorraum äquivalent zur klassischen selbst-dualen Yang-Mills Lösung in der Raumzeit. Die volle Twistorwirkung, welche eine Störung um diesen klassisch integrablen Sektor ist und durch eine Eichbedingung auf die N=4 SYM Wirkung reduziert werden kann, produziert unter einer anderen Eichbedingung alle sogenannten maximalhelizitätsverletzenden (MHV) Amplituden auf Baumgraphenniveau. Durch die Einführung eines Twistorpropagators konnten auch NkMHV Amplituden effizient beschrieben werden. In dieser Arbeit erweitern wir den Twistorformalismus um auch Größen, die sich nicht auf den Masseschalen befinden, beschreiben zu können. Wir untersuchen alle lokalen eichinvarianten zusammengesetzten Operatoren im Twistorraum und zeigen, dass sie alle Baumgraphenniveau-Formfaktoren des sogenannten MHV-Typs erzeugen. Wir erweitern diese Methode zu NMHV und öher NkMHW Level in Anlehnung an die Amplituden. Schliess lich knüpfen wir an die Integrabilität an, indem wir den ein-Schleifen Dilatationsoperator in dem skalaren Sektor der Theorie im Twistorraum berechnen. / The Standard Model of particle physics has proven to be, with the exception of general relativity, the most accurate description of nature to this day. Perturbative calculations for certain quantities in Quantum Chromo Dynamics (QCD) have led to the highest precision predictions that have been experimentally verified. However, for certain sectors and energy regimes, perturbation theory breaks down and one must look for alternative methods. Much can be learned from studying a close cousin of the standard model, called planar N = 4 super Yang-Mills theory in four dimensions (N = 4 SYM), for which a lot of evidence exists that it admits exact solutions. This exact solvability is due to its quantum integrability, a hidden infinite symmetry algebra that greatly constrains the theory, which has led to a lot of progress in solving the spectral problem. Integrability aside, this non-Abelian quantum field theory is special in yet other ways. For example, it is the most well understood example of a gauge/gravity duality via the AdS/CFT correspondence. Furthermore, at tree level the scattering amplitudes in its gluon sector coincide with those of Quantum Chromo Dynamics. These scattering amplitudes exhibit a very elegant structure and are much simpler than the corresponding Feynman diagram calculation would suggest. Indeed, many on-shell methods that have been developed for computing these scattering amplitudes circumvent the tedious Feynman calculation, by giving up manifest unitarity and locality at intermediate stages of the calculation, greatly simplifying the work. All these developments suggest that the conventional way in which the theory is presented, i.e. in terms of the well- known action on Minkowski space, might not be the most revealing or in any case not the most efficient way. This thesis investigates whether instead twistor variables provide a more suitable description. The twistor formalism was first introduced by Roger Penrose. At the classical level, a holomorphic Chern-Simons theory on twistor space is equivalent to classically integrable self-dual Yang-Mills solutions in space-time. A quantum perturbation around this classically integrable sector reduces to the conventional N = 4 SYM action by imposing a partial gauge condition. This action generates all so-called maximally helicity violating (MHV) amplitudes at tree level directly, when a different gauge was chosen. By including a twistor propagator into the formalism, also higher degree NkMHV amplitudes can be described efficiently. In this thesis we extend this twistor formalism to encompass (partially) off-shell quantities. We describe all gauge-invariant local composite operators in twistor space and show that they immediately generate all tree-level form factors of the MHV type. We use the formalism to compute form factors at NMHV and higher NkMHV level in parallel to how this was done for amplitudes. Finally, we move on to integrability by computing the one-loop dilatation operator in the scalar sector of the theory in twistor space.

Cette thèse décrit quelques développements dans les techniques de calcul des amplitudes de diffusion en théorie supersymétrique de champ de jauge . L'accent est mis sur les relations de récurrence on-shell et sur l'utilisation de méthodes d'unitarité pour des calculs de boucle. En particulier, la récurrence on-shell est liée aux règles BCFW pour calculer les amplitudes de jauge au niveau des arbres. Les combinaisons de techniques de coupe d'unitarité et la récurrence sont utilisées pour calculer les amplitudes de boucle, et finalement, à partir des amplitudes, pour obtenir la fonction de corrélation énergie-énergie en théorie de super-Yang-Mills N = 4 à l'aide de la représentation de Mellin-Barnes. Dans le dernier chapitre, nous tentons de trouver un contour convergent pour les intégrales de Mellin Barnes en multi-dimension obtenu par une certaine approximation d'un contour de phase stationnaire.

Orientador: Marcos Benevenuto Jardim / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-19T09:52:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DeMartino_MarceloGoncalves_M.pdf: 1604556 bytes, checksum: be41ad6ca9fd66921624adce95bf0939 (MD5) Previous issue date: 2012 / Resumo: Este trabalho procurou apresentar os conhecimentos básicos necessários para trabalhar com a teoria de calibre em baixas dimensões e também mostrar algumas aplicações da mesma. Na parte básica da teoria, além de comentar aspectos da teoria de Hodge para variedades compactas, também se discute, com certo nível de detalhes, os conceitos de fibrados vetoriais e conexões, com ênfase dada para os cálculos locais com conexões e curvaturas. Duas aplicações mais concretas da teoria de calibre são apresentadas nesta dissertação. Primeiro, em dimensão quatro, discute-se a equação de Yang-Mills sobre 4-variedades e é apresentada uma solução para a equação anti-auto-dual, solução esta que é conhecida na literatura como ansatz de 't Hooft. Por fim, é apresentada a prova, baseado no artigo [DONALDSON, 1983], de um importante teorema devido a M. S. Narasimhan e C. S. Seshadri que relaciona os conceitos de estabilidade com o de existência de conexão unitária satisfazendo certa propriedade, em fibrados vetoriais complexos sobre superfícies de Riemann / Abstract: In this work it is developed the basic knowledge required to deal with gauge theory in low dimension and it is shown some applications of this theory. Regarding the basic knowledge, apart from discussing some aspects of Hodge theory over compact manifolds, it is also covered, with a certain deal of details, the concepts of vector bundles and connections, paying close attention to the local computations regarding connections and curvature. As for the applications of the theory, we start, in dimension four, by treating the Yang-Mills equation over 4-manifolds and it is showed a solution to the anti-self-dual Yang-Mills equation, solution that is known in the literature as the 't Hooft ansatz. At last, it is given a proof, following the paper [DONALDSON, 1983], of an important theorem due to M. S. Narasimhan and C. S. Seshadri that relates the algebro-geometric notion of stability to the differential-geometric notion of existence of unitary connection whose curvature satisfies a certain condition, on vector bundles over Riemann surfaces / Mestrado / Matematica / Mestre em Matemática

Inspired by problems in gauge field theory, this thesis is concerned with various aspects of infinite-dimensional differential geometry. In the first part, a local normal form theorem for smooth equivariant maps between tame Fréchet manifolds is established. Moreover, an elliptic version of this theorem is obtained. The proof these normal form results is inspired by the Lyapunov–Schmidt reduction for dynamical systems and by the Kuranishi method for moduli spaces, and uses a slice theorem for Fréchet manifolds as the main technical tool. As a consequence of this equivariant normal form theorem, the abstract moduli space obtained by factorizing a level set of the equivariant map with respect to the group action carries the structure of a Kuranishi space, i.e., such moduli spaces are locally modeled on the quotient by a compact group of the zero set of a smooth map. In the second part of the thesis, the theory of singular symplectic reduction is developed in the infinite-dimensional Fréchet setting. By refining the above construction, a normal form for momentum maps similar to the classical Marle–Guillemin–Sternberg normal form is established. Analogous to the reasoning in finite dimensions, this normal form result is then used to show that the reduced phase space decomposes into smooth manifolds each carrying a natural symplectic structure. Finally,the singular symplectic reduction scheme is further investigated in the situation where the original phase space is an infinite-dimensional cotangent bundle. The fibered structure of the cotangent bundle yields a refinement of the usual orbit-momentum type strata into so-called seams. Using a suitable normal form theorem, it is shown that these seams are manifolds. Taking the harmonic oscillator as an example, the influence of the singular seams on dynamics is illustrated. The general results stated above are applied to various gauge theory models. The moduli spaces of anti-self-dual connections in four dimensions and of Yang–Mills connections in two dimensions is studied. Moreover, the stratified structure of the reduced phase space of the Yang–Mills–Higgs theory is investigated in a Hamiltonian formulation after a (3 + 1)-splitting.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第20904号 / 理博第4356号 / 新制||理||1625(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科物理学・宇宙物理学専攻 / (主査)教授 杉本 茂樹, 教授 川合 光, 准教授 國友 浩 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

In dieser Arbeit berechnen wir die gravitativen Ein-Schleifen-Korrekturen zu den Propagatoren und Wechselwirkungen der Felder des Standardmodells der Elementarteilchenphysik. Wir betrachten hierzu ein höherdimensionales brane-world-Modell: Wärend die Gravitonen, die Austauchteilchen der Gravitationswechselwirkung, in der gesamten D-dimensionalen Raumzeit propagieren können, sind die Materiefelder an eine d-dimensionale Untermanigfaltigkeit (brane) gebunden. Um die divergenten Anteile der Ein-Schleifen-Diagramme zu bestimmen, entwickeln wir ein neues Regularisierungschema welches einerseits die Wardidentitäten der Yang-Mills-Theorie respektiert anderseits sensitiv für potenzartige Divergenzen ist. Wir berechnen die gravitativen Beiträge zu den beta-Funktionen der Yang-Mills-Eichtheorie, der quartischen Selbst-Wechselwirkung skalarer Felder und der Yukawa-Wechselwirkung zwischen Skalaren und Fermionen. Im physikalisch besonders interessanten Fall einer vier-dimensionalen Materie-brane verschwinden die gravitativen Beiträge zum Laufen der Yang-Mills-Kopplungskonstante. Die führenden Beiträge zum Laufen der anderen beiden Kopplungskonstanten sind positiv. Diese Ergebnisse sind unabhängig von der Anzahl der Extradimensionen in denen die Gravitonen propagieren können. Des Weiteren bestimmen wir alle gravitationsinduzierten Ein-Schleifen-Konterterme mit höheren kovarianten Ableitungen für skalare Felder, Dirac-Fermionen und Eichbosonen. Ein Vergleich dieser Konterterme mit den höheren Ableitungsoperatoren des Lee-Wick-Standardmodells zeigt, dass die Gravitationskorrekturen nicht auf letzte beschränkt sind. Eine Beziehung zwischen Quantengravitation und dem Lee-Wick-Standardmodell besteht somit nicht. / In this thesis, we derive the gravitational one-loop corrections to the propagators and interactions of the Standard Model field. We consider a higher dimensional brane world scenario: Here, gravitons can propagate in the whole D dimensional space-time whereas the matter fields are confined to a d dimensional sub-manifold (brane). In order to determine the divergent part of the one-loop diagrams, we develop a new regularisation scheme which is both sensitive for polynomial divergences and respects the Ward identities of the Yang-Mills theory. We calculate the gravitational contributions to the beta functions of non-Abelian gauge theories, the quartic scalar self-interaction and the Yukawa coupling between scalars and fermions. In the physically interesting case of a four dimensional matter brane, the gravitational contributions to the running of the Yang-Mills coupling constant vanish. The leading contributions to the other two couplings are positive. These results do not depend on the number of extra dimensions. We further compute the gravitationally induced one-loop counterterms with higher covariant derivatives for scalars, Dirac fermions and gauge bosons. In is shown that these counterterms do not coincide with the higher derivative terms in the Lee-Wick standard model. A possible connection between quantum gravity and the latter cannot be inferred.

Die Arbeit beschäftigt sich mit zwei Themen: den nichtkommutativen Yang-Mills-Theorien und der AdS/CFT-Korrespondenz. Im ersten Teil wird eine teilweise Aufsummation der theta-entwickelten Störungstheorie untersucht. Letztere stellt einen Weg dar, nichtkommutative Yang-Mills-Theorien mit beliebigen Eichgruppen G als Störungsentwicklung im Nichtkommutativitätsparameter theta zu definieren. Es wird gezeigt, daß man im Fall, daß G eine echte Untergruppe von U(N) ist, die ungleich einer U(M) ist (M / This thesis addresses two topics: noncommutative Yang-Mills theories and the AdS/CFT correspondence. In the first part we study a partial summation of the theta-expanded perturbation theory. The latter allows one to define noncommutative Yang-Mills theories with arbitrary gauge groups G as a perturbation expansion in the noncommutativity parameter theta. We show that for G being a subset of U(N) but not equal to U(M), M

Im ersten Teil dieser Dissertation untersuchen wir Formfaktoren von allgemeinen eichinvarianten lokalen zusammengesetzten Operatoren in der N=4 Super-Yang-Mills-Theorie bei verschiedenen Schleifenordnungen und Anzahlen externer Felder. Wir zeigen, wie Masseschalen-Methoden zu ihrer Berechnung genutzt werden können, und extrahieren aus ihnen insbesondere den Dilatationsoperator. Wir untersuchen auch die Eigenschaften der zugehörigen Rückstandsfunktionen. Des Weiteren verallgemeinern wir Masseschalen-Diagramme, Graßmann-Integrale und die integrabilitätsinspirierte Technik der R-Operatoren zur Anwendung auf Formfaktoren, wobei wir uns auf das Beispiel des chiralen Teils des Energie-Impuls-Tensors konzentrieren. Im zweiten Teil untersuchen wir die Beta- und die Gamma-i-Deformation. Bei diesen handelt es sich um die allgemeinste supersymmetrische beziehungsweise nicht-supersymmetrische feldtheoretische Deformation von N=4 Super-Yang-Mills-Theorie, welche auf der Ebene des asymptotischen Bethe-Ansatzes integrabel sind. Hierbei tritt ein neuer Effekt der endlichen Systemgröße auf, der durch Doppelspurstrukturen in der deformierten Lagrange-Dichte hervorgerufen wird und den wir Vorwickeln nennen. Während die Beta-Deformation für sich an ihren nicht-verschwindenden IR-Fixpunkten befindliche Doppelspurkopplungen konform invariant ist, weist die Gamma-i-Deformation rennende Doppelspurkopplungen ohne Fixpunkte auf, was die konforme Invarianz selbst im planaren Limes bricht. Nichtsdestotrotz erlaubt die Gamma-i-Deformation hochgradig nicht-triviale Tests der Integrabilität bei beliebig hohen Schleifenordnungen. / In the first part of this thesis, we study form factors of general gauge-invariant local composite operators in N=4 super Yang-Mills theory at various loop orders and for various numbers of external legs. We show how to use on-shell methods for their calculation and in particular extract the dilatation operator from the result. We also investigate the properties of the corresponding remainder functions. Moreover, we extend on-shell diagrams, a Graßmannian integral formulation and an integrability-based construction via R-operators to form factors, focussing on the chiral part of the stress-tensor supermultiplet as an example. In the second part, we study the beta- and the gamma-i-deformation, which were respectively shown to be the most general supersymmetric and non-supersymmetric field-theory deformations of N=4 super Yang-Mills theory that are integrable at the level of the asymptotic Bethe ansatz. For these theories, a new kind of finite-size effect occurs, which we call prewrapping and which emerges from double-trace structures that are required in the deformed Lagrangians. While the beta-deformation is conformal when the double-trace couplings are at their non-trivial IR fixed points, the gamma-i-deformation has running double-trace couplings without fixed points, which break conformal invariance even in the planar theory. Nevertheless, the gamma-i-deformation allows for highly non-trivial field-theoretic tests of integrability at arbitrarily high loop orders.

This thesis investigates the possibility that the gauge boson in a certain hypothetical SU(2) gauged sector can constitute all the non-baryonic dark matter. The gauge bosons acquire mass from the Higgs mechanism as in the Standard Model and scatter elastically among themselves non-gravitationally. It is expected that this self interaction of the dark gauge bosons would resolve the various discrepancies between the ΛCDM model and astrophysical observations on small (e.g. galactic or galaxy cluster) scales. Parameter space within the domain of validity of perturbation theory satisfying the constraints of dark matter abundance, the elastic self-scattering momentum transfer cross-section suggested by recent astrophysical observations, and consideration of the Big-Bang nucleosynthesis was found to be non-empty in the “forbidden” regime where the mass of the dark Higgs boson is greater than the mass of the dark gauge boson. / Graduate

In dieser Dissertationsschrift werden Amplituden in QFTs und CFTs studiert. Zunächst wird mittels der »double copy«-Methode gezeigt, inwiefern Integranden von Gravitationsamplituden aus Integranden von Eichtheorien gewonnen werden können. Um diese Methode anzuwenden, bedarf es einer konkreten Darstellung der Eichtheorieintegranden, sodass die kinematischen Faktoren des Integranden die gleichen algebraischen Relationen erfüllen wie die Strukturkonstanten der Eichtheorie. Mithilfe dieser Methode werden Vierpunktsamplituden in N = 0 Supergravitation gekoppelt mit Yang-Mills in erster Ordnung der Störungsreihe berechnet, welche als asymptotische Zustände Gravitonen oder Gluonen positiver Helizität enthalten. Das Analogon der Amplituden in konform invarianten Theorien, genannt Mellinamplituden, wird anschließend im zweiten Teil diskutiert. Nicht nur durch ihre Beschreibung als Funktionen »lorentzinvarianter« Variablen, welche durch eine Art »LSZ-Reduktion« gewonnen werden, weisen Mellinamplituden eine formal heuristische Ähnlichkeit zu Amplituden auf, sondern auch können alle physikalischen Größen einer CFT aus ihnen berechnet werden. D.h., ebenso wie Amplituden einen Streuprozess vollständig charakterisieren, ist eine CFT eindeutig über ihre Mellinamplituden festgelegt. Fermionische Mellinamplituden wurden zum ersten Mal, in der Veröffentlichung worauf diese Dissertationsschrift basiert, studiert. Jede Komponente der fermionischen Mellinamplituden ist einer bestimmen Tensorstruktur zugeordnet, deren Polstruktur im einzelnen diskutiert wird. Es werden die analytische Eigenschaften der fermionischen Mellinamplituden der gemischten Vierpunktskorrelationsfunktion von zwei Fermionen und Skalaren, sowie von vier Fermionen studiert und darauffolgend werden diese Resultate durch störungstheoretische Rechnungen bei schwacher und starker Kopplung bestätigt. / In this thesis, amplitudes in QFT and CFT are studied. In the first chapter a modern technique to obtain integrands for gravity theories from gauge theory integrands is discussed. This formalism is called the doubly copy method and it can be applied if the gauge theory integrand is given in a specific representation where the kinematic numerator factors obey the same algebraic relations as the colour factors, e.g. the Jacobi identity. This method is applied to obtain the positive helicity sector of amplitudes in N = 0 supergravity coupled to Yang-Mills with external gravitons and gluons at one loop. Only the special case of four external particles is studied. Partial results are also obtained for pure Einstein-Yang-Mills amplitudes, where the axion and dilaton as virtual particles have been removed. In the second chapter, the natural analogue of amplitudes in CFTs is studied. These mathematical objects are called Mellin amplitudes. Mellin amplitudes can be understood as the CFT analogue of QFT amplitudes, because they are functions of “Lorentz invariant” quantities of their “momenta”. In addition all the CFT data is encoded in the Mellin amplitudes as all the data of a scattering process is included in usual amplitudes. The study of fermionic Mellin amplitudes has been carried out for the first time in the associated publication. These Mellin amplitudes have several components each associated to a certain tensor structure. The analytic properties of fermionic Mellin amplitudes corresponding to mixed four fermion-scalar conformal correlators and four fermion conformal correlators are deduced and finally these general results are confirmed by explicit perturbative calculations at weak and strong coupling.