La Géométrie vue à la fin du 19eme. siècle par Félix Klein et Sophus Lie consiste à envisager l'action d'un groupe sur un espace. En termes contemporains on a ainsi un groupoïde de transformation. Une version non commutative de ce point de vue consiste à remplacer tout espace par une algèbre de fonctions sur celui ci, et considérer certaines algèbres comme celles des fonctions sur un espace quantique. <br />Ainsi toute algèbre de von Neumann peut-elle être considérée comme une "algèbre de fonctions mesurables essentiellement bornées sur un espace quantique mesuré" et toute C*-algèbre, comme une "algèbre de fonctions continues sur un espace quantique localement compact". Un groupe est un espace ayant une structure supplémentaire, l'algèbre associée est une bigèbre, plus précisément une algèbre de Hopf.<br />Ma thèse a porté sur les C*- algèbres de Hopf donc sur les groupes quantiques topologiques localement compacts. il s'agissait de transcrire aux C*-algèbres les précédants travaux sur les <br />algèbres de Hopf von Neumann. Nous avons ensuite avec Michel Enock généralisé, à ce cadre non commutatif, un théorème d'André Weil montrant que pour un groupe, la donnée d'une classe de mesures invariantes ou une topologie localement compacte et compatible sont équivalentes.<br />Dans le cas des groupes quantiques, Saad Baaj et Georges Skandalis avaient montré que l'essentiel de la structure est contenu dans un unique opérateur, appelé "unitaire multiplicatif", connu et étudié depuis des décennies dans le cas des groupes localement compacts. J'ai d'abord montré une généralisation de ce résultat au cas des groupoïdes, et dégagé un unique opérateur qui contient l'essentiel de la structure du groupoide, que j'ai appelé "unitaire pseudo-multiplicatif", et qui généralise l'unitaire multiplicatif associé aux groupes topologiques localement compacts.<br />Dans l'article suivant avec M.Enock, portant sur les inclusions de profondeur deux d'algèbres de von Neumann, nous avons mis en lumière un "unitaire pseudo-multiplicatif" plus général, qui prolonge la notion de Baaj-Skandalis, et engendre donc ce qu'on peut appeler un groupoide quantique. Il s'agissait ainsi d'appréhender ces inclusions dans les termes de la Géométrie non commutative.<br />Mes travaux actuels portent sur ces groupoïdes quantiques en dimension finie avec pour objectif, entre autres, de les caractériser en tant qu'algèbres d'opérateurs sur un espace hilbertien de dimension finie. Un premier article en ce sens a été publié, un second est en préparation.

Les algèbres amassées sont des classes d'algèbres introduites dans les annés 2000 par Sergey Fomin et Andrei Zelevinsky, dans leurs recherches sur les bases canoniques duales et la positivité totale dans les groupes semi-simples (voir [FZ02] et [FZ03]). Il est possible de les étudier de façon combinatoire, en les illustrant par des carquois sans boucle, ni deux-cycles. Dans ce travail, nous introduirons d'abord les notions d'algèbres amassées et de carquois. Puis, nous nous servirons des carquois pour introduire et étudier les suites maximales de mutations vertes. Plus précisément, dans la dernière partie du travail, il sera question de l'existence des suites maximales vertes dans les carquois acycliques à trois points.

Le but de cette thèse est de définir un objet géométrique associé aux algèbres de Lie (2k+1)-graduées. Dans le cas d'une algèbre de Lie $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, l'objet géométrique associé est un espace symétrique G/H et l'objet infinitésimal associé est un système triple de Lie. Dans le cas où notre algèbre de Lie est 3-graduée, alors l'objet géométrique associé est une géométrie projective généralisée et l'objet infinitésimal correspondant est une paire de Jordan. Dans le cas général, nous appellerons cet objet géométrique une géométrie de drapeaux généralisée. La construction de cet objet est basée sur la notion de groupe projectif élémentaire et de complétion projective introduite par O. Loos et reprise par J.R. Faulkner. Ensuite, en utilisant la notion de filtration d'une algèbre de Lie, on arrive à réaliser la géométrie de drapeaux généralisée comme orbites sous le groupe projectif élémentaire de deux filtrations canoniques, associées à la graduation de l'algèbre de Lie. Dans le cas particulier de l'agèbre de Lie $\mathfrak{g}=End_R(V)$, des endomorphismes d'un module $V$ sur une algèbre associative $R$, alors la géométrie de drapeaux généralisée se réalise comme orbites de drapeaux de $V$; ce qui justifie le nom choisi de "géométrie de drapeaux généralisée". Enfin, dans un dernier temps, en utilisant un calcul différentiel généralisé, on peut construire sur la géométrie de drapeaux généralisée une structure de variété différentiable. / The goal of this thesis is to define a geometric objet associated to graded Lie algebras. In the case of a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ graded Lie algebra, this object is a symmetric space G/H and the infinitesimal object associated is a Lie triple system. If the Lie algebra is 3-graded, the geometry is called a generalized projective geometry and the infinitesimal object is a Jordan pair. In the general case, the geometric object will be called a generalized flag geometry. Its contruction needs the notions of elementary projective group and projective completion, definied by O. Loos and used by J. R. Faulkner. Then, by the notion of filtrations of a Lie algebras, a realization of the generalized flag geometry of a graded Lie algebra can be done as orbits under the elementary projective group of two natural filtrations, associated to the graduation. In the example $\mathfrak{g}=End_R(V)$, consisting of the endomorphisms of a module $V$ on a assocative algebra $R$, then the generalized flag geometry is realized like orbits of flags of $V$; so, it justifies the chosen name: "generalized flag geometry". To finish, using a generalized differential calculus, we can construct on this generalized flag geometry a structure of smooth manifold

Dans cette thèse, nous donnons des méthodes directes pour calculer l'homologie et la cohomologie simplicielle de quelques algèbres de Banach, sans passer par le monde cyclique. On donne deux méthodes pour l'algèbre d'un semi-groupe semitreillis, chapitres 3 et 4. Ces deux méthodes sont développées, dans les chapitres 5 et 6, pour les semi-groupes bandes. Ainsi, on obtient deux méthodes directes pour déterminer l'homologie et la cohomologie des semi-groupes bandes. Au chapitre 7, on donne une formule explicite d'homotopie de l1(Z+). On termine avec le chapitre 8, qui porte sur l'algèbre d'un semi-groupe de Cuntz, dans lequel on utilise, en particulier, une application inspirée du chapitre 7.

On étudie dans cette thèse les coefficients de structure et particulièrement leurs dépendancesen n dans le cadre d’une suite des algèbres de doubles-classes. Le premier chapitre est dédié à l’étude des coefficients de structure dans le cas général des centres d’algèbres de groupes finis et des algèbres de doubles-classes. On rappelle dans ce chapitre la théorie des représentationsdes groupes finiset son lien avec les coefficients de structure. On montre que l’étude des coefficients de structure des algèbres de doubles-classes est reliéeà la théorie des paires de Gelfand et auxfonctions sphériques zonales en donnant un théorème similaireà celui de Frobenius. Ce théorème exprime les coefficients de structure d’une algèbre de doubles-classes associée à une paire de Gelfand en fonction des fonctions sphériques zonales. Dans le deuxième chapitre, on rappellele théorème de Farahat et Higmann autour de la propriété de polynomialité des coefficients de structure du centre de l’algèbre du groupe symétriqueainsi que la preuve d’Ivanov et Kerov. On donne une preuvecombinatoire pour lapropriété de polynomialité des coefficients de structure de l’algèbre de Hecke de la paire (S2n, Bn) dans le troisième chapitre. On utilise dans notre preuve une algèbre universelle qui se projette sur l’algèbre de Hecke de la paire (S2n, Bn) pour tout n. On montre aussi que cette algèbre universelle est isomorphe à l’algèbre fonctions symétriques décalées d’ordre 2. Dans le dernier chapitre on présente un cadre général pour la forme des coefficients de structure dans le cas d’une suite des algèbres de doubles-classes.Ce cadre regroupe les propriétés de polynomialité des coefficients de structure du centre de l’algèbre du groupe symétrique et de l’algèbre de Hecke de la paire (S2n, Bn).De plus, on donne des propriétés de polynomialité pour les coefficients de structure du centre de l’algèbre du groupe hypéroctaédral et de l’algèbre de doubles-classes de diag (Sn-1) dans Sn x Sopp n-1. / In this thesis we studied the structure coefficients and especially their dependence on n in the case of a sequence of double-class algebras. The first chapter is dedicated to the study of the structure coefficients in the general cases of centers of group algebras and double-class algebras. We recall in it the representation theory of finite groups and its link with structure coefficients. We show also that the study of the structure coefficients of double-class algebras is related to the theory of Gelfand pairs and zonal spherical functions by giving, in the case of Gelfand pairs, a theorem similar to that of Frobenius which writes the structure coefficients of the double-class algebra associated to a Gelfand pair in terms of zonal spherical functions. In the second chapter, we recall the Farahat and Higman's theorem about the polynomiality of the structure coefficients of the center of the symmetric group algebra as well as the Ivanov and Kerov's approach to prove this theorem. We give a combinatorial proof to the polynomiality property of the structure coefficients of the Hecke algebra of thepair (S2n, Bn) in the third chapter. Our proof uses a universal algebra which projects on the Hecke algebra of (S2n, Bn) for each n. We show that this universal algebra is isomorphic to the algebra of 2-shifted symmetric functions. In the fourth and last chapter we build a general framework which gives us the form of the structure coefficients in the case of a sequence of double-class algebras. This framework implies the polynomiality property of the structure coefficients of both the center of the symmetric group algebra and the Hecke algebra of (S2n, Bn). In addition, we give a polynomiality property for the structure coefficients of both the center of the hyperoctahedral group algebra and the double-class algebra of diag (Sn-1) in Sn x Sopp n-1.

Les algèbres de Lie ont été introduites vers la fin du XIXème siècle afin d'étudier certains problèmes de nature géométrique. Dans un soucis de classification de ces objets, les algèbres de Lie semi-simples se sont vues conférer un rôle important. Les algèbres de Lie symétriques sont, elles, une généralisation des algèbres de Lie. De plus, il existe une correspondance bijective entre les algèbres de Lie réelles et les algèbres de Lie symétriques complexes, ce qui renforce l'intérêt porté à ces dernières. Un second niveau de structure des algèbre de Lie (semi-simples complexe) joue un rôle important. Il s'agit de considérer l'algèbre de Lie g comme une G-variété où G est le groupe algébrique adjoint de g opérant via l'action adjointe sur g. Il s'avère alors utile d'étudier ceci dans le cadre de la géométrie algébrique. Les propriétés géométriques de certaines variétés issues des algèbres de Lie ont alors pu être étudiées. D'un point de vue général, ce travail consiste à généraliser et comprendre les propriétés de variétés analogues dans les algèbres de Lie symétriques.

Les travaux récents de Bezrukavnikov, Mirkovic et Rumynin obtiennent une bonne théorie de la localisation des Ug-modules en caractéristique positive (où g est l'algèbre de Lie d'un groupe algébrique semi-simple connexe et simplement connexe), qui donne lieu à des équivalences de catégories dérivées entre des catégories de g-modules et des catégories de faisceaux cohérents sur la variété de Springer. Dans cette thèse, on applique et étend certains résultats de cette theorie. Dans le chapitre II, on donne une construction géométrique d'une action du groupe de tresses affine étendu apparaissant dans la théorie de la localisation. Le chapitre III contient les résultats principaux de la thèse : on y développe une version appropriée d'une « dualité de Koszul linéaire », qui permet de démontrer que certains blocs de Ug peuvent être munis d'une graduation de Koszul, si la caractéristique du corps est suffisamment grande. Ceci généralise des résultats antérieurs de Andersen, Jantzen et Soergel. Dans le chapitre IV, en collaboration avec Mirkovic, on reprend la « dualité de Koszul linéaire », sous une forme un peu différente, valable dans un cadre plus général. Enfin, le chapitre I (en collaboration avec Roman Bezrukavnikov) donne des calculs explicites dans le cas de SL(3) qui ont été le point de départ de ce travail.

Cette habilitation est consacrée aux structures algébriques intervenant dans les systèmes uni- et bi-dimensionnels étudiés en physique. Nous y montrons comment ces structures peuvent être utilisées pour obtenir une meilleure compréhension des systèmes physiques qu'elles sous-tendent. Nous y décrivons aussi certains de leurs aspects mathématiques.<br /><br />Quatre parties composent cette présentation. Elles décrivent différents domaines de la physique que j'ai étudiés, et dans lesquels les cadres algébriques peuvent s'appliquer, à savoir:<br /><br />- Les théories conformes à deux dimensions, en particulier les algèbres W. Nous présentons la classification de ces dernières et leur quantification en cohomologie BRS.<br /><br />- Les algèbres W finies et leur application en physique (anyons et leurs généralisations) et en mathématique (représentations des algèbres de Lie).<br /><br />- Les structures d'algèbres de Hopf et leur généralisation dynamique, cadre mathématique utilisé dans la partie suivante.<br /><br />- Les systèmes intégrables, avec deux éclairages différents. D'une part, les chaînes de spins, qui décrivent des modèles unidimensionnels de spins en interaction. Nous parlerons des systèmes périodiques, et des systèmes avec bords. D'autre part, les systèmes intégrables en théorie des champs, avec une attention particulière aux systèmes avec bord ou avec impureté.

Soient g une k-algèbre de Lie, U(g) son algèbre enveloppante, K(g) le corps des fractions de U(g). L'objet de cette thèse est d'étudier des propriétés algébriques du corps gauche K(g) dans les deux cas suivants : d'une part si k est de caractéristique 0 et g est de dimension infinie ; d'autre part si k est de caractéristique positive et g est de dimension finie.<br /><br />On suppose k de caractéristique nulle. On définit d'abord la notion de "degré de transcendance de niveau q" pour les algèbres de Poisson. Cette notion est introduite à partir de la notion de dimension de niveau q définie par V. Pétrogradsky pour les algèbres associatives et les algèbres de Lie. On démontre, sous des hypothèses peu restrictives sur g, que le degré de transcendance de niveau q+1 de K(g) est égal à la dimension de niveau q de g.<br /><br />On s'attache ensuite à l'étude de la famille des algèbres de type Witt définies par R. Yu. On construit ainsi des familles infinies de corps gauches deux à deux non isomorphes mais de même degré de transcendance de niveau 3 donné. On étudie aussi la question des centralisateurs dans les corps enveloppants des parties positives des algèbres de type Witt. On établit en particulier le résultat suivant : il existe des algèbres de Lie non commutatives de dimension infinie g telles que le premier corps de Weyl ne se plonge pas dans K(g).<br /><br />Supposons maintenant k de caractéristique p>0. On étudie le cas particuliers des algèbres de Lie suivantes : les algèbres gl(n) ; les algèbres sl(n) lorsque p ne divise pas n ; l'algèbre de Witt modulaire W(1) et une sous-algèbre P de l'algèbre de Witt W(2) (s'identifiant à un produit tensoriel de l'algèbre de Lie W(1) avec une algèbre associative de polynômes tronqués). Dans tous les cas, on démontre que le corps enveloppant est isomorphe à un corps de Weyl. Pour les algèbres W(1) et P, on démontre en outre que le centre de l'algèbre enveloppante est un anneau factoriel, en accord avec une conjecture récente de A. Braun et C. Hajarnavis.

Nous comparons les bases canoniques d'espaces de Fock de niveau supé\-rieur. Nous donnons une variante de l'algorithme de Leclerc-Thibon pour les calculer. Nous donnons une expression de la dérivée à q=1 des matrices de transition de ces bases ; par analogie avec la formule sommatoire de Jantzen, nous posons une conjecture pour les matrices de décomposition des v-algèbres de Schur cyclotomiques.