This thesis is devoted to the study of mixed norm spaces that arise in connection with embeddings of Sobolev and Besov type spaces. The work in this direction originates in a paper due to Gagliardo (1958), and was continued by Fournier (1988) and by Kolyada (2005). We consider fully anisotropic mixed norm spaces. Our main theorem states an embedding of these spaces into Lorentz spaces. Applying this result, we obtain sharp embedding theorems for anisotropic fractional Sobolev spaces and anisotropic Sobolev-Besov spaces. The methods used are based on non-increasing rearrangements and on estimates of sections of functions and sections of sets. We also study limiting relations between embeddings of spaces of different type. More exactly, mixed norm estimates enable us to get embedding constants with sharp asymptotic behaviour. This gives an extension of the results obtained for isotropic Besov spaces $B_p^\alpha$ by Bourgain, Brezis, and Mironescu, and for Besov spaces $B^{\alpha_1,\dots,\alpha_n}_p$ by Kolyada. We study also some basic properties (in particular the approximation properties) of special weak type spaces that play an important role in the construction of mixed norm spaces and in the description of Sobolev type embeddings.

Esta tese analisa o método de colocação polinomial, para uma classe de equações integro-diferenciais singulares em espaços ponderados de funções contínuas e condições de fronteira não nulas. A convergência do método numérico em espaços com norma uniforme ponderada, é demonstrada, e taxas de convergências são determinadas, usando a suavidade dos dados das funções envolvidas no problema. Exemplos numéricos confirmam as estimativas / This thesis analyses the polynomial collocation method, for a class of singular integro-differential equations in weighted spaces of continuous functions, and non-homogeneous boundary conditions. Convergence of the numerical method, in weighted uniform norm spaces, is demonstrated and convergence rates are determined using the smoothness of the data functions involved in problem. Numerical examples confirm the estimates

Ce travail, à la frontière de l’analyse et des probabilités, s’intéresse à l’étude de systèmes différentiels a priori mal posés. Nous cherchons, grâce à des techniques issues de la théorie des chemins rugueux et de l’étude trajectorielle des processus stochastiques, à donner un sens à de tels systèmes puis à les résoudre, tout en montrant que les notions proposées ici étendent bien les notions classiques de solutions. Cette thèse se décompose en trois chapitres. Le premier traite des systèmes différentiels ordinaires perturbés additivement par des processus irréguliers éventuellement stochastiques ainsi que des effets de régularisation de tels processus. Le deuxième chapitre concerne l’équation de transport linéaire perturbée multiplicativement par des chemins rugueux ; enfin, le dernier chapitre s’intéresse à une équation de la chaleur non linéaire perturbée par un bruit blanc espace-temps, l’équation de quantisation stochastique phi4 en dimension 3. / In this work we investigate a priori ill-posed differential systems from an analytic and probabilistic point of view. Thanks to technics inspired by the rough path theory and pathwise study of stochastic processes, we want to define those ill-posed systems and then study them. The first chapter of this thesis is related to ordinary differential equations perturbed by some irregular (stochastic) processes and the effects induced by the regularization of such processes. The second chapter deals with the linear transport equation multiplicatively perturbed by a rough path. Finally, in the last chapter we investigate the stochastic quantization equation Phi4 in three dimensions.

L'objet de cette thèse est d'étudier divers problèmes de statistique non-paramétrique dans le cadre d'un modèle d'interactions poissoniennes. De tels modèles sont, par exemple, utilisés en neurosciences pour analyser les interactions entre deux neurones au travers leur émission de potentiels d'action au cours de l'enregistrement de l'activité cérébrale ou encore en génomique pour étudier les distances favorisées ou évitées entre deux motifs le long du génome. Dans ce cadre, nous introduisons une fonction dite de reproduction qui permet de quantifier les positions préférentielles des motifs et qui peut être modélisée par l'intensité d'un processus de Poisson. Dans un premier temps, nous nous intéressons à l'estimation de cette fonction que l'on suppose très localisée. Nous proposons une procédure d'estimation adaptative par seuillage de coefficients d'ondelettes qui est optimale des points de vue oracle et minimax. Des simulations et une application en génomique sur des données réelles provenant de la bactérie E. coli nous permettent de montrer le bon comportement pratique de notre procédure. Puis, nous traitons les problèmes de test associés qui consistent à tester la nullité de la fonction de reproduction. Pour cela, nous construisons une procédure de test optimale du point de vue minimax sur des espaces de Besov faibles, qui a également montré ses performances du point de vue pratique. Enfin, nous prolongeons ces travaux par l'étude d'une version discrète en grande dimension du modèle précédent en proposant une procédure adaptative de type Lasso. / The subject of this thesis is the study of some adaptive nonparametric statistical problems in the framework of a Poisson interactions model. Such models are used, for instance, in neurosciences to analyze interactions between two neurons through their spikes emission during the recording of the brain activity or in genomics to study favored or avoided distances between two motifs along a genome. In this setting, we naturally introduce a so-called reproduction function that allows to quantify the favored positions of the motifs and which is considered as the intensity of a Poisson process. Our first interest is the estimation of this function assumed to be well localized. We propose a data-driven wavelet thresholding estimation procedure that is optimal from oracle and minimax points of view. Simulations and an application to genomic data from the bacterium E. coli allow us to show the good practical behavior of our procedure. Then, we deal with associated problems on tests which consist in testing the nullity of the reproduction function. For this purpose, we build a minimax optimal testing procedure on weak Besov spaces and we provide some simulations showing good practical performances of our procedure. Finally, we extend this work with the study of a high-dimensional discrete setting of our previous model by proposing an adaptive Lasso-type procedure.

Ce mémoire est consacré à des résultats d'analyse harmonique réelle dans des cadres géométriques discrets (graphes) ou continus (groupes de Lie).Soit $\Gamma$ un graphe (ensemble de sommets et d'arêtes) muni d'un laplacien discret $\Delta=I-P$, où $P$ est un opérateur de Markov.Sous des hypothèses géométriques convenables sur $\Gamma$, nous montrons la continuité $L^p$ de fonctionnelles de Littlewood-Paley fractionnaires. Nous introduisons des espaces de Hardy $H^1$ de fonctions et de $1$-formes différentielles sur $\Gamma$, dont nous donnons plusieurs caractérisations, en supposant seulement la propriété de doublement pour le volume des boules de $\Gamma$. Nous en déduisons la continuité de la transformée de Riesz sur $H^1$. En supposant de plus des estimations supérieures ponctuelles (gaussiennes ou sous-gaussiennes) sur les itérées du noyau de l'opérateur $P$, nous obtenons aussi la continuité de la transformée de Riesz sur $L^p$ pour $1<p<2$.Nous considérons également l'espace de Besov $B^{p,q}_\alpha(G)$ sur un groupe de Lie unimodulaire $G$ muni d'un sous-laplacien $\Delta$. En utilisant des estimations du noyau de la chaleur associé à $\Delta$, nous donnons plusieurs caractérisations des espaces de Besov, et montrons une propriété d'algèbre pour $B^{p,q}_\alpha(G) \cap L^\infty(G)$, pour $\alpha>0$, $1\leq p\leq+\infty$ et $1\leq q\leq +\infty$. Les résultats sont valables en croissance polynomiale ou exponentielle du volume des boules. / This thesis is devoted to results in real harmonic analysis in discrete (graphs) or continuous (Lie groups) geometric contexts.Let $\Gamma$ be a graph (a set of vertices and edges) equipped with a discrete laplacian $\Delta=I-P$, where $P$ is a Markov operator.Under suitable geometric assumptions on $\Gamma$, we show the $L^p$ boundedness of fractional Littlewood-Paley functionals. We introduce $H^1$ Hardy spaces of functions and of $1$-differential forms on $\Gamma$, giving several characterizations of these spaces, only assuming the doubling property for the volumes of balls in $\Gamma$. As a consequence, we derive the $H^1$ boundedness of the Riesz transform. Assuming furthermore pointwise upper bounds for the kernel (Gaussian of subgaussian upper bounds) on the iterates of the kernel of $P$, we also establish the $L^p$ boundedness of the Riesz transform for $1<p<2$.We also consider the Besov space $B^{p,q}_\alpha(G)$ on a unimodular Lie group $G$ equipped with a sublaplacian $\Delta$.Using estimates of the heat kernel associated with $\Delta$, we give several characterizations of Besov spaces, and show an algebra property for $B^{p,q}_\alpha(G) \cap L^\infty(G)$ for $\alpha>0$, $1\leq p\leq+\infty$ and $1\leq q\leq +\infty$.These results hold for polynomial as well as for exponential volume growth of balls.

Dans le cadre de cette thèse, on s'intéresse à la dynamique de quelques fluides complexes. D'une part on étudie la dynamique des cristaux liquides nématiques, en utilisant les modèles proposés par Ericksen et Leslie, Beris et Edwards, Qian et Sheng. D'autre part, on analyse un fluide complexe dont la dynamique dépend de la température et qui est modélisée par le système de Boussinesq. Les cristaux liquides sont des matériaux avec une phase de la matière intermédiaire entre les liquides et les solides qui sont des phases plus connues. Dans cette thèse, on s'intéresse à l'étude du problème de Cauchy associé à chaque système modélisant leurs hydrodynamiques. Tout d'abord on obtient des résultats d'existence et d'unicité de solutions faibles ou classiques, solutions qui sont globales en temps. Ensuite, on analyse la propagation de la régularité des données initiales pour ces solutions. Le cadre fonctionnel adopté pour les données initiales est celui des espaces de Besov homogènes, généralisant des classes d'espaces mieux connues : les espaces de Soboloev homogènes et les espaces de Hölder. Le système Ericksen-Leslie est considéré dans la version simplifiée proposée par F. Lin et C. Liu, version qui préserve les principales difficultés du système initial. On étudie ce problème en dimension supérieure ou égale à deux. On considère le système dans le cas inhomogène, c'est-à dire avec une densité variable. De plus, on s'intéresse au cas d'une densité de faible régularité qui est autorisée à présenter des discontinuités. Donc, le résultat que l'on démontre peut être mis en relation avec la dynamique des mélanges de nématiques non miscibles. On démontre l'existence globale en temps de solutions faibles de régularité invariante par changement d'échelle, en supposant une condition de petitesse sur les données initiales dans des espaces de Besov critiques. On démontre aussi l'unicité de ces solutions si de plus on suppose une condition supplémentaire de régularité pour les données initiales. Le système Beris-Edwards est analysé dans le cas bidimensionnel. On obtient l'existence et l'unicité de solutions faibles globales en temps, lorsque les données initiales sont dans des espaces de Sobolev spécifiques (sans condition de petitesse). Le niveau de régularité de ces espaces fonctionnels est adapté pour bien définir les solutions faibles. L'unicité est une question délicate et demande une estimation doublement logarithmique pour une norme sur la différence entre deux solutions dans un espace de Banach convenable. Le lemme d'Osgood permet alors de conclure à l'unicité de la solution. On obtient également un résultat de propagation de régularité d'indice positif. Afin de prendre en compte l'inertie des molécules, on considère aussi le modèle proposé par Qian et Sheng, et on étudie le cas de la dimension supérieure ou égale à deux. Ce système montre une caractéristique structurale spécifique, plus précisément la présence d'un terme inertiel, ce qui génère des difficultés significatives. On démontre l'existence d'une fonctionnelle de Lyapunov et l'existence et l'unicité de solutions classiques globales en temps, en considérant des données initiales petites. Enfin, on analyse le système de Boussinesq et on montre l'existence et l'unicité de solutions globales en temps. On considère la viscosité en fonction de la température en supposant simplement que la température initiale soit bornée, tandis que la vitesse initiale est dans des espaces de Besov avec indice de régularité critique. Les données initiales ont une composante verticale grande et satisfont à une condition de petitesse spécifique sur les composantes horizontales: elles doivent être exponentiellement petites par rapport à la composante verticale. / The present thesis is devoted to the dynamics of specific complex fluids. On the one hand we studythe dynamics of the so-called nematic liquid crystals, through the models proposed by Ericksen and Leslie, Beris and Edwards, Qian and Sheng.On the other hand we analyze the dynamics of a temperature-dependent complex fluid, whose dynamics is governed by the Boussinesq system.Nematic liquid crystals are materials exhibiting a state of matter between an ordinary fluid and a solid. In this thesis we are interested in studying the Cauchy problem associated to eachsystem modelling their hydrodynamics. At first, we establish some well-posedness results, such asexistence and uniqueness of global-in-time weak or classical solutions. Moreover we also analyzesome dynamical behaviours of these solutions, such as propagations of both higher and lowerregularities.The general framework for the initial data is that of Besov spaces, which extend the most widelyknown classes of Sobolev and Hölder spaces.The Ericksen-Leslie system is studied in a simplified form proposed by F. Lin and C. Liu,which retains the main difficulties of the original one. We consider both a two-dimensional and athree-dimensional space-domain. We assume the density to be no constant, i.e. the inhomogeneouscase, moreover we allow it to present discontinuities along an interface so that we can describe amixture of liquid crystal materials with different densities. We prove the existence of global-in-timeweak solutions under smallness conditions on the initial data in critical homogeneous Besov spaces.These solutions are invariant under the scaling behaviour of the system. We also show that theuniqueness holds under a tiny extra-regularity for the initial data.The Beris-Edwards system is analyzed in a two-dimensional space-domain. We achieve existenceand uniqueness of global-in-time weak solutions when the initial data belongs to specific Sobolevspaces (without any smallness condition). The regularity of these functional spaces is suitable inorder to well define a weak solution. We achieve the uniqueness result through a specific analysis,controlling the norm of the difference between to weak solutions and performing a delicate doublelogarithmicestimate. Then, the uniqueness holds thanks to the Osgood lemma. We also achieve aresult about regularity propagation.The Qian-Sheng model is analyzed in a space-domain with dimension greater or equal than two.In this case, we emphasize some important characteristics of the system, especially the presence ofan inertial term, which generates significant difficulties. We perform the existence of a Lyapunovfunctional and the existence and uniqueness of classical solutions under a smallness condition forthe initial data.Finally we deal with the well-posedness of the Boussinesq system. We prove the existence ofglobal-in-time weak solutions when the space-domain has a dimension greater or equal than two.We deal with the case of a viscosity dependent on the temperature. The initial temperature is justsupposed to be bounded, while the initial velocity belongs to some critical Besov Space. The initialdata have a large vertical component while the horizontal components fulfil a specific smallnessconditions: they are exponentially smaller than the vertical component.

In this work we study several important properties of the 2-microlocal Besov and Triebel-Lizorkin spaces with variable integrability. Due to the richness of the weight sequence used to measure smoothness, this scale of function spaces incorporates a wide range of function spaces, of which we mention the spaces with variable smoothness. Within the existing characterizations of these spaces, the characterization via smooth atoms is undoubtedly one of the most used when it comes to obtain new results in varied directions. In this work we make use of such characterization to prove several embedding results, such as Sobolev, Franke and Jawerth embeddings, and also to study traces on hyperplanes. Despite the considerable benefits of resorting on the smooth atomic decomposition, there are still some limitations when one tries to use it in order to prove some specific results, such as pointwise multipliers and diffeomorphisms assertions. The non-smooth atomic characterization proved in this work overcome these problems, due to the weaker conditions of the (non-smooth) atoms. Moreover, it also allows us to give an intrinsic characterization of the 2-microlocal Besov and Triebel-Lizorkin spaces with variable integrability on the class of regular domains, in which connected bounded Lipschitz domains are included. / In dieser Arbeit untersuchen wir einige wichtige Eigenschaften der 2-microlokalen Besov und Triebel-Lizorkin Räume mit variabler Integrabilität. Weil die Glattheit hier mit einer reicher Gewichtsfolge gemessen wird, beinhaltet diese Skala von Funktionsräumen eine große Anzahl von Funktionsräumen, von denen wir die Räume mit variabler Glattheit erwähnen. Innerhalb der vorhandenen Charakterisierungen dieser Räume ist die Charakterisierung mit glatten Atomen zweifellos eine der am häufigsten verwendeten, um neue Ergebnisse in verschiedenen Richtungen zu erhalten. In dieser Arbeit verwenden wir eine solche Charakterisierung, um mehrere Einbettungsergebnisse zu bewiesen, wie Sobolev-Einbettungen und Einbettungen vom Franke-Jawerth Typ, und auch Spurresultate zu untersuchen. Trotz der beträchtlichen Vorteile des Rückgriffs auf die glatte Atomaren-Zerlegung gibt es immer noch einige Einschränkungen, wenn man versucht, sie zu verwenden, um einige spezifische Ergebnisse zu beweisen, wie beispielsweise punktweise Multiplikatoren und Diffeomorphismen-Assertionen. Die nichtglatte atomare Charakterisierung, die wir in dieser Arbeit beweisen, überwindet diese Probleme aufgrund der schwächeren Bedingungen von (nichtglatten) Atomen. Außerdem erlaubt es uns, eine Intrinsische Charakterisierung der 2-mikrolokalen Besov- und Triebel-Lizorkin-Räume mit variabler Integrabilität auf regulärer Gebieten zu geben.