Dans le cadre de la thèse des modèles physico-mathématiques pour des microsystèmes électromécaniques avec une permittivité générale sont développés et analysés par des méthodes mathématiques modernes du domaine des équations aux dérivées partielles. En particulier ces systèmes sont à frontière libre et pour conséquence difficiles à traiter. Des méthodes numériques ont été développées pour valider les résultats analytiques obtenus. / In the framework of this thesis physical/mathematical models for microelectromechanical systems with general permittivity have been developed and analysed with modern mathematical methods from the domain of partial differential equations. In particular these systems are moving boundary problems and thus difficult to handle. Numerical methods have been developed in order to validate the obtained analytical results.

La Décomposition Modale Empirique (EMD), est une méthode de décomposition multi-résolution de signaux en fonctions Modes Intrinsèques (IMF) et cela, de manière auto-adaptative. En la couplant avec la transformée de Hilbert, elle devient une méthode d'analyse Temps-Fréquence , la transformée de Hilbert-Huang, permettant d'étudier bon nombre de classes de signaux. Malgré ces nombreuses applications, l'une des plus importantes limites de l'EMD est son manque de formalisme mathématique. A la place d'une interpolation par splines cubiques utilisée dans l'EMD classique, nous avons estimé l'enveloppe moyenne par une solution d'un système d'EDP. Par une méthode variationnelle, nous avons établi un cadre théorique pour prouver les résultats de convergence, d'existence de modes et la propriété de presque orthogonalité de l'EMD. La comparaison avec des bancs de filtres itératifs et les ondelettes, montre l'aspect multi-résolution de l'EMD. Deux nouvelles applications en traitement du signal et de l'image sont présentées : l'extraction des intermittences et mode mixing et la restauration par shrinkage par EMD. Enfin le modèle peut servir de base pour l'étude de l'unicité de la décomposition.

Ce travail présente quelques résultats sur les systèmes de particules en interaction pour l'interprétation probabiliste des équations aux dérivées partielles, avec des applications à des questions de dynamique moléculaire et de chimie quantique. On présente notamment une méthode particulaire permettant d'analyser le processus de la force biaisante adaptative, utilisé en dynamique moléculaire pour le calcul de différences d'énergies libres. On étudie également la sensibilité de dynamiques stochastiques par rapport à un paramètre, en vue du calcul des forces dans l'approximation de Born-Oppenheimer pour rechercher l'état quantique fondamental de molécules. Enfin, on présente un schéma numérique basé sur un système de particules pour résoudre des lois de conservation scalaires, avec un terme de diffusion anormale se traduisant par une dynamique de sauts sur les particules / This work presents some results on stochastically interacting particle systems and probabilistic interpretations of partial differential equations with applications to molecular dynamics and quantum chemistry. We present a particle method allowing to analyze the adaptive biasing force process, used in molecular dynamics for the computation of free energy differences. We also study the sensitivity of stochastic dynamics with respect to some parameter, aiming at the computation of forces in the Born-Oppenheimer approximation for determining the fundamental quantum state of molecules. Finally, we present a numerical scheme based on a particle system for the resolution of scalar conservation laws with an anomalous diffusion term, corresponding to a jump dynamics on the particles

Streptococcus suis est une bactérie encapsulée causant des pertes économiques majeures dans l’industrie porcine en provoquant la méningite et la septicémie chez le porc. C’est aussi un important agent zoonotique. Depuis de nombreuses années de recherche sur des vaccins, aucun n’est efficace et commercialement disponible. En effet, les bactérines (bactéries entières inactivées) autogènes sont les plus couramment utilisées sur le terrain, mais demeurent avec des résultats controversés. Pourtant, S. suis exprime de nombreux composants immunogéniques pouvant être potentiellement utilisés pour des vaccins sous-unitaires. Cependant, tester la capacité immunogénique de ces nombreux candidats vaccinaux ainsi qu’évaluer le meilleur adjuvant pour la formulation d’un vaccin contre S. suis est un processus long et onéreux qui requiert l’utilisation d’un nombre élevé d’animaux. En effet, les essais vaccinaux contre S. suis débutent par un premier dépistage chez la souris pour ensuite être testés chez le porc. Il est donc nécessaire de développer des stratégies permettant d’avancer et de faciliter la recherche. Dans cette optique, un système in vitro a été développé utilisant des cellules dendritiques (DC) différenciées à partir des cellules souches de la moelle osseuse de fémur de porc. Ce modèle permettra l’analyse des candidats vaccinaux et de leur potentiel immunogénique ainsi que l’évaluation préliminaire des adjuvants. Ce système in vitro pourrait réduire le nombre d’animaux utilisés pour les essais précliniques en délivrant des connaissances immunologiques fondamentales sur les formulations de vaccins testés, dont ceux retenus mériteront une étude approfondie chez l’animal. Pour développer ce modèle in vitro, l’utilisation de plusieurs cultures de DCs, dérivées des cellules souches de la moelle osseuse de 10 porcelets différents, ont été utilisées afin de tenir compte du polymorphisme génétique de chacun. Différents composants antigéniques de S. suis, dont leurs pouvoirs immunogéniques ont déjà été évalués lors des essais vaccinaux, ont été choisis. Parmi eux, une protéine de surface de S. suis a été sélectionnée : l’énolase. In vivo, elle a été reconnue comme ayant une forte immunogénicité, cependant la protection conférée par cette protéine dépend de l’adjuvant utilisé dans la formulation vaccinale. La capsule polysaccharidique (CPS) de S. suis, l’antigène le plus exposé en surface de la bactérie et en première ligne de contact avec le système immunitaire, est le deuxième antigène à être sélectionné pour cette étude. Étant donné la faible immunogénicité de la CPS, reliée à sa nature polysaccharidique, un prototype glycoconjugué a été précédemment développé dans notre laboratoire et son effet protecteur a été validé chez le porc. Le glycoconjugué et ses dérivées ont aussi fait l’objet de cette présente étude. Finalement, la capacité des DCs à répondre à des bactérines a aussi été évaluée. Différentes catégories d’adjuvants ont été sélectionnées (Poly I:C, Quil A, Alhydrogel 2%, TiterMax Gold et Stimune) et leurs effets ont été comparés. L’activation des DCs a été évaluée par la production de cytokines de type 1 (IL-12 et TNF-α) et de type 2 (IL-6). Il a été observé que les adjuvants intensifiaient l’activation des DCs par une augmentation de production des cytokines par rapport aux antigènes seuls. De plus, il a été constaté que les DCs distinguaient un adjuvant de type 1 ou de type 2 par l’observation d’un profil cytokinique spécifique à chaque type de réponse suite à leur activation par les adjuvants combinés aux différents antigènes. Il a aussi été constaté que l’ampleur de la production de cytokines variait selon la nature de l’antigène présent avec les adjuvants. Enfin, il a été noté que les DCs répondaient différemment selon la nature chimique des antigènes. En conclusion, ce système in vitro a permis d’évaluer la capacité immunogénique de candidats vaccinaux, mais aussi de présélectionner les meilleurs adjuvants favorisant la réponse immunitaire désirée contre S. suis. À cette fin, ce modèle pourrait permettre la réduction du nombre d’animaux utilisés en test préclinique, en permettant une présélection des candidats vaccinaux à tester in vivo ou en fournissant des connaissances scientifiques additionnelles sur des choix des candidats cibles. Sur le long terme, ce modèle facilitera la découverte des vaccins sous-unitaires contre S. suis. / Streptococcus suis, an encapsulated bacterium, is a major swine pathogen and an important zoonotic agent mainly causing septicemia and meningitis. Despite decades of vaccine research, no effective vaccine is currently commercially available. Indeed, autogenous bacterins (whole inactivated bacteria) are the most commonly used vaccines in the field; however, their protective capacity remains controversial. Nevertheless, S. suis expresses many immunogenic constituents that may have potential as sub-unit vaccines. However, testing the immunogenic potential of the many S. suis candidates and appropriate adjuvants is a long and costly process requiring the use of many animals. Indeed, studies of vaccines against S. suis start with a first screening in mice prior to evaluation in pigs. Therefore, it is necessary to develop strategies to advance and facilitate the research. Hence, an in vitro porcine bone marrow-derived dendritic cell (DC) culture was developed as a model for screening vaccine candidates, evaluation of their immunogenicity, and assessment of the best(s) adjuvant(s) to be used. This model could reduce the number of animals used in pre-clinical trials by providing fundamental immunological knowledge on selected vaccine formulations that would deserve further analysis in animal trials. To develop this model, porcine bone marrow-derived DC cultures from 10 different pigs were used to take into account the genetic polymorphism of individual animals. Different antigenic components of S. suis, the immunogenic properties of which have already been evaluated in vaccine trials, were selected. Among them, a surface protein of S. suis was selected: enolase. In vivo, this protein has been recognized as having high immunogenicity; however, the protection conferred by this protein depends on the adjuvant used in the vaccine formulation. The S. suis capsular polysaccharide (CPS), the most exposed antigen on the surface of the bacterium and the first line of contact with the immune system, is the second antigen selected for this study. Given the low immunogenicity of CPS, linked to its polysaccharide nature, a prototype glycoconjugate vaccine was previously developed in our laboratory and its protective effect validated in pigs. This glycoconjugate and its derivatives have also been the subject of this study. Finally, the ability of DCs to respond to bacterins was also evaluated. Different categories of adjuvants (Poly I:C, Quil A, Alhydrogel 2%, TiterMax Gold, and Stimune) were compared. The activation of DCs was evaluated by the production of type 1 (IL-12 and TNF-α) and type 2 (IL-6) cytokines. It was observed that adjuvants amplify DC activation as demonstrated by an increase of cytokine production when compared to the antigen alone. Moreover, DCs distinguish type 1 or 2 adjuvants in combination with different S. suis antigens, according to the cytokine profile observed. It has also been found that the extent of cytokine production varies depending on the nature of the antigen present with the adjuvants. Finally, it was observed that DCs respond differently depending on the chemical nature of the antigens. In conclusion, this in vitro model allows the evaluation of the immunogenic potential of vaccine candidates while also screening for adjuvants favoring the desired immune response against S. suis. Therefore, this model could permit a reduction in the number of animals used in pre-clinical trials by allowing a preselection of candidates to be tested in vivo or by providing additional scientific knowledge as a basis for the target choices. As a result, the list of candidates to be screened in the natural host in vivo would be reduced, facilitating the discovery of a subunit vaccine against S. suis.

Cette thèse est divisée en trois chapitres. Le premier explique comment utiliser la méthode «level-set» de manière rigoureuse pour faire la simulation de feux de forêt en utilisant comme modèle physique pour la propagation le modèle de l'ellipse de Richards. Le second présente un nouveau schéma semi-implicite avec une preuve de convergence pour la solution d'une équation de type Hamilton-Jacobi anisotrope. L'avantage principal de cette méthode est qu'elle permet de réutiliser des solutions à des problèmes «proches» pour accélérer le calcul. Une autre application de ce schéma est l'homogénéisation. Le troisième chapitre montre comment utiliser les méthodes numériques des deux premiers chapitres pour étudier l'influence de variations à petites échelles dans la vitesse du vent sur la propagation d'un feu de forêt à l'aide de la théorie de l'homogénéisation. / This thesis is divided in three chapters. The first explains how to use the level-set method in a rigorous way in the context of forest fire simulation when the physical propagation model for firespread is Richards' ellipse model. The second chapter presents a new semi-implicit scheme with a proof of convergence for the numerical solution of an anisotropic Hamilton-Jacobi partial differential equation. The advantage of this scheme is it allows the use of approximative solutions as initial conditions which reduces the computation time. The third chapter shows how to use the tools introduced in the first two chapters to study the influence of small-scale variations on the wind speed on firespread using the theory of homogenization.

Un algorithme permettant de discrétiser les équations aux dérivées partielles (EDP) tout en préservant leurs symétries de Lie est élaboré. Ceci est rendu possible grâce à l'utilisation de dérivées partielles discrètes se transformant comme les dérivées partielles continues sous l'action de groupes de Lie locaux. Dans les applications, beaucoup d'EDP sont invariantes sous l'action de transformations ponctuelles de Lie de dimension infinie qui font partie de ce que l'on désigne comme des pseudo-groupes de Lie. Afin d'étendre la méthode de discrétisation préservant les symétries à ces équations, une discrétisation des pseudo-groupes est proposée. Cette discrétisation a pour effet de transformer les symétries ponctuelles en symétries généralisées dans l'espace discret. Des schémas invariants sont ensuite créés pour un certain nombre d'EDP. Dans tous les cas, des tests numériques montrent que les schémas invariants approximent mieux leur équivalent continu que les différences finies standard. / An algorithm discretizing partial differential equations (PDEs) while preserving their Lie symmetries is provided. This is made possible by the use of discrete partial derivatives transforming as their continuous counterparts under the action of local Lie groups. In applications, many PDEs are invariant under the action of Lie point symmetries of infinite dimension designated as Lie pseudo-groups. To extend the invariant discretization method to such equations, a discretization of pseudo-groups is proposed. The pseudo-group action discretization transforms the continuous point symmetries into generalized symmetries in the discrete space. Invariant schemes are then created for a number of PDEs. In all cases, numerical tests demonstrate that invariant schemes are better approximations of their continuous equivalents than standard finite differences.

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Cette thèse a pour objet la simulation d'une zone de mélange turbulente issue de l'instabilité de Richtmyer-Meshkov à l'aide d'un modèle à fonction de densité de probabilité (PDF). Nous analysons plus particulièrement la prise en charge par le modèle PDF du transport de l'énergie cinétique turbulente dans la zone de mélange.Dans cette optique, nous commençons par mettre en avant le lien existant entre les statistiques en un point de l'écoulement et ses conditions initiales aux grandes échelles. Ce lien s'exprime à travers le principe de permanence des grandes échelles, et permet d'établir des prédictions pour certaines grandeurs de la zone de mélange, telles que son taux de croissance ou son anisotropie.Nous dérivons ensuite un modèle PDF de Langevin capable de restituer cette dépendance aux conditions initiales. Ce modèle est ensuite validé en le comparant à des résultats issus de simulations aux grandes échelles (LES).Enfin, une analyse asymptotique du modèle proposé permet d'éclairer notre compréhension du transport turbulent. Un régime de diffusion est mis en évidence, et l'expression du coefficient de diffusion associé à ce régime atteste l'influence de la permanence des grandes échelles sur le transport turbulent.Tout au long de cette thèse, nous nous sommes appuyés sur des résultats issus de simulations de Monte Carlo du modèle de Langevin. A cet effet, nous avons développé une méthode spécifique eulérienne et à l'avons comparé à des alternatives lagrangiennes. / The aim of the thesis is to simulate a turbulent mixing zone resulting from the Richtmyer-Meshkov instability using a probability density function (PDF) model. An emphasis is put on the analysis of the turbulent kinetic energy transport.To this end, we first highlight the link existing between the one-point statistics of the flow and its initial conditions at large scales. This link is expressed through the principle of permanence of large eddies, and allows to establish predictions for quantities of the mixing zone, such as its growth rate or its anisotropy.We then derive a Langevin PDF model which is able to reproduce this dependency of the statistics on the initial conditions. This model is then validated by comparing it against large eddy simulations (LES).Finally, an asymptotic analysis of the derived model helps to improve our understanding of the turbulent transport. A diffusion regime is identified, and the expression of the diffusion coefficient associated with this regime confirms the influence of the permanence of large eddies on the turbulent transport.Throughout this thesis, our numerical results were based on Monte Carlo simulations for the Langevin model. In this regard, we proceeded to the development of a specific Eulerian method and its comparison with Lagrangian counterparts.

Cette thèse s'inscrit dans l'étude des modèles asymptotiques aux équations des ondes de surface dans le régime modulationnel. Le problème des ondes de surface consiste à décrire le mouvement - sous l'influence de la gravitation et éventuellement de tension de surface - d'un fluide dans un domaine délimité par la surface libre du fluide et par un fond fixe. Dans l'étude de ce problème, on s'intéresse en particulier aux ondes se propageant à la surface du fluide.Dans le régime modulationnel, on considère l'évolution des ondes de surface sous forme de paquets d'ondes de faible amplitude se propageant dans une direction. Il est bien connu que la motion de l'enveloppe du paquet d'onde sur une échelle de temps d'ordre t = O(1/ϵ²), où ϵ est un petit paramètre désignant l'amplitude, est décrite approximativement par des systèmes d'équations appelés systèmes de Benney-Roskes (BR) / Davey-Stewartson (DS). Ces systèmes sont donnés par une équation de type Schrödinger cubique couplée à une équation d'ondes. L'approximation classique de BR / DS est bien établie et a été largement étudiée au cours des dernières décennies. Récemment, David Lannes a introduit une version à "dispersion exacte" de ces systèmes. Contrairement aux équations de BR / DS standard, les systèmes à dispersion exacte préservent la relation de dispersion des équations des ondes de surface. On devrait obtenir ainsi une description plus riche du vrai comportement dynamique des ondes de surface que dans le cas de l'approximation classique.Le systèmes de BR / DS à dispersion exacte sont étudiés dans cette thèse. La première partie est consacrée à la déduction formelle des systèmes de BR / DS en tant que modèles asymptotiques aux équations des ondes de surface. Nous donnons en outre un résultat sur la consistance de cette approximation.Ensuite, nous étudions le problème de Cauchy pour le système de BR à dispersion exacte. En fait, afin de justifier la consistance de l'approximation de BR avec les équations exactes, on doit prouver que ce système est bien posé (en espace de Sobolev) sur une échelle de temps d'ordre O(1/ϵ). Ceci est un problème ouvert même dans le cas classique, du moins pour le système de dimension 1 + 2. De même, nous ne pouvons pas démontrer l'existence de solutions en temps long pour le système de BR à dispersion exacte, mais nous obtenons un théorème d'existence locale (t = O(1)) à condition que la tension de surface soit assez forte. Si nous nous restreignons au système de dimension 1+1, nous pouvons enlever la contrainte sur la tension de surface. L'idée de la preuve d'existence locale, qui est inspirée par un travail de Schochet-Weinstein, est d'écrire le système de BR comme un système symétrique hyperbolique quasi-linéaire perturbé par un terme dispersif ne contribuant pas à l'énergie du système. Ainsi, nous pouvons appliquer les méthodes standard de résolution des systèmes hyperboliques.En modifiant le terme non-linéaire du système de BR de dimension 1+1 sans changer l'ordre de consistance, nous obtenons un système qui est bien posé sur l'échelle de temps appropriée O(1/ϵ). Cependant, cette démarche ne peut pas être généralisée au cas de dimension 1+2.Dans le dernier chapitre de cette thèse, nous donnons quelques résultats sur les systèmes de Davey-Stewartson à dispersion exacte. Pour les systèmes de DS, il est suffisant de démontrer qu'ils sont bien posés localement afin de justifier leur consistance avec les équations des ondes de surface. La théorie d'existence de solutions est assez complète pour le système de DS classique. Dans le cas de dispersion exacte cependant, les équations paraissent mal posées généralement, si bien que l'existence locale ne peut être démontrée pour l'instant que pour quelques cas particuliers simples. / This thesis is concerned with asymptotic models to the water wave equations in the modulational regime. The water wave equations describe the motion - under the influence of gravity and possibly surface tension - of an inviscid fluid in a domain which is bounded by a fixed bottom from below and the free surface of the fluid from above. In the study of the water wave problem, one is in particular interested by waves propagating on the surface of the fluid.In the modulational regime, one considers the evolution of surface waves under the form of small amplitude wave packets traveling in one direction. It is well known that the evolution of the wave packet envelope on the long time scale t = O(1/ϵ²), where ϵ is a small parameter denoting the amplitude of the wave, is approximately governed by a set of equations known as the Benney-Roskes (BR) / Davey-Stewartson (DS) systems. These systems are essentially given by a cubic Schrödinger-type equation coupled to a wave equation. The classical BR / DS approximation is well established and has been largely studied in the past decades. Recently, David Lannes has introduced a "full dispersion" version of these systems. In contrast to the standard BR / DS equations, the full dispersion systems preserve the linear dispersion relation of the full water wave equations, and should therefore give a richer description of the original wave dynamics than the classical approximation.The full dispersion BR / DS systems are studied in this thesis. In the first part, we formally derive the full dispersion BR / DS approximation from the water wave equations both in the case of zero and positive surface tension. The formal derivation is completed by a consistency result.We then study well-posedness in Sobolev space of the full dispersion BR system. In order to justify consistency of the BR approximation with the full water wave equations, one needs to show that the BR system is well posed on a time scale of order O(1/ϵ). This is an open problem even in the classical case, at least for the 1 + 2 dimensional system. We also do not obtain well-posedness on the long time scale for the full dispersion BR system, but we can show that it is locally well-posed in the case of sufficiently strong surface tension, and additionally in the zero surface tension case if we restrict ourselves to the 1+1 dimensional system. The proof is inspired by a paper of Schochet-Weinstein, and is based on writing the full dispersion BR system as a quasilinear symmetric hyperbolic system with dispersive perturbation, where the dispersive terms do not contribute to the energy. We can therefore apply classical solution methods for hyperbolic systems.By modifying the nonlinear part of the 1+1 dimensional full dispersion BR system without changing consistency, we obtain a system that is well-posed on the appropriate O(1/ϵ) time scale. This approach however does not generalize to the 1+2 dimensional case.In the last chapter of the thesis, we give some results on the full dispersion DS systems, which are obtained as special limits of the full dispersion BR system. For these systems, it is sufficient to prove local well-posedness in order to show consistency with the water wave equations. For the standard DS systems, local well-posedness theory is quite complete. For the full dispersion systems, the analysis is complicated by some nonlocal operators and the equations seem to be generally ill-posed. There are however some simple cases where local well-posedness can be shown. We also discuss some modifications of the full dispersion DS system that might allow to solve it for a larger range of parameters.

Cette thèse s'inscrit dans le cadre général de l'étude de la dynamique de populations. Elle porte sur la modélisation et l'analyse mathématique de l'hématopoïèse, le processus de production et de régulation des cellules sanguines. La population de cellules est perçue comme un milieu continu avec une structuration en âge et en espace. Nous avons commencé par analyser des modèles d'équations différentielles et aux différences à retard discret et distribué. Ces modèles à retard permettent de mettre en évidence des comportements particuliers tels que l'existence de solutions périodiques. Ensuite, nous avons pris en compte l'aspect spatial et la diffusion des cellules dans ces modèles, tout en sachant que la structuration en espace, dans le cas de l'hématopoïèse, a été très peu abordée par le passé. Un nouveau modèle a été obtenu du point de vue mathématique. Une étude d'existence d'ondes progressives est effectuée lorsque le domaine est non borné et lorsque le domaine est borné une étude de stabilité des états stationnaires ainsi que de l'existence d'une bifurcation de Hopf est réalisée / This thesis focuses on the study of population dynamics. It is devoted to the mathematical analysis and modeling of hematopoiesis, which is the process leading to the production and regulation of blood cells. The cell's population is seen as a continuous medium structured in age and space. We analyzed models of differential-difference system with discrete- and distributed -delay. These models can exhibit specific behaviors such as the existence of periodic solutions. Then we consider a space structuration and the diffusion of cells in such models, knowing that the space structure has not been widely studied in the case of hematopoiesis. A new model is obtained from the mathematical point of view. We studied the existence of traveling waves when the domain is unbounded. When the domain is bounded, the stability of stationary solutions and the existence of a Hopf bifurcation are obtained