Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Nesta dissertação, descrevemos resultados obtidos por Hilário Alencar e A. Gervasio Colares, publicado no Annals of Global Analysis and Geometry em 1998. Inicialmente, obtemos fórmulas integrais para a curvatura r-média, as quais generalizam fórmulas de Minkowski. Além disso, usando estas fórmulas, caracterizamos as hipersuperfícies compactas imersas no espaço Euclidiano, esférico ou hiperbólico cujo conjunto de pontos nestes espaços que não pertencem as hipersuperfícies totalmente geodésicas tangentes às hipersuperfícies compactas é aberto e não vazio. Outrossim, obtemos ainda resultados relacionados com a estabilidade. As demonstrações destes resultados são obtidas através da fórmula integral de Dirichlet para o operador linearizado da curvatura r-média de uma hipersuperfície imersa no espaço Euclidiano, esférico ou hiperbólico, bem como do uso de um resultado recente provado por Hilário Alencar, Walcy Santos e Detang Zhou no preprint Curvature Integral Estimates for Complete Hypersurfaces. Ressaltamos que esta dissertação foi baseada na versão corrigida por Hilário Alencar do artigo publicado no Annals of Global Analysis and Geometry.

Title: Finite elements for electromagnetics compatible with de Rham di- agram Author: Vojtěch Rybář Department: Department of Numerical Mathematics Supervisor: prof. Ing. Ivo Doležel, CSc. Abstract: The present work is devoted to the lowest-order finite elements for solving time-harmonic Maxwell's equations in two dimensions. Suc- cessful approximation of these equations requires the finite element spaces to be compatible with the de Rham diagram. However, the most often used basis functions (the Whitney functions) do not comply with this diagram. Therefore, we construct compatible bases and study their prop- erties. Since the construction is not unique, we investigate the influence of the particular choice on the conditioning of the corresponding finite element matrices. Finally, we utilize the special structure of the stiffness matrices, propose a few iterative schemes, and compare their convergence. Keywords: Maxwell's equations, edge finite element, de Rham diagram, finite element basis 1

Dans cet article, on montre comment associer à toute représentation $p$-adique $V$, via la théorie des $(\varphi,\Gamma_K)$-modules de Fontaine, une équation différentielle $p$-adique $\mathbf(D)^(\dagger)_(\mathrm(rig))(V)$, c'est-à-dire un module à connexion sur l'anneau de Robba. Cette construction permet de faire le lien entre la théorie des $(\varphi,\Gamma_K)$-modules et la théorie de Hodge $p$-adique. On montre par exemple comment construire $\mathbf(D)_(\mathrm(cris))(V)$ et $\mathbf(D)_(\mathrm(st))(V)$ directement à partir de $\mathbf(D)^(\dagger)_(\mathrm(rig))(V)$, ce qui permet de reconna(\^\i)tre les représentations semi-stables ou cristallines; la connexion est alors unipotente ou triviale. Alliée à des techniques de la théorie des équations différentielles $p$-adiques, l'étude du module $\mathbf(D)^(\dagger)_(\mathrm(rig))(V)$ permet en outre de donner une nouvelle démon\-stration d'un théorème de Sen caractérisant les représen\-tations $\mathbf(C)_p$-admissibles. Finalement on peut utiliser les résultats précédents pour étendre au cas d'un corps résiduel parfait quelconque des résultats de Hyodo ($H^1_g=H^1_(st)$), de Perrin-Riou (sur la semi-stabilité des représentations ordinaires), de Colmez (les représentations absolument cristallines sont de hauteur finie), et de Bloch et Kato (si $r\gg 0$, alors l'exponentielle de Bloch-Kato $\exp_(V(r))$ est un isomorphisme) dont les démonstrations (dans le cas d'un corps résiduel fini) reposaient sur des considérations de dimensions de groupes de cohomologie galoisienne.

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Soient K/Qp une extension finie et GK le groupe de Galois absolu de K. Cette thèse est consacrée à l'étude de produits tensoriels cristallins (ou semi-stables, ou de de Rham, ou de Hodge-Tate) de représentations p-adiques de GK,, ainsi que de produits tensoriels triangulins de représentations p-adiques de GK. On étudie également la situation où l'image d'une représentation p-adique par un foncteur de Schur (tel Symn ou Λn) est cristalline (ou semi-stable, ou de de Rham, ou de Hodge-Tate). Les résultats présentés dans cette thèse sont énoncés pour les B-paires, et ils s'appliquent donc en particulier aux représentations p-adiques. / Let K/Qp be a finite extension and let GK be the absolute Galois group of K. This thesis is devoted to the study of crystalline (as well as semi-stable, de Rham, or Hodge-Tate) tensor products of p-adic representations of GK, as well as trianguline tensor products of p-adic representations of p-adic representations of GK. We also study the situation when the image of a p-adic representation by a Schur functor (for example, Symn or Λn) is crystalline (or semi-stable, or de Rham, or Hodge-Tate). The results presented in this thesis are stated for B-pairs, and apply in particular to p-adic representations.

Cette thèse est divisée en trois parties. Dans la première, on étudie des systèmes articulés (mécanismes formés de tiges rigides) dont l'espace ambiant n'est pas le plan, mais diverses variétés riemanniennes. On étudie la question de l'universalité des mécanismes : cette notion correspond à l'idée que toute courbe serait tracée par un sommet d'un mécanisme, et que toute variété différentiable serait l'espace de configuration d'un mécanisme. On étend les théorèmes d'universalité au plan de Minkowski, au plan hyperbolique et enfin à la sphère.Toute surface dans R^3 peut être aplatie selon l'axe des z, et la surface aplatie s'approche d'une table de billard dans R^2. Dans la seconde partie, on montre que, sous certaines hypothèses, le flot géodésique de la surface converge localement uniformément vers le flot de billard. De plus, si le billard est dispersif, les propriétés chaotiques du billard remontent au flot géodésique : on montre qu'il est alors Anosov. En appliquant ce résultat à la théorie des systèmes articulés, on obtient un nouvel exemple de systèmes articulé Anosov, comportant cinq tiges.Dans la troisième partie, on s'intéresse aux variétés munies de connexions localement métriques, c'est-à-dire de connexions qui sont localement des connexions de Levi-Civita de métriques riemanniennes ; on donne dans ce cadre un analogue du théorème de décomposition de De Rham, qui s'applique habituellement aux variétés riemanniennes. Dans le cas où une telle connexion préserve une structure conforme, on montre que cette décomposition comporte au plus deux facteurs ; de plus, lorsqu'il y a exactement deux facteurs, l'un des deux est l'espace euclidien R^q. La démonstration des résultats de cette partie passe par l'étude des feuilletages munis d'une structure de similitude transverse. Sur ces feuilletages, on montre un résultat de rigidité qui peut être vu indépendamment des autres: ils sont soit transversalement plats, soit transversalement riemanniens. / This thesis is divided into three parts. In the first part, we study linkages (mechanisms made of rigid rods) whose ambiant space is no longer the plane, but various Riemannian manifolds. We study the question of the universality of linkages: this notion corresponds to the idea that every curve would be traced out by a vertex of some linkage, and that any differentiable manifold would be the configuration space of some linkage. We extend universality theorems to the Minkowski plane, the hyperbolic plane, and finally the sphere.Any surface in R^3 can be flattened with respect to the z-axis, and the flattened surface gets close to a billiard table in R^2. In the second part, we show that, under some hypotheses, the geodesic flow of the surface converges locally uniformly to the billiard flow. Moreover, if the billiard is dispersing, the chaotic properties of the billiard also apply to the geodesic flow: we show that it is Anosov in this case. By applying this result to the theory of linkages, we obtain a new example of Anosov linkage, made of five rods.In the third part, we first consider manifolds with locally metric connections, that is, connections which are locally Levi-Civita connections of Riemannian metrics; we give in this framework an analog of De Rham's decomposition theorem, which usually applies to Riemannian manifolds. In the case such a connection also preserves a conformal structure, we show that this decomposition has at most two factors; moreover, when there are exactly two factors, one of them is the Euclidean space R^q. The proofs of the results of this part use foliations with transverse similarity structures. On these foliations, we give a rigidity theorem of independant interest: they are either transversally flat, or transversally Riemannian.

Soient K/Qp une extension finie et GK le groupe de Galois absolu de K. Cette thèse est consacrée à l'étude de produits tensoriels cristallins (ou semi-stables, ou de de Rham, ou de Hodge-Tate) de représentations p-adiques de GK,, ainsi que de produits tensoriels triangulins de représentations p-adiques de GK. On étudie également la situation où l'image d'une représentation p-adique par un foncteur de Schur (tel Symn ou Λn) est cristalline (ou semi-stable, ou de de Rham, ou de Hodge-Tate). Les résultats présentés dans cette thèse sont énoncés pour les B-paires, et ils s'appliquent donc en particulier aux représentations p-adiques.

This thesis deals with cohomologies on the symplectic quotient of a Frölicher space which is locally diffeomorphic to a Euclidean Frölicher subspace of Rn of constant dimension equal to n. The symplectic reduction under consideration in this thesis is an extension of the Marsden-Weinstein quotient (also called, the reduced space) well-known from the finite-dimensional smooth manifold case. That is, starting with a proper and free action of a Frölicher-Lie-group on a locally Euclidean Frölicher space of finite constant dimension, we study the smooth structure and the topology induced on a small subspace of the orbit space. It is on this topological space that we will construct selected cohomologies such as : sheaf cohomology, Alexander-Spanier cohomology, singular cohomology, ~Cech cohomology and de Rham cohomology. Some natural questions that will be investigated are for instance: the impact of the symplectic structure on these di erent cohomologies; the cohomology that will give a good description of the topology on the objects of category of Frölicher spaces; the extension of the de Rham cohomology theorem in order to establish an isomorphism between the five cohomologies. Beside the algebraic, topological and geometric study of these new objects, the thesis contains a modern formalism of Hamiltonian mechanics on the reduced space under symplectic and Poisson structures. / Mathematical Sciences / D. Phil. (Mathematics)

This thesis deals with cohomologies on the symplectic quotient of a Frölicher space which is locally diffeomorphic to a Euclidean Frölicher subspace of Rn of constant dimension equal to n. The symplectic reduction under consideration in this thesis is an extension of the Marsden-Weinstein quotient (also called, the reduced space) well-known from the finite-dimensional smooth manifold case. That is, starting with a proper and free action of a Frölicher-Lie-group on a locally Euclidean Frölicher space of finite constant dimension, we study the smooth structure and the topology induced on a small subspace of the orbit space. It is on this topological space that we will construct selected cohomologies such as : sheaf cohomology, Alexander-Spanier cohomology, singular cohomology, ~Cech cohomology and de Rham cohomology. Some natural questions that will be investigated are for instance: the impact of the symplectic structure on these di erent cohomologies; the cohomology that will give a good description of the topology on the objects of category of Frölicher spaces; the extension of the de Rham cohomology theorem in order to establish an isomorphism between the five cohomologies. Beside the algebraic, topological and geometric study of these new objects, the thesis contains a modern formalism of Hamiltonian mechanics on the reduced space under symplectic and Poisson structures. / Mathematical Sciences / D. Phil. (Mathematics)