Texte trad. et remanié de: Master's th.--Tokyo, 1970. / Suppl. au : "Bulletin de la Société mathématique de France", t. 123, fasc. 4. Bibliogr. 71-72. Résumé en français et en anglais.

We present a linear-quadratic regulator (LQR) design for a heat transfer model describing the cooling process of steel profiles in a rolling mill. Primarily we consider a feedback control approach for a linearization of the nonlinear model given there, but we will also present first ideas how to use local (in time) linearizations to treat the nonlinear equation with a regulator approach. Numerical results based on a spatial finite element discretization and a numerical algorithm for solving large-scale algebraic Riccati equations are presented both for the linear and nonlinear models.

Es sollen aus der deterministischen Lösung einer eindimensionalen instationären Wärmeleitgleichung Eigenschaften der Lösung erarbeitet werden für den Fall, dass sich der Wärmeleitkoeffizient als Zufallsgröße darstellt. Dabei werden Zugänge über die Störungsrechnung sowie über die Monte-Carlo-Simulation betrachtet.

In einem Modellproblem wird die Aufgabe der gleichzeitigen Identifikation zweier unabhängiger Parameterfunktionen bei elliptischen Differentialgleichungen untersucht. Es werden Parameterfunktionen betrachtet, die stückweise konstant sind. In einer ausführlichen Fallstudie wird auf unterschiedliche Fragestellungen eingegangen. Hierbei handelt es sich zum einen um den Vergleich von verschiedenen bekannten Lösungsalgorithmen, um für dieses Problem geeignete Varianten auszuwählen. Des Weiteren wurden der Einfluss von Messfehlern auf die Qualität der Lösung sowie die Wahl von Schranken für die zu ermittelnden Parameter untersucht. Darüber hinaus wird die Wirkung der konkreten Wahl der Randbedingungen auf die Identifizierbarkeit der zu bestimmenden Werte untersucht.

In this thesis, we are interested in numerically preserving stationary solutions of balance laws. We start by developing finite volume well-balanced schemes for the system of Euler equations and the system of MHD equations with gravitational source term. Since fluid models and kinetic models are related, this leads us to investigate AP schemes for kinetic equations and their ability to preserve stationary solutions. Kinetic models typically have a stiff term, thus AP schemes are needed to capture good solutions of the model. For such kinetic models, equilibrium solutions are reached after large time. Thus we need a new technique to numerically preserve stationary solutions for AP schemes. We find a criterion for SP schemes for kinetic equations which states, that AP schemes under a particular discretization are also SP. In an attempt to mimic our result for kinetic equations in the context of fluid models, for the isentropic Euler equations we developed an AP scheme in the limit of the Mach number going to zero. Our AP scheme is proven to have a SP property under the condition that the pressure is a function of the density and the latter is obtained as a solution of an elliptic equation. The properties of the schemes we developed and its criteria are validated numerically by various test cases from the literature. / In dieser Arbeit interessieren wir uns für numerisch erhaltende stationäre Lösungen von Erhaltungsgleichungen. Wir beginnen mit der Entwicklung von well-balanced Finite-Volumen Verfahren für das System der Euler-Gleichungen und das System der MHD-Gleichungen mit Gravitationsquell term. Da Strömungsmodelle und kinetische Modelle miteinander verwandt sind, untersuchen wir asymptotisch erhaltende (AP) Verfahren für kinetische Gleichungen und ihre Fähigkeit, stationäre Lösungen zu erhalten. Kinetische Modelle haben typischerweise einen steifen Term, so dass AP Verfahren erforderlich sind, um gute Lösungen des Modells zu erhalten. Bei solchen kinetischen Modellen werden Gleichgewichtslösungen erst nach langer Zeit erreicht. Daher benötigen wir eine neue Technik, um stationäre Lösungen für AP Verfahren numerisch zu erhalten. Wir finden ein Kriterium für stationär-erhaltende (SP) Verfahren für kinetische Gleichungen, das besagt, dass AP Verfahren unter einer bestimmten Diskretisierung auch SP sind. In dem Versuch unser Ergebnis für kinetische Gleichungen im Kontext von Strömungsmodellen nachzuahmen, haben wir für die isentropen Euler-Gleichungen ein AP Verfahren für den Grenzwert der Mach-Zahl gegen Null, entwickelt. Unser AP Verfahren hat nachweislich eine SP Eigenschaft unter der Bedingung, dass der Druck eine Funktion der Dichte ist und letztere als Lösung einer elliptischen Gleichung erhalten wird. Die Eigenschaften des von uns entwickelten und seine Kriterien werden anhand verschiedener Testfälle aus der Literatur numerisch validiert. / In this thesis, we are interested in numerically preserving stationary solutions of balance laws. We start by developing finite volume well-balanced schemes for the system of Euler equations and the system of Magnetohydrodynamics (MHD) equations with gravitational source term. Since fluid models and kinetic models are related, this leads us to investigate Asymptotic Preserving (AP) schemes for kinetic equations and their ability to preserve stationary solutions. In an attempt to mimic our result for kinetic equations in the context of fluid models, for the isentropic Euler equations we developed an AP scheme in the limit of the Mach number going to zero. The properties of the schemes we developed and its criteria are validated numerically by various test cases from the literature.

Populationen kanzeröser Zellen können aus verschiedenen Subpopulationen mit distinkten phänotypischen Profilen bestehen. Diese Dissertation verwendet mathematische Modellierung sowie die Analyse von Einzelzell-Genexpressionsdaten zur Beantwortung von Fragen über die Entstehung, das Wachstum und die Behandlung von Tumoren im Kontext einer solchen intratumoralen Heterogenität. / Tumoural cell populations may consist of different subpopulations with distinct phenotypic profiles. This thesis applies mathematical modelling as well as the analysis of single-cell gene expression data to questions related to the emergence, growth and treatment of tumours in the context of such an intratumoural heterogeneity.

In this thesis, a variety of Fokker--Planck (FP) optimal control problems are investigated. Main emphasis is put on a first-- and second--order analysis of different optimal control problems, characterizing optimal controls, establishing regularity results for optimal controls, and providing a numerical analysis for a Galerkin--based numerical scheme. The Fokker--Planck equation is a partial differential equation (PDE) of linear parabolic type deeply connected to the theory of stochastic processes and stochastic differential equations. In essence, it describes the evolution over time of the probability distribution of the state of an object or system of objects under the influence of both deterministic and stochastic forces. The FP equation is a cornerstone in understanding and modeling phenomena ranging from the diffusion and motion of molecules in a fluid to the fluctuations in financial markets. Two different types of optimal control problems are analyzed in this thesis. On the one hand, Fokker--Planck ensemble optimal control problems are considered that have a wide range of applications in controlling a system of multiple non--interacting objects. In this framework, the goal is to collectively drive each object into a desired state. On the other hand, tracking--type control problems are investigated, commonly used in parameter identification problems or stemming from the field of inverse problems. In this framework, the aim is to determine certain parameters or functions of the FP equation, such that the resulting probability distribution function takes a desired form, possibly observed by measurements. In both cases, we consider FP models where the control functions are part of the drift, arising only from the deterministic forces of the system. Therefore, the FP optimal control problem has a bilinear control structure. Box constraints on the controls may be present, and the focus is on time--space dependent controls for ensemble--type problems and on only time--dependent controls for tracking--type optimal control problems. In the first chapter of the thesis, a proof of the connection between the FP equation and stochastic differential equations is provided. Additionally, stochastic optimal control problems, aiming to minimize an expected cost value, are introduced, and the corresponding formulation within a deterministic FP control framework is established. For the analysis of this PDE--constrained optimal control problem, the existence, and regularity of solutions to the FP problem are investigated. New $L^\infty$--estimates for solutions are established for low space dimensions under mild assumptions on the drift. Furthermore, based on the theory of Bessel potential spaces, new smoothness properties are derived for solutions to the FP problem in the case of only time--dependent controls. Due to these properties, the control--to--state map, which associates the control functions with the corresponding solution of the FP problem, is well--defined, Fréchet differentiable and compact for suitable Lebesgue spaces or Sobolev spaces. The existence of optimal controls is proven under various assumptions on the space of admissible controls and objective functionals. First--order optimality conditions are derived using the adjoint system. The resulting characterization of optimal controls is exploited to achieve higher regularity of optimal controls, as well as their state and co--state functions. Since the FP optimal control problem is non--convex due to its bilinear structure, a first--order analysis should be complemented by a second--order analysis. Therefore, a second--order analysis for the ensemble--type control problem in the case of $H^1$--controls in time and space is performed, and sufficient second--order conditions are provided. Analogous results are obtained for the tracking--type problem for only time--dependent controls. The developed theory on the control problem and the first-- and second--order optimality conditions is applied to perform a numerical analysis for a Galerkin discretization of the FP optimal control problem. The main focus is on tracking-type problems with only time--dependent controls. The idea of the presented Galerkin scheme is to first approximate the PDE--constrained optimization problem by a system of ODE--constrained optimization problems. Then, conditions on the problem are presented such that the convergence of optimal controls from one problem to the other can be guaranteed. For this purpose, a class of bilinear ODE--constrained optimal control problems arising from the Galerkin discretization of the FP problem is analyzed. First-- and second--order optimality conditions are established, and a numerical analysis is performed. A discretization with linear finite elements for the state and co--state problem is investigated, while the control functions are approximated by piecewise constant or piecewise quadratic continuous polynomials. The latter choice is motivated by the bilinear structure of the optimal control problem, allowing to overcome the discrepancies between a discretize--then--optimize and optimize--then--discretize approach. Moreover, second--order accuracy results are shown using the space of continuous, piecewise quadratic polynomials as the discrete space of controls. Lastly, the theoretical results and the second--order convergence rates are numerically verified. / In dieser Dissertation werden verschiedene Fokker--Planck (FP) optimale Steuerungsprobleme untersucht. Die Schwerpunkte liegen auf einer Analyse von Optimalitätsbedingungen erster und zweiter Ordnung, der Charakterisierung optimaler Steuerungen, dem Herleiten höhere Regularität von optimalen Kontrollen sowie einer theoretischen numerischen Analyse für ein numerisches Verfahren basierend auf einer Galerkin Approximation. Die Fokker--Planck Gleichung ist eine lineare, parabolische, partielle Differentialgleichung (PDE), die aus dem Gebiet stochastischer Differentialgleichungen und stochastischer Prozesse stammt. Im Wesentlichen beschreibt sie die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zustands eines Objekts bzw. eines Systems von Objekten unter dem Einfluss sowohl deterministischer als auch stochastischer Kräfte. Die Fokker--Planck Gleichung ist ein Eckpfeiler zum Verständnis und Modellieren von Phänomenen, die von der Diffusion und Bewegung von Molekülen in einer Flüssigkeit bis hin zu den Schwankungen in Finanzmärkten reichen. Zwei verschiedene Arten von optimalen Kontrollproblemen werden in dieser Arbeit umfassend analysiert. Einerseits werden Fokker--Planck Ensemble Steuerungsprobleme betrachtet, die in der Kontrolle von Systemen mit mehreren nicht wechselwirkenden Objekten vielfältige Anwendungen haben. In diesem Gebiet ist das Ziel, alle Objekte gemeinsam in einen gewünschten Zustand zu lenken. Andererseits werden Tracking Kontrollprobleme untersucht, die häufig bei Parameteridentifikationsproblemen auftreten oder aus dem Bereich inverser Probleme stammen. Hier besteht das Ziel darin, bestimmte Parameter oder Funktionen der Fokker--Planck Gleichung derart zu bestimmen, dass die resultierende Wahrscheinlichkeitsverteilung eine gewünschte Form annimmt, welche beispielsweise durch Messungen beobachtet wurde. In beiden Fällen betrachten wir FP Modelle, bei denen die Kontrollfunktion Teil des sogenannten Drifts ist, das heißt der Teil, der nur aus den deterministischen Kräften des Systems resultiert. Daher hat das FP Kontrollproblem eine bilineare Struktur. Untere und obere Schranken für die Kontrollfunktionen können vorhanden sein, und der Fokus liegt auf zeit-- und raumabhängigen Steuerungen für Ensemble Kontrollprobleme, sowie auf nur zeitlich abhängigen Steuerungen für Tracking Kontrollprobleme. Am Anfang der Dissertation wird ein Beweis für den Zusammenhang zwischen der FP Gleichung und stochastischen Differentialgleichungen dargelegt. Darüber hinaus werden stochastische optimale Steuerungsprobleme eingeführt, deren Ziel es ist, einen erwarteten Kostenwert zu minimieren. Zusätzlich wird das Problem als ein deterministisches FP Kontrollproblem formuliert. Für die Analyse dieses Kontrollproblems wird die Existenz und Regularität von Lösungen für die FP Differentialgleichung untersucht. Neue $L^\infty$--Abschätzungen für Lösungen werden für niedrige Raumdimensionen unter schwachen Annahmen an den Drift bewiesen. Zusätzlich werden, basierend auf der Theorie über Bessel Potentialräume, neue Glattheitseigenschaften für Lösungen des FP--Problems im Falle zeitabhängiger Steuerungen erarbeitet. Aufgrund dieser Eigenschaften ist die sogenannte control--to--state Abbildung, welche die Kontrollfunktion mit der entsprechenden Lösung des FP Problems verknüpft, wohldefiniert, Fréchet--differenzierbar und kompakt für geeignete Lebesgue--Räume oder Sobolev--Räume. Die Existenz optimaler Steuerungen wird unter verschiedenen Annahmen an den Funktionenraum der Kontrollen und des Kostenfunktionals bewiesen. Optimalitätsbedingungen erster Ordnung werden unter Verwendung des adjungierten Systems aufgestellt. Die daraus resultierende Charakterisierung optimaler Steuerungen wird genutzt, um eine höhere Regularität optimaler Steuerungen sowie ihrer Zustandsfunktion und des adjungierten Problems zu erhalten. Da das FP Kontrollproblem aufgrund der bilinearen Struktur nicht konvex ist, sollte eine Analyse von Optimalitätsbedingungen erster Ordnung durch eine Analyse von Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung ergänzt werden. Dies wird für das Ensemble Kontrollproblem im Fall von zeit-- und ortsabhängigen Steuerungen mit $H^1$--Regularität durchgeführt, und hinreichende Bedingungen für lokale Minimierer werden hergeleitet. Analoge Ergebnisse werden für das Tracking--Problem für nur zeitabhängige Steuerungen bewiesen. Die entwickelte Theorie zu diesem optimalen Steuerungsproblem und dessen Optimalitätsbedingungen wird angewendet, um eine numerische Analyse für eine Galerkin--Diskretisierung des FP Kontrollproblems durchzuführen. Der Schwerpunkt liegt auf Tracking--Problemen mit nur zeitabhängigen Steuerungen. Die Idee des vorgestellten Galerkin--Verfahrens besteht darin, das PDE--Optimierungsproblem zunächst durch ein System von Optimierungsproblemen mit gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODE) als Nebenbedingung zu approximieren. Dann werden Bedingungen an das Problem präsentiert, sodass die Konvergenz optimaler Steuerungen von einem Problem zum anderen garantiert werden kann. Zu diesem Zweck wird eine Klasse bilinearer ODE--Kontrollprobleme analysiert, welche sich aus der Galerkin--Diskretisierung des FP Problems ergeben. Optimalitätsbedingungen erster und zweiter Ordnung werden bewiesen, und eine numerische Analyse wird durchgeführt. Eine Diskretisierung mit linearen Finiten--Elementen der Zustands-- und Adjungiertengleichung wird untersucht, während die Kontrollfunktionen durch stückweise konstante oder stetige, stückweise quadratische Polynome approximiert werden. Diese Wahl wird durch die bilineare Struktur des optimalen Kontrollproblems begründet, da sie es ermöglicht, die Diskrepanzen zwischen einem Ansatz von ,,zuerst diskretisieren dann optimieren" und ,,zuerst optimieren, dann diskretisieren" zu überwinden. Durch die Verwendung stetiger, stückweise quadratischer Polynome als Diskretisierung der Steuerungen kann außerdem quadratische Konvergenzordnung gezeigt werden. Abschließend werden die theoretischen Ergebnisse und die Konvergenzraten zweiter Ordnung numerisch verifiziert.

Die Dissertation beschäftigt sich mit Parameteridentifikationsproblemen, wie sie häufig in Fragestellungen der Festkörpermechanik zu finden sind. Hierbei betrachten wir die Identifikation von Materialparametern -- die typischerweise die Eigenschaften der zugrundeliegenden Materialien repräsentieren -- aus gemessenen Verformungen oder Belastungen eines Testkörpers. In mathematischem Sinne entspricht dies der Lösung von Identifikationsproblemen, die eine spezielle Klasse von inversen Problemen bilden. Der Inhalt der Dissertation ist folgendermaßen gegliedert. Nach dem einführenden Abschnitt 1 wird in Abschnitt 2 ein Überblick von Optimierungs- und Regularisierungsverfahren zur stabilen Lösung nichtlinearer inverser Probleme diskutiert. In Abschnitt 3 betrachten wir die Identifikation von skalaren und stückweise konstanten Parametern in linearen elliptischen Differentialgleichungen. Hierbei werden zwei Testprobleme erörtert, die Identifikation von Diffusions- und Reaktionsparameter in einer allgemeinen elliptischen Differentialgleichung und die Identifikation der Lame-Konstanten in einem Modell der linearisierten Elastizität. Die zugrunde liegenden PDE-Modelle und Lösungszugänge werden erläutert. Insbesondere betrachten wir hier Newton-artige Algorithmen, Gradientenmethoden, Multi-Parameter Regularisierung and den evolutionären Algorithmus CMAES. Abschließend werden Ergebnisse einer numerischen Studie präsentiert. Im Abschnitt 4 konzentrieren wir uns auf die Identifikation von verteilten Parametern in hyperelastischen Materialmodellen. Das nichtlineare Elastizitätsproblem wird detailiert erläutert und verschiedene Materialmodelle werden diskutiert (linear elastisches St.-Venant-Kirchhoff Material und nichtlineare Neo-Hooke, Mooney-Rivlin und Modified-Fung Materialien. Zur Lösung des resultierenden Parameteridentifikationsproblems werden Lösungsansätze aus der optimalen Steuerung in Form eines Newton-Lagrange SQP Algorithmus verwendet. Die Resultate einer numerischen Studie werden präsentiert, basierend auf einem zweidimensionales Testproblem mit einer sogenannten Cook-Mebran. Abschließend wird im Abschnitt 5 die Verwendung adaptiver FEM für die Lösung von Parameteridentifikationsproblems kurz erörtert. / The dissertation is focussed on parameter identification problems arising in the context of structural mechanics. At this, we consider the identification of material parameters - which typically represent the properties of an underlying material - from given measured displacements and forces of a loaded test body. In mathematical terms such problems denote identification problems as a special case of general inverse problems. The dissertation is organized as follows. After the introductive section 1, section 2 is devoted to a survey of optimization and regularization methods for the stable solution of nonlinear inverse problems. In section 3 we consider the identification of scalar and piecewise constant parameters in linear elliptic differential equations and examine two test problems, namely the identification of diffusion and reaction parameters in a generalized linear elliptic differential equation of second order and the identification of the Lame constants in the linearized elasticity model. The underlying PDE models are introduced and solution approaches are discussed in detail. At this, we consider Newton-type algorithms, gradient methods, multi-parameter regularization, and the evolutionary algorithm CMAES. Consequently, numerical studies for a two-dimensional test problem are presented. In section 4 we point out the identification of distributed material parameters in hyperelastic deformation models. The nonlinear elasticity boundary value problem for large deformations is introduced. We discuss several material laws for linear elastic (St.-Venant-Kirchhoff) materials and nonlinear Neo-Hooke, Mooney-Rivlin, and Modified-Fung materials. For the solution of the corresponding parameter identification problem, we focus on an optimal control solution approach and introduce a regularized Newton-Lagrange SQP method. The Newton-Lagrange algorithm is demonstrated within a numerical study. Therefore, a simplified two-dimensional Cook membrane test problem is solved. Additionally, in section 5 the application of adaptive methods for the solution of parameter identification problems is discussed briefly.

<p>Stochastic information, to be understood as &quot;information gained by the application of stochastic methods&quot;, is proposed as a tool in the assessment of changes in climate.</p> <p>This thesis aims at demonstrating that stochastic information can improve the consideration and reduction of uncertainty in the assessment of changes in climate. The thesis consists of three parts. In part one, an indicator is developed that allows the determination of the proximity to a critical threshold. In part two, the tolerable windows approach (TWA) is extended to a probabilistic TWA. In part three, an integrated assessment of changes in flooding probability due to climate change is conducted within the TWA.</p> <p>The thermohaline circulation (THC) is a circulation system in the North Atlantic, where the circulation may break down in a saddle-node bifurcation under the influence of climate change. Due to uncertainty in ocean models, it is currently very difficult to determine the distance of the THC to the bifurcation point. We propose a new indicator to determine the system's proximity to the bifurcation point by considering the THC as a stochastic system and using the information contained in the fluctuations of the circulation around the mean state. As the system is moved closer to the bifurcation point, the power spectrum of the overturning becomes &quot;redder&quot;, i.e. more energy is contained in the low frequencies. Since the spectral changes are a generic property of the saddle-node bifurcation, the method is not limited to the THC, but it could also be applicable to other systems, e.g. transitions in ecosystems. </p> <p>In part two, a probabilistic extension to the tolerable windows approach (TWA) is developed. In the TWA, the aim is to determine the complete set of emission strategies that are compatible with so-called guardrails. Guardrails are limits to impacts of climate change or to climate change itself. Therefore, the TWA determines the &quot;maneuvering space&quot; humanity has, if certain impacts of climate change are to be avoided. Due to uncertainty it is not possible to definitely exclude the impacts of climate change considered, but there will always be a certain probability of violating a guardrail. Therefore the TWA is extended to a probabilistic TWA that is able to consider &quot;probabilistic uncertainty&quot;, i.e. uncertainty that can be expressed as a probability distribution or uncertainty that arises through natural variability.</p> <p>As a first application, temperature guardrails are imposed, and the dependence of emission reduction strategies on probability distributions for climate sensitivities is investigated. The analysis suggests that it will be difficult to observe a temperature guardrail of 2&deg;C with high probabilities of actually meeting the target.</p> <p>In part three, an integrated assessment of changes in flooding probability due to climate change is conducted. A simple hydrological model is presented, as well as a downscaling scheme that allows the reconstruction of the spatio-temporal natural variability of temperature and precipitation. These are used to determine a probabilistic climate impact response function (CIRF), a function that allows the assessment of changes in probability of certain flood events under conditions of a changed climate. </p> <p>The assessment of changes in flooding probability is conducted in 83 major river basins. Not all floods can be considered: Events that either happen very fast, or affect only a very small area can not be considered, but large-scale flooding due to strong longer-lasting precipitation events can be considered. Finally, the probabilistic CIRFs obtained are used to determine emission corridors, where the guardrail is a limit to the fraction of world population that is affected by a predefined shift in probability of the 50-year flood event. This latter analysis has two main results. The uncertainty about regional changes in climate is still very high, and even small amounts of further climate change may lead to large changes in flooding probability in some river systems.</p> / <p>Stochastische Information, zu verstehen als &quot;Information, die durch die Anwendung stochastischer Methoden gewonnen wird&quot;, wird als Hilfsmittel in der Bewertung von Klima&auml;nderungen vorgeschlagen.</p> <p>Das Ziel dieser Doktorarbeit ist es, zu zeigen, dass stochastische Information die Ber&uuml;cksichtigung und Reduktion von Unsicherheit in der Bewertung des Klimawandels verbessern kann. Die Arbeit besteht aus drei Teilen. Im ersten Teil wird ein Indikator entwickelt, der die Bestimmung des Abstandes zu einem kritischen Grenzwert ermöglicht. Im zweiten Teil wird der &quot;tolerable windows approach&quot; (TWA) zu einem probabilistischen TWA erweitert. Im dritten Teil wird eine integrierte Absch&auml;tzung der Ver&auml;nderung von &Uuml;berflutungswahrscheinlichkeiten im Rahmen des TWA durchgeführt.</p> <p>Die thermohaline Zirkulation (THC) ist ein Zirkulationssystem im Nordatlantik, in dem die Zirkulation unter Einfluss des Klimawandels in einer Sattel-Knoten Bifurkation abreißen kann. Durch Unsicherheit in Ozeanmodellen ist es gegenw&auml;rtig kaum m&ouml;glich, den Abstand des Systems zum Bifurkationspunkt zu bestimmen. Wir schlagen einen neuen Indikator vor, der es erm&ouml;glicht, die N&auml;he des Systems zum Bifurkationspunkt zu bestimmen. Dabei wird die THC als stochastisches System angenommen, und die Informationen, die in den Fluktuationen der Zirkulation um den mittleren Zustand enthalten sind, ausgenutzt. Wenn das System auf den Bifurkationspunkt zubewegt wird, wird das Leistungsspektrum &quot;roter&quot;, d.h. die tiefen Frequenzen enthalten mehr Energie. Da diese spektralen Ver&auml;nderungen eine allgemeine Eigenschaft der Sattel-Knoten Bifurkation sind, ist die Methode nicht auf die THC beschränkt, sondern weitere Anwendungen k&ouml;nnten m&ouml;glich sein, beispielsweise zur Erkennung von &Uuml;berg&auml;ngen in &Ouml;kosystemen.</p> <p>Im zweiten Teil wird eine probabilistische Erweiterung des &quot;tolerable windows approach&quot; (TWA) entwickelt. Das Ziel des TWA ist die Bestimmung der Menge der Emissionsreduktionsstrategien, die mit sogenannten Leitplanken kompatibel sind. Diese Leitplanken sind Begrenzungen der Auswirkungen des Klimawandels, oder des Klimawandels selber. Der TWA bestimmt daher den Spielraum, den die Menschheit hat, wenn bestimmte Auswirkungen des Klimawandels vermieden werden sollen. Durch den Einfluss von Unsicherheit ist es aber nicht m&ouml;glich, die betrachteten Auswirkungen des Klimawandels mit Sicherheit auszuschlie&szlig;en, sondern es existiert eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass die Leitplanke verletzt wird. Der TWA wird daher zu einem probabilistischen TWA weiterentwickelt, der es erm&ouml;glicht, &quot;probabilistische Unsicherheit&quot;, also Unsicherheit, die durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ausgedr&uuml;ckt werden kann, oder die durch den Einfluß von nat&uuml;rlicher Variabilit&auml;t entsteht, zu ber&uuml;cksichtigen.</p> <p>Als erste Anwendung werden Temperaturleitplanken betrachtet, und die Abh&auml;ngigkeit der Emissionsreduktionsstrategien von Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Klimasensitivit&auml;t wird bestimmt. Die Analyse ergibt, dass die Einhaltung einer Temperaturleitplanke von 2&deg;C sehr schwierig wird, wenn man hohe Wahrscheinlichkeiten des Einhaltens der Leitplanke fordert.</p> <p>Im dritten Teil wird eine integrierte Absch&auml;tzung der &Auml;nderungen von &Uuml;berflutungswahrscheinlichkeiten unter Einfluss des Klimawandels durchgef&uuml;hrt. Ein einfaches hydrologisches Modell wird vorgestellt, sowie ein Skalierungsansatz, der es erm&ouml;glicht, die raum-zeitliche nat&uuml;rliche Variabilit&auml;t von Temperatur und Niederschlag zu rekonstruieren. Diese werden zur Bestimmung einer probabilistischen Klimawirkungsfunktion genutzt, einer Funktion, die es erlaubt, die Ver&auml;nderungen der Wahrscheinlichkeit bestimmter &Uuml;berflutungsereignisse unter Einfluss von Klima&auml;nderungen abzusch&auml;tzen.</p> <p>Diese Untersuchung der Ver&auml;nderung von &Uuml;berflutungswahrscheinlichkeiten wird in 83 großen Flusseinzugsgebieten durchgef&uuml;hrt. Nicht alle Klassen von &Uuml;berflutungen k&ouml;nnen dabei ber&uuml;cksichtigt werden: Ereignisse, die entweder sehr schnell vonstatten gehen, oder die nur ein kleines Gebiet betreffen, k&ouml;nnen nicht ber&uuml;cksichtigt werden, aber großfl&auml;chige &Uuml;berflutungen, die durch starke, langanhaltende Regenf&auml;lle hervorgerufen werden, k&ouml;nnen ber&uuml;cksichtigt werden. Zuguterletzt werden die bestimmten Klimawirkungsfunktion dazu genutzt, Emissionskorridore zu bestimmen, bei denen die Leitplanken Begrenzungen des Bev&ouml;lkerungsanteils, der von einer bestimmten Ver&auml;nderung der Wahrscheinlichkeit eines 50-Jahres-Flutereignisses betroffen ist, sind. Letztere Untersuchung hat zwei Hauptergebnisse. Die Unsicherheit von regionalen Klima&auml;nderungen ist immer noch sehr hoch, und au&szlig;erdem k&ouml;nnen in einigen Flusssystemen schon kleine Klima&auml;nderungen zu gro&szlig;en &Auml;nderungen der &Uuml;berflutungswahrscheinlichkeit f&uuml;hren.</p>

The presentation shows sample paths of stochastic processes in form of animations. Those stochastic procsses are usually used to model financial quantities like exchange rates, interest rates and stock prices. In the second part the solution of the Black-Scholes PDE using the finite difference method is illustrated. / Der Vortrag zeigt Animationen von Realisierungen stochstischer Prozesse, die zur Modellierung von Groessen im Finanzbereich haeufig verwendet werden (z.B. Wechselkurse, Zinskurse, Aktienkurse). Im zweiten Teil wird die Loesung der Black-Scholes Partiellen Differentialgleichung mittels Finitem Differenzenverfahren graphisch veranschaulicht.