Spelling suggestions: "subject:"differentialgleichungen""
141 |
Identification of material parameters in mechanical modelsMeyer, Marcus 04 June 2010 (has links) (PDF)
Die Dissertation beschäftigt sich mit
Parameteridentifikationsproblemen, wie sie häufig in
Fragestellungen der Festkörpermechanik zu finden sind. Hierbei
betrachten wir die Identifikation von Materialparametern -- die
typischerweise die Eigenschaften der zugrundeliegenden
Materialien repräsentieren -- aus gemessenen Verformungen oder
Belastungen eines Testkörpers. In mathematischem Sinne
entspricht dies der Lösung von Identifikationsproblemen, die
eine spezielle Klasse von inversen Problemen bilden.
Der Inhalt der Dissertation ist folgendermaßen gegliedert. Nach
dem einführenden Abschnitt 1 wird in Abschnitt 2 ein Überblick
von Optimierungs- und Regularisierungsverfahren zur stabilen
Lösung nichtlinearer inverser Probleme diskutiert. In Abschnitt
3 betrachten wir die Identifikation von skalaren und stückweise
konstanten Parametern in linearen elliptischen
Differentialgleichungen. Hierbei werden zwei Testprobleme
erörtert, die Identifikation von Diffusions- und
Reaktionsparameter in einer allgemeinen elliptischen
Differentialgleichung und die Identifikation der
Lame-Konstanten in einem Modell der linearisierten Elastizität.
Die zugrunde liegenden PDE-Modelle und Lösungszugänge werden
erläutert. Insbesondere betrachten wir hier Newton-artige
Algorithmen, Gradientenmethoden, Multi-Parameter
Regularisierung and den evolutionären Algorithmus CMAES.
Abschließend werden Ergebnisse einer numerischen Studie
präsentiert. Im Abschnitt 4 konzentrieren wir uns auf die
Identifikation von verteilten Parametern in hyperelastischen
Materialmodellen. Das nichtlineare Elastizitätsproblem wird
detailiert erläutert und verschiedene Materialmodelle werden
diskutiert (linear elastisches St.-Venant-Kirchhoff Material
und nichtlineare Neo-Hooke, Mooney-Rivlin und Modified-Fung
Materialien. Zur Lösung des resultierenden
Parameteridentifikationsproblems werden Lösungsansätze aus der
optimalen Steuerung in Form eines Newton-Lagrange SQP
Algorithmus verwendet. Die Resultate einer numerischen Studie
werden präsentiert, basierend auf einem zweidimensionales
Testproblem mit einer sogenannten Cook-Mebran. Abschließend
wird im Abschnitt 5 die Verwendung adaptiver FEM für die Lösung
von Parameteridentifikationsproblems kurz erörtert. / The dissertation is focussed on parameter identification
problems arising in the context of structural mechanics. At
this, we consider the identification of material parameters -
which typically represent the properties of an underlying
material - from given measured displacements and forces of a
loaded test body. In mathematical terms such problems denote
identification problems as a special case of general inverse
problems.
The dissertation is organized as follows. After the
introductive section 1, section 2 is devoted to a survey of
optimization and regularization methods for the stable solution
of nonlinear inverse problems. In section 3 we consider the
identification of scalar and piecewise constant parameters in
linear elliptic differential equations and examine two test
problems, namely the identification of diffusion and reaction
parameters in a generalized linear elliptic differential
equation of second order and the identification of the Lame
constants in the linearized elasticity model. The underlying
PDE models are introduced and solution approaches are discussed
in detail. At this, we consider Newton-type algorithms,
gradient methods, multi-parameter regularization, and the
evolutionary algorithm CMAES. Consequently, numerical studies
for a two-dimensional test problem are presented. In section 4
we point out the identification of distributed material
parameters in hyperelastic deformation models. The nonlinear
elasticity boundary value problem for large deformations is
introduced. We discuss several material laws for linear elastic
(St.-Venant-Kirchhoff) materials and nonlinear Neo-Hooke,
Mooney-Rivlin, and Modified-Fung materials. For the solution of
the corresponding parameter identification problem, we focus on
an optimal control solution approach and introduce a
regularized Newton-Lagrange SQP method. The Newton-Lagrange
algorithm is demonstrated within a numerical study. Therefore,
a simplified two-dimensional Cook membrane test problem is
solved. Additionally, in section 5 the application of adaptive
methods for the solution of parameter identification problems
is discussed briefly.
|
142 |
On the Parameter Selection Problem in the Newton-ADI Iteration for Large Scale Riccati EquationsBenner, Peter, Mena, Hermann, Saak, Jens 26 November 2007 (has links)
The numerical treatment of linear-quadratic regulator problems for
parabolic partial differential equations (PDEs) on infinite time horizons
requires the solution of large scale algebraic Riccati equations (ARE).
The Newton-ADI iteration is an efficient numerical method for this task.
It includes the solution of a Lyapunov equation by the alternating directions
implicit (ADI) algorithm in each iteration step. On finite time
intervals the solution of a large scale differential Riccati equation is required.
This can be solved by a backward differentiation formula (BDF)
method, which needs to solve an ARE in each time step.
Here, we study the selection of shift parameters for the ADI method.
This leads to a rational min-max-problem which has been considered by
many authors. Since knowledge about the complete complex spectrum
is crucial for computing the optimal solution, this is infeasible for the
large scale systems arising from finite element discretization of PDEs.
Therefore several alternatives for computing suboptimal parameters are
discussed and compared for numerical examples.
|
143 |
Parameterschätzung in gewöhnlichen DifferentialgleichungenRathmann, Wigand 09 May 2012 (has links)
Zur Beschreibung von realen Prozessen werden oft Differentialgleichungen herangezogen. Liegen nun Messdaten von diesen Prozessen vor, so sollen auch die Parameter im mathematischen Modell so gewählt werden, dass diese den Messungen entsprechen. Dieser Vortrag zeigt, wie dies in Mathcad mit der Funktion genfit realisiert werden kann.
|
144 |
Penalized Least Squares Methoden mit stückweise polynomialen Funktionen zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen / Penalized least squares methods with piecewise polynomial functions for solving partial differential equationsPechmann, Patrick R. January 2008 (has links) (PDF)
Das Hauptgebiet der Arbeit stellt die Approximation der Lösungen partieller Differentialgleichungen mit Dirichlet-Randbedingungen durch Splinefunktionen dar. Partielle Differentialgleichungen finden ihre Anwendung beispielsweise in Bereichen der Elektrostatik, der Elastizitätstheorie, der Strömungslehre sowie bei der Untersuchung der Ausbreitung von Wärme und Schall. Manche Approximationsaufgaben besitzen keine eindeutige Lösung. Durch Anwendung der Penalized Least Squares Methode wurde gezeigt, dass die Eindeutigkeit der gesuchten Lösung von gewissen Minimierungsaufgaben sichergestellt werden kann. Unter Umständen lässt sich sogar eine höhere Stabilität des numerischen Verfahrens gewinnen. Für die numerischen Betrachtungen wurde ein umfangreiches, effizientes C-Programm erstellt, welches die Grundlage zur Bestätigung der theoretischen Voraussagen mit den praktischen Anwendungen bildete. / This work focuses on approximating solutions of partial differential equations with Dirichlet boundary conditions by means of spline functions. The application of partial differential equations concerns the fields of electrostatics, elasticity, fluid flow as well as the analysis of the propagation of heat and sound. Some approximation problems do not have a unique solution. By applying the penalized least squares method it has been shown that uniqueness of the solution of a certain class of minimizing problems can be guaranteed. In some cases it is even possible to reach higher stability of the numerical method. For the numerical analysis we have developed an extensive and efficient C code. It serves as the basis to confirm theoretical predictions with practical applications.
|
145 |
On Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods for compressible Euler equations and the ideal magneto-hydrodynamical model / Runge-Kutta Discontinuous-Galerkin Verfahren für die kompressiblen Euler Gleichungen und das ideale magnetohydrodynamische ModellGallego Valencia, Juan Pablo January 2017 (has links) (PDF)
An explicit Runge-Kutta discontinuous Galerkin (RKDG) method is used to device numerical schemes for both the compressible Euler equations of gas dynamics and the ideal magneto- hydrodynamical (MHD) model. These systems of conservation laws are known to have discontinuous solutions. Discontinuities are the source of spurious oscillations in the solution profile of the numerical approximation, when a high order accurate numerical method is used. Different techniques are reviewed in order to control spurious oscillations. A shock detection technique is shown to be useful in order to determine the regions where the spurious oscillations appear such that a Limiter can be used to eliminate these numeric artifacts. To guarantee the positivity of specific variables like the density and the pressure, a positivity preserving limiter is used. Furthermore, a numerical flux, proven to preserve the entropy stability of the semi-discrete DG scheme for the MHD system is used. Finally, the numerical schemes are implemented using the deal.II C++ libraries in the dflo code. The solution of common test cases show the capability of the method. / Ein explizite Runge-Kutta discontinous Galerkin (RKDG) Verfahren wird angewendet, um numerische Diskretisierungen, sowohl für die kompressiblen Eulergleichungen der Gasdynamik, als auch für die idealen Magnetohydrodynamik (MHD) Gleichungen zu entwickeln. Es ist bekannt, dass diese System von Erhaltungsgleichungen unstetige Lösungen besitzen. Unstetigkeiten sind die Quelle von störenden Oszillationen im Lösungsprofil der numerischen Näherung, wenn ein numerisches Verfahren von hoher Ordnung verwendet wird. Verschiedene Techniken werden miteinander verglichen um störende Oszillationen zu kontrollieren, die bei der Approximation von Unstetigkeiten in der Lösung auftreten. Ein Verfahren zur Lokalisierung von Schockwellen wird vorgestellt und es wird gezeigt, dass dieses Verfahren nützlich ist um Regionen, in denen störende Oszillationen auftreten, zu bestimmen, so dass ein Limiter verwendet werden kann um diese numerischen Artefakte zu eliminieren. Um die Positivität spezieller Variablen, wie die Dichte und den Druck, zu bewahren, wird ein spezieller „positivitätserhaltender“ Limiter verwendet. Des Weiteren wird ein numerischer Fluss, für den bewiesenermaßen das semi-diskrete DG Verfahren für das MHD System Entropie-Stabil ist, verwendet. Abschließend werden die numerischen Verfahren unter Verwendung der deal.II C++ Bibliotheken im dflo code implementiert. Simulationen bekannter Testbeispiele zeigen das Potential dieses numerischen Verfahrens.
|
146 |
Well-posedness of a fluid-particle interaction model / Existenz und Eindeutigkeit von Entropielösungen eines Partikel-Fluid-ModellsKlotzky, Jens January 2018 (has links) (PDF)
This thesis considers a model of a scalar partial differential equation in the presence of a singular source term, modeling the interaction between an inviscid fluid represented by the Burgers equation and an arbitrary, finite amount of particles moving inside the fluid, each one acting as a point-wise drag force with a particle related friction constant.
\begin{align*}
\partial_t u + \partial_x (u^2/2) &= \sum_{i \in N(t)} \lambda_i \Big(h_i'(t)-u(t,h_i(t)\Big)\delta(x-h_i(t))
\end{align*}
The model was introduced for the case of a single particle by Lagoutière, Seguin and Takahashi, is a first step towards a better understanding of interaction between fluids and solids on the level of partial differential equations and has the unique property of considering entropy admissible solutions and the interaction with shockwaves.
The model is extended to an arbitrary, finite number of particles and interactions like merging, splitting and crossing of particle paths are considered.
The theory of entropy admissibility is revisited for the cases of interfaces and discontinuous flux conservation laws, existing results are summarized and compared, and adapted for regions of particle interactions. To this goal, the theory of germs introduced by Andreianov, Karlsen and Risebro is extended to this case of non-conservative interface coupling.
Exact solutions for the Riemann Problem of particles drifting apart are computed and analysis on the behavior of entropy solutions across the particle related interfaces is used to determine physically relevant and consistent behavior for merging and splitting of particles. Well-posedness of entropy solutions to the Cauchy problem is proven, using an explicit construction method, L-infinity bounds, an approximation of the particle paths and compactness arguments to obtain existence of entropy solutions. Uniqueness is shown in the class of weak entropy solutions using almost classical Kruzkov-type analysis and the notion of L1-dissipative germs.
Necessary fundamentals of hyperbolic conservation laws, including weak solutions, shocks and rarefaction waves and the Rankine-Hugoniot condition are briefly recapitulated. / Diese Arbeit befasst sich mit dem Modell einer skalaren partiellen Differentialgleichung mit singulärem Quellterm, das die Interaktion zwischen einem reibungsfreiem Fluid, dargestellt durch die Burgers Gleichung, und einer gegebenen, endlichen Menge von sich in dem Fluid bewegenden Partikeln beschreibt, die eine punktweise Zugkraft auf das Fluid auswirken und durch eine entsprechende Reibungskonstante charakterisiert sind.
\begin{align*}
\partial_t u + \partial_x (u^2/2) &= \sum_{i \in N(t)} \lambda_i \Big(h_i'(t)-u(t,h_i(t)\Big)\delta(x-h_i(t))
\end{align*}
Das Modell wurde für den Fall der Interaktion mit einem einzelnen Partikel durch Lagoutière, Seguin and Takahashi eingeführt, stellt einen ersten Schritt zu einem besseren Verständnis der Interaktion zwischen einem Fluid und Festkörpern auf dem Level der partiellen Differentialgleichungen dar und hat die einzigartige Eigenschaft, dass Entropielösungen und die Interaktion mit Schockwellen berücksichtigt werden.
Das Modell wird zu einer beliebigen, endlichen Anzahl von Partikeln erweitert und Interaktionen wie das Verschmelzen und Spaltung von Partikeln werden behandelt.
Existierende Theorie der Entropie-Zulässigkeit im Hinblick auf Interfaces und Erhaltungsgleichungen mit unstetiger Flussfunktion wird zusammengefasst, die Resultate werden verglichen und für die Regionen mit Partikelinteraktionen angepasst. Zu diesem Zweck wird die Theorie der Germs, eingeführt von Andreianov, Karlsen und Risebro, auf den vorliegenden Fall eines nicht-erhaltenden Interfaces erweitert.
Für das Riemann Problem von auseinanderdriftenden Partikeln werden die exakten Lösungen berechnet und eine Analyse des Verhaltens von Entropielösungen über die von den Partikeln erzeugten Interface wird genutzt, um ein physikalisch sinnvolles und mit der Theorie eines einzelnen Partikels konsistentes Verhalten beim Verschmelzen und Spalten von Partikeln herzuleiten. Mit Hilfe einer expliziten Konstruktionsmethode, hergeleiteten L-infinity Beschränkungen, einer Approximation der Partikelpfade und Kompaktheitsargumenten wird gezeigt, dass das entsprechende Cauchy Problem wohlgestellt ist. Eindeutigkeit im Raum der schwachen Entropielösungen wird mit beinahe klassischen Argumenten der Theorie von Kruzkov sowie der Theorie von L1-dissipativen Germs gezeigt.
Notwendige Grundlagen zu hyperbolischen Erhaltungsgleichungen, unter anderem die Theorie schwacher Lösungen, Schock- und Verdünnungswellen sowie die Rankine-Hugoniot Bedingung, werden in Grundzügen am Anfang der Arbeit wiederholt.
|
147 |
Proximal methods in medical image reconstruction and in nonsmooth optimal control of partial differential equations / Proximale Methoden in der medizinischen Bildrekonstruktion und in der nicht-glatten optimalen Steuerung von partiellen DifferenzialgleichungenSchindele, Andreas January 2016 (has links) (PDF)
Proximal methods are iterative optimization techniques for functionals, J = J1 + J2, consisting of a differentiable part J2 and a possibly nondifferentiable part J1. In this thesis proximal methods for finite- and infinite-dimensional optimization problems are discussed. In finite dimensions, they solve l1- and TV-minimization problems that are effectively applied to image reconstruction in magnetic resonance imaging (MRI). Convergence of these methods in this setting is proved. The proposed proximal scheme is compared to a split proximal scheme and it achieves a better signal-to-noise ratio. In addition, an application that uses parallel imaging is presented.
In infinite dimensions, these methods are discussed to solve nonsmooth linear and bilinear elliptic and parabolic optimal control problems. In particular, fast convergence of these methods is proved. Furthermore, for benchmarking purposes, truncated proximal schemes are compared to an inexact semismooth Newton method. Results of numerical experiments are presented to demonstrate the computational effectiveness of our proximal schemes that need less computation time than the semismooth Newton method in most cases. Results of numerical experiments are presented that successfully validate the theoretical estimates. / Proximale Methoden sind iterative Optimierungsverfahren für Funktionale J = J1 +J2, die aus einem differenzierbaren Teil J2 und einem möglicherweise nichtdifferenzierbaren
Teil bestehen. In dieser Arbeit werden proximale Methoden für endlich- und unendlichdimensionale Optimierungsprobleme diskutiert. In endlichen Dimensionen lösen diese
`1- und TV-Minimierungsprobleme welche erfolgreich in der Bildrekonstruktion der Magnetresonanztomographie (MRT) angewendet wurden. Die Konvergenz dieser Methoden wurde in diesem Zusammenhang bewiesen. Die vorgestellten proximalen Methoden wurden mit einer geteilten proximalen Methode verglichen und konnten ein besseres Signal-Rausch-Verhältnis erzielen. Zusätzlich wurde eine Anwendung präsentiert, die parallele Bildgebung verwendet.
Diese Methoden werden auch für unendlichdimensionale Probleme zur Lösung von nichtglatten linearen und bilinearen elliptischen und parabolischen optimalen Steuerungsproblemen diskutiert. Insbesondere wird die schnelle Konvergenz dieser Methoden bewiesen. Außerdem werden abgeschnittene proximale Methoden mit einem inexakten halbglatten Newtonverfahren verglichen. Die numerischen Ergebnisse demonstrieren die Effektivität der proximalen Methoden, welche im Vergleich zu den halbglatten Newtonverfahren in den meisten Fällen weniger Rechenzeit benötigen. Zusätzlich werden die theoretischen Abschätzungen bestätigt.
|
148 |
Eigenwerte und Fourier - Simulation von Massenschwingern mit MathcadRathmann, Wigand 24 June 2013 (has links) (PDF)
Simulation von Federmassenschwingern
|
149 |
Lösung parabolischer Differentialgleichungen mit zufälligen Randbedingungen mittels FEMKandler, Anne, vom Scheidt, Jürgen, Unger, Roman 31 August 2004 (has links) (PDF)
In dieser Arbeit werden stochastische Charakteristiken der Lösung parabolischer
Differentialgleichungen mit zufälligen
Neumann-Randbedingungen mit Hilfe der
Finite-Elemente-Methode angegeben. Dabei wird der Berechnung der Korrelations- bzw.
Varianzfunktion besondere Bedeutung beigemessen. Das stochastische Randanfangswertproblem
wird durch Anwendung von FEM-Techniken durch ein System
gewöhnlicher Differentialgleichungen mit stochastischen inhomogenen Termen approximiert.
Die Modellierung der stochastischen Eingangsparameter durch epsilon-korrelierte
Felder gestattet Entwicklungen der Lösungscharakteristiken nach der Korrelationslänge.
Numerische Beispiele enthalten den Vergleich zwischen analytischen
Ergebnissen und Simulationsresultaten.
|
150 |
Higher order asymptotic expansions for weakly correlated random functions / Asymptotische Entwicklungen höherer Ordnung für schwach korrelierte ZufallsfunktionenStarkloff, Hans-Jörg 08 February 2005 (has links) (PDF)
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit asymptotischen Entwicklungen höherer Ordnung für zweite Momente von Zufallsvariablen bzw. Zufallsfunktionen, die als lineare Integralfunktionale über schwach abhängige oder
schwach korrelierte Zufallsfunktionen definiert sind. Unter bestimmten Glattheits- und Integrabilitätsbedingungen an die Kernfunktionen
und Regularitätsbedingungen an die Zufallsfunktionen werden
entsprechende asymptotische Entwicklungen
angegeben, außerdem wird auf Abschätzungen der
Genauigkeit eingegangen. Die auftretenden Zufallsfunktionen sind dabei stationäre reell- oder vektorwertige Zufallsprozesse, bestimmte Klassen nichtstationärer Zufallsprozesse und homogene Zufallsfelder. Die Anwendungsmöglichkeit wird an einer Reihe von Beispielen aufgezeigt.
|
Page generated in 0.1039 seconds