Orientador: Maria Cristina de Castro Cunha / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-09T14:47:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dorini_FabioAntonio_D.pdf: 1226170 bytes, checksum: e29fb88b09843fe42235d804cbd8b789 (MD5) Previous issue date: 2007 / Resumo: Modelos matemáticos para processos do mundo real freqüentemente têm a forma de sistemas de equações diferenciais parciais. Estes modelos usualmente envolvem parâmetros como, por exemplo, os coeficientes no operador diferencial, e as condições iniciais e de fronteira. Tipicamente, assume-se que os parâmetros são conhecidos, ou seja, os modelos são considerados determinísticos. Entretanto, em situações mais reais esta hipótese freqüentemente não se verifica dado que a maioria dos parâmetros do modelo possui uma característica aleatória ou estocástica. Modelos avançados costumam levar em consideração esta natureza estocástica dos parâmetros. Em vista disso, certos componentes do sistema são modelados como variáveis aleatórias ou funções aleatórias. Equações diferenciais com parâmetros aleatórios são chamadas equações diferenciais aleatórias (ou estocásticas). Novas metodologias matemáticas têm sido desenvolvidas para lidar com equações diferenciais aleatórias, entretanto, este problema continua sendo objeto de estudo de muitos pesquisadores. Assim sendo, é importante a busca por novas formas (numéricas ou analíticas) de tratar equações diferenciais aleatórias. Durante a realização do curso de doutorado, vislumbrando a possibilidade de aplicações futuras em problemas de fluxo de fluidos em meios porosos (dispersão de poluentes e fluxos bifásicos, por exemplo), desenvolvemos trabalhos relacionados à equação do transporte linear unidimensional aleatória e ao problema de Burgers-Riemann unidimensional aleatório. Nesta tese, apresentamos uma nova metodologia, baseada nas idéias de Godunov, para tratar a equação do transporte linear unidimensional aleatória e desenvolvemos um eficiente método numérico para os momentos estatísticos da equação de Burgers-Riemann unidimensional aleatória. Para finalizar, apresentamos também novos resultados para o caso multidimensional: mostramos que algumas metodologias propostas para aproximar a média estatística da solução da equação do transporte linear multidimensional aleatória podem ser válidas para todos os momentos estatísticos da solução / Abstract: Mathematical models for real-world processes often take the form of systems of artial differential equations. Such models usually involve certain parameters, for example, the coefficients in the differential operator, and the initial and boundary conditions. Usually, all the model parameters are assumed to be known exactly. However, in realistic situations many of the parameters may have a random or stochastic character. More advanced models must take this stochastic nature into account. In this case, the components of the system are then modeled as random variables or random fields. Differential equations with random parameters are called random (or stochastic) differential equations. New mathematical methods have been developed to deal with this kind of problem, however, solving this problem is still the goal of several researchers. Thus, it is important to look for new approaches (numerical or analytical) to deal with random differential equations. Throughout the realization of the doctorate and looking toward future applications in porous media flow (pollution dispersal and two phase flows, for instance) we developed works related to the one-dimensional random linear transport equation and to the onedimensional random Burgers-Riemann problem. In this thesis, based on Godunov¿s ideas, we present a new methodology to deal with the one-dimensional random linear transport equation, and develop an efficient numerical scheme for the statistical moments of the solution of the one-dimensional random Burgers-Riemann problem. Finally, we also present new results for the multidimensional case: we have shown that some approaches to approximate the mean of the solution of the multidimensional random linear transport equation may be valid for all statistical moments of the solution / Doutorado / Analise Numerica / Doutor em Matemática Aplicada

Made available in DSpace on 2014-06-12T18:02:46Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivo623_1.pdf: 2167071 bytes, checksum: 5a243f653f3ac1d630bf389f37b0202f (MD5) license.txt: 1748 bytes, checksum: 8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33 (MD5) Previous issue date: 2010 / Universidade Federal Rural de Pernambuco / Nesta tese, propomos um modelo dinâmico estocástico para intermitência em turbul ência completamente desenvolvida. O modelo é baseado na noção fenomenológica da cascata de energia em turbulência, segundo a qual a energia é injetada na escala integral do sistema por um fluxo externo, formando estruturas coerentes (vórtices) grandes que eventualmente se dividem em vórtices menores, que por sua vez se dividem em vórtices ainda menores, até atingirem a escala de dissipação, onde a energia é dissipada por efeitos de viscosidade. Desta maneira, a energia é transferida essencialmente sem dissipação pela cascata através de uma hierarquia de vórtices de tamanhos cada vez menores. Em nosso modelo, a dinâmica dos fluxos de energia (i.e., as taxas de transferência de energia) entre escalas sucessivas é descrita por um sistema de equações diferenciais estocásticas acopladas que são deduzidas a partir de condições fisicamente razoáveis. Sob a hipótese adicional de que as escalas de tempo característico para a dinâmica em escalas sucessivas são bem separadas, é possível calcular a função densidade de probabilidade (fdp) do fluxo de energia em um dado nível N da cascata de energia como uma integral múltipla que envolve os fluxos de energia de todas as escalas acima. Os momentos da taxa de dissipação de energia em uma dada escala r são encontrados e exibem comportamento de lei de potência cujos expoentes foram calculados analiticamente. Também mostramos que o modelo Log-Normal de Kolmogorov de intermitência é obtido do nosso modelo no limite de uma cascata infinita. Usando a fdp do fluxo de energia, a distribuição de probabilidade dos incrementos de velocidade é calculada explicitamente e expressa em termos de funções hipergeométricas generalizadas do tipo NF0. Estas distribuições são generaliza ções naturais das distribuições gaussiana e da chamada q-gaussiana, correspondendo aos casos 0F0 e 1F0, respectivamente, e representando (para N > 0) uma grande classe de distribuições de probabilidade com caudas de lei de potência e variância finita. As predições do modelo estão em excelente acordo com experimentos de turbulência Euleriana e turbulência Lagrangeana. O modelo também é aplicado para descrever flutuações dos preços de ativos financeiros. No contexto da analogia entre turbulência e mercados financeiros, nosso modelo de intermitência é reformulado como um modelo de volatilidade estocástica, descrevendo quantitativamente pela primeira vez a chamada cascata de informa ção dos mercados financeiros. Mostramos que as distribuições teóricas ajustam muito bem as distribuições empíricas dos retornos do Ibovespa para registros de alta frequência (cotações intraday). Uma aplicação do modelo à precificação de opções também é discutida brevemente. Finalmente, uma generalização do nosso modelo é apresentada, a qual resulta em toda a família de distribuições baseadas nas funções hipergeométricas generalizadas NFM. Possíveis aplicações desta classe geral de distribuições são mencionadas brevemente

Orientador: Maria Cristina de Castro Cunha / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-26T19:33:01Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Campos_FabioAntonioAraujode_D.pdf: 1374668 bytes, checksum: 6318414d486cf4810705b84e0d722e77 (MD5) Previous issue date: 2015 / Resumo: Neste trabalho estudamos o sistema de equações diferenciais estocásticas obtido na linearização do modelo de propagação de ondas acústicas. Mais especificamente, analisamos métodos para solução do sistema de equações diferenciais usado na acústica linear, onde a matriz com dados aleatórios e um vetor de funções aleatórias que define as condições iniciais. Além do tradicional Método de Monte Carlo aplicamos o Método de Transformações de Variáveis Aleatórias e o Método de Galerkin Estocástico. Apresentamos resultados obtidos usando diferentes distribuições de probabilidades dos dados do problema. Também comparamos os métodos através da distribuição de probabilidade e momentos estatísticos da solução / Abstract: On the present work we study the system of stochastic differential equations obtained from the linearization of the propagation model of acoustic waves. More specifically we analyze methods for the solution of the system of differential equations used in the linear acoustics, where the matrix with random data and a vector of random functions defining initial conditions. In addition to the traditional Monte Carlo Method we apply the Variable Transformations of Random Method and the Galerkin Stochastic Method. We present results obtained using different probability distributions of problem data. We also compared the methods through the distribution of probabilities and statistical moments of the solution / Doutorado / Matematica Aplicada / Doutor em Matemática Aplicada

Submitted by Pablo Aguiar De Maio (pabloamaio@outlook.com) on 2015-09-10T19:50:43Z No. of bitstreams: 1 Pablo Aguiar De Maio - Dissertação - Um método de linearização local com passo adaptativo para solução numérica de equações diferenciais estocásticas com ruído aditivo.pdf: 2233029 bytes, checksum: d3ed48936d09fde216e44fb4d688b47d (MD5) / Approved for entry into archive by Janete de Oliveira Feitosa (janete.feitosa@fgv.br) on 2015-09-25T12:16:10Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Pablo Aguiar De Maio - Dissertação - Um método de linearização local com passo adaptativo para solução numérica de equações diferenciais estocásticas com ruído aditivo.pdf: 2233029 bytes, checksum: d3ed48936d09fde216e44fb4d688b47d (MD5) / Approved for entry into archive by Marcia Bacha (marcia.bacha@fgv.br) on 2015-09-28T16:51:14Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Pablo Aguiar De Maio - Dissertação - Um método de linearização local com passo adaptativo para solução numérica de equações diferenciais estocásticas com ruído aditivo.pdf: 2233029 bytes, checksum: d3ed48936d09fde216e44fb4d688b47d (MD5) / Made available in DSpace on 2015-09-28T16:51:50Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Pablo Aguiar De Maio - Dissertação - Um método de linearização local com passo adaptativo para solução numérica de equações diferenciais estocásticas com ruído aditivo.pdf: 2233029 bytes, checksum: d3ed48936d09fde216e44fb4d688b47d (MD5) Previous issue date: 2015-07-31 / In this work we present a new numerical method with adaptive stepsize based on the local linearization approach, to integrate stochastic differential equations with additive noise. We also propose a computational scheme that allows efficient implementation of this method, properly adapting the algorithm of Padé with scaling-squaring strategy to compute the exponential of matrices involved. To introduce the construction of this method, we briefly explain what stochastic differential equations are, the mathematics that is behind them, their relevance to the modeling of various phenomena, and the importance of using numerical methods to evaluate this kind of equations. A succinct study of numerical stability is also presented on the following pages. With this dissertation, we intend to introduce the necessary basis for the construction of the new method/scheme. At the end, several numerical experiments are performed to demonstrate, in a practical way, the effectiveness of the proposed method, comparing it with other methods commonly used. / Neste trabalho apresentamos um novo método numérico com passo adaptativo baseado na abordagem de linearização local, para a integração de equações diferenciais estocásticas com ruído aditivo. Propomos, também, um esquema computacional que permite a implementação eficiente deste método, adaptando adequadamente o algorítimo de Padé com a estratégia “scaling-squaring” para o cálculo das exponenciais de matrizes envolvidas. Antes de introduzirmos a construção deste método, apresentaremos de forma breve o que são equações diferenciais estocásticas, a matemática que as fundamenta, a sua relevância para a modelagem dos mais diversos fenômenos, e a importância da utilização de métodos numéricos para avaliar tais equações. Também é feito um breve estudo sobre estabilidade numérica. Com isto, pretendemos introduzir as bases necessárias para a construção do novo método/esquema. Ao final, vários experimentos numéricos são realizados para mostrar, de forma prática, a eficácia do método proposto, e compará-lo com outros métodos usualmente utilizados.

Processos estocásticos complexos são muitas vezes utilizados em modelagem, com o intuito de capturar uma maior proporção das principais características dos sistemas biológicos. A descrição do comportamento desses sistemas tem sido realizada por muitos amostradores baseados na distribuição a posteriori de Monte Carlo. Modelos probabilísticos que descrevem esses processos podem levar a funções de verossimilhança computacionalmente intratáveis, impossibilitando a utilização de métodos de inferência estatística clássicos e os baseados em amostragem por meio de MCMC. A Computação Bayesiana Aproximada (ABC) é considerada um novo método de inferência com base em estatísticas de resumo, ou seja, valores calculados a partir do conjunto de dados (média, moda, variância, etc.). Essa metodologia combina muitas das vantagens da eficiência computacional de processos baseados em estatísticas de resumo com inferência estatística bayesiana uma vez que, funciona bem para pequenas amostras e possibilita incorporar informações passadas em um parâmetro e formar uma priori para análise futura. Nesse trabalho foi realizada uma comparação entre os métodos de estimação, clássico, bayesiano e ABC, para estudos de simulação de modelos simples e para análise de dados de dinâmica populacional. Foram implementadas no software R as distâncias modular e do máximo como alternativas de função distância a serem utilizadas no ABC, além do algoritmo ABC de rejeição para equações diferenciais estocásticas. Foi proposto sua utilização para a resolução de problemas envolvendo modelos de interação populacional. Os estudos de simulação mostraram melhores resultados quando utilizadas as distâncias euclidianas e do máximo juntamente com distribuições a priori informativas. Para os sistemas dinâmicos, a estimação por meio do ABC apresentou resultados mais próximos dos verdadeiros bem como menores discrepâncias, podendo assim ser utilizado como um método alternativo de estimação. / Complex stochastic processes are often used in modeling in order to capture a greater proportion of the main features of natural systems. The description of the behavior of these systems has been made by many Monte Carlo based samplers of the posterior distribution. Probabilistic models describing these processes can lead to computationally intractable likelihood functions, precluding the use of classical statistical inference methods and those based on sampling by MCMC. The Approxi- mate Bayesian Computation (ABC) is considered a new method for inference based on summary statistics, that is, calculated values from the data set (mean, mode, variance, etc.). This methodology combines many of the advantages of computatio- nal efficiency of processes based on summary statistics with the Bayesian statistical inference since, it works well for small samples and it makes possible to incorporate past information in a parameter and form a prior distribution for future analysis. In this work a comparison between, classical, Bayesian and ABC, estimation methods was made for simulation studies considering simple models and for data analysis of population dynamics. It was implemented in the R software the modular and maxi- mum as alternative distances function to be used in the ABC, besides the rejection ABC algorithm for stochastic differential equations. It was proposed to use it to solve problems involving models of population interaction. The simulation studies showed better results when using the Euclidean and maximum distances together with informative prior distributions. For the dynamic systems, the ABC estimation presented results closer to the real ones as well as smaller discrepancies and could thus be used as an alternative estimation method.

Nesta tese, apresentamos uma metodologia concreta para calcular os controles -ótimos para sistemas estocásticos não-Markovianos. A análise trajetória a trajetória e o uso da estrutura de discretização proposta por Leão e Ohashi [36] conjuntamente com argumentos de seleção mensuráveis, nos forneceu uma estrutura para transformar um problema infinito dimensional para um finito dimensional. Desta forma, garantimos uma descrição concreta para uma classe bastante geral de problemas. / In this thesis, we present a concrete methodology to calculate the -optimal controls for non-Markovian stochastic systems. A pathwise analysis and the use of the discretization structure proposed by Leão and Ohashi [36] jointly with measurable selection arguments, allows us a structure to transform an infinite dimensional problem into a finite dimensional. In this way, we guarantee a concrete description for a rather general class of stochastic problems.

Nesta tese, apresentamos uma metodologia concreta para calcular os controles -ótimos para sistemas estocásticos não-Markovianos. A análise trajetória a trajetória e o uso da estrutura de discretização proposta por Leão e Ohashi [36] conjuntamente com argumentos de seleção mensuráveis, nos forneceu uma estrutura para transformar um problema infinito dimensional para um finito dimensional. Desta forma, garantimos uma descrição concreta para uma classe bastante geral de problemas. / In this thesis, we present a concrete methodology to calculate the -optimal controls for non-Markovian stochastic systems. A pathwise analysis and the use of the discretization structure proposed by Leão and Ohashi [36] jointly with measurable selection arguments, allows us a structure to transform an infinite dimensional problem into a finite dimensional. In this way, we guarantee a concrete description for a rather general class of stochastic problems.

Processos estocásticos complexos são muitas vezes utilizados em modelagem, com o intuito de capturar uma maior proporção das principais características dos sistemas biológicos. A descrição do comportamento desses sistemas tem sido realizada por muitos amostradores baseados na distribuição a posteriori de Monte Carlo. Modelos probabilísticos que descrevem esses processos podem levar a funções de verossimilhança computacionalmente intratáveis, impossibilitando a utilização de métodos de inferência estatística clássicos e os baseados em amostragem por meio de MCMC. A Computação Bayesiana Aproximada (ABC) é considerada um novo método de inferência com base em estatísticas de resumo, ou seja, valores calculados a partir do conjunto de dados (média, moda, variância, etc.). Essa metodologia combina muitas das vantagens da eficiência computacional de processos baseados em estatísticas de resumo com inferência estatística bayesiana uma vez que, funciona bem para pequenas amostras e possibilita incorporar informações passadas em um parâmetro e formar uma priori para análise futura. Nesse trabalho foi realizada uma comparação entre os métodos de estimação, clássico, bayesiano e ABC, para estudos de simulação de modelos simples e para análise de dados de dinâmica populacional. Foram implementadas no software R as distâncias modular e do máximo como alternativas de função distância a serem utilizadas no ABC, além do algoritmo ABC de rejeição para equações diferenciais estocásticas. Foi proposto sua utilização para a resolução de problemas envolvendo modelos de interação populacional. Os estudos de simulação mostraram melhores resultados quando utilizadas as distâncias euclidianas e do máximo juntamente com distribuições a priori informativas. Para os sistemas dinâmicos, a estimação por meio do ABC apresentou resultados mais próximos dos verdadeiros bem como menores discrepâncias, podendo assim ser utilizado como um método alternativo de estimação. / Complex stochastic processes are often used in modeling in order to capture a greater proportion of the main features of natural systems. The description of the behavior of these systems has been made by many Monte Carlo based samplers of the posterior distribution. Probabilistic models describing these processes can lead to computationally intractable likelihood functions, precluding the use of classical statistical inference methods and those based on sampling by MCMC. The Approxi- mate Bayesian Computation (ABC) is considered a new method for inference based on summary statistics, that is, calculated values from the data set (mean, mode, variance, etc.). This methodology combines many of the advantages of computatio- nal efficiency of processes based on summary statistics with the Bayesian statistical inference since, it works well for small samples and it makes possible to incorporate past information in a parameter and form a prior distribution for future analysis. In this work a comparison between, classical, Bayesian and ABC, estimation methods was made for simulation studies considering simple models and for data analysis of population dynamics. It was implemented in the R software the modular and maxi- mum as alternative distances function to be used in the ABC, besides the rejection ABC algorithm for stochastic differential equations. It was proposed to use it to solve problems involving models of population interaction. The simulation studies showed better results when using the Euclidean and maximum distances together with informative prior distributions. For the dynamic systems, the ABC estimation presented results closer to the real ones as well as smaller discrepancies and could thus be used as an alternative estimation method.

Orientador: Pedro Jose Catuogno / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-14T19:44:56Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Vieira_MarceloGoncalvesOliveira_D.pdf: 804383 bytes, checksum: ab79ef394c82b721e298a47eaa86c2f6 (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Este trabalho aborda homotopias não usuais entre soluções de equações pertencentes a uma coleção de equações. Cada coleção de equações é denominada pelo termo sistema e neste trabalho são considerados dois tipos de sistemas, os sistemas de Young e os sistemas rugosos. Sob determinadas condições, mostramos que um conjunto de pontos acessíveis de um sistema de Young admite recobrimento e um resultado análogo para sistemas rugosos também é válido. Além disso, mostramos que a concatenação de trajetórias de um sistema ainda é uma trajetória deste sistema. Com esse resultado é possível definir uma operação entre as classes de homotopias de trajetórias de um sistema. Outro ponto abordado é estender ao contexto de um sistema de Young a noção de trajetórias regulares de equações diferenciais ordinárias pertencentes a um sistema de controle. Nesta direção obtivemos um resultado o qual diz que a concatenação entre uma trajetória regular e qualquer outra trajetória produz uma trajetória regular. Por fim, estudamos como o conceito de homotopia entre trajetórias de um sistema rugoso se relaciona com conjugação de sistemas e com equações diferenciais estocásticas. / Abstract: This work accosts unusual homotopy between solutions of equations belonging to a collection of equations. Each collection of equations is called by system and in this work are considered two types of systems, Young systems and rough systems. Under certain conditions, we show that a set of points accessible from an Young system admits covering and a similar result for rough systems is also valid. Furthermore, we show that the concatenation of trajectories of a system is also a trajectory of the system. With this result it is possible to define an operation between the classes of homotopy between trajectories of a system. Another point discussed is to extend to the context of trajectories of an Young system the notion of regularity of trajectories of ordinary differential equations belonging to a control system. In this way we obtain a result which says that the concatenation of a regular trajectory and any other trajectory produces a regular trajectory. Finally, we study how the concept of homotopy between trajectories of a rough system relates with conjugation of systems and stochastic differential equations. / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Orientador: Pedro Jose Catuogno / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatística e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-14T14:39:55Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Castrequini_RafaelAndretto_M.pdf: 934326 bytes, checksum: e4c45bc1efde09bbe52710c44eab8bbf (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Introduzimos a teoria dos p-rough paths seguindo a abordagem de M. Gubinelli, conhecida por integração algébrica. Durante toda a dissertação nos restringimos ao caso 1 </= p < 3, o que e suficiente para lidar com trajetórias do movimento Browniano e aplicações ao Cálculo Estocástico. Em seguida, estudamos as equações diferenciais associadas aos rough paths, onde nós conectamos a abordagem de A. M. Davie (as equações) e a abordagem de M. Gubinelli (as integrais). No final da dissertação, aplicamos a teoria de rough path ao cálculo estocástico, mais precisamente relacionando as integrais de Itô e Stratonovich com a integral ao longo de caminhos. / Abstract: We introduce p-Rough Path Theory following M. Gubinelli_s approach, as known as algebraic integration. Throughout this masters thesis, we are concerned only in the case where 1 </= p < 3, witch is enough to deal with trajectories of a Brownnian motion and some applications to Stochastic Calculus. Afterwards, we study differential equations related to rough paths, where we connect the approach of A. M. Davie to equations with the approach of M. Gubinelli to integrals. At the end of this work, we apply the theory of rough paths to stochastic calculus, more precisely, we related the integrals of Itô and Stratonovich to integral along paths. / Mestrado / Sistemas estocasticos / Mestre em Matemática