Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques propriétés du modèle d'exclusion asymétrique unidimensionnel, un modèle exactement soluble de particules en interaction présentant un état stationnaire hors d'équilibre.<br />Dans une première partie, nous expliquons les liens que le modèle d'exclusion asymétrique entretient avec d'autres modèles de la physique statistique, en particulier des modèles de croissance, de polymère dirigé en milieu aléatoire, ou encore des modèles de vertex. Après avoir récapitulé quelques résultats connus, nous expliquons comment le modèle d'exclusion peut être étudié en utilisant l'Ansatz de Bethe.<br />La deuxième partie est consacrée au calcul par Ansatz de Bethe des fluctuations du courant dans le modèle d'exclusion partiellement asymétrique avec des conditions aux bords périodiques. Utilisant une formulation fonctionnelle des équations de Bethe, nous obtenons des expressions exactes pour les trois premiers cumulants du courant. À partir de ces expressions exactes et de calculs effectués pour de petits systèmes, nous conjecturons ensuite une expression combinatoire explicite pour tous les cumulants du courant.<br />Dans la troisième partie, nous présentons le modèle d'exclusion à plusieurs classes de particules, qui généralise le modèle étudié dans les deux premières parties. Nous montrons que ses probabilités stationnaire peuvent s'écrire sous la forme de traces de produits de matrices. Nous expliquons ensuite la formulation algébrique de l'Ansatz de Bethe pour ce modèle.

Les systèmes de nombreuses particules peuvent présenter des comportements variés en fonction du type d’interaction entre ses composants.Dans certaines situations, des structures macroscopiques hautement ordonnées peuvent émerger de telles interactions. Le problème de l’identification des mécanismes qui activent l’ordre microscopique dans les systèmes bidimensionnels a fait l’objet d’études théoriques et expérimentales. Il y a plusieurs décennies, il a été montré que les systèmes bidimensionnels avec des interactions de paramètres d’ordre suffisamment court et d’ordre continu n’ont pas d’ordre à longue portée (ils n’ont pas de phase solide). D’autre part, des études numériques sur des systèmes sans ordre positionnel ont montré que de tels systèmes pourraient présenter des transitions de phase. Cette contradiction apparente dans les systèmes bidimensionnels a été expliquée dans la transition KT (Kosterlitz-Thouless) proposée pour le modèle XY. Depuis lors, on a commencé à observer que les systèmes sans ordre positionnel pouvaient montrer des transitions de phase quand ils avaient un ordre de demi-longue portée (ODLP). Ce type d’ordre est associé à l’ordre d’orientation du système qui est perdu lorsque les défauts topologiques activés par les fluctuations thermiques sont divisés en paires produisant une transition. D’autre part, les systèmes bidimensionnels avec ordre de position à la température T = 0 peuvent être fusionnés dans un scénario comprenant trois phases : solide / hexatique / liquide dont les transitions sont dues à la division en deux étapes de défauts topologiques à deux températures différentes (Théorie de Kosterlitz-Thouless-Halperin-Nelson-Young KTHNY).Ce travail se concentre sur l’ étude du plasma d’un composant bidimensionnel (PUC2d), un système classique de N charges ponctuelles identiques qui interagissent à travers un potentiel électrique et immergées dans une surface bidimensionnelle avec densité de charge opposée. Le système est un cristal à T = 0 qui commence à fondre si T est suffisamment élevé. Si le potentiel d’interaction entre les particules est logarithmique,alors le système dans le plan et la sphère a une solution exacte pour une valeur spéciale de T située dans la phase fluide. Dans cette étude, un formalisme analytique est utilisé pour déterminer exactement les propriétés thermodynamiques et structurelles qui permettent de suivre le comportement du PUC2d en la phase désordonnée jusqu’`a ce que celui-ci cristallise avec la restriction de N pas très grand. Par le formalisme, nous trouvons des connexions intéressantes avec l’ensemble de Ginibre défini dans la théorie des matrices aléatoires.Nous avons effectué des simulations de Monte Carlo pour modéliser le PUC2d avec des interactions potentiel en inverse de distance et des conditions aux limites périodiques dans le plan. Trois phases sont identifiées incluant la phase hexatique pour des systèmes suffisamment grands. Nous avons déterminé par l’analyse de taille finie et la méthode multi-histogramme que la transition hexatique/ liquide est de premier ordre faible. Finalement,une étude statistique sur les arrangements de défauts (clusters) lors de la fusion cristalline est effectuée, confirmant en détail la théorie de KTHNY et décrivant des alternatives pour la détection de transitions en deux dimensions. / Many particle systems may exhibit interesting properties depending on the interaction between their constituents. Among them, it is possible to find situations where highly ordered microscopic structures may emerge from these interactions. The central problem to identify the mechanisms which activate the ordered particle arrangements has been the subject matter of theoretical and experimental studies. In the past decades, it was rigorously proved that systems in two dimensions with sufficiently short-range interactions and continuous degrees of freedom do not have long-range order. In contrast, numerical studies of systems featuring lack of positional order in two dimensions showed evidence of phase transitions. This apparent contradiction was explained by the Kosterlitz-Thouless (KT)-transition for the XY-model showing that transitions may take place in positional isotropic bidimensional systems if they still have quasi-long range (QLR) order. Such QLR order associated to the orientational order of the system, is lost when topological defects activated by thermal fluctuations begin to unbind in pairs producing a transition. On the other hand, two-dimensional systems with positional order at vanishing temperature may show a melting scenario including three phases solid/hexatic/fluid with transitions driven by a unbinding mechanism of topological defects according to the Kosterlitz-Thouless-Halperin-Nelson-Young (KTHNY)-theory.This work is focused on the study of the two dimensional one component plasma 2dOCPa system of N identical punctual charges interacting with an electric potential in a two-dimensional surface with neutralizing background. The system is a crystal at vanishing temperature and it melts at sufficiently high temperature. If the interaction potential is logarithmic, then the system on the flat plane and the sphere is exactly solvable at a special temperature located at the fluid phase. We use analytical approaches to compute exactly thermodynamic variables and structural properties which enables to study the crossover behaviour from a disordered phases to crystals for small systems finding interesting connections with the Ginibre Ensemble of the random matrix theory.We perform numerical Monte Carlo simulations of the 2dOCP with inverse power law interactions and periodic boundary conditions finding a hexatic phase for sufficiently large systems. It is found a weakly first order transition for the hexatic/fluid transition by using finite size analysis and the multi-histogram method. Finally, a statistical analysis of clusters of defects during melting confirms in a detailed way the predictions of the KTHNY-theory but also provides alternatives to detect transitions in two-dimensional systems.

Dans cette thèse, nous proposons de nouveaux résultats de systèmes superintégrables séparables en coordonnées polaires. Dans un premier temps, nous présentons une classification complète de tous les systèmes superintégrables séparables en coordonnées polaires qui admettent une intégrale du mouvement d'ordre trois. Des potentiels s'exprimant en terme de la sixième transcendante de Painlevé et de la fonction elliptique de Weierstrass sont présentés. Ensuite, nous introduisons une famille infinie de systèmes classiques et quantiques intégrables et exactement résolubles en coordonnées polaires. Cette famille s'exprime en terme d'un paramètre k. Le spectre d'énergie et les fonctions d'onde des systèmes quantiques sont présentés. Une conjecture postulant la superintégrabilité de ces systèmes est formulée et est vérifiée pour k=1,2,3,4. L'ordre des intégrales du mouvement proposées est 2k où k ∈ ℕ. La structure algébrique de la famille de systèmes quantiques est formulée en terme d'une algèbre cachée où le nombre de générateurs dépend du paramètre k. Une généralisation quasi-exactement résoluble et intégrable de la famille de potentiels est proposée. Finalement, les trajectoires classiques de la famille de systèmes sont calculées pour tous les cas rationnels k ∈ ℚ. Celles-ci s'expriment en terme des polynômes de Chebyshev. Les courbes associées aux trajectoires sont présentées pour les premiers cas k=1, 2, 3, 4, 1/2, 1/3 et 3/2 et les trajectoires bornées sont fermées et périodiques dans l'espace des phases. Ainsi, les résultats obtenus viennent renforcer la possible véracité de la conjecture. / In this thesis, we propose new superintegrable systems separable in polar coordinates. After the introduction, in chapter 2, we present a complete classification of all separable systems in polar coordinates which admit a third order integral in addtion to the second order one responsible for the separation of variables. New potentials expressed in terms of the sixth Painlevé transcendent and of the Weierstrass elliptic function are obtained. In chapter 3 we introduce an infinite family of integrable and exactly sovable classical and quantum systems separable in polar coordinates. This family is described in term of a parameter k. The energy spectrum and the wave functions of the quantum systems are obtained. A conjecture postulating the superintegrability of these systems is formulated and is verified for the first cases k = 1,2,3,4. The order of the integrals is 2k where k ∈ ℕ. The algebraic structure of the family of quantum systems is formulated in term of a hidden algebra where the number of generators depends on the parameter k. A quasi-exactly solvable and integrable generalization of the family of potentials is proposed. Finally in chapter 4, the classical trajectories of the family of systems are calculated for all the rational cases k ∈ ℚ. Those are expressed in term of Chebyshev polynomials. We plot the curves associated with the trajectories for k=1,2,3,4,1/2, 1/3 and 3/2. The bounded curves are closed and periodic in the two dimensional phase space. Those results obtained reinforce the possible veracity of the conjecture.

Dans cette thèse, nous proposons de nouveaux résultats de systèmes superintégrables séparables en coordonnées polaires. Dans un premier temps, nous présentons une classification complète de tous les systèmes superintégrables séparables en coordonnées polaires qui admettent une intégrale du mouvement d'ordre trois. Des potentiels s'exprimant en terme de la sixième transcendante de Painlevé et de la fonction elliptique de Weierstrass sont présentés. Ensuite, nous introduisons une famille infinie de systèmes classiques et quantiques intégrables et exactement résolubles en coordonnées polaires. Cette famille s'exprime en terme d'un paramètre k. Le spectre d'énergie et les fonctions d'onde des systèmes quantiques sont présentés. Une conjecture postulant la superintégrabilité de ces systèmes est formulée et est vérifiée pour k=1,2,3,4. L'ordre des intégrales du mouvement proposées est 2k où k ∈ ℕ. La structure algébrique de la famille de systèmes quantiques est formulée en terme d'une algèbre cachée où le nombre de générateurs dépend du paramètre k. Une généralisation quasi-exactement résoluble et intégrable de la famille de potentiels est proposée. Finalement, les trajectoires classiques de la famille de systèmes sont calculées pour tous les cas rationnels k ∈ ℚ. Celles-ci s'expriment en terme des polynômes de Chebyshev. Les courbes associées aux trajectoires sont présentées pour les premiers cas k=1, 2, 3, 4, 1/2, 1/3 et 3/2 et les trajectoires bornées sont fermées et périodiques dans l'espace des phases. Ainsi, les résultats obtenus viennent renforcer la possible véracité de la conjecture. / In this thesis, we propose new superintegrable systems separable in polar coordinates. After the introduction, in chapter 2, we present a complete classification of all separable systems in polar coordinates which admit a third order integral in addtion to the second order one responsible for the separation of variables. New potentials expressed in terms of the sixth Painlevé transcendent and of the Weierstrass elliptic function are obtained. In chapter 3 we introduce an infinite family of integrable and exactly sovable classical and quantum systems separable in polar coordinates. This family is described in term of a parameter k. The energy spectrum and the wave functions of the quantum systems are obtained. A conjecture postulating the superintegrability of these systems is formulated and is verified for the first cases k = 1,2,3,4. The order of the integrals is 2k where k ∈ ℕ. The algebraic structure of the family of quantum systems is formulated in term of a hidden algebra where the number of generators depends on the parameter k. A quasi-exactly solvable and integrable generalization of the family of potentials is proposed. Finally in chapter 4, the classical trajectories of the family of systems are calculated for all the rational cases k ∈ ℚ. Those are expressed in term of Chebyshev polynomials. We plot the curves associated with the trajectories for k=1,2,3,4,1/2, 1/3 and 3/2. The bounded curves are closed and periodic in the two dimensional phase space. Those results obtained reinforce the possible veracity of the conjecture.

Cette thèse présente plusieurs aspects de la physique des systèmes élastiques désordonnés et des méthodes analytiques utilisées pour les étudier. On s’intéressera d’une part aux propriétés universelles des processus d’avalanches statiques et dynamiques (à la transition de dépiégeage) d’interfaces élastiques de dimension arbitraire en milieu aléatoire à température nulle. Pour étudier ces questions nous utiliserons le groupe de renormalisation fonctionnel. Après une revue de ces aspects,nous présenterons plus particulièrement les résultats obtenus pendant la thèse sur (i) la structure spatiale des avalanches et (ii) les corrélations entre avalanches.On s’intéressera d’autre part aux propriétés statiques à température finie de polymères dirigés en dimension 1+1, et en particulier aux observables liées à la classe d’universalité KPZ. Dans ce contexte l’étude de modèles exactement solubles a récemment permis de grands progrès. Après une revue de ces aspects, nous nous intéresserons plus particulièrement aux modèles exactement solubles de polymère dirigé sur le réseau carré, et présenterons les résultats obtenus pendantla thèse dans cette voie: (i) classification des modèles à température finie sur le réseau carré exactement solubles par ansatz de Bethe; (ii) universalité KPZ pour les modèles Log-Gamma et Inverse-Beta; (iii) universalité et nonuniversalitéKPZ pour le modèle Beta; (iv) mesures stationnaires du modèle Inverse-Beta et des modèles à température nulle associés. / This thesis presents several aspects of the physics of disordered elastic systems and of the analytical methods used for their study.On one hand we will be interested in universal properties of avalanche processes in the statics and dynamics (at the depinning transition) of elastic interfaces of arbitrary dimension in disordered media at zero temperature. To study these questions we will use the functional renormalization group. After a review of these aspects we will more particularly present the results obtained during the thesis on (i) the spatial structure of avalanches and (ii) the correlations between avalanches.On the other hand we will be interested in static properties of directed polymers in 1+1 dimension, and in particular in observables related to the KPZ universality class. In this context the study of exactly solvable models has recently led to important progress. After a review of these aspects we will be more particularly interested in exactly solvable models of directed polymer on the square lattice and present the results obtained during the thesis in this direction: (i) classification ofBethe ansatz exactly solvable models of directed polymer at finite temperature on the square lattice; (ii) KPZ universality for the Log-Gamma and Inverse-Beta models; (iii) KPZ universality and non-universality for the Beta model; (iv) stationary measures of the Inverse- Beta model and of related zero temperature models.

Cette thèse traite la dynamique hors équilibre des systèmes quantiques ouverts couplés à un réservoir externe. Un modèle spécifique exactement soluble, le modèle sphérique, sert comme exemple paradigmatique. Ce modèle se résout exactement en toute dimension spatiale et pour des interactions très générales. Malgré sa simplicité technique, ce modèle est intéressant car ni son comportement critique d’équilibre ni celui hors équilibre est du genre champ moyen. La présentation débute avec une revue sur la mécanique statistique des transitions de phases classique et quantique, et sur les propriétés du modèle sphérique. Sa dynamique quantique ne se décrit point à l’aide d’une équation de Langevin phénoménologique. Une description plus complète à l’aide de la théorie de l’équation de Lindblad est nécessaire. Les équations de Lindblad décrivent la relaxation d’un système quantique vers son état d’équilibre. En tant que premier exemple, le diagramme de phases dynamique d’un seul spin sphérique quantique est étudié. Réinterprétant cette solution en tant qu’une approximation champ moyen d’un problème de N corps, le diagramme de phases quantique est établi et un effet « congeler en réchauffant » quantique est démontré. Ensuite, le formalisme de Lindblad est généralisé au modèle sphérique quantique de N particules: primo, la forme précise de l’équation de Lindblad est obtenue des conditions que (i) l’état quantique d’équilibre exacte est une solution stationnaire de l’équation de Lindblad et (ii) dans le limite classique, l’équation Langevin de mouvement est retrouvée. Secundo, le modèle sphérique permet la réduction exacte du problème de N particules à une seule équation intégro-différentielle pour le paramètre sphérique. Tertio, en résolvant pour le comportement asymptotique des temps longs de cette équation, nous démontrons que dans la limite semi-classique, la dynamique quantique effective redevient équivalente à une dynamique classique, à une renormalisation quantique de la température T près. Quarto, pour une trempe quantique profonde dans la phase ordonnée, nous démontrons que la dynamique quantique dépend d’une manière non triviale de la dimension spatiale. L’émergence du comportement d’échelle dynamique et des corrections logarithmiques est discutée en détail. Les outils mathématiques de cette analyse sont des nouveaux résultats sur le comportement asymptotique de certaines fonctions hypergéométriques confluentes en deux variables / This study deals with the dynamic properties of open quantum systems far from equilibrium in d dimensions. The focus is on a special, exactly solvable model, the spherical model (SM), which is technically simple. The analysis is of interest, since the critical behaviour in and far from equilibrium not of mean-field type. We begin with a résumé of the statistical mechanics of phase transitions and treat especially the quantum version of the SM. The quantum dynamics (QD) of the model cannot be described by phenomenological Langevin equation and must be formulated with Lindblad equations.First we examine the dynamic phase diagram of a single spherical quantum spin and interpret the solution as a mean-field approximation of the N-body problem. Hereby, we find a quantum mechanical ‘freezing by heating’ effect. After that, we extend the formalism to the N-body problem, determining first the form of the Lindblad equation from consistency conditions. The SM then allows the reduction to a single integro-differential equation whose asymptotic solution shows, that the effective QD in the semi-classical limit is fully classical. For a deep quench in the ordered phase, we show that the QD strongly and non-trivially depends on d and derive the dynamic scaling behaviour and its corrections. The mathematical tools for this analysis are new results on the asymptotic behaviour of certain confluent hypergeometric functions in two variables

Cette thèse porte sur l’étude des familles de polynômes orthogonaux et leurs liens avec les modèles exactement résolubles. Elle se décline en deux parties. Dans la première, on caractérise quatre nouvelles familles de polynômes orthogonaux à l’aide de processus limites appliqués à des familles appartenant aux schéma d’Askey et de Bannai-Ito. Des troncations singulières des polynômes de Wilson et d’Askey-Wilson sont considérées. Deux premières extensions bivariées de polynômes appartenant au tableau de Bannai-Ito sont également introduites. La deuxième partie présente quatre modèles exactement résolubles en lien avec la théorie des polynômes orthogonaux. Les propriétés de transfert parfait d’information quantique et de partage d’intrication d’un modèle de chaîne de spin XX dont les couplage sont liés aux polynômes de para-Racah sont examinées. Deux modèles superintégrables contenant des opérateurs de réflexions sont proposés. Leurs solutions sont obtenues et leurs symétries s’encodent respectivement dans l’algèbre de Bannai-Ito de rang deux et de rang arbitraire ce qui mène à conjecturer l’apparition des polynômes de Bannai-Ito multivariés comme coefficients de connection. Finalement, par la théorie des représentations de la superalgèbre osp(1|2), deux identités de convolution pour des familles de polynômes du tableau de Bannai-Ito sont offertes. Une réalisation en termes d’opérateurs de Dunkl conduit à une fonction génératrice bilinéaire pour les polynômes de Big −1 Jacobi. / This thesis is concerned with the study of families of orthogonal polynomials and their connection to exactly solvable models. It comprises two parts. In the first one, four novel families of orthogonal polynomials are caracterized through limit processes applied to families belonging to the Askey and Bannai-Ito schemes. Singular truncations of the Wilson and Askey-Wilson polynomials are considered. The first two bivariate extensions of families of the Bannai-Ito tableau are also introduced. The second part presents four exactly solvable models connected to the theory of orthogonal polynomials. The perfect transfer of quantum information and entanglement generation properties of an XX spin chain model whose couplings are linked to the para-Racah polynomials are examined. Two superintegrable models containing reflexion operators are proposed. Their solutions are obtained and their symmetries are encoded respectively in the rank two and arbitrary rank Bannai-Ito algebra which leads to conjecture the apparition of multivariate Bannai-Ito polynomials as overlaps. Finally, via the representation theory of the osp(1|2) Lie superalgebra, two convolution identities for families of orthogonal polynomials of the Bannai-Ito tableau are offered. Realizations in terms of Dunkl operators lead to a bilinear generating function for the Big −1 Jacobi polynomials.

Le présent mémoire est dédié à l’étude du rôle de la mécanique quantique supersymétrique dans la construction d’opérateurs d’échelle et de leurs applications pour le système quantique de Rosen-Morse. L’aboutissement de ces travaux est contenu dans un article qui constitue le dernier chapitre du mémoire. Précisément, on motive l’échec de la réalisation des opérateurs d’échelle comme opérateurs différentiels pour le potentiel de Rosen-Morse avec les méthodes traditionnelles. On exploite la propriété d’invariance de forme dans le contexte de la mécanique quantique supersymétrique comme un outil alternatif pour offrir une première approche quantique à la réalisation des opérateurs d’échelle pour la version hyperbolique de ce potentiel. On utilise cette réalisation pour obtenir celle d’opérateurs d’échelle pour une classe particulière d’extensions rationnelles du potentiel de Rosen-Morse hyperbolique avec des techniques issues de la supersymétrie. Des états cohérents sont construits à partir des réalisations obtenues pour les différents systèmes. Certaines de leurs propriétés sont analysées et mises en comparaison. En parallèle, on utilise une transformation canonique ponctuelle pour déduire une première réalisation des opérateurs d’échelle comme opérateurs différentiels pour le système de Rosen-Morse trigonométrique. De cette réalisation sont construits des états cohérents pour lesquels des propriétés sont similairement analysées. / This master thesis is dedicated to the study of the role of supersymmetric quantum mechanics in the construction of ladder operators and of their applications for the quantum Rosen-Morse system. The results of this work are presented in an article that constitutes the last chapter of the thesis. Precisely, we motivate the failure of traditional methods in providing a realization for the Rosen-Morse ladder operators as differential operators. We provide a first quantum-based solution to this problem by using the shape invariance property in supersymmetric quantum mechanics as a tool in the construction of the ladder operators for the hyperbolic version of this potential. We use the latter realization to obtain that of a specific class of rational extensions of the hyperbolic Rosen-Morse system by means of supersymmetric techniques. Coherent states are constructed from the ladder operators obtained for the different systems. Some properties are analyzed and compared. In addition, we make use of a point canonical transformation in the derivation of the first realization of the ladder operators of the trigonometric Rosen-Morse system as differential operators. From this realization, we construct coherent states for which some properties are similarly analyzed.